TRAÀN SÓ TUØNG
›š & ›š
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

+=
î

Giải và biện luận:
– Tính các định thức:
ab
D
ab
11
22
=
,
x
cb
D
cb
11
22
=
,
y
ac
D
ac
11
22
=
.

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như:

xy
31
625
ì
-=
í
-=
î

d)
(
)
( )
xy
xy
2121
22122
ì
ï
++=-
í
=
ï
î
e)
xy
xy
32
16
43

54
51
ì
-=
ï
ï
í
ï
+=
ï
î
b)
xy
xy
65
3
910
1
ì
+=
ï
ï
í
ï
-=
ï
î
c)
xy
xy

-+
í
ï
-=-
ï-+
î
e)
xyxy
xyxy
62
3
22
34
1
22
ì
+=
ï
ï
-+
í
ï
+=-
-+
ï
î
f)
xy
xy
41

xy
yx
632
5
11
424
2
11
ì
-
-=
ï
ï
-+
í
-
ï
-=
-+
ï
î
b)
xx
yy
xx
yy
36
1
12
23

ï
-+
í
++
ï
+=
-+
ï
î

I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
Xét D Kết quả
D
¹
0
Hệ có nghiệm duy nhất
y
x
D
D
xy
DD
;
æö
==
ç÷
èø

D
x

++-=
ï
ç÷
ï
èø
í
æö
ï
-++=
ç÷
ï
èø
î
e)
xy
xy
xy
yx
3()
7
55
3
ì
+
=-
ï
ï
-
í
-

Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxy
xxy
2
2
2213
214
ì
ï
+ =
í
++-=
ï
î
b)
xy
xy
2
2
31
2715
ì
ï
+=
í
-=
ï
î
c)

a)
xy
xy
10
21
ì
-+=
í
-=
î
b)
xy
xy
121
13
ì
-+-=
í
-+=
î
c)
xy
xy
22
231
ì
+=
í
-=
î

î

ĐS:
Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
mxmym
xmy
(1)1
22
ì
+-=+
í
+=
î
b)
mxmy
mxmy
(2)5
(2)(1)2
ì
+-=
í
+++=
î
c)
mxym
mxym
(1)231
(2)1
ì

xmym
33
210
ì
+-=
í
+-+=
î

Bài 8. Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận.
ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m.
a)
mxym
xmym
21
225
ì
+=+
í
+=+
î
b)
mxmy
mxmy
6(2)3
(1)2
ì
+-=
í

21
ì
+=
í
+=+
î
c)
xym
xym
24
233
ì
-=-
í
+=+
î

Bài 10. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
axyb
xy
325
ì
+=
í
+=-
î
b)
yaxb
xy

î
b)
xyz
xyz
xyz
328
26
36
ì
++=
ï
++=
í
ï
++=
î
c)
xyz
xyz
xyz
327
2438
35
ì
-+=-
ï
-++=
í
ï
+-=

· Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.
· Giải hệ (II) ta tìm được S và P.
· Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: XSXP
2
0
-+=
.

3. Hệ đối xứng loại 2
Hệ có dạng: (I)
fxy
fyx
(,)0(1)
(,)0(2)
ì
=
í
=
î

(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
· Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
(I) Û
fxyfyx
fxy
(,)(,)0(3)
(,)0(1)
ì
-=
í

ê
=
î
ê
ì
=
ê
í
ê
=
î
ë
.
· Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).
Chú ý: Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm
xy
00
(;)
thì
yx
00
(;)
cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì
xy
00
=
.

4. Hệ đẳng cấp bậc hai
Hệ có dạng: (I)


VẤN ĐỀ 1: Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
xy
22
48
24
ì
+=
í
+=
î
b)
xxy
xy
2
24
231
ì
-=
í
-=
î
c)
xy
xy
2

xy
xyxy
232
60
ì
+=
í
+++=
î

g)
yxx
xy
2
4
250
ì
+=
í
+-=
î
h)
xy
xyy
22
235
324
ì
+=
í

2
496
3630
ì
+=
í
+-+=
î
c)
xxy
xxy
2
2
210
122100
ì
ï
+++=
í
+++=
ï
î

d)
xyxy
xyyx
2
(21)(22)0
310
ì

xy
22
237121
10
ì
-+=+-
í
-+=
î
b)
xyxy
xy
22
620
80
ì
+++=
í
++=
î

c)
xyxyxy
xy
22
94642401350
3290
ì
+++-+=
í

23
ì
-+++-=
í
-=
î

ĐS:
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xyxy
xy
xy
3
2
12
4
ì
+-
-=
ï
í
-
ï
-=
î
b)
xy
xy
22

