www.VIETMATHS.com
Chuyên đề 1: Phơng pháp cơ bản tìm cực trị đại
số
Chơng I: cơ sở lý thuyết
I. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu
thức
1.Định nghĩa1:
Cho biểu thức f(x,y) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của
f(x,y) trên D nếu hai điều kiện sau đợc thoả mãn:
- Với mọi (x, y) thuộc D thì f(x,y)

M với M là hằng số
- Tồn tại (x
0
, y
0
) thuộc D sao cho f(x
0
, y
0
) = M
2. Định nghĩa 2:
Cho biểu thức f(x,y) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất
của f(x,y) trên D nếu hai điều kiện sau đợc thoả mãn:
- Với mọi (x, y) thuộc D thì f(x,y)

m với m là hằng số
- Tồn tại (x
0
, y
0

min A
3)
a) P(x,y) = [Q(x,y)]
2n
+ a

a với a là hằng số, n

N
*
Nếu có (x
0
, y
0
) sao cho Q(x
0
, y
0
) = 0 thì min P(x,y) = a với mọi x, y thuộc
D
b) P(x,y) = - [Q(x,y)]
2n
+ b

b với b là hằng số, n

N
*
Nếu có (x
0

b)
a
b
+
b
a


2 (ab

0)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
6) Bất đẳng thức Bunhiacopsky
(ax + by)
2

(a
2
+ b
2
) (x
2
+ y
2
)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx
7) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
www.VIETMATHS.com
a
+

,
2
b
x
a


Nếu
0
>
thì f(x) cùng dấu với a nếu x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm và trái
dấu với a nếu x nằm trong khoảng 2 nghiệm.
Chơng II: Phơng pháp giải toán cực trị
Các bài toán về cực trị luôn là những bài toán khó .Do đó đối với nhiều học
sinh việc giải toán cực trị là không hề đơn giản nếu không biết phơng pháp
giải và kinh nghiệm. Nó đòi hỏi ngời làm toán phải nhìn bài toán theo những
góc độ khác nhau, biết vận dụng các kiến thức phù hợp với từng tình huống.
Sau đây, tác giả xin đợc đa ra một số phơng pháp giải toán cực trị đợc đúc
rút từ kinh nghiệm giải toán :
1. Phơng pháp dùng bất đẳng thức
2. Phơng pháp xét biểu thức phụ
3. Phơng pháp đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới
4. Phơng pháp chia khoảng để tìm cực trị
5. Phơng pháp dùng tam thức bậc hai
6. Phơng pháp tham biến
7. Phơng pháp giải toán cực trị với biểu thức chứa dấu căn
8. Phơng pháp giải toán cực trị với các biến có điều kiện
I.Phơng pháp dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị
VD1:
Tìm GTNN của A =

1 2x + 0 - -
2x - 3 - - 0 +
www.VIETMATHS.com
(1 2x)(2x
3)
- 0 + 0 -
Từ đó ta có (1 2x)(2x 3)

0



1
2


x


3
2
Vậy GTNN của A bằng 2 với
1
2


x


3

+ 3
4x
= 15 + 3
4x


15
Mặt khác ta có f(4) = 15 suy ra minf(x) = 15
VD3:
Tìm GTNN của S = x
2
+ y
2
+ z
2
với P = ax + by + cz không đổi (với a
2
+ b
2
+
c
2

0).Giá trị đó đạt đợc khi nào?
Giải:
Theo bất đẳng thức Côsi Bunhiacôpski ta có:
( x
2
+ y
2

b
y
a
x
==
, hay nói cách
khác S
min
=
222
cba
P
++
.
Khi x=
222
cba
aP
++
; y =
222
cba
bP
++
; z =
222
cba
cP
++
.

1 1 1 1
2 2
x
x x
x x x

+
= =
2.( 2)
2
y
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
1.( 1)
1 1 1 1
2 2
x
x x
x x x

+
= =

2 2.( 2)
2 2 1 2
4
2 2 2 2 2
y y
y
y
y y

Giải:
Ta xét biểu thức A
2
= (2x + 3y)
2
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:
A
2
=
( )
2
2. 2 3. 3x y+



2
1
2 3 x
( )
(
)
(
)
( )
2 2
2 2
2 3 2 3x y

+ +


2


25 nên -5

A

5
MinA = -5
1
2 3 5
x y
x y
x y
=

= =

+ =

MaxA = 5
1
2 3 5
x y
x y
x y
=

= =


x
ab
x
x
ab
22 =+
www.VIETMATHS.com
Khi đó:
2
)(2
))((
baabba
x
xbxa
+=++
++
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là (
2
)ba +
đạt đợc khi
abx =
VD7:
Tìm giá trị lớn nhất của:
a)
)53)(12()( xxxf =
;
b)
)1()1()(
3
xxxf +=

