1Phần 1:
CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ:

Một số dạng toán thường gặp:

▼ Dạng 1: đưa về dạng bình phương
I. Phương pháp giảỉ:
Đưa về dạng
A
2
≥
0, hoặc A
2
+ c
≥
c (vớI c là hằng số) dấu bằng xảy ra khi A=0
II. Một số bài tập ví dụ:
Ví dụ 1:
Tìm giá trị lớn nhất của P
(
)
1
x x
= −

Lời giải:
( )
2

Tìm giá trị của x để biểu thức
2
1
2 2 5
x x
− +
có giá trị lớn nhất

Lời giải:
Ta có:
(
)
2
2
2
2 2 5 2 3 3
1 1
3
2 2 5
x x x
x x
− + = − + ≥
⇒ ≤
− +
Do đó, khi
2
x =

( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
2 3 2 2004,5
2 1 3 2004,5
2 1 1 2 2 2003,5
1 1
1 2 2003,5
4 2
1
1 2 2003 2003
2
P a ab b a
a b a b
a b a b b b
a b b b
a b b
= − + − +
= − + + +
= − + + + + − +
 
= − − + − + + −
 

3
2
a
=2003
P
= ⇔

⇔1
2
b
=

1
2
b
=Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là 2003 khi
3
2
x
=
và

3) Cho hai số x,y thoả mãn đẳng thức:
2 2
2
1
8 4
4
x y
x
+ + =

Xác định x,y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất
4) Cho a là số cố định, còn x, y là những số biến thiên. Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: A = (x– 2y + 1)
2
+ (2x + ay +5)
2

Hướng dẫn giảI và đáp số:
1)Max P = 3 khi (x,y) = (1, -2)
2)
( ) ( )
2
2
, 6 5 9 9
f x y x y y
= − − + + ≥

3) Thêm
2
4 4


▼ Dạng 2: sử dụng miền giá trị của hàm số
I. Phương pháp giảỉ:
Cho y = f(x) xác định trên D
(
)
0
y f D
∈ ⇔
phương trình
(
)
0
y f x
=
có nghiệm
0
a y b
⇔ ≤ ≤

Khi đó min y = a, max y = b

II. Một số bài tập ví dụ:
Ví dụ 1:
Tìm Max và Min của:
2
1
x
y
x

x y y x
+ =
có nghiệm x
∈
R⇔
phương trình
2
0 0
0
x y x y
− + =
có nghiệm x
∈
R⇔
0
∆ ≥⇔
2
1 4 0
y
− ≥


x
+
=
+
đạt giá trị lớn nhất bằng
4, giá trị nhỏ nhất bằng –1
Lời giải:
Tập xác định D = R
0
y
là một giá trị của hàm số
⇔
phương trình
0
2
ax+b
1
y
x
=
+
có nghiệm x
∈
R⇔
phương trình
2
0 0

⇔
2
0 0
4( ) 0
a y b y
− − ≥

4⇔
2 2
0 0
4 4 0
y by a
− + + ≥

Theo đề
0
y
đạt giá trị lớn nhất là 4, giá trị nhỏ nhất là –1 nên phương
trình
2 2
0 0
4 4
y by a
− + +
phảI có nghiệm là –1 và 4 (do -1.4 = -4 < 0)

2

36
x x a
y
x
−
 
=
 
+
 

Lời giải: Hàm số đã cho xác định khi
(
)
0
x x a
− ≥

Đặt
2
12 ( )
36
x x a
z
x
−
 
=
 
+

− − − =
có
nghiệm (2)
•
0
z

=12 : (2)
⇔
ax = -36 có nghiệm khi
0
a
≠

•
0
12
z
≠
: (2) có nghiệm
⇔
2
0 0
36 36 (12 ) 0
a z z
∆ = + − ≥2 2
0 0

= + +
; max
2 3
4
(6 36)
y a= + +

III. Bài tập tự giải:
1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
2 2
2 2
x x
y
x x
− +
=
+ +

2) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 4 1 1
4 3 3 1 1
x x
y
x x
+ + − +
=
+ + − +


