PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ĐỊNH LÝ VIET VÀ ỨNG DỤNG

A.Kiến thức cần ghi nhớ
1. Để biện luận sự cú nghiệm của phương trỡnh : ax
2
+ bx + c = 0 (1) trong đú a,b ,c phụ
thuộc tham số m,ta xột 2 trường hợp
a) Nếu a= 0 khi đú ta tỡm được một vài giỏ trị nào đú của m ,thay giỏ trị đú vào
(1).Phương trỡnh (1) trở thành phương trỡnh bậc nhất nờn cú thể : - Cú một nghiệm duy
nhất
- hoặc vụ nghiệm
- hoặc vụ số nghiệm
b)Nếu a

0
Lập biệt số

= b
2
– 4ac hoặc

/
= b
/2
– ac
*

< 0 (

/

b
2

; x
2
=
a
b
2


(hoặc x
1
=
a
b
//

; x
2
=
a
b
//

)
2. Định lý Viột.
Nếu x
1
, x

= S và x
1
x
2
= p thỡ hai số đó là nghiệm (nếu có )
của phương trình bậc 2:
x
2
– S x + p = 0
3.Dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai.
Cho phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) . Gọi x
1
,x
2
là các nghiệm của
phương trình .Ta có các kết quả sau:

x
1
và x
2
trái dấu ( x
1
< 0 < x
2
)











0
0
0
S
p

Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương( x
2
> x
1
= 0)











0)
 Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x
1
= 1 , x
2
=
a
c

 Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x
1
= -1 , x
2
= -
a
c

 Nếu x
1
+ x
2
= m +n , x
1
x
2
= mn và
0



1
, x
2
thoả mãn điều
kiện cho trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp và cách biến đổi):
*) x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
x
2
= S
2
– 2p
*) (x
1
– x
2
)
2

1
+ x
2
) = S
3
– 3Sp
*) x
1
4
+ x
2
4
= (x
1
2
+ x
2
2
)
2
– 2x
1
2
x
2
2

*)
21
21

2


*) (x
1
– a)( x
2
– a) = x
1
x
2
– a(x
1
+ x
2
) + a
2
= p – aS + a
2

*)
2
21
21
21
2
))((
2
11
aaSp


(hoặc 0
/
 ) (*)
- Thay x = x
1
vào phương trình đã cho ,tìm được giá trị của
tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm được của tham số với điều kiện(*)
để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện
0


(hoặc 0
/
 ) mà ta thay luôn
x = x
1
vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và
giải phương trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà phương trình
bậc hai này có

< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có
nghiệm x
1
cho trước.


m < - 3 hoặc m > 3 .Phương trình đã cho có 2
nghiệm phân biệt:
x
1

= m + 1 - 9
2
m x
2
= m + 1 + 9
2
m
+ Nếu
/

= 0

m =

3
- Với m =3 thì phương trình có nghiệm là x
1.2
= 4
- Với m = -3 thì phương trình có nghiệm là x
1.2
= -2
+ Nếu
/

< 0

x = -
2
1

* Nếu m – 3

0

m

3 .Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt số
/

= m
2
– (m – 3)(m – 6) = 9m – 18
- Nếu
/

= 0

9m – 18 = 0

m = 2 .phương trình có nghiệm kép
x
1
= x
2
= -
3

Kết luận:
Với m = 3 phương trình có nghiệm x = -
2
1

Với m = 2 phương trình có nghiệm x
1
= x
2
= -2
Với m > 2 và m

3 phương trình có nghiệm x
1,2
=
3
23


m
mm

Với m < 2 phương trình vô nghiệm

Bài 3: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) 2x
2
+ 2007x – 2009 = 0
b) 17x
2

2

= -
17
204

a
c
= - 12
c) x
2
+ ( 53  )x - 15 = 0 có: ac = - 15 < 0 .
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.áp dụng hệ thức Viet ta có :
x
1
+ x
2
= -( 53  ) = - 3 + 5
x
1
x
2
= - 15 = (- 3 ) 5

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x
1

Vậy phương trình có 2 nghiệm x
1
= 3 , x
2
= - 2 7

Bài 4 : Giải các phương trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)
a) x
2
+ (3m – 5)x – 3m + 4 = 0
b) (m – 3)x
2
– (m + 1)x – 2m + 2 = 0
Hướng dẫn :
a) x
2
+ (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 có a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0
Suy ra : x
1
= 2
Hoặc x
2
=
3
1

m

b) (m – 3)x
2

x
x
Bài 5: Gọi x
1
, x
2
là các nghịêm của phương trình : x
2
– 3x – 7 = 0
a) Tính:
A = x
1
2
+ x
2
2
B =
21
xx 
C=
1
1
1
1
21



Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x
1
+ x
2
= 3 và p = x
1
x
2
= -7
a)Ta có
+ A = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
x
2
= S
2
– 2p = 9 – 2(-7) = 23
+ (x







Sp
S
xx
xx

+ D = (3x
1
+ x
2
)(3x
2
+ x
1
) = 9x
1
x
2
+ 3(x
1
2
+ x
2
2
) + x



 xx
(theo câu a)
p =
9
1
1
1
)1)(1(
1
21



 Spxx

Vậy
1
1
1
x
và
1
1
2
x
là nghiệm của hương trình :
X
2

3
+ x
2
3
> 0

Giải.