40
1
4
1
.
4
1
.
5
2
)53(
2
5
5
4
1
.
5
2
)53)(
2
5
5(
5
2
)53)(12()(
2
==



3
1
.
2
3
4
11133
3
1
)1)(1)(1)(33(
3
1
)(
44






=






++++++
+++=
xxxx

22
1
khi
2=x
d) f(x) =
32
2
)2( +x
x
. Ta có:
27
1
)(27)2(311
232
3
22
+++
xfxxxx
.
Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất là
27
1
, khi
1=x
.
VD8:
Tìm giá trị dơng nhỏ nhất của

x
x

444
),,( zyxzyxf ++=
.
Giải:
áp dụng bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski với n = 3, ta có:

( )
2
222444222
))(111( zyxzyx ++++++

( )( )
2222222222
)( zxyzxyxzyzyx
++++++
Từ đó suy ra
( )
( )
2
444
3 zxyzxyzyx
++++

Suy ra
( ) ( )
3
16
,,16,,3

zyxfzyxf

A x y=
biết rằng
2 2
4 1x y+ =
II.phơng pháp xét biểu thức phụ
VD1:
Tìm GTLN, GTNN của
A =
2
1
2 3 x
Giải:
www.VIETMATHS.com
Điều kiện:
3x
Dễ thấy A

0
Ta xét biểu thức:
B =
1
A
=
2
2 3 x
Ta có:
2
0 3 3x

2

. Các biểu thức phụ thờng xét có thể là -A, A
2
,
A
.Trong ví dụ dới đây,
ta xét biểu thức phụ B sai khác với A một hằng số.
VD2:
Tìm GTNN của:
A =
2 1
1 x x
+

với 0 < x <1
Giải:
Để áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta xét biểu thức:
B =
2 1
1
x
x x

+

áp dụng bất đẳng thức Côsi với hai số dơng
2
1
x
x
và

< <

www.VIETMATHS.com
Giải (1):
2x
2
= (1 x)
2

2 1x x =
Do 0 < x < 1 nên x
2
= 1 x
1 1 x
x
+
+
1
2 1
2 1
x = =
+
Vậy minB = 2
2

2 1x =
Bây giờ ta xét hiệu A- B
A B =
2 1 2 1 2 2
1 1 1

2
với x =
1
MaxA = 2 với x = 0
VD4:
Tìm GTNN của:
2 2
4 12 2 3x x x x + + + +
Giải:
TXĐ:
2
2
4 12 0 ( 2)(6 ) 0
1 3
( 1)(3 ) 0
2 3 0
x x x x
x
x x
x x

+ + +




+
+ +



(
)
2
99 101A x x= +
Bài 2. TìmGTLN, GTNN của:

2
2 5A x x= +
Bài 3. Tìm GTNN của:
2 2
1 1A x x x x= + + + +
III. Phơng pháp đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới
VD1:
Tìm GTLN, GTNN của
A= (x
4
+ 1) (y
4
+ 1) biết x, y > 0, x + y =
10
Giải:
A= (x
4
+ 1) (y
4
+ 1)
= x
4
+ y
4

4
= 100 40xy + 2x
2
y
2
Đặt xy = t thì x
4
+ y
4
= 100 40t + 2t
2
Do đó A = 100 40t + 2t
2
+ t
4
+ 1
= t
4
+ 2t
2
40t + 101
a) Tìm GTNN
A = t
4
8t
2
+ 16 + 10t
2
40t + 40 +45
= (t


Hoặc x =
10 2
2

, y =
10 2
2
+
b) Tìm GTLN
Ta có
2
2
10 5 5
0 0
2 2 2 2
x y
xy t

+

= =
ữ
ữ
ữ (1)
Viết A dới dạng:
A = t(t

2 1 2 1A x x x x= + +
Giải:
Đặt
1 0x y =
1 1 1 1 2A y y y y= + + =
Suy ra minA = 2
0 1 1 2y x
VD 3:
Tìm GTLN, GTNN của:
A =
x x y y+
biết
1x y+ =
Giải:
Đặt
,x a y b= =
, ta có
, 0, 1a b a b + =
( )
( )
( )
2
3 3 2 2 2 2
3 1 3A a b a b a ab b a ab b a b ab ab= + = + + = + = + =
Do
0ab

