CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 CỰC HAY
CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7
PHẦN I - ĐẠI SỐ
GỒM 8 CHUYÊN ĐỀ:
Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính
Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y
Chuyên đề 4: Giá trị nguyên của biến , giá trị của biểu thức :
Chuyên đề 5 : Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Chuyên đề 6 : Dạng toán chứng minh chia hết
Chuyên đề 7 : Bất đẳng thức
Chuyên đề 8 : Các bài toán về đa thức một ẩn
Chuyên đề 9 : Các bài toán thực tế
NỘI DUNG CỤ THỂ PHẦN ĐẠI SỐ:
Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính:
1. Các kiến thức vận dụng :
- Tính chất của phép cộng , phép nhân
- Các phép toán về lũy thừa:
a
n
=
.
n
a a a
1 2 3
; a
m
.a
n
= a
m+n

b b
= ≠
2 . Một số bài toán :
Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +…. + n , 1+ 3 + 5 +…. + (2n -1)
b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1)
1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
Với n là số tự nhiên khác không.
HD : a) 1+2 + 3 + + n = n(n+1)
1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n
2
b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1)
= [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + … + n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3
= [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n( n+1)(n+2)] : 3
= n(n+ 1)(n+2) :3
1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
= [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4
= n(n+1)(n+2)(n+3) : 4
Tổng quát:
Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a
2
+… + a
n

b) Tính tổng : A =
1 2 2 3 1

. . .
n n
c c c
a a a a a a

– 1
⇒
( a – 1) S = a
n+1
– 1
Nếu a = 1
⇒
S = n
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
1
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 CỰC HAY
Nếu a khác 1 , suy ra S =
1
1
1
n
a
a
+
−
−
b) Áp dụng
1 1
( )
.
c c
a b k a b
= −
với b – a = k
Ta có : A =

2
+ ….

+ n
2
b) Tính tổng : 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + n
3

HD : a) 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ….+ n
2
= n(n+1)(2n+1): 6
b) 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + n

7
2

Bài 4: 1, Tính: P =
1 1 1 2 2 2
2003 2004 2005 2002 2003 2004
5 5 5 3 3 3
2003 2004 2005 2002 2003 2004
+ − + −
−
+ − + −
2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025.
Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
Bài 5: a) TÝnh
115
2005
1890
:
12
5
11
5
5,0625,0
12
3
11
3
3,0375,0
25,1
3

1
3
1
3
1
3
1
++++++=B
Chøng minh r»ng
2
1
<B
.
Bài 6: a) Tính :






−






+
+


1
13
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
2
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 CỰC HAY
b) TÝnh
1 1 1 1

2 3 4 2012
2011 2010 2009 1

1 2 3 2011
P
+ + + +
=
+ + + +
HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = ….

2012 2010 1
1 1 1 2011
1 2 2011
MS⇒ = + + + + + + −

2012 2012
2012 2011
2 2011
= + + + −
=
1 1 1 1
2012( )

1.
3
1
512
6
1
6
5
4
19
2
.
3
1
615
7
3
4.
31
11
1











3
1
3
1
2
1
1
2222
>−−−−−=B
Bài 8: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
25
13
:)75,2(53,388,0:
25
11
4
3
125505,4
3
4
4:624,81
2
2
2
2





=A
b) Chøng minh r»ng tæng:
2,0
2
1
2
1

2
1
2
1

2
1
2
1
2
1
20042002424642
<−++−+−+−=
− nn
S Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
1. Kiến thức vận dụng :
-
. .
a c

. Chứng minh rằng:
2 2
2 2
a c a
b c b
+
=
+
HD: Từ
a c
c b
=
suy ra
2
.c a b=
khi đó
2 2 2
2 2 2
.
.
a c a a b
b c b a b
+ +
=
+ +

=
( )
( )
a a b a

2
= a
2
+ 2.2012.ab + 2012
2
.ac
= a( a + 2.2012.b + 2012
2
.c)
(b + 2012c)
2
= b
2
+ 2.2012.bc + 2012
2
.c
2
= ac+ 2.2012.bc + 2012
2
.c
2
= c( a + 2.2012.b + 2012
2
.c)
Suy ra :
c
a
=
2
2

