NGUYỄN MINH NHIÊN – TRƯƠNG THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 0976566882
2 2 2
a b c 3+ + =
CÁC BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT
Bài 1 . Cho a,b,c dương và a+b+c=1 .Chứng minh rằng :

( )
3
2 2 2
a b c 10
abc
c a b
9 a b c
+ + + ≥
+ +

Bài 2 . Cho a,b,c dương thoả mãn : a+b+c=abc . Chứng minh rằng :

2 2 2
1 1 1
1 1 1 2 3
a b c
+ + + + + ≥

Bài 3 . Cho 3 sè d−¬ng a,b,c tho¶ mn : 9a b c+ + =
Chøng minh r»ng:
( )
2 2 2
7 7 7 7 3 3
1 1 1
6 2


5 5 5
4 4 4
3 2 3 2 3 2
a b c
a b c
b c c a a b
+ + + + +
+ + +

Bài 7. Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c=1 , chứng minh rằng :

1 1
30
1 2(ab bc ca) abc
+ ≥
− + +

Bài 8. Cho a,b,c là các số dương , chứng minh rằng :

2 2 2 2 2 2
a b c b c a
b c c a a b b c c a a b
+ + ≥ + +
+ + + + + +

Bài 9. Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [0;1], tìm giá trị lớn nhất của :
P=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)
Bài 10. Cho a,b,c là các số thực khác 0 , chứng minh rằng :
NGUYỄN MINH NHIÊN – TRƯƠNG THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 0976566882


Bài 13. Cho a,b,c là các số dương , chứng minh rằng :

2 2 2
a b c 3
2
ab b bc c ca a
+ + ≥
+ + +

Bài 14. Cho x,y,z là các số dương thoả mãn
3
x y z
2
+ + ≤ , tìm giá trị nhỏ nhất của :

2 2 2
1 1 1
M x y z
x y z
= + + + + +

Bài 15. Cho a,b,c dương và a+b+c=1 , chứng minh rằng :

2 2 2
a abc b abc c abc 1
c ab a bc b ac
2 abc
+ + +
+ + ≤

Bài 18. Cho a,b dương chứng minh rằng :
3
3
3 3
1 a 1 a
b b
a b a b
+ + ≥ + +

NGUYỄN MINH NHIÊN – TRƯƠNG THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 0976566882

Bài 20. Cho a,b,c thoả mãn : a+b+c=1 , chứng minh rằng :

a b c a b c
1 1 1 a b c
3
3 3 3 3 3 3
 
+ + ≥ + +
 
 

Bài 21. Cho tam giac ABC , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

2
4
6 1 tg A
2
64sin B 4 2
M

 
 
  
 
  
 
 

Bài 25. Cho x,y,z là các số dương thoả mãn :
3
x y z
2
+ + ≤ , tìm giá trị nhỏ nhất của :

( )
2
2 2 2
1 1
P x y 1 z
x y z
= + + + +

Bài 26. Cho x,y,z là các số dương , tìm giá trị nhỏ nhất của :

2 2 2
2 2 2
x y z
A
x 2yz y 2zx z 2xy
= + +

Bài 31. Tìm các số thực dương x,y,z thoả mãn hệ :
1 4 9
3
x y z
x y z 12

+ + =



+ + ≤


Giải các hệ sau :
Bài 32.
( ) ( )
x y
2 2
2 2 y x xy 2
x y 2

− = − +


+ =



Bài 33
( ) ( )



Bài 35.
2 y 1
2 x 1
x x 2x 2 3 1
y y 2y 2 3 1
−
−

+ − + = +


+ − + = +



Bài 36.
2 2
2
8xy
x y 16
x y
x y x y

+ + =

+



x xy 4 y xy 4 12

+ + + + =


+ + + + + =

Bài 39 .
10 10 4 4
x y
xy
y x
x y 8x y

+ =



+ =


Bài 40.
2
3
2
3
x 1 y 6 y 1