Hệ phương trình trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học(ñề chính thức)

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2014
Giải hệ phương trình sau:

( )
2
3
12 12 12
8 1 2 2
x y y x
x x y

− + − =



− − = −

trong ñó
( )
,x y∈ℝ

Hướng dẫn giải
( )
( )
( )
2
3
12 12 12 1
8 1 2 2 2


+ −
− ≤



+ −

− ≤


. Nên
( )
2
12 12 12x y y x− + − ≤
. Do ñó:
( )
2
0
1
12
x
y x
≥

⇔

= −



2 3
3 1 0
1 10
x
x x
x
+
+ + + >
+ −

Do ñó:
( )
3 3x⇔ =
thay vào hệ phương trình và ñối chiếu ñiều kiện ta thu ñược nghiệm của
hệ phương trình là
( ) ( )
; 3;3x y =
.
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2014:
Giải hệ phương trình sau:
( ) ( )
2
1 2 1
2 3 6 1 2 2 4 5 3
x x y x x y y
y x y x y x y

− − + = + − −



x y
x y
≥


≥


≥ +


Ta có
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1 1 1 0
1 1
1 1 0 3
1 1
y x y x y y
y x y
x y y
⇔ − − − + − − − =
 
⇔ − − − + =
 

( )
( )
( )
2 2
2
2 3 2 2 1 1 2 0
1
1 2 0
1 2
x x x x x x x
x x
x x
− − = − ⇔ − − + − − − =
 
⇔ − − + =
 
− + −
 

Do
1
2 0
1 2x x
+ >
− + −
nên (3)
2
1 5
1 0
2

i
ðiều kiện:
2x ≥ −
. Bất phương trình ñã cho tương ñương với
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
1 2 2 6 7 3 2 8 0
1 6
2 4 0 1
2 2 7 3
x x x x x x
x x
x x
x x
+ + − + + + − − + − ≥
+ +
 
⇔ − + − − ≥
 
+ + + +
 

Do
2x ≥
nên

ph
ươ
ng trình sau:
( )
4
4
2 2
1 1 2
2 1 6 1 0
x x y y
x x y y y

+ + − − + =


+ − + − + =


trong
ñ
ó
( )
,x y∈
ℝ

H
ướ
ng d
ẫ
n gi

( )
3
4
2
' 1 0
2
t
f t
t
= + >
+
,Với mọi
0t ≥
.
Do ñó phương trình (3) tương ñương với
y u=
, nghĩa là
4
1
x y= +

Thay vào phương trình (2) ta thu ñược
( )
( )
7 4
2 4 0 4
y y y y+ + − =

Hàm số
( )


Với
1
y =
ta ñược nghiệm là
( ) ( )
; 2;1x y =

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là
( ) ( ) ( )
; 1;0 , 2;1x y =Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013:
Giải hệ phương trình sau:
2 2
2 2
2 3 3 2 1 0
4 4 2 4
x y xy x y
x y x x y x y

+ − + − + =


− + + = + + +


trong ñó
( )

( )
2
2
2
2
3 3 3 1 5 4
3 1 3 1 2 5 4 0
1 1
3 0
1 3 1 2 5 4
1
0
0
x x x x
x x x x x x
x x
x x x x
x
x x
x
− + = + + +
⇔ − + + − + + + − + =
 
⇔ − + + =
 
+ + + + + +
 
=

⇔ − = ⇔

( ) ( )
; 0;1x y =Trích t
ừ

ñề
thi tuy
ể
n sinh Cao
ñẳ
ng kh
ố
i A-2013:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
2
3 1 0
4 12 0
xy y
x y xy
− + =






Nhận xét
0y =
không thỏa mãn phương trình (1).
Từ phương trình (1) ta ñược
( )
3 1
3
y
x
y
−
=

Thay vào phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược
3 2
1
3 11 12 4 0 2
2
3
y
y y y y
y


=

− + − = ⇔ =

ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
3 2 2 2
2 0
2 2 0
xy x
x x y x y xy y
+ − =