= =

⇒
a = kb, c = kd .
Suy ra :
5 3 (5 3) 5 3
5 3 (5 3) 5 3
a b b k k
a b b k k
+ + +
= =
− − −
và
5 3 (5 3) 5 3
5 3 (5 3) 5 3
c d d k k
c d d k k
+ + +
= =
− − −
Vậy
dc
dc
ba
ba
35
35
35
35
−

+
=
2 2
2 2
2 2
2 2
ab a ab b
cd c cd d
+ +
= =
+ +
2
2
2
( )
( )
( )
a b a b
c d c d
+ +
=
+ +
(1)

2 2
2 2
a b ab
c d cd
+
=

c d c d
c d d c
+ −

=

+ −
+ −
= ⇒

+ −
+ −

=

+ −

Xét 2 TH đi đến đpcm
Bài 5 : Cho tØ lÖ thøc
d
c
b
a
=
. Chøng minh r»ng:
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
4
CC CHUYấN BI DNG HC SINH GII TON LP 7 CC HAY

22

b
a
=
bin i theo cỏc
hng lm xut hin
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
( )
ab a b a c a b a b
cd c d b d c d c d
+ +
= = = = =
+ +
Bi 6 : Cho dãy tỉ số bằng nhau:
d
dcba
c
dcba
b
dcba
a
dcba 2222 +++
=
+++
=
+++
=
+++
Tính

=
+++
=
+++
=
+++
Suy ra :
2 2 2 2
1 1 1 1
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
+ + + + + + + + + + + +
= = =


a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
+ + + + + + + + + + + +
= = =
Nu a + b + c + d = 0

a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d)



cb
ad
ba
dc
ad

ba
M
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
= 4
Bi 7 : a) Chứng minh rằng:
Nếu
cba
z
cba
y
cba
x
+
=
+
=
++ 4422
Thì
zyx


++
++
3
HD : a) T
cba
z
cba
y
cba
x
+
=
+
=
++ 4422


2 2 4 4a b c a b c a b c
x y z
+ + + +
= =


2 2(2 ) 4 4
2 2
a b c a b c a b c a
x y z x y z
+ + + +
= = =

=
++ 4422
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
5
CC CHUYấN BI DNG HC SINH GII TON LP 7 CC HAY
Bi 8: Cho
zyx
t
yxt
z
xtz
y
tzy
x
++
=
++
=
++
=
++

chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên.

zy
xt
yx
tz
xt
zy

++

y z t z t x t x y x y z
x y z t
+ + + + + + + +
= = =


1 1 1 1
y z t z t x t x y x y z
x y z t
+ + + + + + + +
+ = + = + = +


x y z t z t x y t x y z x y z t
x y z t
+ + + + + + + + + + + +
= = =
Nu x + y + z + t = 0 thỡ P = - 4
Nu x + y + z + t

0 thỡ x = y = z = t

P = 4
Bi 9 : Cho 3 s x , y , z khỏc 0 tha món iu kin :
y z x z x y x y z
x y z
+ + +
= =

M = a + b = c +d = e + f
Bit a,b,c,d,e,f thuc tp N
*
v
14
22
a
b
=
;
11
13
c
d
=
;
13
17
e
f
=
c) Cho 3 s a, b, c tha món :
2009 2010 2011
a b c
= =
.
Tớnh giỏ tr ca biu thc : M = 4( a - b)( b c) ( c a )
2

Mt s bi tng t

x y z t
+ + + + + + + +
= = =
( n l s t nhiờn)
v x + y + z + t = 2012 . Tớnh giỏ tr ca biu thc P = x + 2y 3z + t
Dng 2 : Vn dng tớnh cht dóy t s bng nhau tỡm x,y,z,
Bi 1: Tỡm cp s (x;y) bit :
= =
1+3y 1+5y 1+7y

12 5x 4x
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
6
CC CHUYấN BI DNG HC SINH GII TON LP 7 CC HAY
HD : p dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
+ +
= = = = = =

1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y
12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12
=>
2 2
5 12
y y
x x
=

vi y = 0 thay vo khụng tha món
Nu y khỏc 0
=> -x = 5x -12



a = b = c = 2012
Bi 4 : Tỡm cỏc s x,y,z bit :

