Cực trị hàm bậc ba
I,Tóm tắt lý thuyết:
1.Hàm số
dcxbxaxxfy
+++==
23
)(
(
0

a
)
2.Đạo hàm :
cbxaxxfy
++==
23)(''
2
3.Điều kiện tồn tại cực trị
Hàm số
)(xfy
=
có cực trị

)(xfy
=
có cực đại và cực tiểu
0)('
=
xf
có
hai nghiệm phân biệt




+=
a
bc
dx
a
b
cxf
a
b
xxf
933
2
)('
93
1
)(
Tức là:
)()(').()( xrxfxqxf
+=
Bớc 2:Do



=
=
0)2('
0)1('

dx
a
b
cxrxfy
a
bc
dx
a
b
cxrxfy
.Hệ quả:Đờng thẳng đi qua CĐ,CT có phơng trình là:

)(xrY
=
hay
)
9
()
3
(
3
2
a
bc
d
a
b
cy
+=
II.Các dạng bài tập:

53)2(
23
+++=
mxxxmy
có cực đại và cực tiểu
Giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu

phơng trình
0)('
=
xy
có hai nghiệm phân biệt

06)2(3
2
=+++
mxxm
có hai nghiệm phân biệt
123
032
2
0963'
02
22
<<



<+

<<+=
mmy
Bài 4:Tìm m để hàm số
)()3(4)3(
3
1
223
mmxmxmxy
+++++=
đạt cực trị tại x1,x2 thỏa
mãn điều kiện -1<x1<<x2
Giải: yêu cầu bài toán
0)3(4)3(2)('
2
=++++=
mxmxxy
có hai nghiệm phân biệt
x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1<x1<x2
3
2
7
)3(1
072
032
2
1
0)1('.1
0'
2
<<

3
1
2223
+++++= mxmxmmxy
đạt cực tiểu tại x=2.
Giải:
*Điều kiện cần:
Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 suy ra
0)2('
=
f
ta có
13)2(2)('
222
++++=
mxmmxxf
suy ra
3;1034
2
===+
mmmm
*Điều kiện đủ:
Nếu m=3 thì
2012)2(''162)(''
=>=+=
CT
xfxxf
Nếu m=1 thì
0)2(''42)(''
=+=

2
x
x
xxxgxf
suy ra hàm số
)(xfy
=
đạt cực trị tại x1,x2
.Thực hiện phép chia
)(xf
cho
)(xg
ta có
)1(6)1)(()(
=
xxxgxf
do



=
=
0)2(
0)1(
xg
xg
nên




xff
xff
xf
xf
xxf
cd
ct
.Phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT là
)1(6
=
xy
Bµi 2:T×m m ®Ó hµm sè
1)2(6)1(32)(
23
−−+−+=
xmxmxxf
cã ®êng th¼ng®i qua
C§,CT song song víi ®êng th¼ng
baxy
+=

Gi¶i:
.§¹o hµm
)2)1((6)('
2
−+−+=
mxmxxf

02)1()(0)('
2




=
=
0)2(
0)1(
xg
xg
nªn





+−−−−==
+−−−−==
)33(2)3()2(2
)33(1)3()1(1
22
22
mmxmxfy
mmxmxfy
suy ra ®êng th¼ng qua C§,CT lµ(
∆
):
)33()3(
22
+−−−−=
mmxmy

a
am
am
am
m
baxy
3
0
3
0
)3(
0,3
)3(
3
22
vËy nÕu
0
≥
a
th× kh«ng tån t¹i m;nÕu a<0 th×
am
−±=
3
Bµi 3: T×m m ®Ó hµm sè
xmmxmxxf )21(6)1(32)(
23
−+−+=
cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu
n»m trªn ®êng th¼ng
xy 4

2
mmmxmmxxgxf
−−+−−−+=
Víi
3
1
≠
m
th×
0)(
=
xg
cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 vµ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1,x2
do



=
=
0)2(
0)1(
xg
xg
nªn





−−+−−==








=




=
=
==
m
m
m
mmm
m
xyxy
Bài 4: Tìm m để hàm số
37)(
23
+++= xmxxxf
có đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu
vuông góc với đờng thẳng
73
=
xy

++=
Với
21
>
m
thì
0)('
=
xf
có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại
x1,x2
do



=
=
0)2('
0)1('
xf
xf
nên







+==

+=
ta có (

) vuông góc với đờng thẳng
73
=
xy





=
>

13)21(
9
2
21
2
m
m
dạng 3:sử dụng định lý viét cho các điểm cực trị
bài 1:Cho
1)2cos1(8)sin3(cos
3
2
)(
23
+++=


=
=




=
=
0sin
0cos
0sin3cos
0cos
a
a
aa
a
==+=
101sincos0
22
aa
vôlý
Từ đó suy ra
0)('0'
=>
xfa
có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị
tại x1,x2.
2.Theo định lý Viét ta có


luôn đúng
Bài 2: Cho
xmmxmxxf )24()1(
3
2
)(
223
+++++=
1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
2.Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1.
3.Gọi các điểm cực trị là x1,x2.tìm max của A=
)21(221 xxxx
+
Giải:
Đạo hàm
34)1(22)('
22
+++++=
mmxmxxf
1.-5<m<-1
2.hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1
0)('
=
xf
có hai nghiệm phân biệt x1,x2
thỏa mãn
)23;5(
3
)23()23(
15













<
>
>
<




<
<<
m
m
mm
m
m
S
f
f

)21(221
2
2
=+=++
++
=+
mm
mm
xxxx
Với m=-4
)1;5(

thì Max A=
2
9