CHUYÊN ĐỀ: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 1
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) 2x
2
+ 3x + 1. b) x
2
– 2x + 5. c) 4x
2
– 4x – 3. d) x
2
– 5x + 1. e) 5x
2
+ 7x + 9.
HD: Sử dụng phương pháp đề xuất bình phương đủ
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) 6 – x
2
– 6x. b) 1 – x
2
– 6x
2
. c) 4 – x
2
+ 2x. d) 4x – x
2
. e) 7 – 3x – x
2
.
HD: Sử dụng phương pháp đề xuất bình phương đủ.
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y =

5
vào phương trình theo x).
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y =
2
2
2x5
2x1
+
+

HD: Làm tương tự bài 3. y =
2
22
2x1444
115
1
2x12x1
++
=+£+=
++
. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0.
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
x2x1
y
x4x5
-+
=
++

1
P
4x4x3
=
−+
. (Đề thi chuyên Nguyễn Tất Thành)
HD: Làm tương tự bài 6.
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B =
2
2
x2
x2
-
+
.
HD: Biến đổi biểu thức trở thành:
2
4
B11
x2
=-³
+

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4
2
x1
C
x
+

3
13
x
4
24
-£-£=
æö
÷
ç
++
÷
ç
÷
ç
èø

C2: Sử dụng phương trình bậc hai. Bạn đọc tự giải.
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
xx1
A
x2x1
++
=
++
( x ≠ −1).
CHUYÊN ĐỀ: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 2
HD: Đặt y = x + 1 ⇒ x = y – 1 ⇒

èø
. Dấu “=” xảy ra:
1
zy2x1
2
=Û=Û=
.
Bài 12: Với x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(x2)(x8)
A
x
++
=
HD:
2
x10x1616
Ax10
xx
æö
++
÷
ç
==++
÷
ç
÷
ç
èø
. Vì: x .
16

(x100)
=
+

C1: Đặt x + 100 = y ⇒ x = 100 − y.
22
y1001100
B
y
yy
-
==-
. Đặt
1
z
y
=
.
⇒ B = z – 100z
2
=
2
111
100z
400200400
æö
÷
ç
£
÷

2
22
(xy)
A0
xy
+
=³
+
. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = −y ≠ 0.
A =
22
2xy2xy
11112
2xy
xy
+£+=+=
+
(vì x
2
+ y
2
≥ 2xy). Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y ≠ 0.
Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
2x4x1
B
x1
+-
=

C
xy
-+
=
+

HD:
2
22
(xy)
C33
xy
-
=+³
+
. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y ≠ 0.

2
22
(xy)
C55
xy
+
=-£
+
. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = −y ≠ 0.
Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
x1
D

– 4.| 3x − 1| + 5.
HD: Đặt |3x – 1|=y⇒A = y
2
– 4y + 5 = (y – 2)
2
+ 1 ≥ 1⇔y = 2⇔| 3x – 1| = 2⇔x = 1 hoặc x =
1
3
-
.
Bài 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = | x − 3| + | x – 7 |
HD: Áp dụng | x + y | ≤ | x | + | y | . Dấu “=” xảy ra ⇔ xy ≥ 0. Với chú ý | A | = | −A |.
Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = | x
2
+ x + 3 | + | x
2
+ x − 6 |
HD: Tương tự bài 19.
Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y =
22
x2x1x6x9
-++-+

HD: y = | x – 1 | + | x – 3 |. Giải tương tự bài 19.
Bài 23: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y =
22
(x1990)(x1991)
-+-

HD: Áp dụng tương tự bài 22.

2
+ y
2
+ 2z
2
+ t
2
) – t
2
= 122 ⇔ 2M = 122 + t
2
≥ 122. Suy ra: min M = 61.
Khi đó (x, y, z, t) = (5, 2, 4, 0). (Thi HSG quốc gia 1985 – 1986 bảng A)
Bài 27: Với những giá trị nào của x, y, z thì biểu thức: D = 2x + 3y – 4z đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm
giá trị nhỏ nhất đó biết x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:
2xy3z6(1)
3x4y3z4(2)
++=


+−=

(x, y, z > 0).
HD: Cộng (1) và (2): y = 2 – x thế vào (1) ⇒
4x
z
33
=-
. Thay x, z vào P: P =
x22

≤ 8.
(1) ⇔ 3A = 8 + (x + y)
2
≥ 8 ⇒ A ≥
8
3
.
Bài 29: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x
2
+ y
2
. Biết rằng x, y là các số thực thỏa
mãn: 5x
2
+ 8xy + 5y
2
= 36 (1).
HD: (1)⇔S + 4(x + y)
2
= 36⇔S = 36 – 4(x + y)
2
≤ 36 ⇔ (x, y)=
(
)
(
)
32 ; 32 32 ; 32
-Ú-
(2) ⇔ 9S = 36 + 4(x – y)
2


Đề thi HSG cấp tỉnh năm 2006 - 2007
CHUYÊN ĐỀ: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 4
HD: A =
)nmnm)(nm(
)nm(
22
2
+−+
+
=
mn)nm(
nm
2
+−
+
≤
mn
nm
+
=
n
1
m
1
+
≤ 1 + 1 = 2 ⇔ m = n = 1.
Bài 32: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x
2

4
+ b
4
≥ 2a
2
b
2
. Cộng vào hai vế a
4
+ b
4
. c) Tương tự.
Bài 34: Cho 2x + y = 6.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x
2
+ y
2

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = xy
HD: Thay y = 6 – 2x vào biểu thức ⇒ sử dụng phương pháp bình phương đúng.
Bài 34: Cho x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x
2
+ y
2
+ z
2
.
HD: Đặt x = 1 + a, y = 1 + b, z = 1 + c ⇒ a + b + c = 0 ⇒ A = 3 + a
2
+ b

Bài 38: Cho hai số dương x, y có x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của B =
22
11
11
xy
æö
æö
÷
ç
÷
ç
÷

ç
÷
ç
÷
÷
ç
ç
÷
ç
èø
èø
.
HD: Biến đổi B = 1 +
2
xy
. Ta có: 1 = (x + y)
2

2
-=
.
Bài 40: Tìm giá trị nhỏ nhất của: y = (x – ay)
2
+ 6(x – ay) + x
2
+ 16y
2
– 8xy + 2x – 8y + 10 (x, y, a
là các số nguyên).
HD: Biến đổi y = (x – ay + 3)
2
+ (x – 4y + 1)
2
≥ 0. Dấu “=” xảy ra ⇔
xay30(1)
x4y10(2)
ì
-+=
ï
ï
í
ï
-+=
ï
î
. Từ (1)
và (2) ⇒ (a – 4)y = 2 với x, y, a nguyên ⇒ (x, y, a) = (3, 1, 6), (7, 2, 5), (−5, −1, 2), (−9, −2, 3).
Bài 41: Cho x, y thỏa mãn: x

⇔ a = b
b) S = ab = const ⇒ p = a + b ≥ 2
ab
= 2
S
⇔ a = b.
Bài 44: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) y =
x24x
-+-
. b) y =
3tt1
-+-

HD: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxcốpki. Xét y
2
.
Bài 45: Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = a
3
+ b
3
+ ab.
HD: Biến đổi, đồng thời thay a + b = 1 và a = 1 – b. ta được: Q = 2a
2
– 2a + 1 ⇒ kết quả.