Một số bài toán về phơng trình bậc hai.
định lý viéte
(Chuyên đề Bồi dỡng kiến thức cho giáo viên giảng dạy
toán THcs
và bồi dỡng học sinh khá, giỏi lớp 9)
A- Lý luận chung:
I- Lý do chọn đề tài:
1, Lý do lý luận:
Từ xa đến nay Đảng, Nhà nớc và nhân dân ta luôn luôn nhận thức đầy đủ,
sâu sắc vị trí vai trò của giáo dục đào tạo đối với công cuộc phát triển kinh tế -
xã hội thực hiện công nghiệp hoá, hiện đại hoá đa đất nớc đi lên thực hiện Dân
giàu, nớc mạnh, xã hội công bằng và văn minh. Đảng, Nhà nớc ta đã khẳng
định rằng :
Giáo dục - đào tạo là động lực, là điều kiện cơ bản đảm bảo việc thực hiện
các mục tiêu kinh tế - xã hội xây dựng và bảo vệ tổ quốc.
Giáo dục - đào tạo là chìa khoá để mở cửa tiến vào tơng lai.
Đầu t cho giáo dục đào tạo là đầu t cho phát triển.
Thật sự coi trọng giáo dục - đào tạo là quốc sách hàng đầu.
Giáo dục - đào tạo với nhiệm vụ nâng cao dân trí đào tạo nhân lực, bồi dỡng
nhân tài. Ba nhiệm vụ này luôn luôn có quan hệ hữu cơ với nhau đan xen nhau
trong quá trình phát triển chung của ngành.
Song song với việc nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực nhiệm vụ bồi dỡng
nhân tài đóng vai trò quan trọng. Bởi lẽ nhân tài là vốn quý của đất nớc là bộ
phận đầu tầu thúc đẩy quá trình công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nớc. Bộ phận
này không đông, song cần phải phát hiện, tuyển chọn, đào tạo, bồi dỡng, sử
dụng, đãi ngộ một cách thoả đáng, trí tuệ của bộ phận nhân tài và trí tuệ của
cộng đồng là rất lớn sự cống hiến của họ cho đất nớc có giá trị gấp nhiều lần so
với giá trị mà nhân dân, đất nớc đãi ngộ họ.
Chính vì vậy, nhiệm vụ bồi dỡng nhân tài có liên quan tới tất cả các cấp học,
bậc học trong cả nớc là sự quan tâm của toàn xã hội chứ không chỉ là của các
thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy.

kể các các sách giáo khoa ở lớp trên viết về vấn đề này.
2
Tôi xét thấy việc cần thiết phải trang bị cho giáo viên giảng dạy bộ môn
Toán hiểu thật sâu, thật đa dạng các dạng bài tập về phơng trình bậc hai, định lý
viéte đồng thời giáo viên có thể sử dụng tài liệu này để bồi dỡng học sinh khá,
giỏi lớp 9 và ôn thi vào lớp 10 cho các em.
II- Nhiệm vụ của đề tài:
1, Cung cấp, trang bị cho giáo viên giảng dạy môn Toán cùng học sinh khá,
giỏi lớp 9 chuyên đề : Phơng trình bậc hai, định lý viéte để nâng cao trình độ
kiến thức cho giáo viên và bồi dỡng cho học sinh khá, giỏi của trờng.
2, Phân loại dạng bài tập, đa ra phơng pháp giải từng dạng có lời giải các bài
tập mẫu và kèm theo các bài tập tơng tự .
III- Đối tợng, địa điểm, phạm vi nghiên cứu:
1, Đối tợng :
- Giáo viên giảng dạy môn Toán.
- Học sinh khá, giỏi lớp 9.
- Phụ huynh học sinh.
2, Địa điểm :
Trờng THCS Phúc Hoà
3, Phạm vi nghiên cứu:
- Về kiến thức : Phơng trình bậc hai, định lý Viéte
- Thời gian nghiên cứu từ năm học 2004 - 2005 đến nay.
IV- Phơng pháp nghiên cứu:
1, Đọc các sách tham khảo (các cuốn ôn luyện vào lớp 10, cuốn 1001bài
toán sơ cấp) các đề thi vào lớp 10 của tỉnh và ngoài tỉnh, các đề thi tuyển vào lớp
10 năng khiếu trong và ngoài tỉnh Bắc Giang.
2, Tham gia giảng dạy trực tiếp cho học sinh khá, giỏi lớp 9 và làm chuyên
đề kiến thức cho giáo viên Toán của trờng.
B- Nội dung :
Một bài toán về phơng trình bậc hai có chứa tham số có thể chỉ có một yêu