1 2 3 1y x x z x y
x y z x y z
+ + + + +
= = =
+ +
HD: p dng t/c dóy t s bng nhau:

1 2 3 2( ) 1
2
( )
y x x z x y x y z
x y z x y z x y z
+ + + + + + +
= = = = =
+ + + +
(vỡ x+y+z

0)
Suy ra : x + y + z = 0,5 t ú tỡm c x, y, z
Bi 5 : Tỡm x, bit rng:
1 2 1 4 1 6
18 24 6
y y y
x
+ + +

++ 211
(x, y, z
0

)
HD : T
1
1 1 2 2( ) 2
x y z x y z
x y z
z y x z x y x y z
+ +
= = = + + = =
+ + + + + + +
T x + y + z =
1
2

x + y =
1
2
- z , y +z =
1
2
- x , z + x =
1
2
- y thay vo ng thc
ban u tỡm x.
Bi 7 : Tìm x, y, z biết

, 0
A A
A
A A
≥

=

− <

- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :

A B A B+ ≥ +
dấu ‘=’ xẩy ra khi AB
≥
0;
A B A B− ≥ −
dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0

( 0)
A m
A m m
A m
≥

≥ ⇔ >

≤ −

;


⇒
A = B (nếu n lẻ ) hoặc A =
±
B ( nếu n chẵn)
0< A < B
⇔
A
n
< B
n
;
2. Bài tập vận dụng
Dạng 1: Các bài toán cơ bản
Bài 1: Tìm x biết
a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013
b)
1 2 3 4
2011 2010 2009 2008
x x x x− − − −
+ − =
HD : a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013

⇒
x( 1 + 2 + 3 + ….+ 2011) = 2012.2013

2011.2012
. 2012.2013
2
x⇒ =

− − − −
⇒ + + − = −
⇒ − + + − = −
⇒ = − + + − +
Bài 2 Tìm x nguyên biết
a)
1 1 1 1 49

1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1) 99x x
+ + + + =
− +
b) 1- 3 + 3
2
– 3
3
+ ….+ (-3)
x
=
1006
9 1
4
−
Dạng 2 : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối
• Dạng :
x a x b+ = +
và
x a x b x c+ ± + = +
Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị
đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b)
Bài 1 : Tìm x biết :

≤
2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012
⇒
x = 2009 :2 (lấy)
Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại)
Nếu x
2011≥
từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012
⇒
x = 6033:2(lấy)
Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2
Một số bài tương tự:
Bài 2 : a) T×m x biÕt
431 =++− xx
b) T×m x biÕt:
426
22
+=−+ xxx

c) T×m x biÕt:
54232 =−−+ xx
Bài 3 : a)T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó:
xxx 313 =+++
b) Tìm x biết:
2 3 2x x x− − = −
Bài 4 : tìm x biết :
a)
1 4x − ≤
b)
2011 2012x − ≥

b) ta có
2010 2012 2014 2010 2014 2012 2x x x x x x− + − + − ≥ − + − + − ≥
(*)
Mà
2010 2012 2014 2x x x− + − + − =
nên (*) xẩy ra dấu “=”
Suy ra:
2012 0
2012
2010 2014
x
x
x
− =

⇒ =

≤ ≤

Các bài tương tự
Bài 2 : Tìm x nguyên biết :
1 2 100 2500x x x− + − + + − =
Bài 3 : Tìm x biết
1 2 100 605x x x x+ + + + + + =
Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n:
x 1 x 2 y 3 x 4− + − + − + −
= 3
Bài 5 : Tìm x, y biết :
2006 2012 0x y x− + − ≤
HD : ta có

= 650 b) 3
x-1
+ 5.3
x-1
= 162
HD : a) 5
x
+ 5
x+2
= 650
⇒
5
x
( 1+ 5
2
) = 650
⇒
5
x
= 25
⇒
x = 2
b) 3
x-1
+ 5.3
x-1
= 162
⇒
3
x -1

