Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page1
I.Bất đẳng thức Bunhiacơpxki ( BCS ) :

Cho 2 bộ số thực
()
12
; ; ;
n
aa a và
()
12
; ; ;
n
bb b , mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có:

()
()
(
)
2
22 222 2
11 2 2 1 2 1 2

nn n n
ab a b a b a a a b b b+++ ≤+++ +++
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

xx
aa
++ =
+
+

đạt được khi
1
1

n
n
x
x
aa
==Hệ quả 2:

Nếu
222
1

n
x
xC++ = (khơng đổi) thì
()
22
11 1

x
aa
⇔==≤III.Bất đẳng thức Bunhiacơpxki mở rộng:
• Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacơpxki cho 3 dãy số thực khơng âm
()
12
; ; ;
n
aa a ;
()
12
; ; ;
n
bb b ;
()
12
; ; ;
n
cc c ta ln có :
()
()
(
)
(

xyz
ABC
===
với 1;2;3i =
Khi đó ta có:
333
123
333
123
333
123
1
1
1
xxx
yyy
zzz
⎧
++=
⎪
++=
⎨
⎪
++=
⎩
và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
111 2 22 3 33
1xyz xyz xyz++≤
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số khơng âm:
(

⎪
⎪
⎪
+
+
≤
⎨
⎪
⎪
++
≤
⎪
⎩ Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được:
111 2 22 3 33
1xyz xyz xyz
+
+≤(đpcm)
Đẳng thức xảy ra
111
111
222
222
333
333
abc
ABC
xyz

=
=
• Tổng qt : bất đẳng thức Bunhiacơpxki mở rộng cho rộng cho m dãy số thực khơng âm:

Cho
m dãy số thực khơng âm:
()
12
; ; ;
n
aa a ,
()
12
; ; ;
n
bb b , … ,
()
12
; ; ;
n
KK K
Ta có:
()
(
)
(
)( )
11 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

m

x
yzvà
158
;;
x
yz
ta được:
()
()()()
2
2
2
222
12584 1 5 8
49. 4 9 16 2 3 4Txyz x y z
xy z
xyz
⎡
⎤
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
⎡⎤
⎢
⎥
=++ ++ = + + + +
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟

2
158
5
234
3
4 9 16 49
2
x
xyz
y
xy z
z
⎧
=
⎪
⎧
⎪
==
⎪⎪
⇔=
⎨⎨
⎪⎪
++ =
⎩
=
⎪
⎪
⎩
11 11
1. 1 3. 10 5
22 22
yxy
⎡⎤
⎡⎤
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
−+−≤ −+−≤
⎢⎥
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦

()
2
32 5xy⇒+− ≤
32 5xy⇒+ −≤
325xy⇒+ ≤+
Đẳng thức xảy ra khi
15
210
135
210
x
y
⎧
=+

abc
=+++
++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số:
(
)
222
222
1111
;;;
;3 ;3 ;3
ab bc ca
abc
abc ab bc ca
⎛⎞
⎜⎟
++
⎝⎠
++

Ta có:
()
()
2
222
1333 9 9 9a b c ab bc ca A+++ ≤ + + + + +

()( )
2

222
222
111
Sx y z
x
yz
=+++++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số:
()
1
1; 9 ; ;x
x
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Ta có:
22
22
911
181. 82.xxx
x
x
x
+≤ + + = +
(1)
Tương tự:
2
2

⎛⎞
≥+++++−++
⎜⎟
⎝⎠

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page5()
111
2.9.3. 80 162 80 82xyz
xyz
⎛⎞
≥++++−≥−=
⎜⎟
⎝⎠

Vậy
222
222
111
82xyz
xyz
++ ++ +≥Bài 5 : Cho ba số thực dương ,,abcthoả ab bc ca abc
+

abc xyz
ab bc ca abc x y z
>>
⎧⎧
⇔
⎨⎨
++= ++=
⎩⎩

và (đpcm)
22 22 22
2223xy yz zx⇔+++++≥
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
()
(
)
()
2
22 222
323
x
yxyyxyy+=++≥++

()
22
1
22
3
x
yxy⇒+≥ +

3abc===Bài 6 : Chứng minh:
()
111 1abccab−+ −+ −≤ + với mọi số thực dương
;; 1abc≥

Hướng dẫn giải
Đặt
222
1;1;1axbycz−= −= −=
Với ; ; 0.xyz> Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
()()()
222
1111xyz z x y
⎡
⎤
++≤ + + ++
⎣
⎦

