BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRI LN NN
x, y, z
≥
! ! !
"x y z+ + =
#$%&
" " "
! ! !
" !
!
x y z
y z x
+ + ≥
+ + +
GIẢI
'()"*
" " "
! ! !
! ! !
+ + +
x y z
y z x
y z x
+ + + + +
+ + +
!,
" " !
z z x
x x
+
+ + +
+ +
!,
- - -
" " "
-
" " "
. ! - ! - ! - !
x y z
VT + ≥ + +
!,
! ! !
-
"
" " /
+
! ! ! 0
! ! !
VT x y z⇒ + ≥ + + =
-
"
/ " / " "
! ! ! ! ! ! !
! !
VT VP⇒ ≥ − = − = =
+1'%
+23456$789:& ';:&7**<*
+ + +
0
x y z− − − ≤
G
%7
*
"
0 !
x y z⇔ = = =
3. Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện
( )
! !
! x y xy+ = +
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
. .
!
x y
P
xy
+
=
+
.
G
H
t xy
=
! . !
x y x y
t t
P
xy t
+ −
− + +
= =
+ +
21(
( )
( )
!
!
K
L
! !
t t
P
t
− −
=
+
E
L + E + P t th t kth= ⇔ = = −
!
, " ,
P P
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
!P x y z
x y z
= + + + + +
÷
.
G
QR$ST&
!
0 !x
x
+ ≥
+23456$7U9:&
"
x =
>?$@
!
0 !y
y
+ ≥
+!
!
0 !z
z
G
'(
!
!
!
a ab ab
a a a ab
a b a b
ab
= − ≥ − = −
+ +
+
>?$@
!
!
b
b bc
b c
≥ −
+
+!E
!
!
c
c ca
c a
≥ −
+ + +
P
! . !
( )
x y z y x z
≤ +
+ + +
P
! . !
( )
x y z z y x
≤ +
+ + +
)MO&'(
+ P
7 . 7
≤ +
+
+ P
< . <
≤ +
+
+ P
a
a
c
c
c
b
b
b
a
+
+
++
+
++
+
!.
!!
!.
-
!
!
!
!
"
b
b
a
b
!!
!
!
!
!
"
a
a
c
a
c +
+
+
+
+
+
"
-
"
-
"
-
!-
"
!-
"
!-
"
cba
++≥
b c c a a b
+ + +
+ + ≥
+ + +
GIẢI
'(*
! ! !
+ +
a b c b c a
A B
b c c a a b b c c a a b
+ + + + + = +
+ + + + + +
[ ]
"
"
" + + +
!
/
" + + + "
! !
"
!
A a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
9. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn : x +3y+5z
"≤
.Chứng minh rằng:
!,"
.
+zxy
+
.,
.
+xyz
+
.0,
.
+yzx
≥
45
,
xyz.
GIẢI
Bất đẳng thức
⇔
!
!
.
x
x +
+
!
!
/
"
,"+
"-
,"+/
zyx
zyx +
.
H*
"
!
,"+ zyx
'(
"
,"
,"+
"
"
=
++
≤
zyx
zyx
xy x y x y+ − + = − − ≥
;
và tương tự ta cũng có
yz y z
zx z x
+ ≥ +
+ ≥ +
Vì vậy ta có:
( )
"
<7)
,
,
,
x y z
x y z
xy yz zx yz zx xy
x y z
yz xy z
a b a c a b c a c a b
+ + + + <
÷
+ + + + + +
GIẢI
dE5E'N 5'O%$&X'=
a b c
b c a
c a b
+ >
+ >
+ >
H
( )
E E E E E E
! !
a b c a
x y a z x y z x y z y z x z x y
+ +
= = = > ⇒ + > + > + >
B9X&&BNO&
( )
!
!
x y z
x y z
y z z x x y x y z
+ +
+ + < =
+ + + + +
#'N
!
!
" " ! " "
b c
a
a b a c a b c a c a b
+ + + + <
÷
+ + + + + +
12. Cho hai số dương
Ex y
thỏa mãn:
,x y+ =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
. !
.
P
56$
"
!
:&
P .x y= =
GV&Y*
"
!
Lưu ý:
(Z
,y x= −
T41(d%$&X9f5g3'D %Tb
" , " ,
+
+, .
x x
g x
x x
+ −
= +
−
13. Cho x, y, z
≥
thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
" " "
"
-x y z
P t t
a a
+ + − +
≥ = = − +
+C&*
z
a
E
t
≤ ≤
`g %Tbc+*+i
"
)
"
C&
[ ]
P∈
(
( )
[ ]
!
!
L+ " E L+ P
/
f t t t f t t
= − − = ⇔ = ∈
'(
( ) ( )
!
"
" " . " .t t t t t t
t
≤ ≤ ↔ − − ≤ ↔ − + ≤ ↔ + ≤
J49
" " "
. P . P .x y z
x y z
+ ≤ + ≤ + ≤
( )
" !Q x y z
x y z
→ = + + + + + ≤
÷
( ) ( )
" - !
!
Q
x y z x y z
x y z x y z
y x
x
−
= +
N J
I&_7_
L y
→ <
P:&7j
L y
→ >
IM%&*
x
↔ =
16. Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng
,
xy yz zx x y z
+ + ≤
+ + + + +
GIẢI
Zl96$
( ) ( ) ( ) ( )
xy x y x y+ − + = − − ≥
P
>?$@'m$'(
+ + + + ≤ + + + + +
÷
+ + + + + +
≤ + + +
+ +
= − − +
÷
+ + +
≤ − − +
÷
+ +
=
vv
17. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
xy yz zx
:&x*y*z
⇒
/ "
- !