1
1
2 3
2 3
2 3
x y
x y x
x x
− −
+
= ⇒ =

Nhận thấy : ( 2, 3) = 1
⇒
x – 1 = y-x = 0
⇒
x = y = 1
b) 10
x
: 5
y
= 20
y

⇒
10
x
= 10
2y


– 2
n
= 0
⇒
2
m
( 2
n
– 1) –( 2
n
– 1) = 1

⇒
(2
m
-1)(2
n
– 1) = 1
⇒
2 1 1
1
2 1 1
n
m
m n

− =

⇒ = =


VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9
Bài 4 : Tìm x , biết :
( ) ( )
1 11
7 7 0
x x
x x
+ +
− − − =
HD :

( ) ( )
( ) ( )
1 11
1 10
7 7 0
7 1 7 0
x x
x
x x
x x
+ +
+
− − − =
 
⇔ − − − =
 

( )
( )

− =
− − =
− = ⇒ =
− = ⇒
 
⇔ − − − =
 


⇔





⇔



Bài 5 : Tìm x, y biết :
2012
2011 ( 1) 0x y y− + − =
HD : ta có
2011 0x y− ≥
với mọi x,y và (y – 1)
2012

≥
0 với mọi y
Suy ra :

- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
- Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương
- Tính chất chia hết của một tổng , một tích
- ƯCLN, BCNN của các số
2. Bài tập vận dụng :
* Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức
Bài 1: a) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000
b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt:
22
23)2004(7 yx −=−
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
11
CC CHUYấN BI DNG HC SINH GII TON LP 7 CC HAY
c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x
2
-2y
2
=1
HD: a) T 51x + 26y = 2000

17.3.x = 2.( 1000 13 y) do 3,17 l s NT nờn x
2M
m x NT

x = 2. Li cú 1000 13y
51M
, 1000 13y > 0 v y NT

y =

hoc
1 1
3 3
x
y
=


+ =

hoc
1 3
3 1
x
y
=


+ =

hoc
1 3
1 1
x
y
=


+ =



(2x - 1)( 2y + 1) = 13
b) T
2 2
25 8( 2012)y x =


y
2


25 v 25 y
2
chia ht cho 8 , suy ra y = 1 hoc
y = 3 hoc y = 5 , t ú tỡm x
Bi 3 a) Tìm giá trị nguyên dơng của x và y, sao cho:
1 1 1
x y 5
+ =
b) Tìm các số a, b, c nguyên dơng thoả mãn :

b
aa 553
23
=++
và
c
a 53 =+
HD : a) T
1 1 1

(5) , t ú tỡm c y, x
b)
b
aa 553
23
=++

a
2
( a +3) = 5
b
5 , m
c
a 53 =+


a
2
. 5
c
= 5( 5
b
1
1)

1
2
1
5 1
5

> 0 t ú tỡm c q
Bi 5 : Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho:
12
n
chia hết cho 7
HD : Vi n < 3 thỡ 2
n
khụng chia ht cho 7
Vi n
3

khi ú n = 3k hoc n = 3k + 1 hoc n = 3k + 2 (
*
k N
)
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
12
CC CHUYấN BI DNG HC SINH GII TON LP 7 CC HAY
Xột n = 3k , khi ú 2
n
-1 = 2
3k
1 = 8
k
1 = ( 7 + 1)
k
-1 = 7.A + 1 -1 = 7.A
7M
Xột n = 3k +1 khi ú 2
n

b)
313 <m


- 3 < 3m 1 < 3


0
2 4
1
3 3
m
m
m
=


< <

=

vỡ m nguyờn
Bi 2 a) Tìm x nguyên để 6
1+x
chia hết cho 2
3x
b) Tìm
Zx

để A Z và tìm giá trị đó.


