Chuyên đề Giải, biện luận ph ơng trình bậc hai
A.Lý thuyết
1. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) (1) trong đó a, b, c là các
hệ số đẵ biết, x là ẩn.
2. Công thức nghiệm:

= b
2
4ac

< 0 phơng trình vô nghiệm

= 0 phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
= -
a
b
2


> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x
1

a

b'

> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

a
b
x


+


=
1
; x
2

a
b ''

=
.
3. Hệ thức Vi-ét:
* Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a

- Nếu a - b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x
1
= - 1; x
2
=
a
c

+ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S
2
4P

0 thì hai số đó
là hai nghiệm của phơng trình X
2
SX + P = 0 .
4. Một số bài toán biện luận phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
1) Phơng trình có nghiệm:
0



,
; 2) Phơng trình có nghiệm:
0
>


0
0
21
a
c
xx .
,
;
5) Phơng trình có hai nghiệm dơng









=
=+



0
0
0
21
21
a

a
b
xxS
.
,
;
Chuyên đề Giải phơng trình bậc hai Nguyễn Thanh Hùng Trờng THCS Tiên Nha
năm 2008
1
5.Một số bài toán ứng dụng hệ thức Vi- ét:
1)
P
S
xx
xx
xx
=
+
=+
21
21
21
11
.
;
2)
( )
PSxxxxxxxxxxxx 2222
2
21

xx
xx

=
+
=+
).(
;
4)
( )
( )
PSSPSSxxxxxxxxxxxxxxxx 3332
32
21
2
221
2
1212
2
221
2
121
3
2
3
1
==+++=++=+
)(.).().)((
;
Chuyên đề Giải phơng trình bậc hai Nguyễn Thanh Hùng Trờng THCS Tiên Nha

=
0
5 3x
2
- 19x - 22 = 0 22/3;-1 45 11x
2
+ 13x - 24 = 0
6
x
2
- (1+
2
)x +
2
= 0
2
;1
46 x
2
- 11x + 30 = 0
7 x
2
- 14x + 33 = 0 47 x
2
- 13x + 42 = 0
8 6x
2
- 13x - 48 = 0 48 11x
2
- 13x - 24 = 0

2
+ 3x + 1 = 0 53
x
2
- 2
2
x + 1 = 0
14 x
2
- 5x + 6 = 0 54
x
2
- 2
( )
13

x - 2
3
= 0
15 3x
2
+ 2x + 5 = 0 55 11x
2
+ 13x + 24 = 0
16 2x
2
+ 5x - 3 = 0 56 x
2
+ 13x + 42 = 0
17 x

2
- 7x + 10 = 0
21 3x
2
- 2x - 1 = 0 61 4x
2
+ 11x - 3 = 0
22 x
2
- 8x + 15 = 0 62 3x
2
+ 8x - 3 = 0
23 2x
2
+ 6x + 5 = 0 63 x
2
+ x + 1 = 0
24 5x
2
+ 2x - 3 = 0 64 x
2
+ 16x + 39 = 0
25 x
2
+ 13x + 42 = 0 65 3x
2
- 8x + 4 = 0
26 x
2
- 10x + 2 = 0 66 4x

32 4x
2
+ 28x + 49 = 0 72 3x
2
+ 5x + 4 = 0
33 x
2
- 6x + 48 = 0 73 x
2
+ 5 = 0
34 3x
2
- 4x + 2 = 0 74 x
2
- 4 = 0
35 x
2
- 16x + 84 = 0 75 x
2
- 2x = 0
36 x
2
+ 2x - 8 = 0 76 x
4
- 13x
2
+ 36 = 0
37 5x
2
+ 8x + 4 = 0 77 9x

- 4x + 2 = 0 80 x
4
- 5x
2
+ 4 = 0
Bài tập 2. Tìm x, y trong các trờng hợp sau:
a) x + y = 17, x.y = 180 e) x
2
+ y
2
= 61 , x.y = 30
b) x + y = 25, x.y = 160 f) x - y = 6, x.y = 40
c) x + y = 30, x
2
+ y
2
= 650 g) x - y = 5, x.y = 66
d) x + y = 11 x.y = 28 h) x
2
+ y
2
= 25 x.y = 12
Bài tập 3.Không giải phơng trình,hãy tính tổng và tích các nghiệm của phơng trình sau.
a) x
2
+ 6x + 8 = 0 e) x
2
+ 13x + 42 = 0
b) 11x
2

2
- ( b + 1 )x - 72 = 0 có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại.
Bài tập 6.Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của k phơng trình:
a) 7x
2
+ kx - 23 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
b) 12x
2
+ 70x + k
2
+ 1 = 0 không thể có hai nghiệm dơng.
c) x
2
- ( k + 1 )x + k = 0 có một nghiệm bằng 1.
Bài tập 7.Chứng tỏ rằng các phơng trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m:
a) x
2
- 4x m
2
= 0 d) x
2
+ ( m + 3 )x + m + 1 = 0
b) 2x
2
- 3x + m - 1 = 0 e) x
2
- ( 1 + 2m )x + m = 0
c) x
2
+ 2( m - 2 )x + m

Bài tập 9.Với giá trị nào của m thì các phơng trình sau đây: có nghiệm,vô nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, có
nghiệm kép.
a) 3x
2
- 2x + m = 0 c) 4x
2
+ mx + m
2
= 0
b) 5x
2
+ 18x + m = 0 d) 4x
2
+ mx - 5 = 0
Bài tập 10.Cho phơng trình: ( a - 3 )x
2
- 2( a - 1 )x + a - 15 = 0 .
Chuyên đề Giải phơng trình bậc hai Nguyễn Thanh Hùng Trờng THCS Tiên Nha
năm 2008
4
a)Giải phơng trình khi a = 13.
b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập 11.Cho phơng trình: x
2
+ ( m + 1 )x + m = 0 .
a)Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm.
b)Tính y = x
1
2
+ x

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Chứng minh rằng tổng và tích hai nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc vào k.
c)Tìm k để có hai nghiệm phơng trình thoả mãn hệ thức
2
311
2121
=++
xxxx
.
Bài tập 15.Cho phơng trình: ( 2m - 1 )x
2
- 2( m + 4 )x + 5m + 2 = 0 .
a)Xác định m để phơng trình có nghiệm.
b)Trong trờng hợp có nghiệm hãy tính theo m tổng S và tích P của các nghiệm.
c)Tìm hệ thức liên hệ giữa tổng S và tích P.
Bài tập 16.Cho phơng trình: x
2
- (2m + 3 )x + m - 3 = 0 .
a) Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau.
Bài tập 17.Cho phơng trình: x
2
- 2( m - 1 )x + m - 1 = 0 .
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm bằng nhau.
Bài tập 18.Cho phơng trình: x
2
+
3
x -

3
1
xx
+
Bài tập 19.Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 1 )x + m - 4 = 0 .
a)Giải phơng trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình, chứng minh rằng biểu thức
)1()1(
1221
xxxxA
+=
không phụ
thuộc vào giá trị của m.
Bài tập 20.Cho phơng trình: x
2
- m x + m - 1 = 0 .
a)Giải phơng trình khi m = 5.
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
Chuyên đề Giải phơng trình bậc hai Nguyễn Thanh Hùng Trờng THCS Tiên Nha
năm 2008
5