Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3

Tuyển tập một số bài toán dãy số thi hsg
Bài1) Tính tổng:
2
1n2

2
5
2
3
2
1
S
n32



giải:
Đặt
n32
n
2
1n2

2
5
2
3
2
1

2
1
1.1
1
2
1n2
2
1

2
1
2
1
11S

















Mỗi số hạng của dãy là một phân thức, các mẫu thức lập thành CSC có u
1
= 3, d = 2 số hạng
tổng quát w
n
= 3 + (n 1).2 = 2n + 1, n = 1, 2, các tử thức lập thành CSC có u
1
= 7, d = 3
số hạng tổng quát v
n
= 7 + (n 1).3 = 3n + 4, n = 1, 2,
Vậy
1n2
4n3
w
v
u
n
n
n


, n = 1, 2,
2
3
1
n
2
4n3
limLimu

3
= b
1
+ b
2
+ b
3
. Tìm 2 cấp số đó.

Giải. gt a
1
= b
1
; a
2
= 2b
2
b
1
; a
3
= b
1
b
2
+ b
3
và a
1
+ a

3
= q
2
b
1
, thay vào (*)
b
1
(q
2
5q + 4) = 0 b
1
= 0 q = 1 q = 4. Từ đó tìm đợc các cấp số là:
CSC: b
1
, b
1
, ; CSN: b
1
, b
1
, Hoặc CSC: b
1
, 7b
1
, 13b
1
,; CSN: b
1
, 4b

n
2
1n1n
2
2
vu
n


, n 1.
Giải. gt u
n
> 0, v
n
> 0 n = 1, 2,
Ta có: u
n + 1
v
n + 1
= 0
)vu(2
)vu(
vu
vu2
)vu(
2
1
nn
2
nn

)vu(



, n = 2, 3,
u
n + 1
v
n + 1
< u
n
v
n
< < u
2
v
2
= 1
1996
1
)19971995(2
4
)vu(2
)vu(
11
2
11




Phơng trình đặc trng của dãy số là: x
2
= 6x + 2 có 2 nghiệm phân biệt :
113x,113x
21
. Ta chứng minh:
nn
n
)113()113(u , n = 0, 1, 2,
Thậy vậy: Với n = 0: 2)113()113(u
00
0
đúng
Với n = 1: 6)113()113(u
11
1
đúng.
n 1, ta có:
6u
n
+ 2u
n 1
=
1n1nnn
)113(2)113(2)113(6)113(6

=
= )11620()113()11620()113(
1n1n


u
2n1nn
)uu(
2
1
uu
2n1n1nn
(1).
Đặt v
n 1
= u
n
u
n 1
, n 2 v
1
= u
2
u
1
= b a.
Từ (1)
2n1n
v
2
1
v

(v
n

n
u
n 1
) + (u
n - 1
u
n 2
) + + (u
2
u
1
) + u
1
=
= v
n 1
+ v
n 2

+ + v
1
+ u
1
=
1n
1
1n
1
2
1





















.
Vì

3
ab2
0
2
1
lim
1n

1nn
n
ua aaa aau




căn dấu căn dấu
.
Mặt khác:
2
a411
u
n

(*) n = 1, 2, Thậy vậy:
2
a411
au
1

. Giả sử (*) đúng
đến n 1, ta có:
2
a411
2
a411
auau
1nn


, có tất cả các số hạng khác 0 và thỏa mãn:
k1k1k3221
uu
1k
uu
1

uu
1
uu
1



, k 3 (*).
Chứng minh dãy đã cho là cấp số cộng.
Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3
b) Cho dãy số thực (u
n
) đợc xác định u
1
= a, u
2
= b, )uu(
2
1
u
2n1nn
, n 3. Chứng minh tồn
tại lim u

uu
1



.
Hay:
313221
uu
2
uu
1
uu
1
(1) ;
414331
uu
3
uu
1
uu
2
(2) ; ;
n1n1n1n1
uu
1n
uu
1
uu
2n

= 2(u
1
+ 3d) u
4
= u
1
+ 3d. Suy ra u
1
, u
2
, u
3
, u
4
lập thành
CSC.
Giả sử đã chứng minh đợc: u
n-1
= u
1
+ (n 2)d (**).
Từ (n 2) (n 2)u
n
+ u
1
= (n 1)u
n 1
, kết hợp (**) (n 2)u
n
= (n 1)[u

3
.
2
1
2
.
1
1
S
Giải. a) Đặt
)1n(n
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
S
n