HD :
2012 5
1006 1
x
x
+
+
=
2(1006 1) 2009 2009
2
1006 1 1006 1
x
x x
+ +
= +
+ +

2012 5
1006 1
x
x
+
+

2009 1006 1x +M


x l s CP.
Vi x >1 v x l s CP thỡ


0 vi mi A, - A
2n


0 vi mi A
*
0,A A
,
0,A A
*
, ,A B A B A B+ +
du = xy ra khi A.B

0
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
13
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 CỰC HAY
*
, ,A B A B A B− ≤ − ∀
dấu “ = ” xẩy ra khi A,B
≥
0
2. Bài tập vận dụng:
* Dạng vận dụng đẳng thức : a
2
+ 2.ab + b
2
= ( a + b)
2


≥
0 với mọi x , nên P(x)
≥
2010 . Vậy Min P(x) = 2010
khi ( x - 1)
2
= 0 hay x = 1
b) Q(x) = x
2
+ 100x – 1000 = ( x + 50)
2
– 3500
≥
- 3500 với mọi x
Vậy Min Q(x) = -3500
Từ đây ta có bài toán tổng quát : Tìm GTNN của đa thức P(x) = a x
2
+ bx +c ( a > 0)
HD: P(x) = a x
2
+ bx +c = a( x
2
+ 2.x.
2
b
a
+
2
( )

a
−
Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = - a
2
+ 3a + 4
b) B = 2 x – x
2

HD : a) A = - a
2
+ 3a + 4 =
2 2 2
3 3 9 3 25
( 2. . ( ) ) (4 ) ( )
2 2 4 2 4
a a a− − + + + = − − +
Do
3
( ) 0,
2
a a− − ≤ ∀
nên A
25
,
4
a≤ ∀
. Vậy Max A =
25
4

≤
0 với mọi A
Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức :
a) P = ( x – 2y)
2
+ ( y – 2012)
2012

b) Q = ( x + y – 3)
4
+ ( x – 2y)
2
+ 2012
HD : a) do
2
( 2 ) 0, ,x y x y− ≥ ∀
và
2012
( 2012) 0,y y− ≥ ∀
suy ra : P
0≥
với mọi x,y

⇒
Min P = 0 khi
2 0 4024
2012 0 2012
x y x
y y
− = =

 
=
− =



Bài 3 : Tìm GTLN của R =
4
2
2013
( 2) ( ) 3x x y− + − +
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
14
CC CHUYấN BI DNG HC SINH GII TON LP 7 CC HAY
Bi 4 : Cho phân số:
54
23

+
=
x
x
C
(x Z)
a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
b) Tìm x Z để C là số tự nhiên.
HD :
3 2 4.(3 2) 12 8
3 3 3 23
. . .(1 )

HD : Ta cú
7 8 7 2(7 8) 7 14 16 7 5
. . (1 )
2 3 2 7(2 3) 2 14 21 2 14 21
n n n
n n n n

= = = +


32
87


n
n
ln nht thỡ
5
14 21n
ln nht
14 21 0n >
v 14n 21 cú giỏ tr nh
nht
21 3
14 2
n > =
v n nh nht

n = 2
* Dng vn dng


3 vi mi x,y
Suy ra A nh nht = 3 khi
2
( 2) 0
2
2
0
x
x
y
y x

=
=




=
=



b) Ta cú
2010 0x
vi mi x

2012
2010 2012x

vi mi x (1)
V
2011 0x
vi mi x (2)
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
15
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 CỰC HAY
Suy ra B
( 2010 2012 ) 2011x x x= − + − + −

2≥
. Vậy Min B = 2 khi BĐT (1) và (2)
xẩy ra dấu “=” hay
( 2010)(2012 ) 0
2011
2011 0
x x
x
x
− − ≥

⇒ =

− =

c) Ta có
1 2 100x x x− + − + + −
=
( 1 100 ) ( 2 99 ) ( 50 56 )x x x x x x− + − + − + − + + − + −
1 100 2 99 50 56x x x x x x≥ − + − + − + − + + − + −

* Chữ số tận cùng của 2
n
, 3
n
,4
n
, 5
n
,6
n
, 7
n
, 8
n
, 9
n

* Tính chất chia hết của một tổng
2. Bài tập vận dụng:
Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
chia hết cho 10
HD: ta có
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −

+ 4
2003
+ . . . . . + 4
2
+ 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
HD: A = 75. (4
2004
+ 4
2003
+ . . . . . + 4
2
+ 4 + 1) + 25 = 75.( 4
2005
– 1) : 3 + 25
= 25( 4
2005
– 1 + 1) = 25. 4
2005
chia hết cho 100
Bài 3 : Cho m, n
∈
N
*
và p là số nguyên tố thoả mãn:
1−m
p
=
p
nm +
(1)