= vào biểu thức rồi tính.
2, Chứng minh một phơng trình có nghiệm hoặc vô nghiệm.
* Phơng pháp :
+ Tính (hoặc )
+ Chỉ ra

0 (hoặc

0) nếu yêu cầu chứng minh phơng trình có
nghiệm.
+ Chỉ ra < 0 (hoặc < 0) nếu yêu cầu chứng minh phơng trình vô
nghiệm.
3, Chứng minh một trong hai (hay nhiều) phơng trình có nghiệm.
* Phơng pháp :
+ Tính tổng các (hoặc tổng các )
+ Chứng minh tổng trên không âm
4, Tìm giá trị của tham số để phơng trình có nghiệm (hoặc vô nghiệm).
* Phơng pháp :
Tìm giá trị của tham số qua bất phơng trình

0 (hoặc < 0).
5, Tìm giá trị của tham số để hai nghiệm của phơng trình thoả mãn một
đẳng thức (hoặc một bất đẳng thức) giữa các nghiệm của phơng trình.
* Phơng pháp :
Giá trị tham số cần tìm phải thoả mãn hệ phơng trình:


0
x
1

2
+ Biến đổi biểu thức đã cho về dạng sử dụng đợc x
1
+x
2
, x
1
x
2
.
+ Thay x
1
+x
2
= s, x
1
x
2
= p vào biểu thức biến đổi ở trên, rồi chứng
minh theo yêu cầu bài cho.
8, Viết một hệ thức giữa hai nghiệm không chứa tham số .
* Phơng pháp :
+ Chứng minh

0 (hoặc

0) để có x
1
x
2

11, Các bài toán thuộc dạng khác (nh chứng minh sự chia hết, chứng
minh một biểu thức không phụ thuộc tham số).
* Sau đây là một số bài tập điển hình của các dạng trên :
Bài 1: Không giải phơng trình: 3x
2
+ 17x - 14 = 0 (1)
Hãy tính giá trị của biểu thức :

2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 2 1
3 5 3
4 4
x x x x
S
x x x x
+ +
=
+
Giải:
Ta có :
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2

14
3
x x

=
vào S, ta đợc
909
952
S =
Bài 2: Cho phơng trình: x
2
- ax + a - 1 = 0 (1)
a, Không giải phơng trình hãy tính giá trị biểu thức :

2 2
1 2
2 2
1 2 1 2
3 3 3x x
M
x x x x
+
=
+
b, Tìm giá trị của a để tổng bình phơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải :
a, Ta có = (-a)
2
- 4 (a - 1)
= a

1 2 1 2
1 2 1 2
3 ( ) 2 3
( )
3( ) 6 3
( )
x x x x
M
x x x x
x x x x
x x x x

+

=
+
+
=
+
Theo định lý Viéte :
1 2
1 2
1
x x a
x x a
+ =
=
(*)
Thay (*) vào M ta đợc :
2 2

= a
x
1
x
2
= a - 1
A= x
1
2
+x
2
2
đạt GTNN
Ta có :
2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2A x x x x x x= + = +
Hay :
2 2
2( 1) 2 2A a a a a= = +
= a
2
- 2a + 1 + 1 = (a - 1)
2
+ 1

1
GTNN của A bằng 1, dầu bằng xảy ra khi a = 1.
Thông qua bài 1, bài 2 giúp cho ta thành thạo khi biến đổi và sử dụng tổng,
tích các nghiệm.

+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ca - 3ab - 3bc - 3ca
= a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - bc - ca
2 = 2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
- 2ab - 2bc - 2ca
= (a
2
- 2ab + b
2
) + (b
2
- 2bc + c
2
) + (c
2
- 2ca + a
2
)

2
= b
2
- 4a
Xét
1
+
2
= a
2
+ b
2
- 4 (a + b) (*)
Từ
1 1 1
2a b
+ =


2(a + b) = ab (**)
Thay (**) vào (*) :
1
+
2
= a
2
+ b
2
- 2ab = (a - b)
2

2
- 4 (c - 1) = b
2
- 4c + 4

3
= c
2
- 4 (a - 1) = c
2
- 4a + 4
Xét :
1
+
2
+
3
= (a
2
- 4a + 4) + (b
2
- 4b + 4) + (c
2
- 4c + 4)
= (a - 2)
2
+ (b - 2)
2
+ (c - 2)
2

= a
2
+ c
2
+ 4d - 4b

2 (
1
+
2
) = 2(a
2
+ c
2
+ 4d - 4b)
= 2(a
2
+ c
2
) + 8 (d - b)
Từ giả thiết : a(a - c) + c(c - a) + 8 ( d - b) > 0