− + + − − =

trong
ñ
ó
( )
,x y∈ℝ

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
H

i
2 1 0 2 1
x y y x
− + = ⇔ = +
thay vào ph
ương trình 1 của hệ ta ñược
2
1 5
1 0
2
x x x
− ±
+ − = ⇔ =
.
Do
ñ
ó ta có các nghi
ệ
m
( ) ( )
1 5 1 5
; ; 5 , ; ; 5
2 2
x y x y
   
− + − −
= = −
   
   
   

( ) ( )
; 1;1x y =

V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
;
x y

ñ
ã cho

là
1 5 1 5
; 5 , ; 5
2 2
   
− + − −
−
   
   

x y x y

− − + = + −


+ − + =


trong ñó
( )
,x y∈
ℝ

Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
( )
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9 1
1
2
2
x x x y y y
x y x y

− − + = + −


+ − + =

2 2 2
x x
y y
 
− ≤ − ≤ − ≤ − ≤
 
 
⇔
 
 
− ≤ − ≤ − ≤ − ≤
 
 

Xét hàm số
( )
3
12
f t t t
= −
trên
3 3
;
2 2
 
−
 
 
;
( )

   
   

=



Thay vào phương trình (3), ta ñược nghiệm của hệ phương trình
( )
;
x y

là
1 3
;
2 2
 
−
 
 
ho
ặ
c
3 1
;
2 2
 
−
 
 

xy x y x y

− + − + =


+ + = +


trong
ñ
ó
( )
,x y∈ℝ

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 3
2
2 2
5 4 3 2 0 1
2 2


⇔ − + − = ⇔

+ =


+
1;xy = từ phương trình (1) suy ra
4 2
2 1 0 1y y y− + = ⇔ = ±
Do ñó, nghiệm
( ) ( )
; 1;1x y =
hoặc
( ) ( )
; 1; 1x y = − −

+
2 2
2x y+ = , từ phương trình (1) suy ra
( )
( )
( )
( )( )
2 2 2 2
2 2
3 4 2 2 0
6 4 2 2 0
1
1 2 0

ặ
c
( )
2 10 10
; ;
5 5
x y
 
= − −
 
 
 

V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho cho 4 nghi
ệ
m
( ) ( )
2 10 10
1;1 , 1; 1 , ;
5 5
 
− −

ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m
( )
3 2
2
2 2
1 2
x y x xy m
x x y m

− + + =


+ − = −


trong
ñ
ó
( )
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả


⇔
 
+ = −
= − −




H
ệ
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m th
ỏ
a mãn
1
4
u ≥ −
V
ớ
i

1
4
u ≥ − , ta có
( )
( )
( )
2
2
2 2 1 1 3
' ; ' 0
2
2 1
u u
f u f u u
u
+ − − +
= − = ⇔ =
+
Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng-2011: Giải hệ phương trình sau
2 2
2 2 3 2
2 2
x y x y
x xy y

+ = − −


i t =1, ta có 1 2y x= − . Thay vào (2) ta
ñượ
c
2
1
2 3 0
3
x
x x
x
=

+ − = ⇔

= −


V
ớ
i x=1 ta
ñượ
c 1y = −
V
ớ
i
3x = − ta
ñượ
c 7y =
V
ậ

ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
2
2
2
4 2 0
2log 2 log 0
x x y
x y

− + + =


− − =


trong
ñ
ó
( )
,x y∈ℝ

H
ướ
ng d


⇔ ⇔
 

− = = −
=

 


=




ðối chiếu nghiệm của hệ phương trình với ñiều kiện ta thấy nghiệm của hệ là
( ) ( )
; 3;1x y =

Trích t
ừ

ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh

ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện
1
3
y >
, phương trình thứ nhất của hệ phương trình cho ta
3 1 2
x
y − =

Do ñó, hệ phương trình ñã cho tương ñương với
( )
2
2
2
1
1
2
3 1 2
3 1 2
2
1
1
6 3 0
3 1 3 1 3
2


=




Vậy hệ phương trình có nghiệm
( )
1
; 1;
2
x y
 
= −
 
 