+ =
+
;
2
2
1
1 2.
1
t
x
t
−
+ =
+
vớI t = tg
[ ]
0;1
2
ϕ
∈

Ta có
2
2
7 12 9
5 16 7
t t
y
t
+ +

x > 0
2 2
0 0
2 1 0
y x y x
− + =

(2)

Điều kiện để (2) có nghiệm là
0
2
y
≥

Áp dụng Vi-et ta chứng minh được
1 2 0
x x y
< <

Vậy min f(x) = 2 vớI x >0

▼ Dang 3: Sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc

► Bất đẳng thức Cauchy
I. Kiến thức cần nắm:
• Cho hai số a, b
≥
0, ta coù:
ab

a
1
= a
2
= … = a
n

II. Một số bài tập ví dụ:
◦ Biện pháp 1: Áp dụng bất đẳng thức trực tiếp.
Ví dụ 1:
Cho x > 0 ; y > 0 thoả mãn điều kiện
2
111
=+
yx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức A =
yx +

Lời giải:
3)Tìm nghiệm của hệ

6

Vì x > 0 ; y > 0 nên
x
1
> 0 ;
y
1

ta được
A =
yx +
≥
42.2 ≥yx
= 4 ( Dấu “=” xảy ra
⇔
x = y = 4)
Vậy min A = 4 ( khi và chỉ khi x = y = 4).

Nhận xét: không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp bđt Cauchy đối với
các số trong đề bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu
thức để có thể vận dụng bđt Cauchy rồi tìm cực trị của nó.
Biện pháp 1 : Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu
thức đó.

Ví dụ 2:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A =
.3753 xx −+−

Lời giải:
ĐKXĐ :
.
3
7
3
5
≤≤ x

A


Lời giải:
ĐKXĐ : x ≥ 9
7

A =
x
x
5
9−
=
30
1
10
3
99
5
3
3
9
2
1
5
3.
3
9
=
+−
=


Nhận xét: Trong cách giải trên, x – 9 được biểu diễn thành
3.
3
9
−
x
và khi vân
dụng bđt Cauchy, tích
3.
3
9
−
x
được làm trội trở thành tổng
x
x
3
1
3
3
9
=+
−
có
dạng kx có thể rút gọn cho x ở mẫu, kết quả là một hằng số. Con số 3 tìm được
bằng cách lấy căn bậc hai của 9, số 9có trong bài.

Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích
của chúng là một hằng số.
1.

=⇔= x
x
x

Vậy min A = 8 ( khi và chỉ khi x = 2).
Nhận xét:
Hai số dương 3x và
x
3
16
có tích không phải là một hằng số.Muốn khử
được x
3
thì phải có x
3
= x.x.x do đó ta phải biểu diễn 3x = x + x + x rồi dùng bđt
Cauchy với 4 số dương.

2.

Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tử
chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của hạng tử khác có trong
biểu thức đã cho ( có thể sai khác một hằng số).

Ví dụ 5:
Cho 0 < x < 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
.
2
2
9

−
−
≥
x
x
x
x

( dấu “=” xảy ra
2
12
2
9
=⇔
−
=
−
⇔ x
x
x
x
x
).
Vậy min A = 7 ( khi và chỉ khi
2
1
=x
).
◦ Biện pháp 4:
Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho.

xzy
zy
xzy
zy
x
==
+
+
≥
+
+
+ 2
.2
4
2
4
22

Tương tự:
z
yx
yx
z
y
xz
xz
y
≥
+
+

+
+
+
+
+ 2
222

P
( )
1
2
=
+
+
−++≥
zyx
zyx
(dấu “=” xảy ra
3
2
===⇔ zyx
).

III. Bài tập tự giải:

1)

Cho x + y = 15, tìm gía trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:
B =
34 −+− yx

nhỏ nhất của biểu thức A =
.
)1)(1)(1(
)1)(1)(1(
cba
cba
−−−
+
+
+

5)

Cho x, y thoả mãn điều kiện x + y = 1 và x > 0. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức B = x
2
y
3
.