nên
1A
MaxA = 1

ữ
ữ với
, 0x y
Bài 2. Tìm GTNN của:
2
5 3
1
x
A
x

=

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:
2 2
2 2
x xy y
A
x xy y
+
=
+ +
IV. phơng pháp chia khoảng để tìm cực trị
VD1
Tìm GTLN của
A = x
2

x
x x
x

+ +
ữ
=
ữ
ữ

Do đó A

4 (1)
b) Xét x > 3, khi đó A

0 (2)
So sánh (1) và (2) ta đi đến kết luận:
3
4 2
2
0
x
x
MaxA x
x

=

= =


. . 2 8
4 2 2 3 3
x x
x
A x x x
x

+ +
ữ


= =
ữ
ữ

ữ

32 32A A
Suy ra minA = - 32 với x = 4
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN của:
2
1A x x=
Bài 2. Tìm GTLN của:

2 2
9A x x=
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:

( )

2
+
9 9
4 4

MaxA =
9 1 1 7
2
4 2 4 4
y x x = = =
2. Đổi biến để đa về bất phơng trình bậc hai đối với biến mới
VD:
Tìm GTLN, GTNN của
A = x
2
+ y
2

Biết rằng x
2
(x
2
+ 2y
2
3) + (y
2
2)
2
= 1 (1)
Giải:

3
Min A = 1

x = 0, khi đó y =

1
MaxA = 3

x = 0, khi đó y =

3
3. Đa về phơng trình bậc hai và sử dụng điều kiện

0
VD1:
Tìm GTLN, GTNN của:
A =
2
2
1
1
x x
x x
+
+ +
Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phơng trình sau đây có nghiệm
a =
2
2


0, tức là:


(a +1)
2
4(a 1)
2


0


(a + 1 + 2a 2) (a + 1 2a +2)

0
www.VIETMATHS.com


(3a 1) (a 3)

0



1
3
3
a
(a

3
là tập giá trị của hàm số A =
2
2
1
1
x x
x x
+
+ +
b) Cách khác tìm GTLN của A:
A =
2 2 2
2 2
3 3 3 2 4 2 2( 1)
3 3
1 1
x x x x x
x x x x
+ +
=
+ + + +
MaxA = 3 khi và chỉ khi x = -1
c) Cách khác tìm GTNN của A:
A =
2 2 2 2
2 2 2 2

x
+ +
+
(1)
Do x
2
+ 1 > 0 nên
(1)

x
2
(a 2) 4x + a 5 = 0 (2)
Trờng hợp 1:
Nếu a = 2 thì (2) có nghiệm x = -
3
4
Trờng hợp 2:
www.VIETMATHS.com
Nếu a

2 thì phơng trình (2) có nghiệm



'

= 4 (a 2)(a 5)

0


1 nên ta có:

B
a
=
2 2 2 2
2 2
2 4 5 2 4 5x xy y x xy y
a x y
+ + + +
=
+
Trờng hợp 1:
Nếu y = 0 thì
B
a
= 2
Trờng hợp 2:
Nếu y

0 ta đặt t =
x
y
thì
B
a
=
2
2
2 4 5



ữ ữ
ữ ữ

MinB = a khi và chỉ khi
2
2
2 4
x mx n
x x
+ +
+ +
2 2
x
x y
y
= =
Hay khi và chỉ khi (x, y) nhận giá trị
2 5 5 2 5 5
, ; ,
5 5 5 5
a a a a


ữ ữ
ữ ữ

VD4:
Tìm GTLN và GTNN của:


0

d
2

25

d

5
Maxd = 5

Maxc = 6 và đạt đợc khi
z =
4
25
d
=
2
4 16
5 25
x z = =
(thoả mãn
0 1x
)
d =
4 3 2 12z y yz+
Đẳng thức xảy ra khi 4z = 3y. Thay vào (1) ta tính đợc z =
3 1 9

Gọi a là giá trị tuỳ ý của biểu thức A. Ta có:
a =
2
2
2 4
x mx n
x x
+ +
+ +


x
2
+ mx + n = ax
2
+ 2ax + 4a


(a 1)x
2
+ (2a m) + (4a n) = 0 (1)
Theo điều kiện của bài toán, giá trị a = 1 không là GTLN, không là GTNN
của A nên ta chỉ xét a

1.
Điều kiện để (1) có nghiệm là:

( ) ( ) ( )
2
( , ) 0 , 0 2 0 2 0f x y g x y y x y x= = + = =

Theo hệ thức Vi- et đối với phơng trình (3) :
www.VIETMATHS.com
( )
1 2
2 2
2
1 2
1 4
4 4
3
4 10
3 3
12
1 4 4 12
4
.3
3 12
12
n m
m n
a a
n m
n m n m
n m
a a

