Chương 3
Các phép biến đổi hình học 2 chiều
Một trong những ưu điểm quan trọng của đồ họa là cho phép dễ dàng thao tác lên các đối tượng đã
được tạo ra. Một nhà quản lí có nhu cầu thu nhỏ các biểu đồ trong một báo cáo, một kiến trúc sư
muốn nhìn tòa nhà ở những góc nhìn khác nhau, một nhà thiết kế muốn quan sát và chỉnh sửa các
mẫu đối tượng trong quá trình thiết kế, … Tất cả các thao tác này có thể được hỗ trợ một cách dễ
dàng nhờ vào các phép biến đổi hình học. Các phép biến đổi hình học sẽ làm thay đổi mô tả về tọa
độ của các đối tượng, từ đó làm cho đối tượng bị thay đổi về hướng, kích thước và hình dạng. Các
phép biến đổi hình học cơ sở bao gồm : tịnh tiến (translation), quay (rotation) và biến đổi tỉ lệ
(scaling). Ngoài ra một số phép biến đổi khác cũng thường được áp dụng đó là phép đối xứng
(reflection) và biến dạng (shearing).
Có hai quan điểm về phép biến đổi hình học đó là : biến đổi đối tượng (object transformation) và
biến đổi hệ tọa độ (coordinate transformation). Biến đổi đối tượng là thay đổi tọa độ của các điểm
mô tả nó theo một quy tắc nào đó, còn biến đổi hệ tọa độ là tạo ra một hệ tọa độ mới và tất cả các
điểm mô tả đối tượng sẽ được chuyển về hệ tọa độ mới. Hai cách này có những mối liên hệ chặt
chẽ với nhau và mỗi cách đều có những lợi thế riêng. Chúng ta sẽ bàn về phép biến đổi đối tượng
trước.
3.1. Các phép biến đổi cơ sở.
Một phép biến đổi hai chiều sẽ biến đổi điểm P trong mặt phẳng thành điểm có tọa độ mới Q theo
một quy luật nào đó. Về mặt bản chất, một phép biến đổi điểm là một ánh xạ T được định nghĩa :
Nói cách khác, T là hàm số theo hai biến :
Phép biến đổi affine là phép biến đổi với và là các hàm tuyến tính. Phép biến đổi này
có dạng :
.
Ta chỉ khảo sát các phép biến đổi affine nên từ nay về sau ta dùng cụm từ "phép biến đổi" thay cho
"phép biến đổi affine".
1.1. Phép tịnh tiến
Để tịnh tiến một điểm từ vị trí này sang vị trí khác trong mặt phẳng, ta cộng thêm các giá trị
mô tả độ dời vào các tọa độ của P. Nếu gọi và lần lượt là độ dời theo trục hoành và trục tung
thì tọa độ của điểm mới sẽ là :
,

không được ưng ý, người dùng muốn trở lại hiện trạng trước khi biến đổi (undo), … Do đó cần
phải có một cách nào đó để có thể xử lí dãy các phép biến đổi trên được nhanh chóng và hiệu quả.
Nếu ta biểu diễn tọa độ của điểm và dưới dạng các vector dòng lần lượt là và
thì các phép biến đổi tịnh tiến, tỉ lệ, quay có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau :
Phép tịnh tiến
hay với
Phép biến đổi tỉ lệ
hay với
Phép quay quanh gốc tọa độ
hay với
Với cách biểu diễn này, chúng ta sẽ gặp khó khăn khi muốn kết hợp các phép biến đổi lại với nhau
vì biểu diễn của phép tịnh tiến khác với dạng của các phép biến đổi tỉ lệ và quay. Chính vì vậy mà
cần phải có một cách nào đó để biểu diễn ba phép biến đổi này về một dạng duy nhất để có thể dễ
dàng xử lí sau này.
1.4.1. Hệ tọa độ thuần nhất (hormogeneous coordinates)
Tọa độ thuần nhất của một điểm trên mặt phẳng được biểu diễn bằng bộ ba số tỉ lệ không
đồng thời bằng 0 và liên hệ với các tọa độ của điểm đó bởi công thức :
Nếu một điểm có tọa độ thuần nhất là thì nó cũng có tọa độ thuần nhất là trong
đó h là số thực khác 0 bất kì. Tọa độ thuần nhất của một điểm trong không gian ba chiều hay có số
chiều lớn hơn cũng được xác định một cách tương tự.
Về mặt toán học, việc đưa tọa độ thuần nhất vào là do sự cần thiết phải bổ sung cho mặt phẳng
Euclid các điểm xa vô tận (điểm phi chính) có tọa độ thứ ba bằng 0, điều này dẫn đến khái
niệm mặt phẳng xạ ảnh trong hình học xạ ảnh. Trong hệ tọa độ thuần nhất, các điểm xa vô tận
không đóng một vai trò gì đặc biệt so với các điểm khác của mặt phẳng. Với các phép biến đổi
hình học đang khảo sát, nếu một điểm được biểu diễn dưới dạng tọa độ thuần nhất, cả ba phép biến
đổi trên đều được biểu diễn dưới dạng tích các ma trận. Điều này giúp cho việc khảo sát các tính
chất và sự kết hợp của các phép biến đổi này được thuận tiện do mỗi phép biến đổi được đại diện
bởi một ma trận duy nhất.
Bộ ba các tọa độ thường biểu diễn các điểm trong không gian ba chiều, nhưng ở đây ta sử dụng
chúng để biểu diễn các điểm trong không gian hai chiều. Mối liên hệ ở đây là : nếu chúng ta xét tất

Tương tự, ta có tọa độ điểm là điểm phát sinh sau khi kết hợp hai phép quay quanh gốc tọa
độ và là :
Ta có :
hay :