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page6

()() ()
(
)

++≥
+++

Hướng dẫn giải
Đặt
111
;;xyz
abc
===
1; 0; 0; 0xyz x y z⇒=>>>
Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau : A=
222
3
2
xyz
yz zx xy
+
+≥
+++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số :
()
;; ; ; ;
xyz
yz zx xy
y
zzxxy
⎛⎞
+++
⎜⎟

1
abc
a abac b bcba c cacb
++≤
++ + ++ + ++ +

Hướng dẫn giải

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số:
(
)
(
)
;;;ab ca
Ta có:
()
()() ()()
2
ac ab a b c a ac ab a b c a+≤++⇒+≤++
()()
aacaba abca⇒+ + ≤+ + +
()()
aaa
aacab abc
aabac
⇒≤=
++ ++
++ +
(1)
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

abc==.

Bài 9 : Cho ; 0ab> và thoả
22
9ab+=.Chứng minh :
32 3
32
ab
ab
−
≤
++

Hướng dẫn giải
Ta có:
22
9ab+=

()
()()
2
29
233
ab a b
ab a b a b
⇔=+−
⇔=++ +−

2
3

9
2
ab
ab ab
ab
>
⎧
⎪
⎪
+=⇔==
⎨
⎪
⎪
=
⎩

Bài 10: Cho ; ; ;abcddương tuỳ ý.Chứng minh :
111
p
qpqpq
a b c pa qb pb qc pc qa
+
++
++≥ + +
+++

Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có
() ()
2


Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page8

() ()
2
111 111
pq pq
p
aqb pbqc pcqa abc
⎡⎤
⎛⎞
+++≤+++
⎜⎟
⎢⎥
+++
⎝⎠
⎣⎦

Hay
()
111111
pq
p
aqb pbqc pcqa abc
⎡⎤
+++≤++
⎢⎥
+++
⎣⎦


()()()()
()
3333
;;;; ;;;
abcd
ab c d bc d a cd b a d a b c
bcd cd a bd a abc
⎛⎞
++ ++ ++ ++
⎜⎟
⎜⎟
++ ++ ++ ++
⎝⎠

Ta có:
()
()()()()
2
222 2
a b c d Pabcd bcda cd ab dabc+++ ≤ +++ +++ +++ ++⎡⎤
⎣⎦()
()
(
)
2
2
222 2 222 2

33332222
3
a b c d abcd
bcd cda bda abc
+++
+++≥
++ ++ ++ ++Bài 12 :
Cho các số dương ;;abc thỏa a + b + c = 1 . Chứng minh : 1
111
abc
ba cb ac
+
+≥
+− +− +−

Hướng dẫn giải
Đặt
111 222
abc abc
A
ba cb ac bc ca ab
=++ =++
+− +− +− + + +

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
() () () ()
()()()

()
2
3
abc
A
ab bc ca
++
⇔≥
++

Ta lại có:
()( )
2
3abc abbcca++ ≥ + +
. Suy ra
(
)
()
3
1
3
ab bc ca
A
ab bc ca
++
≥=
++

Vậy
1

22 22
1ax y bz t
+
++= với ;ablà hai số dương cho
trước. Chứng minh:
()()
ab
xzyt
ab
+
++≤
Hướng dẫn giải
Do ; 0ab> nên từ giả thiết ta có:
()()
2222
22 22
22 22
1
1
1

xy zt
ax y bz t
baab
xzyt
babaab
++
++ +=⇔ + =
⇔+++=


⎝⎠
(2)
Cộng từng vế (1) và (2) ta được:

()()()
22 22
22
x
zyt ab
xz yt ba
baba ab
⎛⎞
+
+++≤+ +++ =
⎜⎟
⎝⎠
(3)
Mặt khác
()()()()
22
2
x
zyt xzyt+++≥ + + (4)
Do đó từ (3) và (4) suy ra:
()()
ab
xzyt
ab
+
++≤


Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page10

Bài 14 : Cho các số thực dương ;;;
x
yztthoả mãn 1.xyzt
=
Chứng minh:
()()()()
3333
11114
3
x yz zt ty y xz zt tx z xt ty yx t xy yz zx
+++ ≥
++ ++ ++ + +

Hướng dẫn giải
Với
;;;
x
yzt
dặt
1111
; ; ; ( ; ; ; 0)abcd abcd
xyzt
==== >và
1abcd
=