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2010: Giải hệ phương trình sau
( )
( )
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 4 2 3 4 7
x y y
x y x

+ + − − =



1
f t t t
= +

Ta có
( )
2
' 3 1 0f t t= + >
suy ra f là hàm số ñồng biến trên R.
Do ñó:
( )
2
0
1 2 5 2
5 4
2
x
x y
x
y
≥


⇔ = − ⇔

−
=




 
 
, trên khoảng
3
0;
4
 
 
 

( )
( )
2 2
5 4 4
' 8 8 2 4 4 3 0
2
3 4 3 4
g x x x x x x
x x
 
= − − − = − − ≤
 
− −
 
Suy ra
( )
g x
là hàm số nghịch biến.
Mặt khác
1

n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2009: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau

( )
( )
2
2
1 3 0
5
1 0
x x y
x y
x
+ + − =



+ − + =


3 5
1 0 2 0
1 1 0
2
3
1
2
2
x
x
x y
x y y
x y x y
x
x x
x
x y
x
x x x
x x
y
x y


=


 =




 


 

 
 

= −








+ =




Vậy
Hệ phương trình ñã cho có nghiệm
( )
;
x y
là
( )

1 7
1 13
xy x y
x y xy y
+ + =


+ + =

trong
ñ
ó
( )
,x y
∈ℝ

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i

Hệ phương trình ñã cho tương ñương với
( )
( )
2
2
2

x x
x
x
x x
y y
y
II
y y y y
x y


+ = −


 
 
   



+ + =
+ + =
+ + + − =
 
 
   



=

( )
1
; 1;
3
x y
 
=
 
 
và
( ) ( )
; 3;1x y
=

Trích t
ừ

ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2009: Gi
ả
i h
ệ

ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện:
( )
0 *xy
>
, hệ phương trình ñã cho tương ñương với
2 2
2
2 2
2
2
4
4
x y
x y xy x y
y
y
x xy y
=

+ = =



⇔ ⇔
  
= ±

i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
( )
2 3 2
4 2
5
4
,
5
1 2
4
x y x y xy xy
x y
x y xy x

+ + + + = −


∈


+ + + = −


ℝ


+ + + = − + + = −
 
 

ðặt
2
u x y
v xy

= +

=

. Hệ phương trình (*) trở thành
2
2 3 2
5 5 5
0,
4 4 4
5 1 3
0 ,
4 4 2 2
u v uv v u u v
u
u v u u u v
  
+ + = − = − − = = −
  
 
⇔ ⇔

 
 

Trích t
ừ

ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h
ọ
c kh
ố
i B-2008: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x

+ + = +

3 3 2 9 12 48 64 0 4 0
4
2
3 3
2
x xy x
x
x
x x x x x x x x x
x
x
xy x

+ = +
=
 


⇒ + + − = + ⇔ + + + = ⇔ + = ⇔

 

= −

 

= + −


+ Với x=0 không thỏa mãn hệ phương trình

ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
2 2
2
,
2 1 2 2
xy x y x y
x y
x y y x x y

+ + = −

∈

− − = −


ℝ

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả


Vậy nghiệm của hệ phương trình là
( ) ( )
; 5;2x y =Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2007:
Xác ñịnh m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực

3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
y y

+ + + =




+ + + = −


trong
ñ

8
3 15 10
u v
u v
uv m
u v u v m
+ =

+ =


⇔
 
= −
+ − + = −




Vậy u và v là hai nghiệm của phương trình
( )
2
5 8 1t t m− + =

Hệ phương trình ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm thỏa
1 2
2, 2t t≥ ≥
, (Hai nghiệm này không nhất thiết phân biệt)
Xét hàm số
( )

c kh
ố
i D-2006:
Tìm a ñể hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ) ( )
( )
ln 1 ln 1
,
x y
e e x y
x y
y x a

− = + − +

∈

− =


ℝ

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện: : x, y>-1. Hệ phương trình ñã cho ñường thẳng với