2
+1 và n = - p
2
< 0 (loại)
Vậy p
2
= n + 2
Bài 4: a) Sè
410
1998
−=A
cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ?
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
16
CC CHUYấN BI DNG HC SINH GII TON LP 7 CC HAY
b) Chứng minh rằng:
3338
4136 +=A
chia hết cho 7
HD: a) Ta cú 10
1998
= ( 9 + 1)
1998
= 9.k + 1 ( k l s t nhiờn khỏc khụng)
4 = 3.1 + 1
Suy ra :
410
1998
=A
= ( 9.k + 1) ( 3.1+1) = 9k -3 chia ht cho 3 , khụng

Bi 5 :
a) Chứng minh rằng:
nnnn
2323
42
++
++
chia hết cho 30 với mọi n nguyên dơng
b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c

17 nếu a - 11b + 3c

17 (a, b, c Z)
Bi 6 : a) Chứng minh rằng:
17101723 baba ++
(a, b Z )
b) Cho đa thức
cbxaxxf ++=
2
)(
(a, b, c nguyên).
CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3
HD a) ta cú 17a 34 b
17M
v 3a + 2b
17 17 34 3 2 17 2(10 16 ) 17a b a b a b + + M M M

10 16 17a b M
vỡ (2, 7) = 1
10 17 16 17 10 17a b b a b + +M M

2n
-1 = 4
n
-1 (1) .Do 4
n
- 1 chia hờt cho 3 v
12 +
n
là
số nguyên tố (n > 2) suy ra 2
n
-1 chia ht cho 3 hay 2
n
-1 l hp s
Chuyờn 7 : Bt ng thc
1.Kin thc vn dng
* K thut lm tri : Nu a
1
< a
2
< a
3
<. < a
n
thỡ n a
1
< a
1
+ a
2

2
2 .ab + b
2
= ( a b)
2


0 vi mi a,b
2.B i tp vn dng
Bi 1: Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng:
ac
c
cb
b
ba
a
M
+
+
+
+
+
=
không là số nguyên.
HD : Ta cú
1
a b c a b c a b c
M
a b b c c a a b c c a b a b c a b c
+ +

HD :
2a b ab+
2 2 2 2 2 2
( ) 4 2 4 2 0 ( ) 0a b ab a ab b ab a ab b a b + + + +
(*)
Do (*) ỳng vi mi a,b nờn (1) ỳng
Bi 3 : Vi a, b, c l cỏc s dng . Chng minh rng
a)
1 1
( )( ) 4a b
a b
+ +
(1) b)
1 1 1
( )( ) 9a b c
a b c
+ + + +
(2)
HD : a) Cỏch 1 : T
2 2
1 1
( )( ) 4 ( ) 4 ( ) 0a b a b ab a b
a b
+ + +
(*)
Do (*) ỳng suy ra (1) ỳng
Cỏch 2: Ta cú
2a b ab+
v
1 1 2

3 2 2 2 9 + + + =
Du = xy ra khi a = b = c
Bi 4 : a) Cho z, y, z là các số dơng.
Chứng minh rằng:
4
3
222

++
+
++
+
++ yxz
z
xzy
y
zyx
x
b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
0
++
cabcab
.
HD : b) Tớnh ( a + b + c)
2
t cm c
0
++
cabcab


0213 =++ cba
HD : f( -2) = 4a 2b + c v f(3) = 9a + 3b + c

f(-2).f(3) =(4a 2b + c)( 9a + 3b + c)
Nhn thy ( 4a 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = 0


( 4a 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c)
Vy f(-2).f(3) = - ( 4a 2b + c).( 4a 2b + c) = - ( 4a -2b + c)
2


