Bí kíp tổng hợp các công thức và tính nhanh Toán – Lý – Hóa 12 - LTĐH Trang 1
Thầy Đặng Tuấn Anh – 096.89.79.536 Chuyên luyện thi đại học các khối A – A1 – B – D
TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC VÀ CÁC DẠNG
TOÁN THƢỜNG GẶP MÔN TOÁN
PHẦN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: Cho hàm số y = f(x), có chứa tham số m. Định m để hàm số đồng biến trên R ?
Phương pháp : TXĐ : D = R
Ta có y’ =
2
ax bx c
Để hàm số đồng biến trên R thì
0
'0
0
a
y x R
0
0
a
Dạng 4: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. CMR với mọi m đồ thị hàm số luôn có cực trị ?
Phương pháp: TXĐ : D = R
Ta có y’ =
2
ax bx c
Xét phương trình y’ = 0, ta có :
0, xR
Vậy với mọi m, đồ thị đã cho luôn luôn có cực trị.
Dạng 5: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định m để đồ thị hàm số không có cực trị ?
Phương pháp:TXĐ : D = R
Ta có y’ =
2
ax bx c
Hàm số không có cực trị khi y’ không đổi dấu trên toàn TXĐ
0
0
2 công thức tính nhanh đạo hàm trong khảo sát hàm số
2
22
2
1) '
()
2 ( )
2) '
()
ax b ac bd
yy
cx d cx d
ax bx c adx aex be cd
yy
dx e dx e
Bí kíp tổng hợp các công thức và tính nhanh Toán – Lý – Hóa 12 - LTĐH Trang 2
Thầy Đặng Tuấn Anh – 096.89.79.536 Chuyên luyện thi đại học các khối A – A1 – B – D
Dạng 7 : Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định m để đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại
0
2
ax bx c
Để hàm số đạt cực trị bằng h tại
0
x
thì
0
0
'( ) 0
()
fx
f x h
Dạng 9: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định m để đồ thị hàm số đi qua điểm cực trị
00
( ; )M x y
?
Phương pháp:TXĐ : D = R
Ta có y’ =
2
ax bx c
Để hàm số đi qua điểm cực trị
( ; )M x y
là :
0 0 0
'( ).( )y y f x x x Các dạng thƣờng gặp khác :
1/ Viết PTTT với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
0
x
?
Ta tìm : +
00
'( )y f x
+
0
'( ) '( )f x f x
Suy ra PTTT cần tìm là :
0 0 0
'( ).( )y y f x x x 2/ Viết PTTT với đồ thị (C) tại điểm thỏa mãn pt f’’(
0
x
) = 0 ?
Ta tìm : + f’(x)
Bí kíp tổng hợp các công thức và tính nhanh Toán – Lý – Hóa 12 - LTĐH Trang 3
Thầy Đặng Tuấn Anh – 096.89.79.536 Chuyên luyện thi đại học các khối A – A1 – B – D
b) Tính : y’ = f’(x)
Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với đường thẳng y = ax + b nên (d)
có hệ số góc bằng
1
a
Ta có :
0
1
'( )fx
a
(nghiệm của pt này chính là hoành độ tiếp điểm)
Tính
0
y
tương ứng với mỗi
0
x
tìm được.
Suy ra tiếp tuyến (d) cần tìm :
00
x
),…
Từ đó suy ra :
;ab
Maxy
= ;
;ab
Miny
=
Dạng 13: Cho họ đường cong y = f(m,x), với m là tham số. Tìm điểm cố định mà họ đường cong
trên đi qua với mọi giá trị của m.
Phương pháp : y = f(m,x)
Am + B = 0,
m
(1)
Hoặc
2
0,Am Bm C m
(2)
Đồ thị hàm số (1) luôn đi qua điểm
( ; )M x y
khi (x;y) là nghiệm hệ pt
0
0
A
2
C
) là đồ thị hàm số y = g(x). Biện luận số
giao điểm của 2 đồ thị (
1
C
) và (
2
C
) ?
Phương pháp : Phương trình hoành độ giao điểm của y = f(x) và y = (gx) là :
f(x) = g(x)
( ) ( ) 0f x g x
(*)
Số giao điểm của 2 đồ thị (
1
C
) và (
2
C
) chính là số nghiệm của pt (*).
Dạng 15 : Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm pt f(x) + g(m) = 0 ?
Phương pháp : Ta có f(x) + g(m) = 0
f(x) = g(m) (*)
Số nghiệm của pt (*) chính là số giao điểm của đồ thị (C) : y = f(x)
và đường thẳng g(m).
