CHỦ ĐỀ 7: Phương trình bậc hai – đònh lý vi ét
I. MỤC TIÊU:
• HS nắm vững các dạng toán về phương trình bậc hai: dấu của các nghiệm; mối quan hệ giữa
các nghiệm
• Rèn luyện kỷ năng giải các bài toán có tham số m và các điều kiện của nghiệm;
• Biết cách chứng minh một phương trình bậc hai luôn luôn có nghiệm và biết tìm các hệ thức
giữa các nghiệm độc lập đối với m
II. NỘI DUNG:
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1. Phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0

∆
= b
2
– 4ac > 0
⇒
phương trình có hai nghiệm phân biệt: x
1
=
-b +
2a
∆
;
x
2
=
-b -
2a
∆

là: S = x
1
+ x
2
=
-b
a
; P = x
1
.x
2
=
c
a
 Nếu có hai số x
1
; x
2
có S = x
1
+ x
2
và P = x
1
.x
2
thì hai số đó là nghiệm của phương trình:
x
2
– Sx + P = 0

= (m –
2
3
)
2
+
4
7
> 0 với mọi giá trò của m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
4. Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn một hệ thức nào đó:
• Lập
∆
• Phương trình có nghiệm khi
∆
≥
0. Từ đó suy ra điều kiện của m
• Áp dụng đònh lý Vi ét tính S = x
1
+ x
2
; P = x
1
.x
2
• Biến đổi đề bài thành một dãy các phép tính có chứa tổng và tích
• Thay S và P vào suy ra giá trò của m
• Đối chiếu điều kiện và kết luận
Ví dụ:
Cho phương trình: (m – 1)x

=
1m
1m
−
+
= 5
⇒
m =
2
3⇒
x
1
+ x
2
=
1m
m2
−
= 6
0
2
5
x
x
x
x
1

x
2
= 0
⇔
2(x
1
+ x
2
)
2
+ x
1
x
2
= 0
⇔
2.
( )
1m
1m
1m
m4
2
2
−
+
+
−
= 0
⇔

= m
2
+ 6m – 19 > 0. Ta xét dấu
∆
m –3 – 2
7
–3 + 2
7
∆
+ 0 – 0 +
Vậy khi m < –3 – 2
7
hoặc m > –3 + 2
7
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Ta có: x
1
+ x
2
= –m – 1 (1) ; x
1
. x
2
= 5 – m (2).
Từ (2) suy ra: m = –x
1
.x
2
+ 5
Thay vào (1): x

0
S > 0
P > 0
∆ ≥





 Hai nghiệm đều âm
⇔
0
S < 0
P > 0
∆ ≥





Ví dụ:
Cho phương trình ẩn x: (m – 1)x
2
+ 2(m + 1)x + m + 2 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương
b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm dương
Hướng dẫn:
a) Phương trình có hai nghiệm dương khi:
( )
m - 1 0




⇔
m
∈
∅
b) Phương trình có đúng một nghiệm dương khi xảy ra một trong các trường hợp sau:
• Có nghiệm kép dương:
⇔
0

-b m + 1
x = = - > 0
2a m - 1
∆ =






⇔
m = -3
m + 1
- > 0
m - 1




thoả mãn 1 < x
1
< x
2
< 6
c) Xác đònh m để x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trò nhỏ nhất
Hướng dẫn:
a) Ta có
Δ
= (2m – 3)
2
– 4(m
2
– 3m) = 9 > 0
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) x
1
= m – 3; x
2
= m
⇒
1 < x
1
< x

9

≥
2
9
Vậy giá trò nhỏ nhất của x
1
2
+ x
2
2
là
2
9
khi m =
2
3
Bài 2:
Cho phương trình: (m – 1)x
2
– 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số:
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
≠
1
b) Xác đònh giá trò của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy
tính tổng hai nghiệm của phương trình
c) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc m
d) Tìm m để phương trình có nghiệm x
1
, x

+
= 5
⇒
m =
2
3⇒
x
1
+ x
2
=
1m
m2
−
= 6

a) x
1
+ x
2
=
1m
m2
−
=
1m
m2

1
=++

⇔
2(x
1
2
+ x
2
2
) + 5x
1
x
2
= 0
⇔
2[(x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
x
2
] + 5x
1
x
2

= 1
⇔
m =
3
1
±
Bài 3:
Cho phương trình x
2
– 2(m + 1)x + m
2
– 4m + 5 = 0
a) Đònh m để phương trình có nghiệm
b) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình. Tính x
1
2
+ x
2
2
theo m
c) Tìm m sao cho x
1
2
+ x
2
2

