Chuyên đề Giải, biện luận ph ơng trình bậc hai
Hệ thức viét
A.Lý thuyết
1. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) (1) trong đó a, b, c là các
hệ số đẵ biết, x là ẩn.
2. Công thức nghiệm:

= b
2
4ac

< 0 phơng trình vô nghiệm

= 0 phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
= -
a
b
2


> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x
1


b'

> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

a
b
x


+


=
1
; x
2

a
b ''
=
.
3. Hệ thức Vi-ét:
* Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a


1
= - 1; x
2
=
a
c

+ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S
2
4P

0 thì hai số đó là
hai nghiệm của phơng trình X
2
SX + P = 0 .
4. Một số bài toán biện luận phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
1) Phơng trình có nghiệm:
0

,
; 2) Phơng trình có nghiệm:
0>

,
;
3) Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu

c
xx .
,
;
Chuyên đề Giải phơng trình bậc hai & H thc Viet
1
5) Phơng trình có hai nghiệm dơng









=
=+



0
0
0
21
21
a
c
xx
a

.
,
;
5.Một số bài toán ứng dụng hệ thức Vi- ét:
1)
P
S
xx
xx
xx
=
+
=+
21
21
21
11
.
;
2)
( )
PSxxxxxxxxxxxx 2222
2
21
2
2121
2
221
2
1

;
4)
( )
( )
PSSPSSxxxxxxxxxxxxxxxx 3332
32
21
2
221
2
1212
2
221
2
121
3
2
3
1
==+++=++=+ )(.).().)((
;
Chuyên đề Giải phơng trình bậc hai & H thc Viet
2
B.Bài tập áp dụng.
Bài tập 1: Giải các phơng trình bậc hai sau:
TT PTBH KQ TT PTBH KQ
1 x
2
- 11x + 30 = 0 5; 6 41 x
2

- (1+
2
)x +
2
= 0
2
;1
46 x
2
- 11x + 30 = 0
7 x
2
- 14x + 33 = 0 47 x
2
- 13x + 42 = 0
8 6x
2
- 13x - 48 = 0 48 11x
2
- 13x - 24 = 0
9 3x
2
+ 5x + 61 = 0 49 x
2
- 13x + 40 = 0
10
x
2
-
3

x
2
- 2
( )
13
x - 2
3
= 0
15 3x
2
+ 2x + 5 = 0 55 11x
2
+ 13x + 24 = 0
16 2x
2
+ 5x - 3 = 0 56 x
2
+ 13x + 42 = 0
17 x
2
- 7x - 2 = 0 57 11x
2
- 13x - 24 = 0
18
3x
2
- 2
3
x - 2 = 0
58 2x

2
+ 6x + 5 = 0 63 x
2
+ x + 1 = 0
24 5x
2
+ 2x - 3 = 0 64 x
2
+ 16x + 39 = 0
25 x
2
+ 13x + 42 = 0 65 3x
2
- 8x + 4 = 0
26 x
2
- 10x + 2 = 0 66 4x
2
+ 21x - 18 = 0
27 x
2
- 7x + 10 = 0 67 4x
2
+ 20x + 25 = 0
28 5x
2
+ 2x - 7 = 0 68 2x
2
- 7x + 7 = 0
29 4x

2
- 4x + 2 = 0 74 x
2
- 4 = 0
35 x
2
- 16x + 84 = 0 75 x
2
- 2x = 0
36 x
2
+ 2x - 8 = 0 76 x
4
- 13x
2
+ 36 = 0
37 5x
2
+ 8x + 4 = 0 77 9x
4
+ 6x
2
+ 1 = 0
38
x
2
2(
)23 +
x + 4
6

2
= 650 g) x - y = 5, x.y = 66
d) x + y = 11 x.y = 28 h) x
2
+ y
2
= 25 x.y = 12
Bài tập 3.Không giải phơng trình,hãy tính tổng và tích các nghiệm của phơng trình sau.
a) x
2
+ 6x + 8 = 0 e) x
2
+ 13x + 42 = 0
b) 11x
2
+ 13x - 24 = 0 f) 11x
2
- 13x - 24 = 0
Tính giá trị của biểu thức A = x
1
2
+ x
2
2
.
Bài tập 4.a)Tìm một phơng trình bậc hai có hai nghiệm là:
6
23 +
và
6