( )
1;− + ∝
. và
( ) ( )
1
lim ; lim
x
x
f x f x
+
→+∝
→−
= − ∝ = + ∝

Nên phương trình
( )
0f x =
có nghiệm trong khoảng
( )
1;− + ∝
.
Mặt khác
( )
( )
( )( )
1 1
' 1 0, 1.
1 1 1 1
x a x x a
a

i A-2006: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
3
,
1 1 4
x y xy
x y
x y

+ − =

∈

+ + + =


ℝ

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả

3 2 2 3 1 16 2 4 11 3
4 4 11
3 26 105 0
t
t
t t t t t t t
t t t
t t
≤ ≤

≤ ≤


+ + + + + + = ⇔ + + = − ⇔ ⇔ ⇔ =
 
+ + = −
+ − =



Với
3t =
ta có
6
9
x y
xy
+ =



x y
x y

− + − =


− =


trong
ñ
ó
( )
,x y∈ℝ

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
+ Ta có:
( )
( )
( )
2 3
9 3
1 2 1 1
3log 9 log 3 2

( )( ) ( )( )
1
1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 0
2
x
x x x x x x x x
x
=

− + − = ⇔ − + − + − − = ⇔ − − = ⇔

=


Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm
( ) ( )
; 1;1x y =
và
( ) ( )
; 2;2x y =

Trích t
ừ

ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ
i h

ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðặt
u x
v y

=


=


ñiều kiện
0
0
u
v
≥


≥


Hệ phương trình ñã cho trở thành
3 3
1

≥

. ðiều này
tương ñương phương trình (**) có nghiệm t không âm
1 4 0
1
1 0 0
4
0
m
S m
m
∆ = − ≥


⇔ = ≥ ⇔ ≤ ≤


≥
Trích t
ừ

ñề
thi tuy
ể
n sinh
ðạ

ó
( )
,x y∈ℝ

Hướng dẫn giải

ðiều kiện: y > x và y > 0
( ) ( )
1 4 4 4 4
4
1 1 3
log log 1 log log 1 log 1
4
y x y
y x y x x
y y y
−
− − = ⇔ − − − = ⇔ − = ⇔ =

Thay vào phương trình
2 2
25
x y+ =
ta có
2
2
3
25 4
4
y

x
x
y

+
=


∈

+

=


ℝ
trong
ñ
ó
( )
,x y∈ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện:
0; 0x y≠ ≠

1
3 2
x y
x
y
xy x
=
=


⇔
 
=
= +



Trường hợp 2:
2 2
3 0
3 2
xy x y
xy x
+ + =


= +

vô nghiệm vì từ (1) và (2) ta có x, y >0
Vậy nghiệm của hệ phương trình là

x y
y x

− = −

∈


= +

ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðiều kiện:
0xy ≠

Ta có phương trình (1) tương ñương
( )
1
1 0
1
x y
x y
xy
xy


=

= =
 
− +


⇔ ⇔ ⇔ = =
  

− + − =
= + = +
 



− −

= =


Trường hợp 2:
( )
( )
3
4

 
+ + =
− = +




Phương trình (4) của hệ vô nghiệm vì
2 2
4 2
1 1 3
2 0;
2 2 2
x x x x x
   
+ + = − + + + > ∀
   
   

Vậy hệ phương trình có nghiệm
( )
;
x y
là
( )
1;1
,
1 5 1 5
;
2 2

ệ
ph
ươ
ng trình sau

3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+

= −


+
=

 +
trong
ñ
ó
( )
,x y∈ℝ
H


  
⇔ ⇔
  

=
= − + =
 
  



=



So sánh ñiều kiện ta thấy hệ phương trình có nghiệm
( )
;
x y
là
( )
0;1
và
( )
2;4

Trích t
ừ


ó
( )
,x y∈
ℝ

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Ta có:
( )
( )
3
1
2 2
x y x y
x y x y

− = −


+ = + +


ðiều kiện:
( )
0

1
x y
= =

Thay
1
x y
= +
vào phương trình (2), giải ra ta ñược
3 1
;
2 2
x y= =

Kết hợp với ñiều kiện (3) ta có nghiệm của hệ phương trình
( )
;
x y
là
( )
1;1
và
3 1
;
2 2
 
 
 