1111

abcd
abcd bcda cd ab dabc
⇔+++≥
++ + + ++ ++
(vì
1abcd =
)
2222
4
3
abcd
bcd cd a d ab abc
⇔+++≥
++ + + ++ ++

Đặt
2222
abcd
S
bcd cd a d ab abc
=+++
++ + + ++ ++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:

()()()()( )
2
.S bcd cda dab abc abcd++ + + + + ++ + ++ ≥ +++
⎡⎤
⎣⎦

S ≥
Vậy
333 3
11114
11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1
3
bc cd bd ac cd ad ad bd ab ab bc ac
abc d
+++≥
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞
++ ++ ++ ++
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠

Dấu đẳng thức xảy ra khi
11abcd x yzt====⇔==== .

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page11

4444
1234
3333
1234
1
4
xxxx
xxxx
+++

xxxx⇒+++≥
(1)
•
()
(
)
2
2222 3 3 3 3
1234 11 22 33 44

x
xxx xxxxxxxx+++ = + + +

()
()
3333
12341 234
x
xxxxxxx≤+++ +++

3333
1234
x
xxx=+++
(vì
1234
1xxxx+++=)

3333
2222

x
xxxxxxx≤ +++ +++

4444 3333
1234 1234
3333 2222
1234 1234
x
xxx xxxx
x
xxx xxxx
+++ +++
⇒≥
+++ +++
(3)
Từ (1);(2) và (3) suy ra:

Bài 16 : Cho bốn số dương ; ; ;abcd.Chứng minh:
()
()
()
()
()
()
()
()
444 4

aba b
+
⇔≥+
++

Mặt khác:
()
()
44
22
ab
ab
aba b
−
=−
++

Đặt
()
()
()
()
()
()
()
()
444 4
22 22 2 2 22
abc d
N

()
()
(
)( )
()
()
44 44 44 44 4 4 4 4 44 44
22 22 2 2 22
2
ab ab bc bc cd cd d a da
N
aba b bcb c cdc d dad a
−++ −++ −++ −++
=+++
++ ++ ++ ++
(1)
() () () ()
1111
2
4444
Nababbcbccdcddada⇔≥ ++−+ ++−+++−+ ++−

()()
11
2
44
N abbccdda N abcd⇔ ≥ +++++++ ⇔ ≥ +++ ( đpcm ) Bài 17 : Cho ; ;abclà các số thực dương.Chứng minh:

333
8 8 8
888
. 8 8 8
888
. . 8 . 8 . 8
abc
abc aa bc bb ac cc ab
abc bac cab
abc
a a bc b b ac c c ab
abcbaccab
A a a abc b b abc c c abc
⎡⎤
++ = + + + + +
⎢⎥
+++
⎣⎦
⎡⎤
⎡
⎤
≤++ +++++
⎢⎥
⎣
⎦
+++
⎣⎦
⎡⎤
=+++++
⎣⎦

222
1
888
abc
abcbaccab
++≥
+++

Dấu đẳng thức xảy ra khi
abc==.

Bài 18 : Cho ; ;xyz
+
∈  thoả 1xy yz zt tx+ ++=.Chứng minh:
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page13

3333
1
3
xyz t
yztxztxytxyz
+++ ≥
++ ++ ++ ++

Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
()
()

3333
1111
x
yzt
X
YZT
⎧
≥≥≥
⎪
⎨
≥≥≥
⎪
⎩()
3333
3333
11111
4
xyzt
x
yzt
XY ZT XYZT
⎛⎞
+++≥ +++ +++
⎜⎟
⎝⎠
(2)
Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy

.
43
x
yzt xyzt XYZT⇒+++≥ +++ +++ (3)
Từ (2) và (3) rút ra:
()
()
3333
2222
1 1111
48
xyzt
xyztXYZT
X
YZT XYZT
⎛⎞
+++≥ +++ +++ +++
⎜⎟
⎝⎠

Theo (1) ta lại có:
2222
1
x
yzt≤+++
Áp dụng BĐT Cauchy cho
;;; 0XYZT> ta có:
()
4
4

;;;
X
YZTta được kết quả:
3333
1
3
xyz t
yztxztxytxyz
+++ ≥
++ ++ ++ ++

Dấu đẳng thức xảy ra khi
1
2
xyzt====

Bài 19 : Cho n là số tự nhiên.Chứng minh rằng:
(
)
12
2 1
nn
nn n
CC C n+++≤ −
Hướng dẫn giải
Chọn hai dãy
(
)
()
12

Cho
1ab==.Ta có:
01 1
2 2 1
nnnn
nn n n n
CC C C C=+++⇒−=++
Vậy từ (1) ta có:
(
)
12
2 1
nn
nn n
CC C n+++≤ −
Dấu đẳng thức xảy ra khi
12
1
n
nn n
CC Cn===⇔=
.