( ; )I x y
là tâm đối xứng
Dạng 17 : Cho hàm số y = f(x), co đồ thị (C). CMR : đường thẳng x =
0
x
là trục đối xứng của (C) ?
Phương pháp : Đổi trục bằng tịnh tiến theo vectơ
0
;0OI x
Công thức đổi trục
0
x X x
yY
Thế y = f(x) ta được Y = f(X)
Ta cần chứng minh Y = f(X) là hàm số chẵn
đường thẳng x =
0
x
là trục đối xứng của (C)
00
()y k x x y
Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm
(1)
(2)
Thay (2) vào (1), ta được :
00
( ) '( )( )f x f x x x y
(3)
Khi đó, số nghiệm của (3) là số tiếp tuyến kẻ từ A tới đồ thị (C).
Do đó, từ A kẻ được k tiếp tuyến tới đồ thị (C).
Có k nghiệm phân biệt
A (nếu có).
Dạng 20 : Định điều kiện để đồ thị hàm số bậc 3 có CĐ, CT nằm về 2 phía (D) ?
Phương pháp : Định đk để đồ thị hàm số bậc 3 có các điểm cực trị
1 1 1 2 2 2
; & ( ; )M x y M x y
(với
12
,xx
là nghiệm của pt y’ = 0)
1/ Nếu (D) là trục Oy thì ycbt
12
Dạng 21 : Định điều kiện để đồ thị hàm bậc 3 có CĐ, CT nằm về củng 1 phía đối với (D) ?
Phương pháp : Định đk để đồ thị hàm số bậc 3 có các điểm cực trị
1 1 1 2 2 2
; & ( ; )M x y M x y
(với
12
,xx
là nghiệm của pt y’ = 0)
1/ Nếu (D) là trục Oy thì ycbt
12
12
0
0
xx
xx
2/ Nếu (D) là đường thẳng x = m thì ycbt
12
12
0
x x m
xx
( ; )xy
thỏa y = thương + dư/mẫu
Dùng bất đẳng thức Côsi 2 số
Kết quả
Dạng 24 : Tìm điểm trên đồ thị hàm số (C) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến 2 trục tọa độ
là nhỏ nhất (Min) ?
Phương pháp : Xét
00
( ; )M x y
thuộc (C)
Đặt P =
0 0 0 0
( ; ) ( ; )d M Ox d M Oy P x y
Nháp : Cho
0 0 0 0
0 ; 0x y A y x B
Gọi L là
( ; )Min A B
Ta xét 2 trường hợp : TH1 :
0
x L P L
TH2 :
0
xL
Bí kíp tổng hợp các công thức và tính nhanh Toán – Lý – Hóa 12 - LTĐH Trang 6
Thầy Đặng Tuấn Anh – 096.89.79.536 Chuyên luyện thi đại học các khối A – A1 – B – D
Dạng 27: Lập pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số hữu tỷ :
2
''
ax bx c
y
a x b
?
m
C11
1 1 1 1
11
1
'
' 0 ' '
'
xx
x x x x
xx
UU
y U V V U y
VV
(1)
Gọi
22
;B x y
là điểm cực trị của
m
C22
Phương pháp : Chia
''
y cx d
ax b
yy
(cx + d là phần dư của phép chia)
( ). 'y ax b y cx d Gọi
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là 2 điểm cực trị của hàm số
12
' ' 0
m x x
C y y
Do
m
AC
nên
1 1 1 1 1 1
( ) 'y ax b y cx d y cx d
(1)
Dạng 30 : Tìm 2 điểm thuộc đồ thị (C) y = f(x) đối xứng nhau qua điểm
00
( ; )I x y
?
Phương pháp : Giả sử
1 1 1 1
( ; ) ( ): ( )M x y C y f x
(1)
Gọi
22
( ; )N x y
đối xứng M qua I
tọa độ điểm N theo
11
,xy
.