0
Bi 3 Cho đa thức
cbxaxxf ++=
2
)(
với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1); f(2)
có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c
Do f(0) ,f(1), f(2) nguyờn

c , a + b + c v 4a + 2b + c nguờn

a + b v 4a + 2b = 2 (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyờn

2a , 2b nguyờn
Bi 4 Chứng minh rằng: f(x)
dcxbxax +++=
23

Khi ú A(1) = a
o
+ a
1
+a
2
+ .+ a
4018

do A(1) = 0 nờn a
o
+ a
1
+a
2
+ .+ a
4018
= 0
Bi 6 : Cho x = 2011. Tính giá trị của biểu thức:
2011 2010 2009 2008 2
2012 2012 2012 2012 2012 1x x x x x x + + +
HD : t A =
2011 2010 2009 2008 2
2012 2012 2012 2012 2012 1x x x x x x + + +

2010 2009 2008
( 2011) ( 2011) ( 2011) ( 2011) 1x x x x x x x x x + +


ti x = 2012 thỡ A = 2011

( a l h s t l )
- Tớnh cht dóy t s bng nhau.
2. Bi tp vn dng
*Phng phỏp gii :
- c k bi , t ú xỏc nh cỏc i lng trong bi toỏn
- Ch ra cỏc i lng ó bit , i lng cn tỡm
- Ch rừ mi quan h gia cỏc i lng ( t l thun hay t l nghch)
- p dng tớnh cht v i lng t l v tớnh cht dóy t s bng nhau gii

Bi 1 : Mt vt chuyn ng trờn cỏc cnh hỡnh vuụng. Trờn hai cnh u vt
chuyn ng vi vn tc 5m/s, trờn cnh th ba vi vn tc 4m/s, trờn cnh th t vi
vn tc 3m/s. Hi di cnh hỡnh vuụng bit rng tng thi gian vt chuyn ng trờn
bn cnh l 59 giõy
Bi 2 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A
trồng đợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc 5
cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đợc đều nh
nhau.
Bi 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi đợc nửa quãng
đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút.
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Bi 4 : Trên quãng đờng AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận
tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4.
Tính quãng đờng mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ?
Bi 5 : Ba i cụng nhõn lm 3 cụng vic cú khi lng nh nhau. Thi gian hon
thnh cụng vic ca i , , ln lt l 3, 5, 6 ngy. Biờt i nhiu hn i
l 2 ngi v nng sut ca mi cụng nhõn l bng nhau. Hi mi i cú bao nhiờu
cụng nhõn ?
Bi 6 : Ba ụ tụ cựng khi hnh i t A v phớa B . Vn tc ụ tụ th nht kộm ụ tụ th
hai l 3 Km/h . Bit thi gian ụ tụ th nht, th hai v th ba i ht quóng ng AB
ln lt l : 40 phỳt,

: - Da vo s o ca gúc bt ( Hai tia i nhau)
- Hai ng thng cựng vuụng gúc vi ng thng th 3 ti mt im
- Hai ng thng i qua mt im v song song vi ng thng th 3
- Da vo tớnh cht 3 ng trung tuyn, phõn giỏc, trung trc, ng cao
4. Chng minh hai ng thng vuụng gúc
P
2
: - Tớnh cht ca tam giỏc vuụng, nh lớ Py ta go o
- Qua h gia ng thng song song v ng thng vuụng gúc
- Tớnh cht 3 ng trung trc, ba ng cao
5 . Chng minh 3 ng thng ng quy( i qua mt im )
P
2
: - Da vo tớnh cht ca cỏc ng trong tam giỏc
6. So sỏnh hai on thng, hai gúc :
P
2
: - Gn hai on thng , hai gúc vo mt tam giỏc t ú vn nh lớ v quan
h gia cnh v gúc i din trong mt tam giỏc , BT tam giỏc
- Da vo nh lớ v quan h gia ng xiờn v hỡnh chiu, ng xiờn
v ng vuụng gúc .
II. Bi tp vn dng
Bi 1 : Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn
thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
Chứng minh: DC = BE và DC

BE
HD:

( Hai gúc i nh) v
à
ả
0
1 1
90I D+ =


Cn CM
à
ả
1 1
B D=
( vỡ ABE = ADC)
Li gii
a) Ta cú
ã
ã
ã
0
90BAE BAC DAC= + =


ã
ã
DAC BAE=
, mt khỏc AB = AD, AC = AE (gt)
Suy ra ABE = ADC(c.g.c)