+


+ =

x x
+ +
=
+ +
có GTNN là
1
3
và GTLN là 3
Với m = -2 thì n = 4, khi đó
2
2
6 12
2 4
x x
A
x x
+ +
=
+ +
có GTNN là
1
3
và GTLN là 3
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4M x x x x=
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của:
2
1

2 2 2
1
x x
D
x
+ +
=
+
Bài 6. Tìm GTNN của:
2
5 3
1
x
E
x

=

Bài 7. Tìm GTNN của:
2
1
F x x
x
= + +
với x > 0
VI. Phơng pháp tham biến để tìm cực trị của một biểu thức
Giả sử cần tìm cực trị một biểu thức Q(x). Để đơn giản ta chỉ cần xét biểu
thức Q(x) luôn xác định trên tập số thực. Ta đa thêm tham biến t để xét biểu
thức
( ) ( )

Xét f(x) = Q(x) - t
( )
2 2
2
8 7 1
1
x x t x
x
+ + +
=
+
Vì
2
1x +
0
với mọi số thực x nên dấu của f(x) chính là dấu của tử thức g(x)
=
( )
2 2
8 7 1x x t x+ + +
hay g(x) =
( )
2
1 8 7t x x t + +
(1)
Xét tam thức g(x) =
2
ax bx c+ +
=
( )

2
16 1 7 8 9t t t t = = + +
0
=
khi t = -1 hoặc t = 9
Với t = -1 thì a = 1 t = 2 > 0 nên g(x)

0
( ) 0f x
Suy ra f(x) = 0
( )
2
( ) 0 2 2 0 2g x x x = + = =
Với t = 9 thì a = 1 t = -8 < 0 nên
( ) 0 ( ) 0g x f x
Suy ra Q(x) có GTLN là 9 và xảy ra khi f(x) = 0
( )
2
1
( ) 0 2 2 1 0
2
g x x x = = =
Nh vậy phơng pháp tham biến cho phép ta chuyển việc xét cực trị một
biểu thức Q(x), tức là xét một bất phơng trình Q(x)

t hoặc Q(x)

t về việc
xét một phơng trình
( )

(3 ) 4t y xy tx
(1)
Nếu t = 3 thì g(x,y) =
2
3 4x yx
Vì
2
4 0y =
nên g(x,y) = 0 khi và chỉ khi y = 0, (x = 0 đã bị loại trừ)
Xét (1) theo biến y ta có:
( )
( )
2 2 2 2
4 3 4 3
y
x t t x t t x = + = +
0
y
=
với mọi x khi t = -1 hoặc t = 4
Với t = -1 thì a = 3 t = 4 > 0 nên
( ) 0 ( , ) 0g x f x y
Suy ra Q(x,y) có GTNN là -1 và xảy ra khi
( ) ( )
2
( , ) 0 , 0 2 0 2 ( 0)f x y g x y y x x y= = = =
Với t = 4 thì a = 3 t = -1 < 0 nên
( )
( , ) 0 , 0g x y f x y
Suy ra

( )
2
1ux v t x+ +
hay g(x) =
2
tx ux v t + +
Để GTLN của Q(x) là 4 và GTNN của Q(x) là -1 xảy ra đồng thời thì dựa
vào (*) ta phải có:
1
2
1
0
=


=

Hay
( )
( )
2
2
2
16 4 0
3
16
4 1 0
u v
v
u

2 2
1
(1 )
x
Q
x
+
=
+
3)
2 2
2 2
x xy y
Q
x xy y
+
=
+ +
4)
2 2
2 1
7
x y
Q
x y
+ +
=
+ +
5)
2

[ ]
1;1
VII.phơng pháp giải toán cực trị của biểu thức chứa dấu căn
Các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu căn thờng gặp
trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 và các kỳ thi học sinh giỏi. Với cơ sở
lý thuyết đã đợc cung cấp ở chơng I, tác giả xin đa ra một số ví dụ minh
hoạ
VD1:
Tìm GTNN của biểu thức sau với x
R
1)
( ) ( )
2 2
1996 1997D x x=
2)
1
1
F
x x
=
+ +
Giải:
1)
1996 1997D x x= +
Cách 1: Xét các khoảng giá trị của x
Với x < 1996 thì D = 1996 - x + 1997 x = 3993 2x > 1
Với
1996 1997x
thì D = 1
Với x > 1997 thì D = 2x 3993 > 1