Bài 20 : Cho ; ; ; 0abcd> .Chứng minh :
2
23 2 3 23 23 3
abcd
bcdcdad ababc
+
++≥

1234 1234
4; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 3 ; 2 3 ; 2 3 ; 2 3n x x x x abcd y y y y b c dc d ad a ba b c== =++++++++

⇒VT
()
()
2
4
abcd
ab ac ad bc bd cd
+++
≥
++ +++
(1)
Mặt khác
()()
2
3
8
ab ac ad bc bd cd a b c d++ +++ ≤ +++ (2)
Từ (1) và (2) ⇒VT
2
3
≥ ( đpcm )

Bài 21 : Cho 0; 0; 0abc>>>.Chứng minh :
444333
2
a b c abc
bc ca ab

;;
x
xxvà
123
;;
y
yyta được:
()()()
()
444
2
2
2
22 333
abc
abc bca cab a b c
bc ca ab
⎛⎞
⎡⎤
++ +++++≥++
⎜⎟
⎣⎦
++ +
⎝⎠

Nên
()
()()()
2
333

abcabc
bc ca ab
++
++≥
++ +Bài 22 : Cho 0; 1;2; ;
i
x
in>= có
12
1
n
xx x+++=.Cho
12
; ; ;
n
ii i
x
xxlà hốn vị của
12
; ; ;
n
x
xx.Chứng minh:
(
)
2
2

kkk
kk kk
ii i
nx x x
xx x
== ==
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
+≥ + = +
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦
∑∑ ∑∑

Mà
1
1
n
k
k
x
=
=
∑

2
22


Vậy
(
)
2
2
2
1
1
1
k
n
k
k
i
n
x
xn
=
⎛⎞
+
+≥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑


1abc++≥.Chứng minh:
333
1
2
abc
bc ca ab
+
+≥
++ +

Bài 4: Cho
222
1abc++=
.Chứng minh: 13abcabacbc+++ + + ≤+
Bài 5: Cho ;;abclà các số dương.Chứng minh:
444222
222222
3
abcabc
abab bbcc caca
++
++≥
+
+++++

Bài 6: Cho 3 số ;;
x
yzthoả
()()()
4

yz++=.Chứng minh:
1
11933
2
y
xz
yz zx xy
+
+++
++≥
+++

Bài 9: Chứng minh:
()
2
abc
abc
xyz xyz
++
++≥
++

Bài 10: Cho 0xyz≥≥>.Chứng minh:
()
222
2
222
xy yz zx
x
yz

222
222
32
111
2
abbcca+− + +− + +− ≥
Bài 14: Cho ;; 0xyz> và
3
2
xyz++≤.Chứng minh:
222
222
1113
17
2
xyz
xyz
++ ++ +≥
Bài 15: Cho trước 2 số dương ;abvà 2 số dương ;cdthay đổi sao cho abcd
+
<+.Chứng minh:

()
2
22
ac
ca
cd abcd ab
−
+≥

+++

Bài 18: Chứng minh rằng với mọi
()
1;2; ;
i
ai n∈= ta có:
() () ()
22 2
22 2
1223 1
1 1 1
2
n
n
aaaa aa+− ++−+++−≥
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page17

Bài 1: Cho
A
BCΔ
thoả mãn hệ thức:

++
⇔++=

Từ (2) ta có:
()()ax by cz ab bc ca r R++= ++ +(3)
333
444 2 2 2 2 2 2
()( ) ()()()
abc y x z y x z
ax by cz a b c ab a b bc b c ca c a
x
yz x y y z z x
++ ++ =+++ + + + + +

Theo BĐTCauchy,ta có:
333
444 2222
( )( ) 2 . .2 .2 ( )
abc
ax by cz a b c ab ab bc bc ca ca a b c
xyz
++ ++ ≥+++ + + ≥ ++

Suy ra :
()
333 222
()
()
()
abc abc

(theo BĐT BCS)
Mà
9
23( )3( )
22
R
R
Rr rR R≥⇒ +≤ +=
từ đó:
333 2
2( )
9
abc abc
xyz R
++
++≥

