Chơng 1. Số Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 15
hiệu là
t
lim f(t) = l nếu


> 0,



> 0 :

t

I, 0 <
|
t -


|
<




|
f(t) - L
|
<


> M
Các trờng hợp khác định nghĩa tơng tự.

Định lý
Cho hàm f : I



, t

f(t) = u(t) + iv(t),




I
và L = l + ik




t
lim f(t) = L


t
lim u(t) = l và
t
lim v(t) = k (1.6.2)
Chứng minh

lim g(t),
t
lim [f(t) / g(t)] =
t
lim f(t) /
t
lim g(t)
3. Các tính chất khác tơng tự giới hạn hàm trị thực

Từ các kết quả trên thấy rằng, các tính chất của hàm trị thực đợc mở rộng tự nhiên
thông qua phần thực, phần ảo cho hàm trị phức.
Hàm f(t) = u(t) + iv(t) gọi là khả tích (liên tục, có đạo hàm, thuộc lớp C
k
, ) nếu các
hàm u(t) và v(t) là khả tích (liên tục, có đạo hàm, thuộc lớp C
k
, ) và ta có


I
dt)t(f =

I
dt)t(u + i

I
dt)t(v
f
(k)
(t) = u

0
tdtsin = 1 + i

ánh xạ
: [, ] , t (t) (1.6.4)
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o

r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 1. Số Phức
Trang 16 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
gọi là một tham số cung. Tập điểm = ([, ]) gọi là quĩ đạo của tham số cung hay
còn gọi là một đờng cong phẳng. Phơng trình
(t) = x(t) + iy(t), t [, ]
gọi là phơng trình tham số của đờng cong phẳng .
Tham số cung gọi là kín nếu điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Tức là () = ()
Tham số cung gọi là đơn nếu ánh xạ : (, ) là một đơn ánh.
Tham số cung gọi là liên tục (trơn từng khúc, thuộc lớp C
k

1
gọi là cùng hớng, trái lại gọi là ngợc hớng.
Có thể thấy rằng qua hệ cùng hớng là một quan hệ tơng đơng theo nghĩa tổng quát.
Nó phân chia tập các tham số cung có cùng quĩ đạo thành hai lớp tơng đơng. Một
lớp cùng hớng với còn lớp kia ngợc hớng với . Đờng cong phẳng = ([, ])
cùng với lớp các tham số cung cùng hớng gọi là một đờng cong định hớng. Cũng cần
lu ý rằng cùng một tập điểm có thể là quĩ đạo của nhiều đờng cong định hớng khác
nhau. Sau này khi nói đến đờng cong chúng ta hiểu đó là đờng cong định hớng.

Ví dụ Tham số cung x(t) = Rcost, y(t) = Rsint, t [0, 2] là đơn, trơn, kín và có quĩ đạo
là đờng tròn tâm tại gốc toạ độ, bán kính R và định hớng ngợc chiều kim đồng hồ.

Đờng cong gọi là đơn (kín, liên tục, trơn từng khúc, lớp C
k
, ) nếu tham số cung
là đơn (kín, liên tục, trơn từng khúc, lớp C
k
, ). Đờng cong gọi là đo đợc nếu tham
số cung có đạo hàm khả tích tuyệt đối trên [, ]. Khi đó kí hiệu
s() =




+

dt)t(y)t(x
22
(1.6.6)
và gọi là độ dài của đờng cong . Có thể chứng minh rằng đờng cong đơn, trơn từng

u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r

= D D là bao đóng của tập D. Rõ ràng ta có
D
0
D
D
(1.7.1)
Tập D gọi là tập mở nếu D = D
0
, tập D gọi là tập đóng nếu D =
D
. Tập A D gọi là mở
(đóng) trong tập D nếu tập A D là tập mở (đóng).

Ví dụ Hình tròn mở B(a, ) = { z : | z - a | < } là tập mở.
Hình tròn đóng
B
(a, ) = { z : | z - a | } là tập đóng
Tập D = { z = x + iy : x > 0, y 0 } là tập không đóng và cũng không mở.

Định lý Tập mở, tập đóng có các tính chất sau đây.
1. Tập và là tập mở
2. Tập D là tập mở khi và chỉ khi a D, B(a, ) D
3. Nếu các tập D và E là tập mở thì các tập D E và D E cũng là tập mở
4. Tập D là tập mở khi và chỉ khi tập - D là tập đóng
5. Tập D là tập đóng khi và chỉ khi (z
n
)
n

D và

- D

tập

- D đóng
5. Giả sử tập D là tập đóng và dy số phức z
n
hội tụ trong D đến điểm a. Khi đó



> 0,

z
n


B(a,

)

B(a,

)

D







a
Theo giả thiết a

D suy ra

D

D.