1. Phương trình (1) là phương trình bậc hai có:


= (k -1)
2
– 4(- k
2
+ k – 2) = 5k
2
– 6k + 9 = 5(k
2
-
5
6
k +
5
9
)
= 5(k
2
– 2.
5

4
1
+
4
7
) < 0

-(k -
2
1
)
2

-
4
7
< 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân
biệt trái dấu với mọi k
3. Ta có x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3

2
+ k – 2)( k – 1)
= (k – 1) [(k – 1)
2
- 3(- k
2
+ k – 2)]
= (k – 1) (4k
2
– 5k + 7)
= (k – 1)[(2k -
4
5
)
2
+
16
87
]
Do đó x
1
3
+ x
2
3
> 0

(k – 1)[(2k -
4
5

phân biệt với mọi m
3. Tìm m để
21
xx  đạt giá trị nhỏ nhất (x
1
, x
2

là hao nghiệm của phương trình
(1) nói trong phần 2.)
Giải
1. Với m = - 5 phương trình (1) trở thành x
2
+ 8x – 9 = 0 và có 2 nghiệm là x
1
= 1 ,
x
2
= - 9
2. Có
/

= (m + 1)
2
– (m – 4) = m
2
+ 2m + 1 – m + 4 = m
2
+ m + 5
= m

1
x
2
= m – 4
Ta có (x
1
– x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
– 4x
1
x
2
= 4( m + 1)
2
– 4 (m – 4)
= 4m
2
+ 4m + 20 = 4(m
2
+ m + 5) = 4[(m +
2
1

xx  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = -
2
1Bài 8 : Cho phương trình (m + 2) x
2
+ (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)
1) Giải phương trình khi m = -
2
9

2) Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm với mọi m
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt
và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia.
Giải:
1) Thay m = -
2
9
vào phương trình đã cho và thu gọn ta được
5x
2
- 20 x + 15 = 0
phương trình có hai nghiệm x
1
= 1 , x
2
= 3
2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phương trình đã cho trở thành;
5x – 5 = 0

42



m
m
x
2
=
2
3
)2(2
)3(2
)2(2
512









m
m
m
m
m
m

2
3


m
m


m + 2 = 3m – 9

m =
2
11
(thoả mãn
điều kiện m

- 2)
Kiểm tra lại: Thay m =
2
11
vào phương trình đã cho ta được phương trình :
15x
2
– 20x + 5 = 0 phương trình này có hai nghiệm
x
1
= 1 , x
2

=

- 4m + 4 – m
2
+ 3m
= - m + 4
/

< 0

- m + 4 < 0

m > 4 : (1) vô nghiệm
/

= 0

- m + 4 = 0

m = 4 : (1) có nghiệm kép
x
1
= x
2
= -
2
1
2
242
/




0

m < 4 : phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x
1
=
m
mm 42 
; x
2
=
m
mm 42 

m = 0 : Phương trình (1) có nghiệm đơn x =
4
3

2. (1) có nghiệm trái dấu


a
c
< 0


m
m 3



















0
3
0
3
m
m
m
m

Trường hợp



0

m

4 (*) (ở câu a đã có)
- Thay x = 3 vào phương trình (1) ta có :
9m – 6(m – 2) + m -3 = 0

4m = -9

m = -
4
9

- Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -
4
9
thoả mãn
*) Cách 2: Không cần lập điều kiện
/



0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm được m = -
4
9
.Sau đó thay m = -
4
9
vào phương trình (1) :

2
1
x
x

Vậy với m = -
4
9
thì phương trình (1) có một nghiệm x= 3
*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm
Cách 1: Thay m = -
4
9
vào phương trình đã cho rồi giải phương trình để tìm được x
2

=
9
7
(Như phần trên đã làm)
Cách 2: Thay m = -
4
9
vào công thức tính tổng 2 nghiệm:
x
1
+ x
2
=
9


Cách 3: Thay m = -
4
9
vào công trức tính tích hai nghiệm
x
1
x
2
=
9
21
4
9
3
4
9
3





m
m
=> x
2
=
9
21


= 0

k
2
– (2 – 5k) = 0


k
2
+ 5k – 2 = 0 ( có

= 25 + 8 = 33 > 0 )
 k
1
=
2
335 
; k
2
=
2
335 

Vậy có 2 giá trị k
1
=
2
335 
hoặc k

2
– 2x
1
x
2

Theo bài ra ta có (x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
x
2
= 10
Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x
1
+ x
2
= - 
a
b
- 2k và x
1
x
2
= 2 – 5k
Vậy (-2k)

+ k
2
= -
2
7
=>
/

=
8
29
4
87049
2
2
35
4
49



 không thoả mãn
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

Cách 2 : Không cần lập điều kiện
/



0 .Cách giải là:

= -
2
7
(1) => x
2
- 7x +
2
39
= 0 (có

= 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phương trình vô
nghiệm
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm