CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
1
Website:
/>
Email:
Mobile: 0976 266 202CHỦ ĐỀ 2. BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ
1. Tóm tắt lý thuyết
Hàm số
( )
f x
có tập xác định
f
D
.
Điểm cực đại: Điểm
0
f
x D
được gọi là điểm cực đại của hàm số
( )
f x
nếu tồn tại một khoảng
;
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số
( )
f x
nếu tồn tại một khoảng
;
f
a b D
sao cho
0
;
x a b
và với mọi
0
; \
x a b x
thì
0
( ) ( )
f x f x
- Nếu
'( )
f x
đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua
0
x
thì
0
x
là điểm cực tiểu của hàm số.
Định lý 3(Dấu hiện nhận biết điểm cực đại, cực tiểu)
- Nếu
0 0
'( ) 0, ''( ) 0
f x f x
thì
0
x
là điểm cực đại của hàm số.
- Nếu
0 0
'( ) 0, ''( ) 0
f x f x
thì
0
x
là điểm cực tiểu của hàm số.
Định lý ba được áp dụng trong trường hợp bài toán yêu cầu tìm tham số để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
Phương pháp giải.
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính đạo hàm và giải phương trình
' 0
y
.
Bước 3. Xác định dấu của đạo hàm khi đi qua các điểm tới hạn(hoặc kẻ bảng biến thiên) và đưa ra kết luận.
Bài tập minh họa
Dạng 2. Số điểm cực trị của hàm số(có chứa tham số)
Đối với hàm đa thức bậc 3
3 2 2
' 3 2
y ax bx cx d y ax bx c
.
- Nếu
2
' 3 0
b ac
hàm số không có cực trị.
- Nếu
2
' 3 0
b ac
hàm số có hai cực trị
- Để hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0, điều này tương đương với
0
2
b
a
.
- Nếu
0
2
b
a
hàm số có duy nhất một cực trị.
Bài tập minh họa
Bài 1. Tìm các giá trị của m để
a) Hàm số
3 2 2
1
2 3 2 8
3
y x mx m m x
có cực trị.
b) Hàm số
3 2
3 2 2
1
2 3 2 8
3
y x mx m m x
có cực trị.
Ta có
2 2
' 2 2 3 2
y x mx m m
. Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình
' 0
y
có hai nghiệm
phân biệt, điều này tương đương với :
2
' 3 2 0 1 2
m m m
.
Vậy
1;2
m
Vậy
3 21 3 21
;
2 2
m
là giá trị cần tìm.
c) Hàm số
4 2 2
9 10
y mx m x
có 3 cực trị.
Ta có
3 2 2 2
' 4 2 9 2 (2 9)
y mx m x x mx m
. Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình
' 0
y
1 3
4 2
y x mx
chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
Ta có
3 2
2
0
' 2 2 ; ' 0
2
x
y x mx x x m y
x m
.
+ Nếu
0
m
hàm số chỉ có cực tiểu tại
0
Bài toán liên quan đến biện luận số điểm cực trị của hàm số áp dụng đối với hàm trùng phương
Bài 2. Tìm các giá trị của m để
a) Hàm số
4 2
1 2 1
y m x m x
có ba cực trị.
b) Hàm số
4 2
1
y x mx
có ba cực trị.
c) Hàm số
4 2
1 2 1
y m x m x
có đúng một cực trị.
- Nếu
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
M
là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
- Nếu
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
2 3 1 5
3
y x m m x m x m
đạt cực tiểu tại
2
x
.
Bài giải
a) Hàm số
3
3
y x m x
đạt cực tiểu tại
0
x
.
Ta có
2
' 3 3; '' 6
y x m y x m
.
Thử lại với
1
m
thì hàm số
3
1 3
y x x
có
'(0) 0
''(0) 0
y
y
.
Lưu ý : Sẽ không có điều tương đương trên, mà chỉ có là nếu đạt cực tiểu tại
0
x
thì
'(0) 0
''(0) 0
y
y
2
' 2 2 3 1
'' 2 2 2
y x m m x m
y x m m
.
Hàm số đạt cực tiểu tại
2
x
thì
2
2
'( 2) 0 2 2 0
4
''( 2) 0
4 0
y m m
m
Dạng 4. Hoành độ, tung độ điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Giả sử hai điểm cực trị lần lượt là
1 1 2 2
; ; ;
x y x y
.
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
6
Website:
/>
Email:
Mobile: 0976 266 202Bài toán có thể yêu cầu tìm điều kiện của tham số để
1 2 1 2
, , , 0
f x x y y
, trong đó
.
Bài tập minh họa
Bài 1. Tìm các giá trị của m để
a) (TSĐH Khối D 2012) Hàm số
3 2 2
2 2
2 3 1
3 3
y x mx m x
có hai điểm cực trị
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2 1 2
2 1
x x x x
.
b) Hàm số
y x mx mx
có hai cực trị
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
4
x x
.
e) Hàm số
3 2
1 1 50
2 1 1
3 2 9
y x m x x
có hai cực trị
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
2
x x
.
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi
' 0
y
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
, điều này tương đương
với
2 2
2
' 4 3 1 0
13
m m m
.
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
7
Website:
/>
Email:
Mobile: 0976 266 202Khi đó theo Vi-ét ta có
1 2
. Đối chiếu với điều kiện chỉ nhận
2
3
m
.
Vậy
2
3
m
là giá trị cần tìm.
b) Hàm số
2
3 1
y x m x x m
có cực đại và cực tiểu thỏa mãn
D
. 1
2
2 1
1
1
3
m
m
m
m
x x
2
' 3 2 1
y x m x m
.
2
' 0 3 2 1 0 (*)
y x m x m
Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
2
2 1 0 1
m m m
.
Yêu cầu bài toán tương đương với (*) có 2 nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn :
.
Kết hợp với điều kiện suy ra
0 1
m
là giá trị cần tìm.
d) Hàm số
3 2
1
3 2
3
y x mx mx
có hai cực trị
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
4
x x
.
2
2
2
1 2
1 2 1 2
3 0
3 0
' 3 0
4 1
4 12 16 0
4
4 16
m m
m m
m m
m m
m m
x x
x x x x
1 1 50
2 1 1
3 2 9
y x m x x
có hai cực trị
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
2
x x
.
Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi
2
50
' 2 1 0
9
y x m x
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
, điều này
tương đương với :
, thỏa mãn điều kiện.
Vậy
2; 3
m
là giá trị cần tìm.
Bài 2. Tìm các giá trị của m để
a) Hàm số
3 2
3 3 2 1 1
y mx mx m x
có hai cực trị
là độ dài các cạnh góc vuông
của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng
5
2
.
d) Hàm số
3 2 2
2 1 3 2 4
y x m x m m x
có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục tung.
e) Hàm số
3 2
3 2
y x x mx
có cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng
1
y x
.
f) Cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
3 2 3
3 4
y x mx m
1 2 2 2
y x m x m x m
có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ hơn 1.
i) Hàm số
3 2
3 1 3 2 2
y x m x m m x m
có cực trị, đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại
đến trục hoành bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến trục tung.
j) Điểm cực đại, cực tiểu của hàm số
3
3 2
1 4
1 1
3 3
y x m x m
nằm khác phía với đường tròn
2 2
: 4 3 0
T x y x
Để hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi
' 0
y
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
, điều này tương đương với
2
0
' 2 1 0
1
3
m
m m m
m
.
Khi đó
. Suy ra
2 2
2 2 2 2 2 2
3
4 2 4.2 1 0 2 3 0 1
2
x x x x x x
.
Với
2 1
2 1
1 3 (*) 3 1
m
x x m
m
, thỏa mãn điều kiện.
Với
2 1
3 1 3 2 1 4
(*)
2 2 4 11
m
x x m
3 2
2 12 13
y x mx x
có cực đại và cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung.
Ta có
2
' 2 3 6
y x mx
. Phương trình
' 0
y
có
2
72 0
m
nên hàm số luôn đạt cực trị tại hai
điểm
1 2
,
x x
. Điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số cách đều trục tung khi và chỉ khi
1 2 1 2 1 2
0 0
3
2 2
' 3
y x mx m
. Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình
' 0
y
có hai nghiệm dương
phân biệt
1 2
,
x x
và thỏa mãn
2 2
1 2
5
2
x x
.
2
2
2 2 2
2 2
4 0
0
0
14
.
Vậy
14
2
m là giá trị cần tìm.
d) Hàm số
Website:
/>
Email:
Mobile: 0976 266 202Vậy
1;2
m
là giá trị cần tìm.
e) Hàm số
3 2
3 2
y x x mx
có cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng
1
y x
.
Hàm số có cực trị khi và chỉ phương trình
2
' 3 6 0
y x x m
.
Do
1 1
1 2
2 2
2
2 2
3 3
'( ) '( ) 0
2
2 2
3 3
m m
y x
y x y x
m m
y x
Suy ra
2
, : 2 2
3 3
m m
A B y x
hay
là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số.
Vậy để hai điểm cực trị cách đều đường thẳng
1
y x
.
- Trường hợp trung điểm của
AB
nằm trên
: 1
d y x
, điều này tương đương với
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 2 1
2 2 2 3 3 2
y y x x x x
m m
x x
là giá trị cần tìm.
f) Cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
3 2 3
3 4
y x mx m
đối xứng nhau qua đường thẳng
y x
.
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
12
Website:
/>
Email:
Mobile: 0976 266 202Ta có
2
0
' 3 6 ; ' 0
AB
là
3
;2
I m m
.
Yêu cầu bài toán tương đương với
3
3
2
2
2 4 0
2
I d m m
m
AB d
m m
3 3 1
y x mx m x m m
có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đến
gốc tọa độ bằng
2
lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ.
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi pt
2 2
' 3 6 3 1 0
y x mx m
có hai nghiệm phân biệt
1 0,
m
.
Từ đó suy ra tọa độ các điểm cực trị là điểm cực đại
1;2 2
A m m
và điểm cực tiểu
1; 2 2
B m m
x x
.
Cách 1. ycbt tương đương với :
2
2
' 4 5 0
5 7
2 1 4 5
4 5
1
3
CT
m m
m
m m m
x
g m m
S m
.
Vậy
5 7
;
4 5
m
Suy ra hàm số luôn có cực trị. Khi đó tọa độ điểm cực đại
3 2
; 3 2
A m m m m
và điểm cực tiếu
3 2
2; 3 6
B m m m m
. Yêu cầu bài toán tương đương với
3 2 2
3 2 2 2 1 2
m m m m m m m m
.
Vậy có 4 giá trị cần tìm của m là
2; 1;0;1
.
j) Điểm cực đại, cực tiểu của hàm số
3
3 2
1 4
1 1
3 3
y x m x m nằm khác phía với đường tròn
2 2
: 4 3 0
T x y x
4
0; 1 ; 2 1 ;0
3
A m B m
.
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
14
Website:
/>
Email:
Mobile: 0976 266 202Đường tròn
T
2
1 1
4 1 0
2 2
m m
,
thỏa mãn điều kiện.
Vậy
1 1
;
2 2
m
.
Hàm số đạt cực trị tại
1 2
,
x x
thì khi đó
1 2
'( ) '( ) 0
y x y x
nên
2
1 1
2
2 2
2
( ) 2
.
Hai điểm cực trị của hàm số nằm trên đường thẳng
2
2
: 2
3 9 9
c b bc
y x d
a a
2 2
2
:
C x a y b R
.
Xét các biểu thức
1 1 2 2
T Ax By C Ax By C
và
2 2 2 2
2 2
1 1 2 2
V x a y b R x a y b R
.
Hai điểm
,
A B
nằm khác phía đối với dhoặc
C
khi và chỉ khi
0
T
hoặc
0
V
.
Đặc biệt. Hai điểm cực trị nằm khác phía với trục tung thì pt
' 0
y
có hai nghiệm trái dấu.
Hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành thì
. 0
CD CT
y y
hoặc phương trình
0
1
3 2
y x m x mx
có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường
thẳng
: 72 12 35 0
x y
.
Bài giải
a) (TSĐH Khối A 2002) Với mọi giá trị của tham số m chứng minh hàm số luôn có cực trị và viết phương
trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số
3 2 2 3 2
3 3 1
y x mx m x m m
.
Ta có
2
2 2
' 3 6 3 1 3 3
y x mx m x m
.
1
' 2
3 3
m
y x y x m m
.
Do
1 2
'( ) '( ) 0
y x y x
nên
2
1 1
2
2 2
2
2
y x m m
3;5
A nằm trên đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm
số
3 2
3 3 6 1
y x mx m x
.
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình
' 0
y
có hai nghiệm phân biệt
2
2 6 0
x mx m
có hai nghiệm phân biệt
2
3
' 6 0 (*)
2
m
m m
m
Do
2 2
1 1
1 2
2 2
2 2
2 6 6 1
' ' 0
2 6 6 1
y m m x m m
y x y x
y m m x m m
5
m
m m m m
m
đối chiếu với điều kiện (*) suy ra chỉ nhận giá trị
4
m
.
Vậy
4
m
là giá trị cần tìm.
c) Cho hàm số
3 2
1 1
1
3 2
y x m x mx
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
17
Website:
/>
Email:
Mobile: 0976 266 202Lấy
y
chia cho
'
y
, ta được :
2
1 1 1
' 1 1
3 6 6 6
x m
y y m x m m
Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
2
1 1
: 1 1
6 6
d y m x m m
Để
,
M N
đối xứng nhau qua
thì trước tiên phải có
2
trung điểm của
MN
là
1 1
;
2 12
I
. Nên loại
0
m
.
Với
5 2
2 1; ; 2;
. Nên loại
2
m
.
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn. Bài 3. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thì đồ thị hàm số
3 2 2 3 2
3 3 1
y x mx m x m m
luôn có cực đại, cực tiểu đồng thời gọi
;
x y
là hoành độ, tung
độ các điểm cực trị thì ta luôn có
1
2 0
4
x y
.
Bài giải
Lấy
y
chia cho
'
y
, ta được :
2
' 2
3 3
x m
y y x m m
Do
2
1 1
2
1 2
2 0
4 4 2
x y m m m
. Từ
đó ta có đpcm.
Bài 4. Chứng minh rằng với những giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
3 2
3 1
1 3 1
2 2
y x m x mx m m
có cực đại, cực tiểu ; đồng thời gọi
;
x y
là tọa độ các điểm cực
.
Khi đó gọi tọa độ hai điểm cực trị là
1 1 2 2
; ; ;
A x y B x y
Lấy
y
chia cho
'
y
, ta được :
2
1 1
1 ' 1
3 6 2
x
y m y m x
Nên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
2
1
1
2
y m x
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
19
Website:
/>
Email:
Mobile: 0976 266 202
.
Bài giải
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình
2 2
' 3 2 0
y x x m
có hai nghiệm phân biệt, khi và chỉ
khi
2 2
1
' 1 3 0 0
3
m m
Khi đó gọi tọa độ hai điểm cực trị là
1 1 2 2
; ; ;
A x y B x y
Lấy
y
chia cho
' ' 0
2 2
3 9
y m x
y x y x
y m x
Vậy
2
2
2
2
2 2
2 11
3 9
3 9
2 7
2 2
3 9
3 9
m x x
m
y x
P
x y
m
m x x
2
1
0;
3
t m
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
20
Website:
/>
Email:
Mobile: 0976 266 202Ta có
( )
f t
là hàm đơn điệu tăng trên
3 2
3 1
y x x
tiếp xúc với đường tròn
2 2
: 1 5
T x m y m
Bài giải
Dễ thấy hai điểm cực trị là
0;1 ; 2; 3
A B
, suy ra phương trình đi qua hai điểm cực trị của hàm số là
: 2 1 0
d x y
.
Nhận xét. Có thể yêu cầu tìm giá trị của tham số đường thẳng đi qua cực trị cắt, tiếp xúc và không có điểm
chung với đường tròn
T
và ta chỉ cần áp dụng mối liên hệ giữa khoảng cách và vị trí tương đối.