Do
22
( ): ( )N C y f x
(2)
Từ (1) và (2) giải hệ, tìm
1 1 2 2
,,x y x yDạng 31 : Vẽ đồ thị hàm số
()y f x
lấy phần
0x 2
()C
là phần đối xứng của
1
()C
qua Oy
Bí kíp tổng hợp các công thức và tính nhanh Toán – Lý – Hóa 12 - LTĐH Trang 7
Thầy Đặng Tuấn Anh – 096.89.79.536 Chuyên luyện thi đại học các khối A – A1 – B – D
cos(-α) = cosα
sin(-α) = - sinα
tan(-α) = - tanα
cot(-α) = - cotα
sin(π - α) = sinα
cos(π - α) = - cosα
tan(π - α) = - tanα
cot(π - α) = - cotα
sin(
2
- α) = cosα, cos(
2
- α) = sinα
tan(
2
| ( )|y f x
? (C)
Phương pháp : Vẽ đồ thị y = f(x) (C’)
Có
1
2
( ), 0( )
()
( ), 0( )
f x x C
y f x
f x x C
Đồ thị (C) gồm đồ thị
1
()C
và đồ thị
2
()C
Với
1
xx
2. Cung có liên quan đặc biệt:
Nhớ: “Cos đối – Sin bù - Phụ chéo”
Đặc biệt:
khi
khi
sin k ch½n
cos ,sin
22
xx
xx
sin2a = 2sina.cosa
2
2.tan
tan2
1 tan
a
a
a
cos2a = 2.cos
2
a – 1
= 1– 2.sin
2
a
= cos
2
a – sin
2
a
7. Công thức biến đổi tích thành tổng:
Nhớ: “Suy ra từ công thức tổng thành tích”
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
8. Công thức tính theo t = tan x:
2
2 2 2
2tan 1 tan 2tan
sin2 ;cos2 ;tan2
2
sin3 3.sin 4.sin , cos3 4.cos 3.cos
3tan tan
tan3
1 3tan
a a a a a a
aa
a
aPHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
I. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản
2
1) sin sin
2
2)cos cos 2 ,
u v k
u v k
u v k
u v u v k k
2
x + bcotx + c = 0
Cách giải
Đặt ẩn số phụ cho HSLG để đưa về phương trình
bậc hai một ẩn.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
1) 2sin
2
x – sinx – 1 = 0
2) 2cos
2
x - 5cosx – 3 = 0
3) 2sin
2
x – 3cosx = 0
4) sin
2
2x – 2cos
2
x +
3
4
= 0
5) 2cos2x + 4sinx + 1 = 0
6) cos4x = cos
2
x
Bí kíp tổng hợp các công thức và tính nhanh Toán – Lý – Hóa 12 - LTĐH Trang 9
Thầy Đặng Tuấn Anh – 096.89.79.536 Chuyên luyện thi đại học các khối A – A1 – B – D
sin
a
ab
b
ab
(hoặc ngược lại)
Ta được phương trình:
22
22
os sin sin cos
sin
c
c x x
ab
c
x
x x x x D
xx
A
xx
x x x x x x B
2
09)
31
9) 3sin cos
2cos
cos 2sin cos
10) 3
2cos sin 1
xx
x
x x x
xx
1) 3sin
2
x – 2sin2x – 3cos
2
x = 2
2) cos
3
x + sin
3
x = sinx + cosx
3)
1
4sin 6cos
cos
xx
x
PHẦN PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH – HỆ
PHƢƠNG TRÌNH
1/ Phƣơng trình và bất phƣơng trình :
Các điều kiện và tính chất cơ bản :
A
có nghĩa khi A
0
AB A B
khi A,B
0
AB A B
khi A,B
0
Bí kíp tổng hợp các công thức và tính nhanh Toán – Lý – Hóa 12 - LTĐH Trang 10
Thầy Đặng Tuấn Anh – 096.89.79.536 Chuyên luyện thi đại học các khối A – A1 – B – D
Các định lý cơ bản :
Định lý 1 : Với A
0 và B
0 thì A = B
22
AB
Định lý 2 : Với A
0 và B
0 thì A
B
0B
AB
AB
Dạng 3 :
2
0
0
A
A B B
AB
Dạng 4 :
2
0
0
1. Phƣơng trình
a)
0fx
f x g x
f x g x
b)
2
0gx
f x g x
f x g x
x
x
x
Vậy
1S Bí kíp tổng hợp các công thức và tính nhanh Toán – Lý – Hóa 12 - LTĐH Trang 11
Thầy Đặng Tuấn Anh – 096.89.79.536 Chuyên luyện thi đại học các khối A – A1 – B – D
Ví dụ 2: Giải phương trình:
22
5 4 2 3 12 2x x x x
1
4
8
2
6
8
6
x
x
x
x
x
0
gx
f x g x
f x g x
b)
2
0
0
0
gx
fx
f x g x
gx
f x g x
b)
2
2 5 4 3x x x
,
14
1;
5
S
Hướng dẫn
a) Ta có :
2
2
2
10
1 2 1
1 2 1 0
x
xx
xx
1
x
x
x
x
x
x
Bí kíp tổng hợp các công thức và tính nhanh Toán – Lý – Hóa 12 - LTĐH Trang 12
Giải (1)
5
5
11
2
2
13
x
x
x
Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình là
14
1;
5
S
II. CÁC PHƢƠNG PHÁP
1. Phƣơng pháp bình phƣơng liên tiếp
Sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp nhằm biến đổi phương trình, bất phương trình về
dạng không còn chứa căn thức. Tuy nhiên khi bình phương hai vế của phương trình, bất phương
trình nhớ sử đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu (đối với phương trình có thể giải bằng phương trình
hệ quả sau đó thử lại kết quả, còn đối với bất phương trình bắt buộc phải đặt điều kiện cho hai vế
cùng dấu)
x x x
x x x
x x x x x
x x x
2 6 2 1x x x
2x
22
2
4 4 2 13 6
3 17 10 0
5
2
3
x x x x
xx
x
xl
Với điều kiện trên ta có
13
2 2 3 9 2
22
1 9 3
4 3 9 2 9 2
4 4 2
16 48 18 2 6 9 2
xx
x x x
x x x
2
18 64 0
9 33 3 9 2
9 33 9 9 2
x
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là
9
4;
2
S
2. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ
Mục đích của phương pháp đặt ẩn phụ là đưa phương trình bất phương trình về dạng cơ bản
hoặc là dạng đã biết cách giải. Từ nghiệm của phương trình, bất phương trình mới ta suy ra nghiệm
32t x x
, để đưa phương trình về dạng cơ bản, tuy nhiên để bài toán
được gọn hơn ta thường đặt ẩn phụ cho nguyên biểu thức căn, tức là đặt
2
3 2 2t x x Ta giải bài toán này như sau:
Đặt
2
3 2 2t x x
điều kiện
0t
. Khi đó
22
3 2 9 7x x t
. Phương trình trở thành
Bí kíp tổng hợp các công thức và tính nhanh Toán – Lý – Hóa 12 - LTĐH Trang 14
Thầy Đặng Tuấn Anh – 096.89.79.536 Chuyên luyện thi đại học các khối A – A1 – B – D
2
2
2
2
22
77
77
7 7 dk 7
7 14 49
x
Vậy
1 22 1 22
;
33
S
Ví dụ 2 Giải bất phương trình
2
t
Kết hợp với điều kiện ta có
08t
(1)
Với
8t
ta có:
2
2
2
2
5 28 8
5 28 0
9 4 2
5 36 0
5 28 64
xx
x
xx
x
xx
xx
, suy ra
2
2 1 2 1x x t
Bất phương trình trở thành:
Bí kíp tổng hợp các công thức và tính nhanh Toán – Lý – Hóa 12 - LTĐH Trang 15
Thầy Đặng Tuấn Anh – 096.89.79.536 Chuyên luyện thi đại học các khối A – A1 – B – D
2
2
2 1 1
2 1 0
1
2
1
tt
tt
tl
t
t A B
, suy ra
2
2
t A B
AB
. Đƣa phƣơng trình bất phƣơng
trình về ẩn
t
.
Ví dụ 4 Giải phương trình:
2 5 ( 2)(5 ) 4x x x x
Hướng dẫn:
Điều kiện
25x
Đặt
25t x x
(điều kiện
0t
).
Suy ra
2
2
7
Với
3t
ta có:
2 5 3
7 2 2 5 9
2 5 1
xx
xx
xx
2
3 9 0xx
3 3 5
2
3 3 5
2
xn
Thầy Đặng Tuấn Anh – 096.89.79.536 Chuyên luyện thi đại học các khối A – A1 – B – D
Ví dụ 5 Giải bất phương trình:
2 1 9 2 3 2 1 9 2 13x x x x
Hướng dẫn
Điều kiện
19
22
x
Đặt
2 1 9 2t x x
(điều kiện
0t
). Suy ra
2
10
2 1 9 2
2
t
xx
Bất phương trình trở thành
2
ta có
2
2 1 9 2 4
10 2 2 1 9 2 16
2 1 9 2 9
16 4 0
04
xx
xx
xx
xx
x
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là
0;4S
Dạng 3. Các phƣơng trình có dạng
4
m A n B p AB
. Khi đó đặt
4
2 0 2 2
1
20
2
xx
x x x
x
xx
x
Đặt
1 2. 2 1 4 2 3x x x x x
Bí kíp tổng hợp các công thức và tính nhanh Toán – Lý – Hóa 12 - LTĐH Trang 17
Thầy Đặng Tuấn Anh – 096.89.79.536 Chuyên luyện thi đại học các khối A – A1 – B – D
Với
1
2
ab
ta có
44
1
1 2 1 2 0
2
x x x x vn
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
3S
Ví dụ 7 Giải bất phương trình
2
4
2 3 1
3 2 1 4 1
36
xx
xx
2 1 1 1
3. 4.
1 2 1
6
xx
xx
Đặt
44
2 1 1 1
1 2 1
xx
t
x x t
(Điều kiện
0t
). Khi đó bất phương trình trở thành
2
16
66
41
x
x x x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
1;5S Dạng 4. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Ví dụ 8 Giải phương trình:
3
3
1
21
2
x
x
Hướng dẫn
Đặt
3
3
1
21
2
2 2 2 0
20
0
x t t x x t x xt t x t
x t x xt t
xt
(Vì
2
2 2 2
3
2 2 0
24
t
x xt t x t
)
Với
tx
ta có
Bí kíp tổng hợp các công thức và tính nhanh Toán – Lý – Hóa 12 - LTĐH Trang 18
Thầy Đặng Tuấn Anh – 096.89.79.536 Chuyên luyện thi đại học các khối A – A1 – B – D
1; ;
22
S
Ví dụ 9 Giải phương trình:
33
34 3 1 *xx
Hướng dẫn
Đặt:
3
33
3
34
37
3
ux
uv
vx
ta có:
3
3
1 37
3
4
vv
v
v
3
3
3 3 3 30
4 3 4 61
v x x
v x x
Ví dụ 10 Giải phương trình:
22
*
trở thành
2
7 4 14v u v u
Ta có hệ:
2
2
2
49 28
28 49 0
0
49 28
v u v u
u uv u
u u v
u
uv
13
0
17
ux
49 28uv
Thay vào
2
:
x
v
xx
x
v
xx
x
Chú ý:
Từ phương trình ta suy ra hệ, nên khi giải ra nghiệm ta phải thử lại.
Phương pháp này chỉ hiệu quả trong việc giải phương trình, còn bất phương trình thì rất khó
sử dụng.
3. Phƣơng pháp sử dụng bất đẳng thức
Ví dụ 11 Giải phương trình
2
2 10 12 40x x x x
Hướng dẫn
Đặt:
2 10 , 0t x x t
2
2 2 2
2 10 1 1 2 10 16
4
04
BCS
t x x x x
t
t
m
để phương trình sau có nghiệm:
3 6 3 6x x x x m
Hướng dẫn
Điều kiện:
3;6x
Đặt
3 6 , 3;6t x x x
1 1 6 3
2 3 2 6
2 6 3
xx
t
xx
xx
3
0 3 2
t 3 3 3;3 2t
Xét
2
9
, 3;3 2
2
9
1 , 3 3, 3 2 3 2
2
t
f t t t
f t t f f
32
3
6
9
32
2
3
Bí kíp tổng hợp các công thức và tính nhanh Toán – Lý – Hóa 12 - LTĐH Trang 21
Thầy Đặng Tuấn Anh – 096.89.79.536 Chuyên luyện thi đại học các khối A – A1 – B – D
Vậy
9
3;3 2
2
m
thì phương trình có nghiệm.
2/ Phƣơng trình và bất phƣơng trình :
Phƣơng pháp1: Phương pháp đánh giá bằng tập xác định
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
11
11
xy
yx
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = y = 0
Do vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 0
Phƣơng pháp2: Đánh giá bằng bất đẳng thức
Ví dụ1: Giải hệ phương trình (I)
043147
02
32
222
yxx
yxyxLời giải
Viết lại (I)
0
Lại có (x - 1)
2
0 ,
x nên (2)
01
0)1(
3
2
y
x
)3(
1
1
2008200720072007
222
zyx
xzyzxyzyx
Lời giải
Ta có (1)
2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
- 2xy - 2yz - 2xz = 0
(x - y)
2
+ (y - z)
2
+ (x - z)
2
= 0 (3)
Vì (x - y)
2
0; (y - z)
2
2008
x
2007
= y
2007
= z
2007
= 3
2007
Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm là x = y = z = 3
Bí kíp tổng hợp các công thức và tính nhanh Toán – Lý – Hóa 12 - LTĐH Trang 22
Thầy Đặng Tuấn Anh – 096.89.79.536 Chuyên luyện thi đại học các khối A – A1 – B – D
Phƣơng pháp 3: Đánh giá bằng tính chẵn lẻ
Ví dụ1: Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất
(I)
22
2
1
113
ayx
yax
Điều kiện cần
Thấy rằng nếu có nghiệm (x
0
,y
0
) thì hệ cũng có nghiệm (x
0
,-y
0
)
Bởi vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là y
0
= 0
Thay y
0
= 0 vào (II) ta có
113
2
2
yx
yx
x = y = 0
a =
3
4
, hệ (II) trở thành
9
16
1
11
3
4
3
2
2
x
Vậy tập hợp các giá trị của a tương thích với yêu cầu bài toán là
3
4
;1 aa
Ví dụ 2: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất
axxy
ayx
355
3
22
2
Bí kíp tổng hợp các công thức và tính nhanh Toán – Lý – Hóa 12 - LTĐH Trang 23
Thầy Đặng Tuấn Anh – 096.89.79.536 Chuyên luyện thi đại học các khối A – A1 – B – D
*Điều kiện đủ
Với a =
3
, hệ trở thành
)2(55
)1(33
22
2
xxy
yx
Để ý:
33
2
yx
Dấu đẳng thức xẩy ra khi x = y = 0.
Suy ra (1)
x = y = 0. Thấy rằng x = y = 0 cũng là nghiệm của (2)
Suy ra x = y = 0 là nghiệm duy nhất của hệ
01)()(
03)()(
2
22
yxzyx
zyxzyxĐặt
yxv
yxu
0
0
v
u
4
4
2
2
z
z
z =
2
*Với z = 2 ta có (III)
u = v = 1
*Tóm lại: Hệ đã cho có hai nghiệm là (1; 0; 2) và (-1; 0; -2)
Nhận xét: - Số ẩn nhiều hơn số phương trình suy ra đặc biệt hóa một ẩn xem là tham số
- Sự vắng mặt hạng tử z
2
trong phương trình (2) cho ta thấy thiếu bình đẳng của nó đối với x và y
- Sự phân tích trên dẩn chúng ta đặc biệt hóa ẩn z, xem nó là tham số
Ví dụ2: Giải hệ phương trình (I)
)4(0
)3(165)3)(2(
)2(84
)1(23)3(
22
3
z
xxxz
yyz
yx
0
)6(
2
0
z
z
Từ (4), (5), (6) suy ra
2
0
z
z
*Thay z = 0 vào các phương trình (i) và (ii) sẻ lần lượt có
x = - 4,
)2(2
)1(2
200720072008
200720072008
200720072008
yxz
zxy
zyx
Lời giải
Ta sẻ chứng minh x = y = z. Thật vậy:
Do vai trò của x , y , z như nhau nên không mất tính tổng quát,giả sử
x
y và x
z (4)
Vì x > 0, y > 0, z > 0 nên:
Từ (1),(2),(4)
2x
2008
= y
20072007
z
x
20072007
z
= 2y
2x
2008
2z
2008
x
z (6)
Từ (4),(5),(6) suy ra x = y = z
Thay vào (1) ta có 2x
2008
= x
20072007
x
=
2007
2x
suy ra x = 1 (do x > 0)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất : x = y = z = 1
Bí kíp tổng hợp các công thức và tính nhanh Toán – Lý – Hóa 12 - LTĐH Trang 25
Thầy Đặng Tuấn Anh – 096.89.79.536 Chuyên luyện thi đại học các khối A – A1 – B – D
Phƣơng pháp 6: Đánh giá bằng tính chia hết
Ví dụ: Chứng tỏ rằng hệ phương trình
2005
+ z
2005
+ 2008
(x
2008
- x
2005
)+ (y
2008
- y
2005
) + (z
2008
- z
2005
) = 2008
x
2005
(x
3
- 1) + y
2005
(y
3
- 1) + z
2005
(z
I2/ Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
1/
c ' 0
(c là hằng số) 2/
m m 1
x ' mx
3/
sin x ' cos x
4/
cos x ' sin x
5/
2
1
tgx '
cos x
6/
2
1
cot gx '
sin x
7/
xx
a ' a ln a
8/
xx
e ' e
k k n
f x x , f x k k 1 k n 1 x (n k)
2/
n
xx
f x e , f x e
3/
kk
2k 2k 1
f x sin x, f x 1 sin x ; f x 1 cos x
4/
kk
2k 2k 1
f x cos x, f x 1 cos x ; f x 1 sin x
Copyright: Tài liệu đại học ©