NGUYỄN TẤN TÀI THPT LAI VUNG I – ĐỒNG THÁP
Chương I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cung liên kết
a) Cung đối:
( ) ( )
cos cos ; sin sin ; x x x x− = − = −
b) Cung bù:
( ) ( )
cos cos ; sin sin ; x x x x
π π
− = − − =
c) Cung phụ:
cos sin ; sin cos ; tan( ) cot ; cot tan
2 2 2 2
x x x x x x x x
π π π π
     
− = − = − = − =
 ÷  ÷  ÷
     
d) Cung hơn kém
π
:
( ) ( )
cos cos ; sin sin ; x x x x
π π
+ = − + = −
e) Cung hơn kém
2
π

+ = +
+
+ =
−
−
+ =
+

2 2
2
2
2
sin 2 2sin .cos
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
2tan
tan 2
1 tan
a a a
a a a
a
a
a
a
a
=
= −
= −
= −


[ ]
[ ]
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= + + −
−
= + − −
= + + −

cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b

a a
+ = + = − + = −
+ = = ± = ±
4. Phương trình lượng giác cơ bản
Trang 1
NGUYỄN TẤN TÀI THPT LAI VUNG I – ĐỒNG THÁP

khi 1
2
sin ( ) ; sin sin
( ) arcsin 2
2
khi 1
( ) arcsin 2
VN m
x k
f x m x
f x m k
x k
m
f x m k
α π
α
π
π α π
π π
>

= +


α
π
α π
π
>

= +


= ⇔ = ⇔
= +



= − +
≤



= − +



tan ( ) ( ) arctan ; tan tanf x m f x m k x x k
π α α π
= ⇔ = + = ⇔ = +

cot ( ) ( ) arccot ; cot cotf x m f x m k x x k
π α α π
= ⇔ = + = ⇔ = +

+ + = ⇒ =
b. Phương trình dạng
sin ( ) cos ( )a f x b f x c+ =
 Điều kiện có nghiệm:
2 2 2
a b c+ ≥
 Chia 2 vế cho
2 2
a b+
, dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ bản theo sin hoặc cos.
c. Phương trình đẳng cấp
 Dạng
2 2
.sin .sin cos .cosa x b x x c x d+ + =
 Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.
 Xét cosx
≠
0, chia 2 vế cho cos
2
x để được phương trình bậc 2 theo tanx.
 Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.
 Dạng
3 2 2 3
.sin .sin cos .sin .cos .cos 0a x b x x c x x d x+ + + =
 Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.
 Xét cosx
≠
0, chia 2 vế cho cos
3
x để được phương trình bậc 3 theo tanx.

Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1.
cos sin 2 0
3
x x
π
 
+ + =
 ÷
 
2.
cos cos 1
3 3
x x
π π
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
3.
tan 2 .tan 1x x = −
4.
2 2 2
sin sin .tan 3x x x+ =
5.
2 2
5cos sin 4x x+ =
3.
1
3sin cos

2
cos cos2 cos4
16
x x x
−
=
15.
( )
sin sin 1x
π
=
16.
2 2
cos sin
1 sin 1 cos
x x
x x
=
− −
17.
1 1 2
cos sin 2 sin 4x x x
+ =
18.
3 2
4sin 2 6sin 3x x+ =
Bài 2 : Cho phương trình
( ) ( )
tan cos cot sinx x
π π

   
+ + + − =
 ÷  ÷
   
2.
5
cos2 4cos 0
2
x x− + =
3.
4 4
sin cos cos2x x x+ =
4.
4 4
1
cos sin sin 2
2
x x x+ = −
5.
( )
2
2 2 cos 3 2 2 cos3 1 0x x− + + =
6.
4 4
cos sin 2sin 1
2 2
x x
x+ + =
7.
( )

1
2tan cot 2sin 2
sin 2
x x x
x
+ = +
12.
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x+ =
13.
4cos cos4 1 2cos2x x x− = +
14.
5 5 2
4sin cos 4cos sin cos 4 1x x x x x− = +
15.
2 2
cos4 cos 3 cos 1x x x= − +
16.
sin3 cos2 1 2sin cos2x x x x+ = +
Bài 2 : Cho phương trình
sin3 cos2 ( 1)sin 0x m x m x m− − + + =
1. Giải phương trình khi m = 2.
2. Xác định m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng
( )
0;2
π
Dạng 3 : Phương trình bậc nhất theo sinx, cosx.