333 2
2( )
9
a b c abc
br cR cr aR ar bR R
++
⇒++≥
++ +

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page18


Hướng dẫn giải
Do tgA>0,tagB>0,tgC>0 và 1
22 22 22
AB BC C A
tg tg tg tg tg tg++=
Áp dụng BCS ta có:
22 22 22
1
22 22 223
AB BC C A
tg tg tg tg tg tg++≥
(1)
Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có:
222
3
3
22 22 22 2 2 2
AB BC C A A B C
tg tg tg tg tg tg tg tg tg++≥
(2)
1
3
2223
ABC
tg tg tg⇔≤

từ (1)và(2):
22 22 22
4
143

A
BCΔ
đều

Bài 3 : Cho a, b, c, là số đo 3 cạnh Δ.chứng minh rằng
acb
a
T
−+
=
22
+
1
2222
≥
−+
+
−+ cba
c
bac
b

Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho 6 số:
()()()
cbacbacbacba
cba
c
bac
b

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page19

Bài 4 : Cho ABCΔ và đường tròn nội tiếp Δ , các tiếp tuyến của đường tròn song song với 3 cạnh của
Δ
nhỏ
và
có diện tích S
1
; S
2
; S
3
. Gọi S là diện tích
ABC
Δ
. Chứng minh:
3
321
S
SSS ≥++

Hướng dẫn giải
Giả sử S
1
= S
AMN
Ta có: AMNΔ đồng dạng ABCΔ với tỉ số đồng dạng là:
ha

a
ha
rha
S
S

(Vì S =
p
a
ha
r
praha =⇒=
2
2
1
với p là nửa chu vi)
Vậy:
p
a
S
S
−=1
1

Tương tự:
p
b
S
S
−=1

111.1.1.1 SSSSSS ++++≤++
⇒
123
3
S
SSS++≥ (đpcm). Dấu “=” xảy ra khi
ABC
Δ
đều

Bài 5 : Cho ABCΔ và 1 điểm Q nào đó ở trong
Δ
. Qua Q kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở M và cắt
BC ở N. Qua điểm Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở F; cắt BC ở E. Qua E kẻ đường thẳng song
song với BC cắt AC ở P, cắt AB ở R. Kí hiệu S
1
= dt(QMP); S
2
= dt(QEN); S
3
= dt(QFR) và S =
dt(ABC).Chứng minh:
a)
()
2
123
SSSS=++ b)
123
1
3

S
PC AM
AC AC
SS
==
Do đó:
123
1
SSS
MP PC AM AC
AC AC
S
++
++
===
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page20

Suy ra:
()
2
123 123
SSSSSSSS=++⇒= ++
b) Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
()
()
()
2
222

cab y
abc z
+−= >
⎧
⎪
+−= >
⎨
⎪
+−=>
⎩

Khi đó ta cần chứng minh:
() () ()
()
222
222
2 (1)
yz zx xy yz zx xy
xyz
yz y z zx z x xy x y xyz x y y z x z
+++ + + +
++≥ + +
⇔+++++≥ +++++

Dễ thấy
()
(1) 2VT xy yz zx≥++ (2)
Theo BĐT Bunhiacơpxki ta có:
()
()

=
=Bài 7 : Cho ∆ABC. Chứng minh : a
2
b(a – b) +b
2
c(b – a) + c
2
a(c – a) ≥ 0
( Trích đề thi vơ địch tốn quốc tế 1983 )
Hướng dẫn giải
Gọi A’; B’; C’ là các tiếp điểm:
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page21

Đặt:
''
''
''
AB AC x a y z
B
ABCY bzx
CA CB Z c x y
== =+
⎧⎧
⎪⎪
===>=+

x + x
3
y ≥ xyz (x+y+z)
222
(*)
yzx
x
yz
xyz
⇔++≥++
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki(biến dạng) ta có:
()
2
222
xyz
xyz
x
yz
zxy xyz
++
++≥ =++
++

vậy (*) đúng ( đpcm ) .
Bài 8 : Với a; b; c là độ dài 3 cạnh của ∆. CMR :
4916
26
ab
bca acb abc
+

()
4916
29abc
bca acb abc
⎛⎞
=++ + + −
⎜⎟
+− +− +−
⎝⎠

()()()
4916
29bca acb abc
bca acb abc
⎡⎤
=+−++−++− + + −⎡⎤
⎣⎦
⎢⎥
+− +− +−
⎣⎦

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki, ta có:
()
2
2
234
81 2 3 4 . .bca acb abc
bca acb abc
⎡⎤
=++ = +−+ +−+ +−