DC = BE

DC

BC
*Khai thỏc bi 1:
T bi 1 ta thy : DC = BE và DC

BE khi ABD v ACE vuụng cõn, vy nu cú
ABD v ACE vuụng cõn , T B k BK

CD ti D thỡ ba im E, K, B thng hng
Ta cú bi toỏn 1.2
Bi 1. 1: Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn
thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . T B k BK

CD ti K
Chng minh rng ba im E, K, B thng hng
HD : T bi 1 chng minh c DC

BE m BK

CD ti K suy ra ba im E, K, B
thng hng
*Khai thỏc bi 1.1
T bi 1.1 nu gi M l trung im ca DE k tia M A thỡ MA

BC t ú ta cú bi
toỏn 1.2
Bi 1.2: Cho tam giác ABC có Â < 90

ã
ã
BAC ADN=


CM : ABC = DNA ( c.g.c)



Cú AD = AB (gt)
Cn CM : ND = AE ( = AC) v
ã
ã
BAC ADN=
+ CM ND = AE



CM : MDN = MEA (c.g.c)
+ CM
ã
ã
BAC ADN=



ã
ã
0
180EAD ADN+ =


ã
ã
0
180EAD ADN+ =
( cp gúc trong cựng phớa) m
ã
ã
0
180EAD BAC+ =


ã
ã
BAC ADN=

Xột ABC v DNA cú : AB = AD (gt) , AC = DN v
ã
ã
BAC ADN=
( chng minh
trờn )

ABC = DNA (c.g.c)


ả
ã
1
N ACB=

K DQ

AM ti Q, ER

AM ti R .
Ta cú : +
ã
ã
DAQ HBH=
( Cựng ph
ã
BAH
)
AD = AB (gt)

AHB = DQA ( Cnh huyn gúc nhn)


DQ = AH (1)
+
ã
ã
ACH EAR=
( cựng ph
ã
CAH
)
AC = AE (gt)

AHB = DQA ( Cnh huyn gúc nhn)

Trờn tia AH ly im A sao cho AH = HA
D CM c AHC = AHB ( g.c.g)

AB = AC ( = AE) v
ã
ã
'HAC HA B=


AC // AB
ã
ã
0
' 180BAC ABA + =
( cp gúc trong cựng phớa)
M
ã
ã
0
180DAE BAC+ =

ã
ã
'DAE ABA =
Xột DAE v ABA cú : AE = AB , AD = AB (gt)
ã
ã
'DAE ABA=



à
à
0
90D E= =
( MD, NE

BC)

ã
ã
BCA CBA=
( ABC cõn ti A)
b) Cm Đờng thẳng BC cắt MN tại trung
điểm I của MN

Cn cm IM = IN


Cm MDI = NEI ( g.c.g)
c) Gi H l chõn ng vuụng gúc k t A xung BC , O l giao im ca AH vi
ng thng vuụng gúc vi MN k t I

Cn cm O l im c nh
cm O l im c nh


Cn cm OC

AC


li gii:
T li gii bi 2 gii bi 2.1 ta cn k MD

BC ( D

BC)
NE

BC ( E

BC)
Bi 3 : Cho ABC vuụng ti A, K l trung im ca cnh BC . Qua K k ng
thng vuụng gúc vi AK , ng thng ny ct cỏc ng thng AB v AC ln lt
D v E Gi I l trung im ca DE .
a) Chng minh rng : AI

BC
b) Cú th núi DE nh hn BC c khụng ? vỡ sao?
*Phõn tớch tỡm li gii
a) Gi H l giao im ca BC v AI
cm AI

BC

Cn cm
à
ã

Cn cm AIE cõn ti I v AKC cõn ti K
b) so sỏnh DE vi BC

cn so sỏnh IE vi CK ( vỡ 2.IE = DE, 2CK = BC)


So sỏnh AI vi AK ( vỡ AI = IE, AK = CK)
Cú AI

AK
Li gii :
a)D dng chng c AIE cõn ti I v AKC cõn ti K

cn cm
à
ã
1
A AEK=
v
ã
ã
ACK CAK=
m
ã
ã
0
90AEK EAK+ =


à