x x+ =
8.
4cos3 3sin3 5 0x x− + =
9.
2
sin cos sin cos2x x x x− =
10.
( )
tan 3cot 4 sin 3cosx x x x− = +
11.
2sin3 3 cos7 sin7 0x x x+ + =
12.
( )
cos5 sin3 3 cos3 sin5x x x x− = −
13.
( ) ( )
2
2sin cos 1 cos sinx x x x− + =
14.
1 cos sin3 cos3 sin 2 sinx x x x x+ + = − −
15.
3
3sin 1 4sin 3cos3x x x− = +
16.
3sin cos 2cos 2
3
x x x
π
 
+ + − =

y
x x
− +
=
+ +
4.
2
sin cos cos
sin cos 1
x x x
y
x x
+
=
+
Dạng 4 : Phương trình đẳng cấp
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1.
2 2
2sin sin cos 3cos 0x x x x+ − =
2.
2
2sin 2 3cos 5sin cos 2 0x x x x− + − =
3.
2 2
sin sin 2 2cos 0,5x x x+ − =
4.
2
sin 2 2sin 2cos2x x x− =
5. 2sin

x x
x
− =
11.
2
sin 2 sin
4
x x
π
 
+ =
 ÷
 
12.
3 2 cos sin cos3 3 2sin sin 2x x x x x− = +
13.
2 2
3sin 2sin 2 cos 0x x x− + =
14.
3
12 sin 2sin
4
x x
π
 
− =
 ÷
 
Bài 2 : Cho phương trình
( ) ( )

4.
tan 2 2sin 1x x− =
5.
3 3
sin cos 1x x+ =
6.
( ) ( )
1 sin 1 cos 2+ + =x x
7.
2sin tan cot
4
 
+ = +
 ÷
 
x x x
p
8.
( )
3
sin cos sin cos 1 0x x x x+ + − =
9.
( )
4
sin cos 3sin 2 1 0x x x+ − − =
10.
3 3
cos sin cos2x x x− =
11.
( )

3.
2 3 2 3
tan tan tan cot cot cot 6x x x x x x+ + + + + =
4.
( )
( )
4
2 2
9 tan cot 48 tan cot 96x x x x
+ = + +
5.
( )
2 2
3 tan cot tan cot 6x x x x− + + =
6.
( )
( )
4
2 2
3 tan cot 8 tan cot 21+ − + =x x x x
Bài 2 : Cho phương trình
( ) ( )
2 2 2
tan cot 2 2 tan cotx x m x x m m+ + + + = −
. Xác định m để phương
trình có nghiệm.
Dạng 6 : Biến đổi tương đương dưa về dạng cơ bản
Giải các phương trình lượng giác sau :
1.
3 3

x x x
Dạng 7 : Biến đổi biến đổi tích bằng 0
1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0
3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin
3
x+2cosx-2+sin
2
x=0
5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/
3
2
sin2x+
2
cos
2
x+
6
cosx=0
7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/
sin3 sin 5
3 5
x x
=

9/ 2cos2x-8cosx+7=
1
cos x
10/ cos
8
x+sin

cos x
)=0 18/sin2x=1+
2
cosx+cos2x
Dạng 7 : Biến đổi biến đổi tích thành tổng, hoặc tổng thành tích
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1. sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos 2x + cos3x 2. sin
2
x + sin
2
2x = sin
2
3x + sin
2
4x
3. sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x + sin
2
4x = 2 4.
2 2 2
3
cos cos 2 cos 3
2
x x x
+ + =

2x+cos
2
4x 2/ cos
2
x+cos
2
2x+cos
2
3x+cos
2
4x=3/2
3/sin
2
x+ sin
2
3x-3 cos
2
2x=0 4/ cos3x+ sin7x=2sin
2
(
5
4 2
x
π
+
)-2cos
2
9
2
x

