2.2 các tính ch t c a bi n i zấ ủ ế đổ
Khi phân tích h x lý s qua bi n i ệ ử ố ế đổ Z, v n d ng các tính ch t c a bi n i ậ ụ ấ ủ ế đổ Z s giúp cho vi c gi i quy tẽ ệ ả ế
b i toán c d d ng h n.à àđượ ễ ơ
2.2.1 Các tính chất của biến đổi Z hai phía
2.2.1a Tính chất tuyến tính : H m nhà ả Z c a t h p tuy n tính các dãy b ng t h p tuy n tính các h m nhàủ ổ ợ ế ằ ổ ợ ế ả
Z th nh ph n.à ầ
N u : ế
 znxZT
ii
X=
v i ớ
+−
<<
iii
RRXRC zz 
Thì :
 zAnxAnyZTz
i
i
i
i
ii
XY
∑∑
=







i
i
n i
n
ii
i
ii
XY
∑∑∑∑ ∑∑
===






=
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
Tính ch t tuy n tính c sấ ế đượ ử
d ng tìm bi n i ụ để ế đổ Z thu n ho c ng c c a h m l t ng các h m ã bi t c p bi n i à à àậ ặ ượ ủ ổ đ ế ặ ế đổ Z c a chúng.ủ
Ví dụ 2.4 : Hãy tìm bi n i ế đổ Z c a các dãy sau :ủ
a.


nnunx

==
Theo tính ch t tuy n tính c a ấ ế ủ bi n i ế đổ Z nh n c :ậ đượ
[ ] [ ]







nueZTnueZTnxZTz
njnj
X
ωω
−
+==
S d ng bi u th cử ụ ể ứ [2.1-18] v i ớ

ω
j
ea =
và

ω
j
ea
−
=
thì :
[ ]

v i ớ
 >zRC
Do ó :đ








ωω
jj
ez
z
ez
z
z
X
−
−
+
−
=
v i ớ
 >zRC





ezez
ezezz
zX
V y :ậ








+−
−
=
ω
ω
ω
zz
zz
nnuZT
v i ớ
 >zRC
[2.2-2]
b. Theo công th c ứ Euler có :






z
j
ez
z
j
zX
−
−
−
−
=
v i ớ
 >zRC












++−
−
=
−−
+−−

ω
ω
zz
z
nnuZT
v i ớ
 >zRC
[2.2-3]
Trong m t s tr ng h p, t h p tuy n tính c a các ộ ố ườ ợ ổ ợ ế ủ X
i
(z) t o cho ạ Y(z) các không i m trùng v i c c i m c ađ ể ớ ự đ ể ủ
X
i
(z), l m cho các c c i m ó b lo i tr , khi ó mi n h i t c a à ự đ ể đ ị ạ ừ đ ề ộ ụ ủ Y(z) s c m r ng.ẽ đượ ở ộ
Ví dụ 2.5 : Có :
az
z
nuaZTz
n
X
−
== 

v i ớ


 azzXRC >
v : à



−
=−=






−
+=
+
=
−
−
= za
z
az
azz
az
zY
v i ớ
  >zzYRC
T h p tuy n tính c a ổ ợ ế ủ X
1
(z) v à X
2
(z) ã t o cho đ ạ Y(z) không i m đ ể z
0
= a lo i tr c c i m để ạ ừ ự đ ể z
p


zzzknxzzknxz XY
k
n
knk
n
n −
∞
−∞=
−−−
∞
−∞=
−
=−=−=
∑∑
Tính ch t tr th ng c s d ng tìm bi n i ấ ễ ườ đượ ử ụ để ế đổ Z c a các dãy tr .ủ ễ
Ví dụ 2.6 : Tìm :
 nrectZTz
N
X =

Gi i :ả
 Nnununrect
N
−−=
Theo [2.1-7] có :


−
=

−
=
−
zz
z
nrectZT
N
N
N
v i ớ
 >zRC
[2.2-5]
2.2.1c Tính chất tỷ lệ : Khi nhân dãy x(n) v i th a s ớ ừ ố a
n
thì h m nh à ả Z c a nó b thay i t l (b nén n uủ ị đổ ỷ ệ ị ế a
> 0, dãn n uế a < 0).
N u :ế
 znxZT X=
v i ớ
+−
<<
xx
RRXRC zz 
Thì :


 zanxanyZTz
XY
n
−

RRYRC zaz 


+−
<<
xx
RRYRC azaz 
T ng quát ổ a l s ph c : à ố ứ


ω
j
eaa =
, khi ó véc t đ ơ X(z) trên m t ph ng ph c b thay i t l v b quay m tàặ ẳ ứ ị đổ ỷ ệ ị ộ
góc
ω
0
. N u ế a n m trên vòng tròn n v thì |ằ đơ ị a| = 1 , nên h m à X(z) không b thay i t l nh ng véc t ị đổ ỷ ệ ư ơ X(z) trên m tặ
ph ng ph c b quay m t góc ẳ ứ ị ộ
ω
0
.
Ví dụ 2.7 : Hãy tìm bi n i ế đổ Z c a các dãy sau :ủ
a.


nnuanx
n
ω
=

 azRC >
Hay :








 azaz
azz
nnuaZT
n
+−
−
=
ω
ω
ω
[2.2-7]
v i ớ
 azRC >
b. S d ng tính ch t t l i v i bi u th c ử ụ ấ ỷ ệ đố ớ ể ứ [2.2-3] nh n c :ậ đượ







