1

ĐỀ ÔN TẬP THI CUỐI KỲ MÔN : ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH – HỌC KỲ HÈ 2010

Câu 1: Trong không gian R
3
với tích vô hướng
1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 2 2 3 3
( , ) 2 2 2 2 4
x y x y x y x y x y x y x y x y
= - - + + + +

cho không gian con
{
}
1 2 3 3 1 2 3
( , , ) : 2 2 0
U x x x R x x x= Î - + =

Tìm 1 cơ sở trực giao của U

Câu 2 : Trong không gian R
3
với tích vô hướng
1 1 1 3 3 1 2 3 3 2 2 2 3 3
( , ) 2 2 4 3
x y x y x y x y x y x y x y x y
= - - + + + +

cho không gian con
{

U V m n
= - - =

a. Tìm m, n để
U V
^

b. Cho vecto x = (-3,11,-3,13). Tìm
( )
V
pr xCâu 5 : Trong không gian R
3
cho vecto x = (1,2,3). Bổ sung để được 1 cơ sở trực giao của
R
3Câu 6 : Trong không gian R
3
với tích vô hướng
1 1 1 3 3 1 2 3 3 2 2 2 3 3
( , ) 2 2 4 3
x y x y x y x y x y x y x y x y
= - - + + + +
.
Tìm m, n để hệ sau là hệ trực giao
2 2

a. Tìm m để dim Kerf = 1
b. Tìm Imf với m ở trên

Câu 9 : Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
sao cho
1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3
( , , ) ( , , )
f x x x x x x x x x x mx
= - + + + +
.
a. Tìm m để
dim 0
Kerf
¹

b. Với m ở trên, tìm Imf và Kerf

Câu 10 : Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
sao cho
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
2

b. Tìm Imf và Kerf

Câu 14
: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
sao cho
1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) ( 2 4 , 2 ,2 3 3 )
f x x x x x x x x x x x
= - + + - + -

Tìm ma trận của f trong cơ sở
{
}
(1,3,1),(2,1,1),(2,0,1)
E =Câu 15
: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
có ma trận trong cơ sở
{
}
Câu 16 : Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
sao cho
1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) ( 2 4 , 2 ,2 3 3 )
f x x x x x x x x x x x
= - + + - + -

Tìm ma trận của f trong cơ sở
{
}
(1,3,1),(2,1,1),(2,0,1)
E =Câu 17 : Cho ánh xạ tuyến tính
2 2
:
f R R
®
biết ma trận của f trong 2 cơ sở
{
}
{
}

®
sao cho
1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) ( 2 , 2 )
f x x x x x x x x x
= + - + -

Tìm ma trận của f trong 2 cơ sở
{
}
(1,3,1),(2,1,1),(2,0,1)
E =
và
{
}
(2, 1),(3,2)
F = -Câu 19
: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
sao cho
f(1,1,1) = (1,2,0), f(1,2,1) = (2,-3,2), f(2,2,0) = (1,-2,4)
Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc của không gian R
3


= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
-
è ø
. Tìm ma trận của f trong cơ sở
{
}
1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3
2 3 , 3 4 , 2 2
E e e e e e e e e e e e e
¢ ¢ ¢
¢
= = + + = + + = + +Câu 21 : Trong không gian vecto V cho 1 cho 2 cơ sở
{ }
{
}
1 2 1 1 2 2 1 2
, à E = , 2 3
E e e v e e e e e e
¢ ¢

ç
÷
ç
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
. Tìm Kerf

Câu 23
: Chéo hóa các ma trận sau
3 1 1
2 4 2
1 1 3
A
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷

ç
÷
÷
ç
-
è ø

3 1 1
1 1 1
1 1 1
C
æ ö
-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø

3 3
:
f R R
®
sao cho
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) ( , , )
f x x x x x x x x x x x x
= + + + + + +

Tìm 1 cơ sở của R
3
sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo

Câu 26 : Cho 2 ma trận
3 2
2
2 2
à B=A 5 7 3
2 5
A v A A I
æ ö
-
÷
ç
= - - +
÷
ç
÷
ç

÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
. Tìm 1 cơ sở của R
3
sao cho ma trận
của f trong cơ sở đó là ma trận chéo

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
4

Câu 28 : Tìm m để ma trận
1 2 3
2 5 1
3 1
A
m
æ ö
-
÷
ç
÷
ç
÷

÷
ç
÷
÷
ç
è ø
. Tìm tất cả m để
1
1
X
m
æ ö
-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø

6 6 4
A
æ ö
-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
-
è ø
. Tìm m để vecto x = (3,m,4) là 1 vecto
riêng của f

Câu 32: Tìm phép biến đổi trực giao đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 3 2 3
( , , ) 5 6 4
f x x x x x x x x x x