6) Tìm giá trị nhỏ nhất của
xy yz zx
A
z x y
= + +
với x, y, z là các số dương và:
a)
1
x y z
+ + =

A
= +
với x + y = 4.
10) Tìm giá trị nhỏ nhất của
4
4 1
A x x
= − +Hướng dẫn giải và đáp số:
1.
ĐKXĐ : x ≥ 4, y ≥ 3
B ≥
⇒8
min B =
8
( khi và chỉ khi x = 4, y = 11 hoặc x = 12, y = 3). max B
2
=
16 nên max B = 4 ( khi và chỉ khi x = 8, y = 7).
2
.a. xy + yz + xz
≤
x
2
+ y
2
+ z
2

=
.
22
2
222
y
xz
x
zy
z
yx
x
z
z
y
y
x
+++++

Áp dụng bđt Cauchy cho 4 số dương:
.4

4
4
222
x
yz
zyxx
z
z

222
1118 cba −−−

A ≥ 8
Vậy min A = 8.
5. Nếu y
≤
0 thì B
≤
0.
Nếu y > 0 thì
1 = x + y =
3125
108
108
5
33322
32
5
32
≤⇒≥++++ yx
yxyyyxx

hay B
≤

3125
108

Suy ra max B =
b) Ta có
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2
x y y z z x
A
z x y
= + + +

Hãy chứng tỏ
2
3
A
≥
.
Min A =
3
với x = y = z =
3
3
.
7.
Dễ chứng minh
(
)
3 3
a b ab a b

2
2 2 2
3
x y z x y z
+ + ≤ + +
,ta được
( )
2
9
x y z
+ + ≤
nên
113
x y z
+ + ≤
(1)
Ta có bất đẳng thức
2 2 2
xy yz zx x y z
+ + ≤ + +
mà
2 2 2
3
x y z
+ + ≤
nên


−
+ + = . Ta có
2
3
2
m
A m
−
= + nên

(
)
2
2
2 2 3 1 4 4.
2.
A m m m
A
= + − = + − ≥ −
⇒ ≥ −2 2 2
1
min 2
3
x y z
A
x y z
+ + =

4
4 1
A x x
≥ − +
.
Áp dụng bất đẳng thức côsi với bốn số không âm

4 4 44
1 1 1 4 4 4 1 2.
x x x x x
+ + + ≥ = ⇒ − + ≥ −

4
min 2 1
A x
= − ⇔ =
và
0 1
x x
≥ ⇔ =
. ► Bất đẳng thức Bunhiacopski:
I. Kiến thức cần nắm:

•

Cho a, b, c, d tuỳ ý, ta có
(a

2
+ … + b
n
2
) ≥ ( a
1
b
1
+ … + a
n
b
n
)
2

Dấu bằng xảy ra khi:
n
n
b
a
b
a
==
1
1

II. Một số bài tập ví dụ:
Ví dụ 1:
Tìm giá trị lớn nhất của : P =
xx −+− 5413

61
.

Ví dụ 2:
Cho a, b, c > 0. Tìm min P =
b
a
c
a
c
b
c
b
a
+
+
+
+
+
345
.
Lời giải:
P =
( ) ( )
)345(
345
3453
3
4
4

[ ]
)345(
345
.
2
1
++−






+
+
+
+
+
+++++
bacacb
accbba

≥
(
)
( )
345345
2
1
2

b
a
c
y
c
a
b
x
c
b
a
++−++≥
+
+
+
+
+
.
(cộng vào vế trái (x
2
+ y
2
+z
2
) rồi trừ đi (x
2
+ y
2
+z
2

2
3
−






+
+
+






+
+
+
+






+
+







+
++
ac
acb
cb
acb
ba
cba

P =
( )
10
211
323 −






+
+
+
+

Vậy min P = 6 khi và chỉ khi (a + b)
2
= (b + c)
2
= (c + a)
2
hay a = b = c.
Cơ sở:
13