8 (d - b) > 2 ac - a
2
- c
2

2(
1
+


(đpcm)
Bài 7: Cho phơng trình (ẩn x)
x
2
- 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (1)
a, Chứng minh (1) có 2 nghiệm với

m
b, m = ? thì (1) có 2 nghiệm trái dấu.
c, Giả sử x
1
, x
2
là nghiệm của (1). Chứng minh rằng
M = (1 - x
2
)x
1
+ (1 - x
1
)x
2
không phụ thuộc m.
d, Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m.
e, Lập phơng trình bậc 2 có 2 nghiệm là
1
1
x
và

m dpcm
= +
= + = + + +
= + + = + + +
= + +
b, (1) có 2 nghiệm trái dấu

ac < 0.

m - 4 < 0

m < 4
c, Vì phơng trình (1) có 2 nghiệm là x
1
x
2
Theo Viéte
1 2
1 2
2( 1)
4
x x m
x x m
+ = +


=

(*)
Ta có : M = (1 - x


(đpcm)
d, Theo Viéte áp dụng cho phơng trình (1) :
x
1
+ x
2
= 2(m + 1) = 2m + 2

2m = (x
1
+ x
2
) - 2 (3)
x
1
x
2
= m - 4

2 x
1
x
2
= 2m - 8

2m = 2x
1
x
2

x x x x m
x x x x m
+ +
+ = =

= =

Ta có phơng trình :
2
2( 1) 1
0
4 4
m
x x
m m
+
+ =

(m - 4) x
2
- (2m + 1) = 0
Tính tổng 2 nghiệm là S
Tính tích 2 nghiệm là P
Thay tổng, tích vào phơng trình : X
2
- SX + P = 0.
Bài 8: Cho phơng trình (ẩn x) x
2
- 2x + m = 0 (1)
a, Tìm m sao cho phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x

S
= >

<


= > < <

>


= + >

b, m cần tìm phải thoả mãn hệ phơng trình :
= 1 m > 0 m < 1 (1)
x
1
+ x
2
= 2 x
1
+ x
2
= 2 (2)
x
1
x
2
= m


+
=
2
1 2 1 2
1 2
( ) 2 10 4 2 10
3 3
x x x x m
x x m
+
= =

3(4 - 2m) = - 10m

4m =-12

m =- 3 kết hợp với điều kiện m < 1
Thì m =-3 là giá trị cần tìm.
Thực tế khi trình bày lời giải học sinh có thể giải dời dạc các điều kiện song
song phải biết đợc bản chất của m cần tìm phải thoả mãn một hệ phơng trình nh
thế và biết kết hợp các điều kiện để lấy m.
Bài 9: Cho phơng trình : x
2
- 2(a - 1) x + 2a - 5 = 0 (1)
a, Chứng minh : (1) có nghiệm với mọi a
b, a = ? thì (1) có nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x


2 ? o với

a.
b, Từ x
1
< 1 <x
2


(x
1
- 1) (x
2
- 1) < 0

x
1
x
2
- x
1
- x
2
+ 1 < 0

x
1
x
2

2
.
Bài 10: Cho phơng trình : x
2
- (2m - 3)x +m
2
- 3m = 0 (1)
a, Chứng minh phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b, Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn 1 < x
1
<x
2
<6.
c, Xác định m để x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất .
12
Giải :
a, Ta có : = (2m - 3)
2
- 4(m
2

= m
2
- 6m + 9 + m
2
= 2m
2
- 6m + 9
= 2 (m
2
- 3m +
2
9 3 9 9
) ( )
2 2 2 2
m= +
Vậy giá trị nhỏ nhất của x
1
2
+ x
2
2
là
9
2
khi m =
3
2
Thực tế cho thấy dạng toán về bất đẳng thức giữa các nghiệm học sinh rất
lúng túng, thờng không làm đợc đúng khi cha đợc rèn luyện.
Bài 11: Cho 2 phơng trình : x


m, n (3)
Từ ( 2), (3) hai phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm khi m

0,với

n. (*)
áp dụng định lý Viéte ta có :
1
1
2
3
S m n
P m
= +


=

và
2
2
3
6
S m n
P
= +


=

n
=


=

Kết hợp với điều kiện (*) ở trên thì không có m, n để hai phơng trình tơng đ-
ơng.
Bài 12: Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (1)
Điều kiện cần và đủ để phơng trình (1) có nghiệm này gấp k lần nghiệm
kia thì kb
2
- (k + 1) ac = 0 (k 0)
Giải :
Theo Viéte ta có : x
1
+ x
2
=
b
a
và x
1
x
2
=
c
a

ac k kb kb ac k
a a

= + = +
+ +
= =
* Nếu (x
1
- kx
2
) (x
2
- kx
1
) = 0
Thì x
1
= kx
2
hoặc x
2
= kx
1
Khi đó : kb
2
- (k + 1) ac = 0 (2)
* Nếu kb
2
- (k + 1) ac = 0