.
Ta dễ dảng tìm đợc
1
n
1
1S
n







1n
n
n
a
có giới hạn khi n và tìm giới hạn đó.
Giải
Ta có:



nnnn211n
aaaa aaa hay a
2
< a
3
< a
4
<
Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3

n1n1n211nnn
a)2n(aa)1n(aa aaaaa














. Vì 0
n
a
lim0
n
n
1
1
lim
1
n
n
2
n






a
n
a
0












.
0
n
a
0
n
2n
n
a
lim
1
n
11
1

u 0
u 5u 24u 1, n 1,2









Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.
Giải.
Từ giả thiết ta có:
2
n 1 n n
u 5u 24u 1


(1) và u
2
= 1.
2 2 2 2 2
n 1 n 2 n n 1 n n 1 n n 1 n
(1) u 25u 10u .u 24u 1 u u 10u .u 1 0 (2)


Trong (2) thay n bởi n -1 ta đợc:
2 2 2 2
n n n 1 n 1 n 1 n n 1 n

4
+ 8n
3
0,5n
2
+ 4n, với n N
*
. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số
đã cho.

Giải.
a) Xét hàm số f(x) = -x
4
+ 8x
3
0,5x
2
+ 4x, x 1.
Ta có: f(x) = -4x
3
+ 24x
2
x + 4.
Nếu x 6 thì f(x) = 4x
2
(6 x) + (4 x) < 0;
Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3
Nếu x 5 thì f(x) = 4x
2
(5 x) + 4x









1n,
u21
u2
u
2u
n
n
1n
1

Chứng minh {u
n
} không tuần hoàn.
Giải.
Đặt tg = 2, (0 ;
2

). Ta dễ dàng chứng minh đợc rằng u
n
= tgn, n 1.
Giả sử {u
n

k
(2s + 1), k, s nguyên 0. Vì u
T
= 0 nên sử dụng (*) k lần ta đi đến u
2s + 1
= 0, mà
s
s
1s2
u21
u2
u




nên từ u
2s + 1
= 0 u
2s
= -2. Sử dụng (*) suy ra:
01uu1
u1
u
s
2
s
2
s
s

x


.
Giải.
+


x

f(x)

f(x)

1

5

6

+

_

Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3
n N, ta có: 2yx)22(,2yx)22(
nn
với x, y Z (dễ dàng chứng minh
bằng qui nạp)
Suy ra:

Bi 15
Tớnh:
2 2 2 3 2 2
2 3
1 1 1 1

4 cos 4 cos 4 cos 4 cos
2 2 2 2
n
n
n
S
a a a a

Giải:
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 1 2 2
1
2
2
1 1 1
sin
4 cos 4sin
2 2
Cõu 16. Cho dóy s (U
n
) xỏc nh bi U
n
=


n
2 3
. Chng minh rng [U
n
] l mt s l vi mi n (ký
hiu [U
n
] l phn nguyờn ca U
n
).

Ta cú
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 sin cos 4 1 4 1
(1)
cos sin sin cos sin 2 cos sin 2 sin
x x
x x x x x x x x



n
k k n k
n
k 0
2 3 ( 1) C 2 ( 3)

   


      

n
n n
k
k k n k
n
k 0
2 3 2 3 (1 ( 1) )C 2 3n
k
k n k
n
k sè ch¨n, k=0
2C 2 3 2.m víi m N


  


 
 
n
0 1 2 3 1

Suy ra






 
       
 
 
n n n
2 3 2 3 2 3 1 2.m 1
là số lẻ

Bài 17:
Cho dãy số (a
n
) , a
1
= 1 và
n 1 n

       
  


n 1
2
n
2
j 1
j
1
a 2n 1 .
a


  

Vy a
n
>
2n 1 , n 2.
  


2
k
4 2 2
k
1 1 1 1 1 1 1
a 2k 1 k 2

 
    
 

 Vậy:
2
n
5(n 1)
a 2n 1 (n 2)
2

   
.
Gv: Ngun Nhn Trêng THPT Yªn Thµnh 3
 Suy ra:
n
n
5(n-1) 5(n-1)
a1
n 2; 2n-1<a < 2n-1+ 2- < 2n-1+
2 n 2
n
   .
 Do đó:
n
n
a
lim 2
n


2006
( ) 1
1
 

f x
x
liên tục và nghịch biến trên [0,+),
1 ( ) 2007
 
f x
Ta có
1
2006
1 ( ),
1

   

n n
n
x f x n
x

( )
n
x
bị chặn
1 3 1 3 2 4 2 4 3 5
( ) ( ) ( ) ( )

( ) lim lim ( ) ( )
 
    
n n n n
x f x x f x f
 

Từ
2 2 2 1 2 2 2 1
( ) lim lim ( ) ( )
   
    
n n n n
x f x x f x f
 

Giải hệ phương trình
2006
1
1
2007
2006
1
1

 



  