Chọn
γ
β
α
,,
sao cho:
)323()(4)(3)(3 cbamacbcbacbaca
+
+
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+

+
+
+
+
+
+
54893
.
b) Q =
a
c
ba
c
b
ba
b
a
cb
+
+
+
+
+
+
+
+
5243
.
c) R =
c

(
)
(
)
2
2 2 2 2
2 3 2 1.
x x y y
+ − + − =

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

2 2 2
a b c
A
b c c a a b
= + +
+ + +
với a, b, c là các số dương và a + b + c =6.
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 1
2
A
x x
= +
−
với 0 < x < 2.
5. Cho a, b, c > 0 và abc = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của
( ) ( ) ( )

88
44
1
2888442
+−−++−=
−
+
−
+
+
−
.
Rồi áp dụng bđt ta tìm được min R.

2.
Từ giả thiết suy ra

(
)
(
)
2
2 2 2 2 2
4 3 0.
x y x y x
+ − + + = − ≤

Do đó
(
)

+ + + + + + +
 
     
 
 
+ + +
     
 
 ( ) ( )
2
2 2 2
2
2 2 2
2
.
2
a b c
b c a c a b
b c a c a b
a b c
a b c a b c
b c a c a b
a b c a b c
b c a c a b
 
≥ + + + + +
 

( )
( )
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 1 2 1
2 2 2
2 2
2 2 1 3 2 2.
2 1
2 1
2
min 2 3 2 2 2 4 4
2
2
A x x x x
x x x x
A
x x
A x x x
x x
x
x
 
     
 
 
= + − + ≥ − +

Đặt
1 1 1
, ,a b c
x y z
= = =

thì
, , 0
1
x y z
xyz
>


=


Khi đó
2 2 2
x y z
A
y z z x x y
= + +
+ + +

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, biến đổi tương đương ta được:

( )
( ) ( ) ( )
2


= =

+ + +


= ⇔ = =


=



⇔ = = = ⇔ = =
► Bất đẳng thức Bernoulli
I. Kiến thức cần nắm
)0,1(
1
>≥
+−≥
x
xx
α
αα
α
(1)
Dấu “ =” xảy ra khi x =1

1
khi và chỉ khi x = y =
2
1
.
b.
Áp dụng bđt Bernoulli ta có:
(2x)
5
≥ 1 – 5 + 5(2x)
(2y)
5
≥ 1 – 5 + 5(2y)
Cộng vế theo vế ta có:
32Q ≥ -8 + 10(x + y) = 2
Q ≥
16
1

Vậy min Q =
16
1
. Khi và chỉ x = y =
2
1
.
Tổng quát:
S = x
m
+ y Dấu “=” xảy ra khi t = 1.

Ví dụ 2:
Cho x, y > 0, sao cho x
3
+ y
3
= 1. Tìm min P =
3
10
3
10
yx +
.
Lởi giải:
Theo (2), ta có:
(
)
(
)
( ) ( )
( )
2)(2.
9
10
9

+−≥
yxP
yy
xx

Vậy P ≥
9
2
1

Hay min P =
9
2
1
khi và chỉ khi x = y =
3
2
1*. Từ (2) thay t bởi
0
t
t
, ta được:








−≥ (3)
17

Đặt
Yyd
Xxc
=
=
α
α

Bài toán trở thành : Cho
ββ
ynxm +
= p (m,n > 0)
Tìm min A =
αα
yx +

Lời giải:
Theo bđt (3), ta có:









−≥

Cộng lại : A ≥
( ) ( )
1
0000
ββαββααα
β
α
β
α
yyxxyx
−−
+++








−

α
β
α
−
++








−
p.
Vậy min A =
( )
1
0
00
m
x
yx
βα
αα
β
α
β
α
−


Với hai véc tơ bất kì
a

và
b

ta có:
a b a b
± ≤ +
   
. Đẳng thức khi
a

và
b

cùng hướng
(
)
1

•

Nếu
(
)
1 2
,
a a a

1 1
2 2
.
.
a k b
a k b
=


=


(
)
k R
∈

Dạng toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
( ) ( )
2 2 2 2
y f x a g x b
= + + +
với
( ) ( ) ( )
, 0a b
f x g x k k R
≠




