Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS

PHẦN I
ĐẶT VẤN ĐỀ
I . Lý do chọn đề tài:
- Trong thời điểm hiện nay, chúng ta đang nỗ lực xây dựng và đẩy mạnh công
nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước nhằm tiến tới một xã hội văn minh hiện đại.
Muốn vậy con người phải có tri thức. Chính vì vậy Đảng ta đã xác định giáo dục là
quốc sách hàng đầu. Trong những năm gần đây, Đảng và nhà nước ta luôn quan tâm
đến giáo dục, từng bước có những cải cách giáo dục từ bậc mầm non đến đại học và
sau đại học nhằm đưa nền giáo dục nước nhà phát triển ngang tầm khu vực. Trong
chương trình giáo dục trung học phổ thông,môn toán là môn học quan trọng, là thành
phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người mới. Môn toán có tiềm
năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện và phát
triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy.
Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh sinh giỏi
các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý thú chính vì vậy mà
nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp đặc biệt là cấp
THCS và kỳ thi vào lớp 10.
Trong chuyên đề về bất đẳng thức thì việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để giải
các loại toán và bài toán khác là khá hiệu quả thông qua đó mà lời giải được đơn giản
hơn, thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất đẳng thức
kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải các bài toán
khác thì có thể đem lại kết qua nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học sinh.Với ý
nghĩ như vậy tôi giới thiệu việc sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki vào giải một số
bài toán như : chứng minh các bất đẳng thức đại số và hình học, hoặc giải một số bài
toán cực trị đại số và hình học.
- Xuất phát từ thực tế giảng dạy chương trình THCS, đặc biệt là trong các kỳ thi
chọn học sinh giỏi các cấp, đứng trước một bài toán có rất nhiều phương pháp giải
khác nhau song một trong những phương pháp giải tương đối có hiệu lực là việc sử


Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn
luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy.
Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh sinh giỏi
các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý thú chính vì vậy mà
nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đặc biệt là cấp
THCS và kỳ thi vào lớp 10.
- Đứng trước một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau song việc tìm ra
một lời giải hợp lý, ngắn gọn, thú vị và độc đáo là một việc không dễ thông qua đó mà
thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất đẳng thức kinh
điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải các bài toán khác
thì có thể đem lại kết qủa nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học sinh.
2. ĐỐI TƯỢNG PHỤC VỤ
đề tài này dùng để giảng dạy cho các học sinh tham gia thi học sinh giỏi lớp 8-9.
3. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
A. ¸p d ơ ng bt ®¼ng thc Bunhiacopski ® Ĩ chng minh c¸c bt ®¼ng thc
I. Chứng minh các bất đẳng thức đại số
- Để chứng minh các bất đẳng thức có khi áp dụng ngay và cũng nhiều khi phải
biến đổi bài toán để đưa về trường hợp thích hợp rồi mới sử dụng. Sau dây là 3 kỹ
thuật thường gặp:
 Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại.
 Dồn phối hợp.
 Kỹ thuật nghịch đảo.
1. Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại .
Ví dụ 1: Cho
2=+ ba
, a,b
∈
R

D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng

ba
Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
( )
22.
8
1
2
1
4
4
22
==+≥ ba
(đfcm)
Ví dụ 2: cho
3
4
)1()1()1( ≤−+−+− ccbbaa
Chứng minh rằng:
41
≤++≤−
cba
Lờigiải:
Tư giả thiết ta có:

)())(111(
3
1
)()1()1()1(
3
4

x
x
Lời giải:
Ta sử dụng
)(2)(
222
baba +≤+
2
)(
2
22
ba
ba
+
≥+⇔
Khi đó ta có:
2222
)
1
1(
2
1
)
11
(
2
1
)
1
()