P ≥ =
18. Cho a, b, c là các số thực thoả mãn
"a b c
+ + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
. / - / - . - . /
a b c a b c a b c
M = + + + + + + + +
GIẢI
'SiT&'(
"
!
! ! ! " ! -
b c a b c+ +
+ + ≥ =
>?$@n
H
( ) ( ) ( )
! P" P. E ! P" P. Eo ! P" P. o
a b c c a b b c a
u v M u v= = = ⇒ = + +
r r uur r r uur
( ) ( ) ( )
! ! !
o ! ! ! " " " . . .
a b c a b c a b c
+
+ ≥
( ) ( )
!
x y x y⇔ ⇔ − + ≥
H7))<*I&1(
( ) ( )
( )
" "
" "
"
"
" "
.
x y z a z z
P t t
a a
+ + − +
≥ = = − +
+C&*
z
a
E
t
≤ ≤
`g %Tbc+*+i
"
0
1O1>F':&7**.<j
20.Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
! ! !
7 + < +< 7 < +7
Y
< <7 7<
+ + +
= + +
GIẢI
'(
! ! ! ! ! !
7 7 < <
Y
< < 7 7
= + + + + +
+p
G37
!
)
!
i7≥7∀7E∈
¡
21(7
"
)
"
≥7+7)∀7Ej
! !
"
-x y z
P
x y z
+ +
=
+ +
9>C'B'(
( )
"
" "
.
x y
x y
+
+ ≥
+5&B1h&>?$1>?$
( ) ( )
!
x y x y⇔ ⇔ − + ≥
H7))<*I&1(
( ) ( )
( )
" "
" "
"
"
" "
.
= − − = ⇔ = ∈
MG58$5&B&=
( )
[ ]
P
&c
0
t
M t
∈
⇒ = ⇒
'DYN
-
0
1O1>F':&7**.<j
22.Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh:
( )
" " "
" " "
"
!
b c c a a b
a b c
a b c a b c
+ + +
+ + + + ≥ + +
p[+p
⇒
"
)5
"
≥
5+)5
5
"
)'
"
≥
5'+5)'
'
"
)
"
≥
'+')
⇒
!+
"
)5
"
)'
23. Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn:
xyzzyx ≤++
!!!
. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
xyz
z
zxy
y
yzx
x
P
+
+
+
+
+
=
!!!
.
xyz
z
zxy
y
xyx
x
P
+
++=
xyzxyz
!!!
.
++
≤
++
=
≤
xyz
xyz
23456$789
"===⇔ zyx
GV7Y*
!
24. Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
( ) ( )
" " ! !
+ +
x y x y
P
x y
+ − +
=
− −
H*7)Pj!QR$.7≤+7)
!
'(
!
.
t
xy ≤
" !
+" !
− −
≥ =
−
− +
`g %Tb
! !
!
.
+ P L+ P
! + !
t t t
f t f t
t t
−
= =
− −
ck+*⇔**.
!. )∞
ck+
)
c+
)∞ )∞
0
21(%&Y*
+!P
%& + f t
+∞
*c+.*01O1>F':&
. !
( ) ( )
! ! " "
T& 'T T& 'T
'T T& 'T T&
T& 'T T&'T T& 'T
a a a a
a a a a
T
a a a a a
+ −
+
= + = =
H
!
T& 'T !T& T& 'T
. !
t
t a a a a a
π
−
= + = + ⇒ =
÷
C&
!
!
a t
π
= < ∀ ∈ ⇒ ≥ =
−
G
(
( )
( )
P !
%& ! !
t
f t f
∈
= =
:&
!
x y
= =
%& !T
=
:&
!
x y
= =
!
!
)!+7
"
)
"
)".7
*-7
!
!
)!v+7)
"
i"7+7)w)".7*-7
!
!
)!+i"7)".7
*-7
!
!
i!7)!
H*7Ed7E≥ 7)*=≤≤x
I&1(J*-
!
i!)!
Jk*"!i!PJk*⇔*
−
=
! "
7
.
! "
.
−
=
+
=
27.Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
" " "
7 7 < " 7 7 < < , <+ + + + + + + ≤ +
*
( )
!
!
! + 5 !5 5 5
− + − +
*
( )
!
!
! + < !< < .<
− + − +
*
( )
!
!
! + < .< <
+ + +
!
!
"
!
!
"
!
!
"
a
a
c
c
c
b
b
b
a
+
+
++
+
++
+
!.
!!
!.
-
b +
+
+
+
+
+
!.
!!
!
!
!
!
"
a
a
c
a
c +
+
+
+
+
+
"
-
"
-
"
- "
=−=−≥⇒ P
ZY
V&
:&*5*'*
29.Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện
!
x y z
+ + ≥
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
'(
!
x y z
+ + ≥
=
+ +
! +
y z y z
x y z y z yz
− − − −
≥ − + − = + ≥
>?$@'(
+ +
! +!
x z x z
y x z x z xz
− − − −
≥ − + − = + ≥
"
{7EE<j|5'*'U
"
)5
"
*+)5+
!
)5
!
5
≥
+)55E)5j|
!
)5
!
5
≥
5
⇒
"
)5
"
)
≥
+)55)5'*5+)5)'j
⇒
( )
" "
' b
+ +
)
" "
c
+ +
≤
( )
5 ' ab bc ca
+ +
÷
+ +
*
( )
( )
5 '
c a b+ + =
+ +
2€45•$7‚9:&7**<*
Copyright: Tài liệu đại học ©