Tập D gọi là
giới nội
nếu

R > 0 sao cho D

B(O, R). Tập đóng và giới nội gọi là tập
compact
. Cho các tập D, E



, kí hiệu
d(D, E) = Inf{
|
a - b


a

D
a

b

D
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w

i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 1. Số Phức
Trang 18 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
2. Nếu tập D là tập compact và tập E D là đóng trong D thì tập E là tập compact
3. Nếu các tập D, E là tập compact và D E = thì d(D, E) > 0
4. Nếu tập D là tập compact và n , D
n


(n)
và y

(n)
suy ra z

(n)
a = + i. Do tập D là tập đóng nên a D.
Ngợc lại, do mọi dy z
n
a D nên tập D là tập đóng. Nếu D không bị chặn thì có
dy z
n
không có dy con hội tụ. Vì vậy tập D là tập đóng và bị chặn.
2. - 4. Bạn đọc tự chứng minh

Cho a, b , tập [a, b] = {(1 - t)a + tb : t [0, 1]} là đoạn thẳng nối hai điểm a và b.
Hợp của các đoạn thẳng [a
0
, a
1
], [a
1
, a
2
], , [a
n-1
, a
n

3. Tập D là liên thông đờng
Chứng minh
1. 2. a D, đặt A = {z D : đờng gấp khúc <a, , z > D}. Tập A vừa là tập
mở vừa là tập đóng trong tập D và A nên A = D
2. 3. Theo định nghĩa liên thông đờng
3. 1. Giả sử ngợc lại tập D không liên thông. Khi đó D = A B với A B = và
các tập A, B vừa mở vừa đóng trong D. Chọn (a, b) A ì B, theo giả thiết có đờng
cong (a, b) nằm gọn trong D.
Chia đôi đờng cong (a, b) bằng điểm c. Nếu c A xét đờng cong (a
1
= c, b
1
= b), còn
nếu c B xét đờng cong (a
1
= a, b
1
= c). Tiếp tục chia đôi đờng cong chúng ta nhận
đợc dy thắt lại a
n
, b
n
c A B. Trái với giả thiết A B = .

Cho tập D bất kì. Hai điểm a, b D gọi là liên thông, kí hiệu là a ~ b nếu có
đờng cong nối a với b và nằm gọn trong D. Có thể chứng minh rằng quan hệ liên thông
Click to buy NOW!
P
D
F

c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u

hớng dơng nh sau. Bài tập chơng 1

|
z
|
< R


Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t

.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 1. Số Phức
Trang 20 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
1. Viết dạng đại số của các số phức
a. (2 - i)(1 + 2i) b.
i34
2

c.
i
4
3
i54

+

+

+


i
3

b.
|
a
|
=
|
b
|
= 1 và 1 + ab

0


ab
1
ba
+
+



3

2
+ 2z + 2)
2
= 0 d. z +
z
+ j(z + 1) + 2 = 0
e.
3
iz
iz







+
+
2
iz
iz







+

C +
3
n
C +
6
n
C + , B =
1
n
C +
4
n
C +
7
n
C + , C =
2
n
C +
5
n
C +
8
n
C +
b. C =

=
+
n

=

1n
0k
kk
n
C

b. Chứng minh rằng z ,


=

1n
1k
k
)z(
=


=
1n
0l
l
z
Suy ra


=


0
, n , u
n+1
=
n
n
u1
u1

+

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r


V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 1. Số Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 21

9. (n , z


là dy hội tụ và tìm giới
hạn của nó?

11. Cho hàm f : I sao cho f(t) 0. Chứng minh rằng hàm | f | là đơn điệu tăng khi
và chỉ khi Re(f/ f) 0.

12. Cho f : 3
+
liên tục và bị chặn. Tính giới hạn
a.
0x
lim
+



1
x
1
dt
t
)t(f
x ( 1) b.
+x
lim

+
+
0

d. -
3

< argz <
4

và | z | > 2
e. 0 < Imz < 1 và | z | < 2 f. | z - 1 | + | z + 1 | > 3
g. | z | < 2 và Rez > -1 h. | z - i | > 1 và | z | < 2 Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r


V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.