C
1
: Gọi M(m;O) và N(O,r) với m; n>0 là 2 điểm C
2
đường trên 2 tia Ox; Oy.
Đường thẳng MN có pt:
10
xy
mn
+−=
Đường thẳng này tx với (E) khi và chỉ khi:
22
11
16 9 1
mn
⎛⎞ ⎛⎞
+
=
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Theo ĐBT Bunhiacơpxki. Ta có
2
222 22
22
16 9 4 3
MN ( ) . . 49mn mn m n
mn m n
⎛⎞⎛ ⎞
=+= + + ≥ + =

(2 7;0; (0; 21)MNthì MN đạt GTNN và GTNN của Mn là 7
C
2
: Pt tiếp tuyến tại điểm (x
0
; y
0
) thuộc (E) là
00

1
16 9
xx yy
+
=
Suy ra toạ độ của M và N là
0
16
;0
M
x
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
và
0
9
0;
N
y

222
2. 3
Pq r
abcs
qr r p pq
++≥
++ +

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page23

(Trích tạp chí tốn học và tuổi trẻ)
Hướng dẫn giải
Trước hết ta chứng minh bài tốn sau:
Trong ∆ABC ta có:
222 2 2 2
43( ) ( ) ( )abc s ab bc ca++≥ +− +− +−

Thật vậy:
(2)
22222 2
() () ()43abc bca cab s
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⇔−− +−− +−− ≥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦4( )( ) 4( )( ) 4( )( ) 4 3
p

2
2
()
ab c
abc qr r p pq
qr r p pq
⎛⎞
++ = ++ + + +
⎜⎟
⎜⎟
++ +
⎝⎠

222
2()
abc
p
qr
pr r p pq
⎛⎞
≤++ ++
⎜⎟
++ +
⎝⎠

222222
22()
pq r
a b c abc
qr r p pq

++ +

Dấu “=” xảy ra khi
abc
p
qr
==
⎧
⎨
==
⎩

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page24

Chú ý:

+ Qua phép chứng minh trên, ta có kết quả “đẹp” trong ∆ABC
222 2 2 2
43( ) ( ) ( ) 43abc s ab bc ca s++≥ +− +− +− ≥

+ Lấy p = q = r > 0 ta có BĐT quen thuộc
222
43abc s++≥ (Đề thi Olympic tốn quốc tế lần 3)
+ Lấy a = b = c. ta có BĐT Nesbit:
3
2
pq r
qr r p pq

222 222
2
3
16
AB AC AD CD DB BC
GA
++ − ++
=
Chứng minh:
Gọi
a
G là trọng tâm của
B
CDΔ . Ta có:
()
2
22
991
.
16 16 9
a
GA AG AB AC AD== ++
uuur uuur uuur(
)
()
(
)

Chứng minh:
Theo hệ thức Leibnitz, với mọi điểm M, ta có
22 2 22222 2
4
M
AMBMCMDGAGBGCGD MG+++ =++++

Từ đó, cho M trùng O, ta được
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page25

22 2 22222 2
4OA OB OC OD GA GB GC GD OG+++ =++++
Suy ra:
22 2 2
22
4
GA GB GC GD
ROG
+++
−= (1)
Từ bổ đề 1 suy ra
22 2 2 2 2 2222
44
GA GB GC GD AB AC AD CD DB BC+++ +++++
= (2)
Từ (1)(2) suy ra điều phải chứng minh
Trở lại việc giải bài tốn trên
Ta có

R
GA AB AC AD+≥++
Tương tự
()
()
()
6
6
6
R
GB BC BD BA
R
GC CD CA CB
R
GD DA DB DC
⎧
+≥++
⎪
⎪
+≥++
⎨
⎪
+ ≥++
⎪
⎩

Suy ra
()
2
4
Bài 1 : Cho nửa đường tròn
()
;OR đường kính AB, M là điểm chuyển động trên nửa đường tròn.Xác định vị trí
của M để
3
M
AMB+ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2 : Cho ABCΔ nội tiếp đường tròn bán kính R; ; ;
B
CaCAbABc
=
==.Gọi x;y;z lần lượt là khoảng cách từ
M thuộc miền trong của
ABCΔ đến các cạnh BC;CA;AB.Chứng minh:
222
2
abc
xyz
R
++
++≤
Bài 3 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
222
222
abc