Bài 7(TSĐH Khối B 2013) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
3 2
2 3 1 6
y x m x mx
có hai
điểm cực trị
,
A B
sao cho đường thẳng
AB
vuông góc với đường thẳng
2
y x
.
Đáp số.
0;2
m
' 2 2
3 3 3 3
x m m
y y x
.
Đáp số :
3
2
m
.
1.2. Tìm m để hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
3 2 2
3 1
y x x m m
tạo với điểm
1.4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
3
3 2
y x mx
cắt đường tròn tâm
1;1
I bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt
,
A B
sao cho diện tích
tam giác
IAB
lớn nhất.
Đáp số :
2 3
2
m
.
1.5. Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
2 3 1 6 1 2
y x m x m m x
4 2 0
x y
một góc bằng
0
45
.
Định hướng giải: Ta có
2 2
' 3 6 1 2 3 2
y x m x m m
.
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình
' 0
y
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
. Điều này tương đương
với
2
2
3 5
Lấy
y
chia cho
'
y
ta được
2 2
1 2 2 1
' 2 1 2 3 2
3 3 3 3 3
x m m
y y m m x m m m m
.
Do
1 2
n m m
và đường thẳng
4 2 0
x y
có
véc tơ pháp tuyến
2
1; 4
n
.
Yêu cầu bài toán tương đương với
1 2
0
, trong đó
2
2
3 1
3
u m m
.
1.8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
3 2 2
3
y x x m x m
đối
xứng nhau qua đường thẳng
2 5 0
x y
.
1.9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
3
2
1
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
23
Website:
/>
Email:
Mobile: 0976 266 202Các bài toán toán dạng này thuộc lớp hàm trùng phương, đề bài có thể yêu cầu
- Ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích cho trước, lớn nhất, nhỏ nhất.
- Tam giác vuông, cân, đều hoặc tạo thành một góc cho trước.
- Liên quan đến bán kính đường tròn nội tiếp(
S
r
p
)và bán kính đường tròn ngoại tiếp(
4 2 sin
abc a
R
S A
).
Bài 1. Tìm m để đồ thị hàm số
4 2 2
2 1
y x m x
có ba điểm cực trị là ba điểm của một tam giác vuông
4 4
0;1 ; ;1 ; ;1
A B m m C m m
, ta thấy
,
B C
đối xứng với nhau qua
trục tung. Vậy ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân thì sẽ vuông tại
A
.
Ta có
4 4
; ; ;
AB m m AC m m
Vậy
2 8
. 0 0 1
AB AC m m m
, do
, vậy đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi
0
m
.
Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là
2 2
0;1 ; ;1 ; ;1
A B m m C m m
Gọi
I
là tâm và
R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
24
- Với
2
2
1 1
0
0;0 1 1 1 1
1 5
2
m
I I B R m m m
m
2
2
0 1 1
m m m
.
Vậy
1 5
1;
2
m m
là hai giá trị cần tìm.
Bài 3. Cho hàm số
4 2
1
3 1 2 1
4
y x m x m
. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một
tam giác có trọng tâm là
O
.
Bài giải
Ta có
2 2
0;2 2 , 6 2; 9 4 1 , 6 2; 9 4 1
A m B m m m C m m m
Yêu cầu bài toán tương đương với:
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
25
Website:
/>
Email:
Mobile: 0976 266 2022
1 2
0 18 6 4 0 ;
3 3
A B C
y y y m m m m
. Chỉ giá trị
1
3
m
thỏa mãn điều kiện.
.
Bài giải
Ta có
3
2
0
' 4 4 ' 0
x
y x mx y
x m
Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi
0
m
2 2
3 1 0
0; 1
0
2 2
1
2 2
x y
x y
IA ID
m
IB IC x m x m
m
IA IB
x m y m x y
1
m
thỏa mãn. Vậy
1
m
là giá trị cần tìm.
Bài 5. Tìm m để đồ thị hàm số
4 2 2
2 1 1
y x m x m
có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác có
diện tích lớn nhất.
Bài giải
Ta có
3 2 2 2
' 4 4 1 4 1
y x x m x x m
. Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình
' 0
y
Copyright: Tài liệu đại học ©