Các phép biến đổi hình học 2 chiều
Một trong những ưu điểm quan trọng của đồ họa là cho phép dễ dàng thao tác lên các đối
tượng đã được tạo ra. Một nhà quản lí có nhu cầu thu nhỏ các biểu đồ trong một báo cáo, một
kiến trúc sư muốn nhìn tòa nhà ở những góc nhìn khác nhau, một nhà thiết kế muốn quan sát
và chỉnh sửa các mẫu đối tượng trong quá trình thiết kế, … Tất cả các thao tác này có thể được
hỗ trợ một cách dễ dàng nhờ vào các phép biến đổi hình học. Các phép biến đổi hình học sẽ
làm thay đổi mô tả về tọa độ của các đối tượng, từ đó làm cho đối tượng bị thay đổi về hướng,
kích thước và hình dạng. Các phép biến đổi hình học cơ sở bao gồm : tịnh tiến (translation),
quay (rotation) và biến đổi tỉ lệ (scaling). Ngoài ra một số phép biến đổi khác cũng thường
được áp dụng đó là phép đối xứng (reflection) và biến dạng (shearing).
Có hai quan điểm về phép biến đổi hình học đó là : biến đổi đối tượng (object transformation)
và biến đổi hệ tọa độ (coordinate transformation). Biến đổi đối tượng là thay đổi tọa độ của các
điểm mô tả nó theo một quy tắc nào đó, còn biến đổi hệ tọa độ là tạo ra một hệ tọa độ mới và
tất cả các điểm mô tả đối tượng sẽ được chuyển về hệ tọa độ mới. Hai cách này có những mối
liên hệ chặt chẽ với nhau và mỗi cách đều có những lợi thế riêng. Chúng ta sẽ bàn về phép biến
đổi đối tượng trước.
3.1. Các phép biến đổi cơ sở.
Một phép biến đổi hai chiều sẽ biến đổi điểm P trong mặt phẳng thành điểm có tọa độ mới Q
theo một quy luật nào đó. Về mặt bản chất, một phép biến đổi điểm là một ánh xạ T được định
nghĩa :
Nói cách khác, T là hàm số theo hai biến :
Phép biến đổi affine là phép biến đổi với và là các hàm tuyến tính. Phép biến đổi
này có dạng :
.
Ta chỉ khảo sát các phép biến đổi affine nên từ nay về sau ta dùng cụm từ "phép biến đổi" thay
cho "phép biến đổi affine".
1.1. Phép tịnh tiến
Để tịnh tiến một điểm từ vị trí này sang vị trí khác trong mặt phẳng, ta cộng thêm các
giá trị mô tả độ dời vào các tọa độ của P. Nếu gọi và lần lượt là độ dời theo trục hoành
và trục tung thì tọa độ của điểm mới sẽ là :
,

các ứng dụng thiết kế, chúng ta cần phải thực hiện nhiều phép tịnh tiến, quay, tỉ lệ để có thể
khớp từng phần của đối tượng vào đúng vị trí của chúng, hay sau khi thực hiện các phép biến
đổi nhưng không được ưng ý, người dùng muốn trở lại hiện trạng trước khi biến đổi (undo), …
Do đó cần phải có một cách nào đó để có thể xử lí dãy các phép biến đổi trên được nhanh
chóng và hiệu quả.
Nếu ta biểu diễn tọa độ của điểm và dưới dạng các vector dòng lần lượt là
và thì các phép biến đổi tịnh tiến, tỉ lệ, quay có thể được biểu diễn dưới dạng ma
trận như sau :
Phép tịnh tiến
hay với
Phép biến đổi tỉ lệ
hay với
Phép quay quanh gốc tọa độ
hay với
Với cách biểu diễn này, chúng ta sẽ gặp khó khăn khi muốn kết hợp các phép biến đổi lại với
nhau vì biểu diễn của phép tịnh tiến khác với dạng của các phép biến đổi tỉ lệ và quay. Chính vì
vậy mà cần phải có một cách nào đó để biểu diễn ba phép biến đổi này về một dạng duy nhất
để có thể dễ dàng xử lí sau này.
1.4.1. Hệ tọa độ thuần nhất (hormogeneous coordinates)
Tọa độ thuần nhất của một điểm trên mặt phẳng được biểu diễn bằng bộ ba số tỉ lệ
không đồng thời bằng 0 và liên hệ với các tọa độ của điểm đó bởi công thức :
Nếu một điểm có tọa độ thuần nhất là thì nó cũng có tọa độ thuần nhất là
trong đó h là số thực khác 0 bất kì. Tọa độ thuần nhất của một điểm trong không gian ba chiều
hay có số chiều lớn hơn cũng được xác định một cách tương tự.
Về mặt toán học, việc đưa tọa độ thuần nhất vào là do sự cần thiết phải bổ sung cho mặt phẳng
Euclid các điểm xa vô tận (điểm phi chính) có tọa độ thứ ba bằng 0, điều này dẫn đến
khái niệm mặt phẳng xạ ảnh trong hình học xạ ảnh. Trong hệ tọa độ thuần nhất, các điểm xa vô
tận không đóng một vai trò gì đặc biệt so với các điểm khác của mặt phẳng. Với các phép biến
đổi hình học đang khảo sát, nếu một điểm được biểu diễn dưới dạng tọa độ thuần nhất, cả ba
phép biến đổi trên đều được biểu diễn dưới dạng tích các ma trận. Điều này giúp cho việc khảo