- 4x m
2
= 0 d) x
2
+ ( m + 3 )x + m + 1 = 0
b) 2x
2
- 3x + m - 1 = 0 e) x
2
- ( 1 + 2m )x + m = 0
c) x
2
+ 2( m - 2 )x + m
2
= 0 f) ( 2m
2
+1 )x
2
- 2( m
2
+ 2 )x + 1 = 0
Bài tập 8.Tìm điều kiện m để các phơng trình sau đây có nghiệm,vô nghiệm.
a) x
2
+ x - m = 0 d) x
2
- ( m - 1 )x + 1 = 0
b) 2x
2
- 3x + m - 1 = 0 e) x

2
- 2( a - 1 )x + a - 15 = 0 .
a)Giải phơng trình khi a = 13.
b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập 11.Cho phơng trình: x
2
+ ( m + 1 )x + m = 0 .
a)Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm.
b)Tính y = x
1
2
+ x
2
2
theo m, tìm m để y có giá trị nhỏ nhất, biết x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình đẵ cho.
Bài tập 12.Cho phơng trình: x
2
- 2( m + 1 )x + 2m + 10 = 0 .
a)Giải và biện luận số nghiệm của phơng trình theo m.
b)Tìm m sao cho 10 x
1
x
2
+ x
1
2

a) Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau.
Bài tập 17.Cho phơng trình: x
2
- 2( m - 1 )x + m - 1 = 0 .
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm bằng nhau.
Bài tập 18.Cho phơng trình: x
2
+
3
x -
5
= 0 , gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
, x
2
. Không giải phơng trình
tính giá trị của các biểu thức sau;
a)
21
11
xx
+
b)
2
2
2
1
xx +

thuộc vào giá trị của m.
Bài tập 20.Cho phơng trình: x
2
- m x + m - 1 = 0 .
a)Giải phơng trình khi m = 5.
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình, tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức A =
2
2
2
1
xx +
.
Bài tập 21.Cho phơng trình: x
2
-2(m+1)x + m
2
+4m-3 = 0.
a)Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có nghiệm?
b)Xác định m để hiệu giữa tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm đạt giá trị lớn nhất?
Bài tập 22. Cho phơng trình : x
2
+(2m-5)x-3n = 0
a)Giải phơng trình khi m=3 và n=2/3
b) Xác định m và n để phơng trình có hai nghiệm là 3 và -2
c) Khi m=4, xác định n để phơng trình có nghiệm dơng?

1
và x
2
thảo mãn
12
2
2
2
1
=+ xx
d) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
và x
2
, hãy tìm giá trị của m để biểu thức A=x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ
nhất .
Bài tập 26. Cho phơng trình x
2
-8x +m =0 (1)
a)Giải phơng trình (1) khi m = 12
b)Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép ?
c)Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
, x

2
của phơng trình (1) thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 4.

Bài tập 29. Cho phơng trình: x
2
+ ( m + 1 )x + m - 1 = 0 (1)
a. Chứng minh phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1), tìm m để biểu thức :A= x
1
2
x
2
+ x
1
x
2
2
+ 4 x
1
x

2
là hai nghiệm của phơng trình (1). Hãy tìm k để A= x
1
2
x
2
+ x
1
x
2
2
+2005 đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất ấy ?
Bài tập 32. Cho phơng trình (ẩn x tham số m): x
2
+ 4x 2m = 0 (1)
a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
b)Giải phơng trình với m = 6
Bài tập 33. Cho phơng trình : 2x
2
+ (2m - 1)x+ m - 1 =0 (1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = -1
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
c) Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài tập 34. Cho phơng trình: x
2
+ 2(m+1)x + m
2
+ 4 m + 3 = 0 (1) (x là ẩn, m là tham số)
a) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt?

Chuyên đề Giải phơng trình bậc hai & H thc Viet
7