nghiệm của phơng trình : x
2
+ 2x + ab = 0
Giải :
14
Giả sử (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
x
0

x
0
2
+ ax
0
+ 2b = 0
(2) có hai nghiệm phân biệt x
2
x
0

x
0
2
+ bx
0
= 2a = 0

(a - b)x
0

= a + b và x
1
x
2
= ab

theo định lý đảo Viéte ta có : x
1
và x
2
là
hai nghiệm của phơng trình :
x
2
- (a + b)x + ab = 0 ; (vì a + b = - 2)

x
2
+ 2x + ab = 0
Bài 14: Cho phơng trình (ẩn x): x
4
- 2mx
2
+ 2m - 1 = 0 (1)
a, Giải phơng trình khi m = 2
b, Tìm m để phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt .
Giải :
a, Thay m = 2 vào (1) giải ra x
1
= 1, x

= m
2
- 2 + 1 = (m - 1)
2
> 0 m 1
y
1
+ y
2
> 0

y
1
+ y
2
= 2m > 0

m > 0
y
1
y
2
> 0 y
1
, y
2
= 2m - 1 > 0 m >
1
2


a, Thay m = 1 vào phơng trình (1) :
x
2
- 4x - 1 = 0
Giải phơng trình trên ta đợc : x
1
= +2 +
5
; x
2
= +2 -
5
b, Ta có
'
= m
2
+ m + 3 = m
2
+ m +
1 11
4 4
+
2
1 11 11
( ) 0
2 4 4
m= + + >
phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

m.

1 2
2( 1)
2
x x m
x x m
+ = +
=
thay vào (*)
Ta có : A =
[ ]
3
2( 1) 3( 2)2( 1)m m m+ +
= 8(m + 1)
3
- 6(m
2
- 2m + m - 2)
= 8(m
3
+ 3m
2
+ 3m + 1) - 6m
2
+ 6m + 12
= 8m
3
+ 24m
2
+ 24m + 8 - 6m
2

4 (đpcm)
* Một số bài tập tơng tự :
Bài 1:
Chứng minh rằng phơng trình (x + 1) (x + 3) + m (x + 2) (x + 4) = 0 (1)
luôn luôn có nghiệm số thực với

giá trị của m.
16
Bài 2:
Cho 3 phơng trình : ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (3)
Với

a, b, c 0. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phơng trình trên
phải có nghiệm.
Bài 3:
Chứng minh rằng : Nếu a + b

2 thì ít nhất một trong hai phơng trình sau
có nghiệm:
x
2
+ 2ax + b = 0 (1) x

1
+ y
2
= x
1
+ x
2

1 2
2 1
3
1 1
y y
y y
+ =

Bài 5:
Cho phơng trình : 2x
2
+ (2m - 1)x + m - 1 = 0
a, Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với

m
b, Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm đó.
c, Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn :
-1 < x

+ x
1
2
x
2
+ 2007 đạt
giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
17
Bài 7:
Cho 2 phơng trình : x
2
+ ax + bc = 0 (1)
x
2
+bx + ac = 0 (2)
(a, b, c đôi một khác nhau và khác 0)
Cho biết (1) và (2) có đúng một nghiệm chung chứng minh rằng hai nghiệm
còn lại của phơng trình (1) và (2) là nghiệm của phơng trình.
x
2
+ cx + ab = 0
Bài 8: Biết rằng :
Phơng trình : x
2
+ ax + 1 = 0 có nghiệm x
1
= m (1)
Phơng trình : x
2
+ bx + 1 = 0 có nghiệm x

3
- x
2
3
= 7
b, Cho biết n = m - 2. Tìm m, n để x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 10:
Có hai phơng trình : x
2
+ mx + 2 = 0 (1)
x
2
+ 2x + m = 0 (2)
a, Tìm m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
b, Tìm m để hai phơng trình tơng đơng.
c, Xác định m để phơng trình : (x
2
+ mx + 2) (x
2
+ 2x + m) = 0
Có 4 nghiệm phân biệt
C - kết quả nghiên cứu:
Chuyên đề : Phơng trình bậc hai, định lý Viéte tôi đã trình bày và trao
đổi với nhóm toán của trờng từ năm học 2004 2005 và giảng dạy cho học sinh

sẻ với các bạn đồng nghiệp.
Nếu bài viết có gì sơ xuất rất mong đợc sự đóng góp của các bạn đồng
nghiệp.
Xin trân thành cảm ơn !
Phúc Hoà, ngày 19 tháng 4 năm 2007
Ngời viết sáng kiến
19
Gi¸p ThÞ Minh
20