1
()
1
(
222
=+≥+++
y
y
x
x
2. Kỹ thuật dồn phối hợp
Ví dụ 1: Cho 3x-4y=7 Chứng minh rằng:
743
22
≥+ yx
Lời giải:
Ta viết
{ }
49)43()2(3)43(
22222
=−≥−++ yxyx
Ví dụ 2: Cho a,b,c,p,q là 5 số dương tùy ý. Chứng minh rằng
qpqbpa
c
qapc
b
cqbp
a
+
≥

cabcabqpSqbpacqapcbqcpbaScba +++=+++++≤++
(2)
Mà
2
)(
3
1
cbacabcab ++≤++
(3)
Vì (3)
2
222222
2
)(
222))(()(2)(3
)()(3
cba
cabcabcbacbacabcabcabcabcabcab
cbacabcab
++=
+++++++≤+++++=++
++≤++⇔
Từ (2), (3)
22
).(
3
1
).()( cbaqpScba +++≤++⇒
qp
S

yx
,,
và
x
yz
z
xy
y
zx
,,
Ta có:
2222
222222
)()).(( zyx
x
yz
z
xy
y
zx
y
xz
x
zy
z
yx
++≥++++
(2)
Xét hiệu
0))()()((

xz
x
zy
z
yx
222222
++≥++⇒
(3)
Từ (2), (3) suy ra đpcm
3. Kỹ thuật nghịch đảo
Dạng 1
2
1
2
1
2
1
)())((
∑∑∑
===
≥
n
i
i
n
i
i
i
n
i

i
i
i
n
i
i
x
y
x
y
y
x
y
y
x
y
1
2
1
2
2
2
1 1
2
2
1
2
1
)()).(()(.)()((
Ví dụ Chứng minh rằng

cb
a
baaccb
++≥






+
+
+
+
+
+++++
2)(2
)(
2222
cba
cba
cba
ba
c
ac
b
cb
a ++
=
++

∀
a,b,c là độ dài cạch của
∆
ABC
Lời giải
[ ] [ ]
2
)()1(.)()()( cbaVTcbabacacb ++≥−++−++−+
cbaVT ++≥⇒ )1(
Ví dụ 3: Chứng minh rằng
cba
cba
ba
c
ac
b
cb
a
,,
2
222333
∀
++
≥
+
+
+
+
+
(1)

cabcab
cabcabcba
VT
++
=
++
++++
≥
Dạng 2
2
111
)())(.(
∑∑∑
===
≥
n
i
i
n
i
i
i
n
i
ii
x
y
x
yx





=
n
i
i
n
i
i
i
n
i
ii
n
i
i
i
n
i
ii
x
y
x
yx
y
x
yxVT
1
2

)(2
)(3
=
++
++
≥⇒
cabcab
cabcab
VT
(Đpcm)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:

D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
7
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS

3
2
32323232
≥
++
+
++
+
++
+
++ cba
d
bad
c

+++≤+++++⇔
dccbdacaba
dcbacdbdbcadacab
II. Chứng minh các bất đẳng thức hình học
Cho
ABC
∆
có AB=c, AC=b, BC=a. Chứng minh rằng
0)()()(
222
≥−+−+− acaccbcbbaba
(1)
Lời giải:
Theo ký hiệu như hình vẽ thì luôn tồn tại x,y,z>0
Sao cho a=x+z
b=z+x
c=x+y
0)(
0))(()())(()())(()()1(
333
222
≥++−++⇔
≥−+++−+++−++⇔
zyxxyzyxxzzy
zxzyyxyzyxxzxyxzzy

zyx
z
x
y

35
36
2222
p
abc
pcba +≥++
(1)
Lời giải






++
+
++
≥++⇔
cb
abccba
cba
2
2
2
)(
35
36
()1(
2
222

72
)(8
222
(3)
T (2)v (3) suy ra PCM. (du bng xy ra khi
ABC

u)
Vớ d 3:
Cho ng trũn ni tip tip xỳc vi 3 cch ca
ABC

ti M,N,P. Chng minh rng:
S
(MNP)
4
S

(S- Din tớch tam giỏc)
Li gii:
t S
(ANP)
=S
1
; S
(BPM)
=S
2
, S
(CMN)