( )
2
2
2 2
( ) ( ) ( )
MN f x g x a b k a b
= − + + = + +
.
Vì
2 2
( )
OM ON MN y k a b
+ ≥ ⇔ ≥ + +
.
Đẳng thức xảy ra khi M, N, O thẳng hàng
. ( ) . ( ) 0
a f x b g x
⇔ + =
.
Vậy Min
2 2
( )
y k a b
= + +
.
II. Một số bài tập ví dụ:
Ví dụ 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 1, .

>
: Xét
ABC
∆
có:

1
2
3
AB
AM MB
CM a
AMC
π

= = =


=



=
Theo định lí hàm côsi:
2 2 2
1 2.1. .cos 1 .
3

2
MinA
=
khi
0.
a
=Ví dụ 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2 2 2 2
2 2 2 2 .
y x px p x qx q
= − + + − +

Lời giải:

3
π

M

19

Ta có:
2 2 2 2
( ) ( ) .
y x p p x q q
= − + − +

( ) ( )
0 .
p q q p
q x p q x q x
p q
+
⇔ − + − = ⇔ =
+Ví dụ 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2 2
cos 2.cos 5 cos 4.cos 8.
y x x x x
= − + + + +

Lời giải:
Trong mặt phẳng
Oxy
, xét điểm
(2;1 cos ); (4,3)
M x N
−

Ta có:
(2,2 cos )
MN x
= +


thẳng hàng
6 4.(1 cos ) 0
x
⇔ − − =1 2
cos 2 .
2 3
x x k
π
π
⇔ = − ⇔ = ± +

Vậy
Min
5
y
=
khi
2
2 .
3
x k
π
π
= ± +

2 2 2 2 8
a c b ab bc
+ + + + =2 2
( ) ( ) 4
2 2
b b
a c
⇔ + + + =

Do
( )
2
2
(1) 2 ( 2 ) 4
c a
⇔ + − =

Xét
( ; ); (2 ; 2 )
2 2
b b
x a c y c a
+ + −
 

20


b a c
a c
b a c a c a c
c c
b
+ = −

+ +

⇔ = ⇔ + = − + ⇒ + =

−

=


(do
(1)
và
(2)
)
2 2
2 2
10
2
10
1
3 1 3 1
( , , ) ( , 10, );( , 10, )
10 10 10 10

= −





+ =





+ =



Max
⇒
( ) 4
M b c a
= − =
khi
( , , )
a b c
như trên.

III. Bài tập tự giải:
1)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

4 4 2

)
2 2 2
2 2 1 2 3 1 1 2 3 1 1
f x x x x x x x
= − + + + + + + − − +Hướng dẫn giả và đáp số:

1.
Ta có:
( ) ( )
2 2
2 2
1 1 cos 1 1 cos
y x x
= + − + + +

x
y
O
1
1
2
B
N
2


2
cos 0
x
⇔ =

Và maxy = OA + AN = 1+
2
1 2 1 5
+ = +

Dấu “=” xảy ra khi M trùng với A
2
cos 1
x
⇔ =2.
Ta có:

2
2
1 3 3 1
2 4 2 4
y x x
 
 
= − + + − +
 

2 2
3 1 3 1
min
2 2 2 2
3 1
min 2 2
4 4
y MN
y
   
= = − + + +
   
   
   
 
= + =
 
 

Dấu “=” xảy ra khi M, O, N thẳng hàng:

( )
1 1 3 3
0
2 2 2 2
3 1 2 3 1
x x
x x
 
 