2x+ sin
2
4x= sin
2
6x 10/ sin
2
x= cos
2
2x+ cos
2
3x
11/ 4sin
3
xcos3x+4cos
3
x sin3x+3
3
cos4x=3 12/ 2cos
2
2x+ cos2x=4 sin
2
2xcos
2
x
Dạng 8 : Đặt ẩn phụ
Giải các phương trình lượng giác sau :
1.
tan 2 2tan sin 2 0x x x− + =
2.
2 2

6.
cos2 .cos5 1x x
= −
Dạng 10 : Phương pháp tổng bình phương
Giải các phương trình lượng giác sau :
1.
( )
3
cos2 cos6 4 3sin 4sin 1 0x x x x− + − + =
2.
2
3sin 2 2sin 4cos 6 0x x x− − + =
3.
2sin 2 cos2 2 2 sin 4 0x x x+ + − =
4.
2
cos2 3sin 2 4sin 2sin 4 2 3cosx x x x x
− + − + =
C. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Trang 6
NGUYỄN TẤN TÀI THPT LAI VUNG I – ĐỒNG THÁP
Bài 1
2 2
cos 3sin 2 1 sinx x x− = +
Bài 2
3 3 2
cos 4sin 3cos .sin sin 0x x x x x− − + =
Bài 3 Giải phương trình:
sin 2 2tan 3x x
+ =

Bài 12
3 3 3
sin cos3 cos sin 3 sin 4x x x x x+ =
Bài 13
3 3 2
4sin 3cos 3sin sin cos 0x x x x x+ − − =
Bài 14 Giải phương trình:
2
(2sin 1)(3cos4 2sin 4) 4cos 3x x x x+ + − + =
Bài 15
6 6 8 8
sin cos 2(sin cos )x x x x+ = +
Bài 16
1
cos .cos 2 .cos 4 .cos8
16
x x x x =
Bài 17
3
8cos cos3
3
x x
π
 
+ =
 ÷
 
Bài 18 Giải phương trình:
2
(2sin 1)(2sin 2 1) 3 4cosx x x− + = −

 
Bài 27 Giải phương trình:
2 2
1 sin sin cos sin 2 os
2 2 4 2
x x x
x x c
π
 
+ − = −
 ÷
 
Bài 28 Giải phương trình:
2cos2 sin 2 2(sin cos )x x x x− = +
Bài 29 Giải phương trình:
1
cos cos 2 cos3
2
x x x− + =
Bài 30 Giải phương trình:
3
sin 2 sin
4
x x
π
 
+ =
 ÷
 
Bài 31 Giải phương trình:

+ + + = +
Bài 39 Giải phương trình:
4 4
1
sin cos
4 4
x x
π
 
+ + =
 ÷
 
Bài 40 Giải phương trình:
3 3
2
cos .cos3 sin .sin 3
4
x x x x+ =
Bài 41 Giải phương trình:
3 3 3 3
(sin sin 2 sin3 ) sin sin 2 sin 3x x x x x x+ + = + +
Bài 42 Giải phương trình:
3 1
8sin
cos sin
x
x x
= +
D. GIỚI THIỆU ĐỀ THI TUYỂN SINH CÁC NĂM
Trang 7

1 tan x 2
− = + −
+
B03: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

2
cot x tan x 4 sin 2x .
sin 2x
− + =
D03: Gi¶i ph¬ng tr×nh

x
x
2 2 2
sin tan x cos 0.
2
2 4
π
 
− − =
 ÷
 
B04: Gi¶i ph¬ng tr×nh

( )
2
5 sin x 2 3 1 sin x tan x.− = −
D04: Gi¶i ph¬ng tr×nh

( ) ( )

2
B07: GPT: 2sin 2 sin7 1 sin
2
D07: GPT: sin cos 3cos 2
2 2
x x x x x
x x x
x x
x
+ + + = +
+ − =
 
+ + =
 ÷
 
A08: GPT

1 1 7
4sin .
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
+ = −
−

A10: GPT

(1 sinx os2 )sin
1
4
cos .
1 t anx
2
c x x
x
π
 
+ + +
 ÷
 
=
+
B10: GPT
(sin 2 os2 )cos 2cos2 sinx 0.x c x x x
+ + − =
D10: GPT
sin 2 os2 3sin cos 1 0.x c x x x
− + − − =
Trang 8