Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 145
Tìm nghiệm của bài toán DE1a dạng tách biến
u(r, ) = V(r)()
Thế vào phơng trình (8.6.1) nhận đợc hệ phơng trình vi phân
() + () = 0 (8.6.3)
r
2
V(r) + rV(r) - V(r) = 0, với 3 (8.6.4)
Phơng trình (8.6.3) có họ nghiệm riêng trực giao, tuần hoàn chu kỳ T = 2

k
(x) = A
k
cosk + B
k
sink,
k
= k
2
với A
k
, B
k
3, k

Thay vào phơng trình (8.6.4) tìm họ nghiệm riêng độc lập và bị chặn
V
k
(r) = C
k

, k
* Tìm nghiệm tổng quát của bài toán DE1a dạng chuỗi hàm
u(r, ) = a
0
+

+
=
+
1k
kk
k
)ksinbkcosa(r
(8.6.5)
Thế vào điều kiện biên (8.6.2)
u(R, ) = a
0
+

+
=
+
1k
kk
k
)ksinbkcosa(R
= g()




2
0
k
dksin)(g
R
1
(8.6.6)

Định lý Cho g C
1
([0, 2], 3) thoả mn g(0) = g(2). Chuỗi hàm (8.6.5) với các hệ số
a
k
và b
k
tính theo công thức (8.6.6) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE1a.
Chứng minh
Lập luận tơng tự nh bài toán CP1

Ví dụ Giải bài toán DE1 u = 0 với u(R, ) = 2Rsin
Hàm g() = 2Rsin thoả mn các điều kiện của định lý. Theo công thức (8.6.6)
a
k
= 0 và b
k
= 2R



=




+

R||
d
)(g
z
z
i2
1
= Re

=


R||
d)(F
i2
1
= ReI(z) (8.6.7)
Click to buy NOW!
P
D
F
-

o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-



Chuyển qua toạ vị phức
g(

) = 2R
i
2
1
(e
i

- e
-i

) =
2
22
R
i
1


và F(

) =
2
22
R
z


C([0, 2

],
3
)
Tìm hàm u

C(D,
3
) thoả mn phơng trình Laplace


u(r,

) = 0 với (r,

)

D
0
(8.6.9)
và điều kiện biên
u(

,

) = g(

), u(R,

+ b
k
r
-k
)cosk

+ (c
k
r
k
+ d
k
r
-k
)sink

với a
k
, b
k
, c
k
, d
k



3
, k


(8.6.11)
Thế vào điều kiện biên (8.6.10)
u(

,

) = a
0
+ b
0
ln

+

+
=

+++
1k
k
k
k
k
k
k
k
k
]k

sin)

k
k
k
k
]k

sin)RdR(ck

cos)RbR[(a
= h(

)

Nếu hàm g có thể khai triển thành chuỗi Fourier thì
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e

n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt

a
k

k
+ b
k

-k
=




2
0
dkcos)(g
1
a
k
R
k
+ b
k
R
-k
=





=




2
0
dksin)(h
1
(8.6.12)

Định lý Cho các hàm g, h C
1
([0, 2], 3) thoả mn g(0) = g(2), h(0) = h(2). Chuỗi
hàm (8.6.11) với các hệ số a
k
, b
k
, c
k
và d
k
xác định từ hệ phơng trình (8.6.12) là
nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE1b.

Đ7. Bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật


X(x) + X(x) = 0
Y(y) - Y(y) = 0
X(0) = X(l) = Y(d) = 0 với 3 (8.7.3)
Bài toán (8.7.3) có họ nghiệm riêng độc lập
X
k
(x) = A
k
sin
x
l
k

, Y
k
(y) = B
k
sh )yd(
l
k


,
k
=
2
l
k




Tìm nghiệm tổng quát của bài toán DE2a dạng chuỗi hàm
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-

w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Trang 148 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
u(x, y) =

+
=1k
k
)y,x(u
=

+
=


Nếu hàm g
a
có thể khai triển thành chuỗi Fourier trên đoạn [0, l] thì
a
k
=



l
0
a
xdx
l
k
sin)x(g
l
dk
lsh
2
(8.7.5)

Định lý
Cho hàm g
a


C
1
([0, l],


u = 0 với (x, y)

D
0

và điều kiện biên
u(l, y) = g
b
(y), u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = 0

Định lý
Cho hàm g
b


C
1
([0, d],
3
) thoả mn g
b
(0) = g
b
(d) = 0. Bài toán DE2b có
nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức
u(x, y) =

+
=

ì
[0, d] và hàm g
c


C([0, l],
3
).
Tìm hàm u

C(D,
3
) thoả mn phơng trình Laplace


u = 0 với (x, y)

D
0

và điều kiện biên
u(x, d) = g
c
(x), u(0, x) = u(x, 0) = u(l, y) = 0

Định lý
Cho hàm g
c



l
0
c
xdx
l
k
sin)x(g
l
dk
lsh
2
(8.7.7)
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e

e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 149


1k
k
y
d
k
sin)xl(
d
k
shd

với d
k
=



d
0
d
ydy
d
k
sin)y(g
d
lk
dsh
2
(8.7.8)

Bài toán DE2

b
(x, y) + u
c
(x, y) + u
d
(x, y)
Trong đó u

(x, y) là nghiệm của bài toán DE2.
Hàm
u
0
(x, y) = A + Bx + Cy + Dxy (8.7.9)
là nghiệm của bài toán DE sao cho u

(x, y) triệt tiêu tại các đỉnh của hình chữ nhật.
Do tính liên tục của hàm u(x, y) trên biên D
u(0, 0) = g
4
(0) = g
1
(0) = A
u(l, 0) = g
1
(l) = g
2
(0) = A + Bl
u(l, d) = g
2
(d) = g