)
2;u
∈ +∞

hàm số y(x) trở thành
f(u) = u
2
– 2u – 3
phác họa đồ thị hàm f(u) trong miền
[
)
2;
+∞
ta thu
được kết quả:
max f(u) không tồn tại
min f(u) = f(2) = -3
O
(
)
f u
u
M
2
3
−
22

C
'

4.
Hàm số f(x) có thể viết lại dưới dạng:

( ) ( )
2 2
2 2
2
2
3 1 3 1
1
2 2 2 2
f x x x x x x x
   
   
= + − + + + + + − + +
   
   
   
   
   
(1)
Xét trên mặt phẳng tọa độ các điểm

( )
3 1 3 1
0,1 , , , ,
2 2 2 2
A B C
   
− − −

C C
A A
→
→
→
→⇒
MC = M’C’, MA = MM’
Vậy MA + MB + MC = MM
’
+ MB + M
’
C
’

≥
BC
’

Mặt khác nếu gọi O là tâm tam giác đều ABC thì
OA + OB + OC = BC
’⇒
MA + MB + MC
≥
OA + OB + OC

.
Đây là các bài toán mà trong đó
( )
f x
cho dưới dạng căn bậc hai mà làm
dưới căn biểu diễn được thành độ dài một đoạn thẳng nào đó. Đây là ưu
thế của phương pháp đồ thị.
5.

Các hàm số
( , )
u x y
với
,
x y
thoả mãn trước điều kiện.
II
.
Một số bài tập ví dụ
:
Ví dụ 1:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
2
1 1
) ( ) ( ) 3.( ) 1.
3
1
) ( ) .(2 sin ).( sin ).
15
x x

[2; ).
+∞

Ta được
max ( )
y u
=
không có.

miny(u)=y(2)=11.
b)Đặt
sin 1 1.
u x u
= ⇒ − ≤ ≤

Hàm
( )
y x
thành
1
( ) .(2 ).( ).
15
y u u b u
= + −

Dựa vào đồ thị ta có kết quả:
max ( ) (1) 1

− ≤ ⇔ − ≤ ≤

Khi
1
x
≤ −
hoặc
1.
x
≥Khi
1 1.
x
− ≤ ≤

Khi
1
x
≥
hoặc
1.
x
≤ −Khi
1 1.
x

2 2
( 1) .
y x x= + −

Lời giải:
Tao có
2
1 .
y x x
= + −

Gọi
2
1
1
y x x
= + −
và
2
2
1
y x x
= − + +


− −
.
Lời giải:
Ta có:
( 3)( 1).
y x x x
= + + +

Do
( 3).( 1)
( 3).( 1)
x x
x x
+ +


− + +


Ta chỉ xét những giá trị của
5
4; .
4
n
 
∈ − −
 
 

Ta được

Dựa vào đồ thị:

2
1
3 3
max ( ) .
2 4
min ( 3) 3.
y y
y y
= − = −
= − = −
2
2
1
1
x x
y
x x

+ −

⇒ =


+ −


Y
1

25

III. Bài tập tương tự:
1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
1 3 2 2
y x x x
= − + − − +
với
2 4.
x
− ≤ ≤

2.Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2 2
4 12 13 4 28 53.
y x x x x= − + + − +
3.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
2 5
u x y
= − + +
biết
,
x y
thoả:
2 2
36 16 9.
x y


Với
3 4
x
≤ ≤
thì
6.
y
= −

Ta vẽ đồ thị của hàm số
1 3 2 2
y x x x
= − + − − +
với
2 4.
x
− ≤ ≤

Từ đồ thị
max 6 2 1.
y x
= ⇔ − ≤ ≤ −min 6 3 4.
y x
= − ⇔ ≤ ≤
A
đối xứng
A
qua
.
Ox

'
A B
cắt
Ox
tại
H
ta có:
'(3, 2)
A
−

2 2
' ' (7 3) (2 2) 4 2.
y MA MB MA MB A B= + = + ≥ = − + + =

Đẳng thức xảy ra khi
5
2 5 .
2
M H x x