0
min
x
F
≥
( ) ( )
2 2
( ) 0 ( )x a y a xy a x y a xy as a a s a− − ≤ ⇔ ≤ + − ⇔ ≤ − = −

V×
0x
≥
nªn
{ }
0
min
x
x
≥
= 0
VËy minF = -1 x¶y ra khi x = 0
C¸ch 2:
1
1
1 1x
≤
+ +
v×
0x ≥
Do ®ã

( )
( )
1 1 2 2
2 2 2 .
2
2 2 2 2
1 1 3 3
3 3 3 .
2
3 3 2 3
y y
y y
y z
z z
+ −
− = − ≤ =
+ −
− = − ≤ =
Do ®ã
2
2 2 2 3
x y z
K
x
y z
≤ + +
1 1 1 1 1 1
1
2 2
2 2 2 3 2 3

x
H
x

=

xác định khi -1 < x < 1
0H
>
Ta có
( )
2
2
2 22
2
2 2 2
2
3 5
9 30 25 16 165 3 25 30 9
16 16
1 1 1
1
x
x x xx x x
H
x x x
x


+ + +

minK = 2
( ) ( )
1 1 1 1 0x x + + +
Vì
1 1 0x + + >
nên
1 1 0 0x x +
Vậy minK = 2 xảy ra khi
1 0x

Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN của biểu thức:
A =
2
6 13x x +
Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức:
B =
( )
2 37
2 1
x x
x
+ +
+
Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức:
C =
2
3
3 2
2

2
2 2 4
x y s s
xy
+

= =
ữ ữ

Vậy GTLN (xy) =
2
4
s
khi và chỉ khi
2
s
x y= =
Cách 2:
Đa về xét cực trị của hàm một biến
( )
2
2 2 2 2
2 2
4 4 4 2 4
s s s s s
xy x s x sx x x sx x= = = + =
ữ

Vậy GTLN (xy) =
2
4
s
khi và chỉ khi
2
s
x y= =
Việc giải bài toán trên sẽ khó khăn hơn khi các biến bị ràng buộc thêm một
điều kiện nữa
VD2:
Tìm GTLN của tích xy với x, y là các số dơng thoả mãn hai điều kiện
(1) x + y = s
(2) y

a
trong đó s, a là những số dơng cho trớc và a < s
Giải:
Nếu
4
s
a
thì theo cách giải ở VD1 ta có GTLN (xy) =
2
4
s
khi và chỉ khi
2
s
x y= =

(2) z

a
trong đó s, a là những số dơng cho trớc và a < s
Giải:
Nếu
3
s
a
thì áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
3 3
3 3
x y z s
xyz
+ +

=
ữ ữ

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
s
x y z= = =
Lúc đó, GTLN(xyz) =
3
3
s

ữ


áp dụng cách giải 3, từ
2
x y
a z
+
<
ta có
( )
0
2
x y
a z a
+


ữ

2 2
x y x y
z a z a
+ +

+
ữ ữ

(**)
Từ (*),(**) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
www.VIETMATHS.com
2
2

a


ữ

VD4:
Tìm GTLN của tích xyz với x, y, z là các số dơng thoả mãn các điều kiện
(1) x + y +z = s
(2) z

a
(3) y

b với b là số dơng cho trớc,
x b y<
b a s <
trong đó s, a là những số dơng cho trớc và a < s
Giải:
Nếu
2
s a
b


thì giải nh VD3
Xét trờng hợp
2
2
s a
b s a b

điều kiện
(1) x + y +z = s
(2) z

a
www.VIETMATHS.com
(3) y

b với b là số dơng cho trớc,
x b y<
b a s
<
trong đó s, a là những số dơng cho trớc và a < s
Bài 2. Tìm GTLN của tích xyzt với x, y, z, t là các số dơng thoả mãn các
điều kiện :
(1) x + y +z + t = s
(2) t

a
(3) z

b
(4) y

c
trong đó s, a, b, c là những số dơng cho trớc và c < b < a < s
Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức x + y thoả mãn điều kiện

2 10x y+ =
Bài 4. Tìm GTNN của biểu thức A =

Từ đó S
1 1
64 64
ma x
S =
Nhận xét: Cách giải trên cho đáp số sai vì điều kiện xảy ra dấu bằng của các
bất đẳng thức đã dùng không đạt đợc đồng thời. Cụ thể:
1
64
S =
đạt đợc khi và chỉ khi
0
1
1 , , 0
, , 0
z x y
y x z x y z
x z y x y z
x y z x y z
x y z
= +


= + = = =



= + + + =