= m
2
– 4m + 5
x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
x
2
= 12
4(m + 1)
2
– 2m
2
+ 8m – 10 = 12
2m
2
+ 16m – 6 = 12
m
2

a) Vì phương trình có hệ số a = 1 > 0 và c = – m
2
+ m – 1 = -(m -
1
2
)
2
-
3
4
< 0 nên ac < 0 với mọi
m. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu
b) p dụng hệ thức Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= -
2
m; P = x
1
.x
2
= – m
2
+ m – 1
x
1
2
+ x
2

7
4
với mọi m
Vậy giá trò nhỏ nhất của x
1
2
+ x
2
2
là
7
4
khi m =
1
2
Bài 5:
Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x
2
– 2x – m
2
– 4 = 0
a) Chứng tỏ phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trò của m
b) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm m để x
1
2
+ x

2
2
= 20 hay (x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
x
2
= 20
4 + 2m
2
+ 8 = 20
2m
2
= 8
m
2
= 4
m =
±
2
c) Khi m = -2 ta có phương trình: x
2
– 2x – 8 = 0. Giải phương trình này ta được hai nghiệm x
1
=

=
2
1
> 0
⇒
hai nghiệm của phương trình
đều là nghiệm dương
⇒
( )
2
225
2
1
2
2
5
2
2211
2
21
+
=+=++=+ xxxxxx

⇒

2
225
21
+
=+ xx

– m + 3
= m
2
– 3m + 4
= (m –
2
3
)
2
+
4
7
> 0 với mọi giá trò của m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Áp dụng đònh lý Viét ta có: x
1
+ x
2
= 2(m – 1) ; x
1
.x
2
= m – 3
Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi x
1
+ x
2
= 2(m – 1) = 0
m = 1
Bài 8:



=
+=
-3mP
n2mS
1
1
và
2
2
S m 3n
P 6
= +


=

(1)
⇔
(2) nên P
1
= P
2
và S
1
= S
2

⇔

2
2
1
21
với x
1
; x
2
là các nghiệm của (1)
Hướng dẫn:
a) Phương trình x
2
+ mx – 3 = 0 có
∆
= m
2
+ 12 > 0 với mọi m
b) p dụng đònh lý Viét ta có: x
1
+ x
2
= -m; x
1
.x
2
= n - 3
x
1
2
– x

x
1
= 1 +
2
; x
2
= 1 –
2
b) Ta có:
∆
’ = (m – 1)
2
– m + 3
= m
2
– 3m + 4
= (m –
3
2
)
2
+
7
4

≥

7
4
> 0 với mọi m

0
b) Chứng minh rằng nghiệm của phương trình (1) là nghòch đảo của các nghiệm của
phương trình: m
2
x
2
+ 10x – 1 = 0 (2) với m
≠
0
c) Với giá trò nào của m thì phương trình (1) có nghiệm thoả mãn điều kiện
6x
1
+ 5x
2
= 5
Hướng dẫn:
a) Vì a = 1 > 0; c = -m
2
< 0
⇒
ac < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m khác 0
b) Gọi a là nghiệm của phương trình (1) ta có: a
2
– 10a – m
2
= 0
Vì a khác 0 nên chia cả hai vế cho a
2
ta được: 1 – 10.


+ 10x – 1 = 0 (2) với m
≠
0
c) p dụng hệ thức Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 10; P = x
1
. x
2
= -m
2
Kết hợp với giả thiết 6x
1
+ 5x
2
= 5 ta được x
1
= - 45 ; x
2
= 55
⇒
x
1
. x
2
= -m
2
= -2475

Δ
2
= c
2
– 4a < 4c – 4a = 4(c – a) < 0
⇒
phương trình x
2
+ cx + a = 0 vô nghiệm
Bài 13:
Xác đònh m để hai phương trình :
x
2
– mx + 2m + 1 = 0
mx
2
– (2m + 1)x – 1 = 0
có nghiệm chung
Hướng dẫn:
Gọi x
0
là nghiệm chung của hai phương trình ta có:

( )
( )
2
0 0
2
0 0
x mx 2m m 0 (1)

⇒ = −

− − =

Vậy với m = -2 thì hai phương trình có nghiệm chung
Bài 14:
Cho hai số a và b khác 0 thoả mãn:
2
1
=+
b
1
a
1
. Chứng minh phương trình ẩn x
sau luôn có nghiệm (x
2
+ ax + b)(x
2
+ bx + a) = 0
Hướng dẫn:
Xét phương trình (x
2
+ ax + b) = 0 (1) có
∆
1
= a
2
– 4b
Xét phương trình (x

∆
1

+
∆
2
= a
2
+ b
2
– 4(a + b) = a
2
+ b
2
– 2ab = (a – b)
2

≥
0

⇒
Có ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.
Do đó phương trình (x
2
+ ax + b)(x
2
+ bx + a) = 0 luôn luôn có nghiệm