Trang 22 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Chơng 2
Hàm biến phức

) với z,
z
D (2.1.2)
Nh vậy hàm phức một mặt xem nh là hàm một biến phức, mặt khác đợc xem nh
hàm hai biến thực. Điều này làm cho hàm phức vừa có các tính chất giống và vừa có các
tính chất khác với hàm hai biến thực. Sau này tuỳ theo từng trờng hợp cụ thể, chúng ta
có thể cho hàm phức ở dạng (2.1.1) hoặc dạng (2.1.2)

Ví dụ Xét w = z
2
. Thay z = x + iy suy ra w = (x + iy)
2
= (x
2
- y
2
) + i(2xy) = u + iv

Để biểu diễn hình học hàm phức, ta dùng cặp mặt phẳng (z) = (Oxy) và (w) = (Ouv).
Qua ánh xạ f
Điểm z
0
= x
0
+ iy
0
biến thành điểm w
0
= u
0

X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c

t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 2. Hàm BiếnPhức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 23
trị biến một mặt phẳng (z) thành nhiều tập con rời nhau của mặt phẳng (w). Trong giáo
trình này chúng ta chỉ xét các hàm phức đơn trị xác định trên miền đơn diệp của nó.

Trên tập F(D, ) các hàm phức xác định trên miền D, định nghĩa các phép toán đại số
tơng tự nh trên tập F(I, ) các hàm trị phức xác định trên khoảng I.
Cho các hàm f : D , z = f(z) và g : G , w = g() sao cho f(D) G.
Hàm
h : D , z w = g[f(z)] (2.1.3)
gọi là hàm hợp của hàm f và hàm g, kí hiệu là h = gof.
Cho hàm f : D , z w = f(z) và G = f(D).
Hàm
g : G , w z = g(w) sao cho f(z) = w (2.1.4)
gọi là hàm ngợc của hàm f, kí hiệu là g = f
-1
.
Hàm ngợc của hàm biến phức có thể là hàm đa trị. Các tính chất phép toán của hàm
phức tơng tự nh các tính chất của hàm thực.




> 0 :

z

D,
|
z - a
|
<




|
f(z) - L
|
<


Hàm f gọi là dần đến giới hạn L khi z
dần ra vô hạn
và kí hiệu là
z
lim f(z) = L nếu



> 0,



> 0 :

z

D,
|
z - a
|
<




|
f(z)
|
> M

Định lý
Cho f(z) = u(x, y) + iv(x, y), a =

+ i

và L = l + ik






z

D,
|
z - a
|
<




|
f(z) - L
|
<





(x, y)

D,
|
x -


|
<

w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e


lim

u(x, y) = l và
),()y,x(
lim

v(x, y) = k
Ngợc lại

),()y,x(
lim

u(x, y) = l và
),()y,x(
lim

v(x, y) = k
> 0, > 0 : (x, y) D, | x - | < và | y - | <
| u(x, y) - l | < /2 và | v(x, y) - k | < /2
z D, | z - a | < | f(z) - L | <
Suy ra
az
lim

f(z) = L
Hệ quả
1.


az
lim

f(z) +
az
lim

g(z)
az
lim

[f(z)g(z)] =
az
lim

f(z)
az
lim

g(z),
az
lim

[f(z)/ g(z)] =
az
lim

f(z)/
az

> 0 :

z, z

D,
|
z - z
|
<




|
f(z) - f(z)
|
<


Rõ ràng hàm f liên tục đều trên miền D thì nó liên tục trên miền D. Tuy nhiên điều
ngợc lại nói chung là không đúng.

Định lý
Cho hàm f liên tục trên miền D compact.
1. Hàm
|
f(z)
|
bị chặn trên miền D và



2. Tập f(D) là miền compact
3. Hàm f liên tục đều trên miền D
4. Các tính chất khác tơng tự hàm biến thực liên tục
Chứng minh
1. Do hàm trị thực
|
f(z)
|
= )y,x(v)y,x(u
22
+
liên tục trên miền compact nên bị chặn
và đạt trị lớn nhất, trị bé nhất trên miền đó.
2. Theo chứng minh trên tập f(D) là tập giới nội.
Xét dy w
n
= f(z
n
)



+
w
0
. Do miền D compact nên có dy con z

(n)


= f(z
2
)

f(D) tuỳ ý. Do tập D liên thông nên có tham số
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o

r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.