=
ω
ω
ω
[2.2-8]
76
v i ớ
 azRC >
2.2.1d Tính chất biến đảo : H m nh à ả Z c a dãy bi n o ủ ế đả x(-n) có bi n làế z
-1

N u : ế
 znxZT
X
=
v i ớ
+−
<<
xx
RRXRC zz 
Thì :
[ ]


−
=−==
znxnyZTz
XY
[2.2-9]
v i ớ

−
∞
−∞=
−−
−∞
∞=
====
∑∑
zzmxzmxmxZTz
XY
m
m
m
m
v i ớ
⇒<<
+− xx
RRYRC
z
z





−+
<<
xx
RR
YRC zz

z
nuaZT
n
−
=
−
=−
−
−
−
v i ớ



a
z
RC
<
[2.2-10]
2.2.1e Tính chất đạo hàm
N u : ế
 znxZT
X
=
v i ớ
+−
<<
xx
RRXRC zz 
Thì :


 zzznyzznxnzznnx
dz
zd
Y
X
n
n
n
n
n
n
−
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
−−
−=−=−=−=
∑∑∑
Nhân c hai v v i ả ế ớ -z :
[ ]
dz
zd
znxnnyZTz
X





−
−=
z
z
z
z
dz
d
znunZT
v i ớ
 >zRC
[2.2-12]
b. S d ng tính ch t o h m i v i bi u th càử ụ ấ đạ đố ớ ể ứ [2.1-18] , nh n c :ậ đượ





az
za
az
z
dz
d
znuanZT
n


 RRXRC zz
Thì :
[ ]


zznxnxnyZTz
XXY
===
[2.2-14]
v i ớ

+−
<<
ii
RRYRC zz
77
Mi n h i t c a h m àề ộ ụ ủ Y(z) l giao các mi n h i t c a các h m à àề ộ ụ ủ X
i
(z).
Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :
[ ] [ ]
∑
∞
−∞=
−
===
n
n
znxnxnxnxnyZTzY 





zzzknxzkxz XXY
k n
knk
=−=
∑ ∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−−−
Tính ch tấ tích ch p c s d ng tìm ph n ng ậ đượ ử ụ để ả ứ y(n) c a h x lý s b ng cách tính tích ch p qua bi nủ ệ ử ố ằ ậ ế
i đổ Z .
Ví dụ 2.10 : Tìm ph n ng ả ứ y(n) c a h x lý s ủ ệ ử ố TTBBNQ có c tính xung đặ



−=
nrectnh
n
v i tác ng làớ độ
 nunx
=
.
Gi i :ả Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :
[ ]
∑∑

nuZTzX
Do ó : đ







−−
+
−
== zz
z
z
zzz XXY







−
+
−
=
−−
z
z



znxZT X=
v i ớ
+−
<<

 RRXRC zz
v : à


znxZT X=
v i ớ
+−
<<

 RRXRC zz
Thì :
[ ]
∫
−






===
C
d

[ ] [ ]
∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
===
n
n
n
n
znxnxznyznyZT
Y


Thay x
2
(n) b ng bi u th c bi n i ằ ể ứ ế đổ Z ng c c a nó : ượ ủ

∫
−
=
C
n
d
j
nx
X

=





υυυυ
π
78
Hay :
∫
∑
−
∞
−∞=
−















j
z
XXY
υυυ
υπ





2.2.1h Định lý giá trị đầu của dãy nhân quả : N u ế x(n) l dãy nhân qu v à àả
 nxZTz
X
=
thì :


xz
X
Z
=
∞→
.
Ch ng minh :ứ Vì x(n) là dãy nhân qu nên ả x(n) = 0 v i m i ớ ọ n < 0 , do óđ :







=
v i ớ
+−
<<
xx
RRXRC zz 
Thì :


 znxZT
X
=
v i ớ
+−
<<
xx
RRYRC zz 
[2.2-16]
Ch ng minh :ứ Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
znxnxZT 

v à
∑

(m)
N u : ế
 znxZT
X
=
v à
 znyZT Y=
Thì :


−
==
zzmrZTz
YXR
xyxy
[2.2-17]
Ch ng minh :ứ Hàm t ng quan ươ
mr
xy
c xác nh theo đượ đị [1.8-1] ch ng m t :ở ươ ộ
∑
∞
−∞=
−=
n
xy
mnynxmr 

Theo bi u th c bi n i ể ứ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] có :
∑ ∑

xyxy
zlynxmrZTzR


Hay :


−
∞
−∞=
∞
−∞=
−−−
===
∑ ∑
zzzlyznxmrZTz
YXR
n l
ln
xyxy
S d ng tính ch t trên tìm h m t ng quan àử ụ ấ để ươ
mr
xy
qua bi n i ế đổ Z s n gi n v d d ng h n tính tr cà àẽ đơ ả ễ ơ ự
ti p.ế
Ví dụ 2.11 : Cho các tín hi u s ệ ố


nunx
n




+=
−
=
+−
=
muIZTz
z
z
zzz
m
xy
YXR
L y bi n i ấ ế đổ Z ng c , tìm c : ượ đượ



+=
+
mumr
m
xy
2.2.1m Biến đổi Z của hàm tự tương quan r
x
(m)
N u : ế
 znxZT
X