+

+

4
3
)(4
)(
)1(
2

++
++

cabcab
cba
VT
4
3
321

++
S
SSS

4
1
)(


C
xxxMin
+++
=+++
Du = xy ra khi
n
n
x
a
x
a
x
a
===
2
2
1
1
b. Nu
ConstCxxx
n
=+++
222
2
2
1

thỡ

Dơng thế nam - THCS Thanh Lãng

a
Ví dụ 1: Cho
1
22
=+ yx
tìm
)11.( xyyxMax
+++

Lời giải:
[ ]
222))(11(
2)1()1()(11.
2222
2222
+≤+++≤
++=++++≤+++=
yx
yxxyyxxyyxA
2
2
22 ==⇔+=⇒ yxMaxA
Ví dụ 2: Cho
91636
22
=+ yx
Tìm Max, Min của A=(y-2x+5)
Lời giải:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
( )

≤+−≤⇔ xy
)
20
9
,
5
2
(
4
25
)52( =−=⇔=+− yxxyMax
)
20
9
,
5
2
(
4
15
)52( ==⇔=+− yxxyMin
Ví dụ 3: cho x,y, z thỏa mãn xy+yz+zx=4 Tìm MinA biết A=x
4
+y
4
+z
4

Lời giải:
Từ giả thiết 4

16))(111(
444222
≥++++⇒ zyx
3
16
444
≥++ zyx
3
2
3
16
±===⇔= zyxMinA

D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
10
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski trong giảng dạy môn toán ở THCS

Ví dụ 4: Cho x,y,z thỏa mãn x,y,z
1−≥
và x+y+z=1. Tìm MaxA biết
zyxA +++++= 111
Lời giải: Theo B.C.S ta có
324.3)111)(111(111
222
==+++++++≤+++++= zyxzyxA
3
1
32 ===⇔=⇒ zyxMaxA
Ví dụ 5: cho









=+
=
=+
=+
⇔=+
20
25
16
41)(
22
22
yvxu
yu
vu
yx
vxMax

41
2020
20)( =
+
=⇒=+⇔
vx

4
4
4
4
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải:
Đặt
2≥⇒+= t
x
y
y
x
t

2
2
2
2
2
2
−=+⇒ t
x
y
y
x
,
24
24
4
4

c
bac
b
acb
a
++≥
−+
+
−+
+
−+
2. Cho a,b,c,d >0 . Chứng minh rằng:
2≥
+
+
+
+
+
+
+ ba
d
ad
c
dc
b
cb
a
3. Cho
ABC∆
(a,b,c). Chứng minh rằng:

+5y
2

7. Cho x,y,z thỏa mãn x
2
+y
2
+z
2
=1. Tìm Max = x+2y+3z
Cho a+b+c=1 và vế trái có nghĩa. Chứng minh
21141414 ≤+++++ cba
8. Có tồn tại hay không 3 số: a
≥
1, b
≥
1, c
≥
1 thỏa mãn điều kiện:
)1(111 −>−+−+− abccba
9. Cho x, y, z
≥
0 thỏa mãn điều kiện x+y+z=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu
thức
a, A=x
2
+y
2
+z
2

≥
0, y
≥
0,
1
33
≤+ yx
4. KẾT QỦA
Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi
lớp 8-9 vòng huyện và vòng tỉnh. Trong quá trình học đề tài này, học sinh thực sự thấy
tự tin khi gặp các bài toán về bất đẳng thức, tạo hứng thú với học toán, tạo cho học
sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng,
linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học tự nghiên cứu.
5. GIẢI PHÁP MỚI
- Bài toán nói chung rất đa dạng và phong phú. Mỗi bài toán lại có rất nhiều cách
giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học
sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp
cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo. Do đó học sinh cần có thêm nhiều
thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan.
II. THỰC TIỄN GIẢNG DẠY
1. QUÁ TRÌNH ÁP DỤNG
- Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã hệ
thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài tập phù
hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải.
2. HIỆU QUẢ KHI ÁP DỤNG
- Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn,
tạo cho hóc sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận
dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học tự nghiên
cứu.
3. BÀI HỌC KINH NGHIỆM

- Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chuyên
đề này được đầy đủ hoàn thiện hơn.

D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
14
S dng bt ng thc Bunhiacopski trong ging dy mụn toỏn THCS

Xin chõn thnh cỏm n!
Bình Xuyên, ngày 10 tháng10 năm 2007
Ngi vit
Dơng Th NAm

Dơng thế nam - THCS Thanh Lãng
15