)0(g)d(g)0(g)d(g
4422
+
(8.7.10)

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o

r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Trang 150 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Thế vào điều kiện biên suy ra
g
a
(x) = u
a
(x, 0) = g
1
(x) - g

2
(y) - g
2
(0) -
d
y
(g
2
(d) - g
2
(0))
g
d
(y) = u
d
(0, y) = g
4
(y) - g
4
(0) -
d
y
(g
4
(d) - g
4
(0)) (8.7.11)

Kết hợp các công thức (8.7.4) - (8.7.8) nhận đợc công thức
u(x, y) = u

+
=









+

1k
kk
y
d
k
sin)xl(
d
k
shdx
d
k
shb
(8.7.12)

Định lý
Cho các hàm g
1

(x, y) xác định theo các công thức (8.7.9) - (8.7.10) và
các hệ số a
k
, b
k
, c
k
và d
k
xác định theo các công thức (8.7.5) - (8.7.8) trong đó các hàm
g
a
, g
b
, g
c
và g
d
xác định theo công thức (8.7.11) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài
toán DE2.

Đ8. Bài toán Neumann

Bài toán NE1
Cho miền D = [0, R] ì [0, 2] và hàm h C([0, 2], 3)
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace
u =



(R,

) = h(

) (8.8.2)


Tìm nghiệm của bài toán NE1 dạng tách biến
u(r,

) = V(r)

(

)
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e


C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o

k
= C
k
B
k
, k
* Tìm nghiệm tổng quát của bài toán NE1 dạng chuỗi hàm
u(r, ) = a
0
+

+
=
+
1k
kk
k
)ksinbkcosa(r
(8.8.4)
Thế vào điều kiện biên (8.8.2)
r
u


(R, ) =

+





2
0
1k
dksin)(h
Rk
1
(8.8.5)

Định lý Cho h C
1
([0, 2], 3) thoả mn h(0) = h(2). Chuỗi hàm (8.8.4) với các hệ số
a
k
và b
k
tính theo công thức (8.8.5) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán NE1. Lập luận tơng tự nh các bài toán DE2 chung ta giải các bài toán sau đây

Bài toán NE2b
Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm h
b
C([0, d], 3).
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace
u =

([0, d], 3). Bài toán NE2b có nghiệm duy nhất và ổn định xác
định theo công thức
u(x, y) =

+
=

1k
k
y
d
k
sinx
d
k
shb
với b
k
=




d
0
b
ydy
d
k
sin)y(h

o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w

0

và các điều kiện biên
u(x, 0) = u(l, y) = u(x, d) = 0,
x
u


(0, y) = h
d
(y)

Định lý
Cho hàm h
d
C
1
([0, d], 3). Bài toán NE2d có nghiệm duy nhất và ổn định xác
định theo công thức
u(x, y) =

+
=



1k
k
y
d

, g
3
C([0, l], 3) và h
2
, h
4
C([0, d], 3)
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace
u = 0 với (x, y) D
0

và các điều kiện biên
u(x, 0) = g
1
(x), u(x, d) = g
3
(x) và
x
u


(l, y) = h
2
(y),
x
u


(0, y) = h
4


Lập luận tơng tự nh bài toán DE2 suy ra
A = g
1
(0) B =
l
)0(g)l(g
11


C =
d
)0(g)0(g
13

D =
ld
)0(g)0(g)l(g)l(g
1313
+
(8.8.10)
Thế vào điều kiện biên suy ra
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h

P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a

l
x
(g
3
(l) - g
3
(0))
h
b
(y) = h
2
(y) - (B + Dy)
= h
2
(y) -
l
)0(g)l(g
11

-
l
)0(g)0(g)l(g)l(g
d
y
1313
+

h
d
(y) = h




+

1k
kk
x
l
k
siny
l
k
shc)yd(
l
k
sha

+

+
=









([0, d], 3) thoả mn
a
g

(0) = h
d
(0),
a
g

(l) = h
b
(0) và
c
g

(0) = h
d
(d),
c
g

(l) = h
b
(d)
Chuỗi hàm (8.8.12) với hàm u
0
(x, y) xác định theo các công thức (8.8.9) - (8.8.10) và
các hệ số a
k

2
2
2
x
u


u

t=0
=
2
x
xe


2.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ 3xt

2
2
2
x
u


+ te
-x
u

t=0
= sinx

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e

n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt



+ tsinx u

t=0
= xcosx, u(0, t) = e
t

7.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ te
-x
u

t=0
= cosx ,
x
u


u


= a
2
2
2
x
u


u

t=0
= x(l - x), u(0, t) = u(l, t) = 0
10.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ tsinx u




+ 3xt
2
u

t=0
= 0, u(0, t) = 0, u(l, t) = Asint
13.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ (1 - x)e
t
u

t=0
= 1, u(0, t) = e
t
, u(l, t) = 0
14.

3

18. u = 0 với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] và u(1, ) = cos
4

19. u = 0 với (r, ) [0, R] ì [0, 2] và u(R, ) = 0

Giải bài toán Dirichlet trong hình vành khăn

20. u = 0 với (r, ) [1, 2] ì [0, 2] và u(1, ) = A, u(2, ) = B
21. u = 0 với (r, ) [1, 2] ì [0, 2] và u(1, ) = 1 + cos
2
, u(2, ) = sin
2

22. u = 0 với (r, ) [0, R] ì [0, ] và u(r, 0) = u(r, ) = 0, u(R, ) = A Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c