-=
ï
+
î

d)
xyxy
xy
22
()4()1170
25
ì
+++-=
í
-=
î
e)
xy
xy
33
1
7
ì
-=
í
-=
î
f)
xyxy
xy

î
c)
xy
xym
22
321
ì
-=
í
+=
î

ĐS: Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 5

VẤN ĐỀ 2: Hệ đối xứng loại 1

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xyxyxy


d)
xy
yx
xy
13
6
6
ì
+=
ï
í
ï
+=
î
e)
xxyy
xyxy
3333
17
5
ì
++=
í
++=
î
f)
xxyy
xxyy
4224


Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xyyx
22
1
6
ì
++=-
í
+=-
î
b)
xy
xxyy
22
4224
5
13
ì
ï
+=
í
-+=
ï
î
c)
xyyx
xy

7
21
ì
ï
++=
í
++=
ï
î
f)
xyxy
xyxy
22
11
3()28
ì
++=
í
+++=
î

ĐS: a) b) c)
(2;3),(3;2)

d) e) f)
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xxyy
22

d)
xyxy
xyxy
22
11
3()28
ì
++=
í
+++=
î
e)
xxyy
xxyy
22
3
223
ì
++=
í
++=-
î
f)
xyxy
xyxy
22
5
7
ì
++=

5
13
ì
ï
+=
í
-+=
ï
î
c)
xy
xyxy
44
22
17
3
ì
ï
+=
í
++=
ï
î

d)
xy
xyxy
33
7
()2

ĐS: a) b) c)
d) e) f)
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xxyy
22
18
(1).(1)72
ì
+++=
í
++=
î
b)
xxxy
xxy
2
(2)(2)9
46
ì
++=
í
++=
î
c)
xy
xy
22
1

x
xy
y
xyx
y
9
()
20
ì
++=
ï
ï
í
+
ï
=
ï
î
f)
xyxy
xy
xy
11
66
11
ì
++=
ï
í
++=

ç÷
ï
èø
í
æö
ï
++=
ç÷
ï
èø
î
b)
( )
yxxy
xy
xy
22
22
22
(1)2(1)
1
124
ì
+=+
ï
æö
í
++=
ç÷
ï

2
3
11
1
()(1)6
ì
+=
ï
ï
++
í
ï
++=
ï
î

e)
xyyxyxxy
yx
xy
xyxy
22
226
1
4
ì
+++=
ï
í
+++=


ç÷ç÷
èøèø
b) c)
(1;1)

d) e) f)
Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xyxy
xyxy
22
2244
3()5
7()155
ì
ï
-+=
í
-+=
ï
î
b)
xyyx
xxyy
30
35
ì
ï
+=

ï
ç÷
ï
èø
í
æö
ï
++=
ç÷
ï
èø
î

e)
xy
yx
xy
xxyyxy
7
1
78
ì
+=+
ï
í
ï
+=
î
f)
xy

23
ì
+=+
í
+=
î
c)
xym
xyxym
(1)(1)5
()4
ì
++=+
í
+=
î
ï
-=+
í
-=+
ï
î
c)
xyy
yxx
22
22
254
254
ì
ï
-=+
í
-=+
ï
î

d)
xyxy
xyyx
2
2
8(1)
8(1)
ì
ï

=+
ï
î

ĐS: a) b) c)
d) e) f)
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxy
yyx
22
22
232
232
ì
ï
-=-
í
-=-
ï
î
b)
xxy
yyx
2
2
24
24
ì
ï

í
+=-
ï
î
e)
xxy
yyx
3
3
2
2
ì
ï
+=
í
+=
ï
î
f)
xxy
yyx
3
3
3
4
2
3
4
2
ì

b)
xy
x
yx
y
2
2
3
2
3
2
ì
+=
ï
ï
í
ï
+=
ï
î
c)
x
x
y
y
y
x
2
2
2

ï
ï
í
ï
=+
ï
î
e)
x
yx
y
xy
13
2
13
2
ì
+=
ï
ï
í
ï
+=
ï
î
f)
ĐS: a) b) c)
(1;1)

d) e)

ì
ï+-=
í
-+=
ï
î

d)
xy
yx
623
623
ì
ï+-=
í
+-=
ï
î
e)
xy
xy
527
257
ì
ï
++-=
í
-++=
ï
î

xxmy
yymx
2
2
3
3
ì
ï
=+
í
=+
ï
î
b)
xymm
yxmm
22
22
(34)(34)
(34)(34)
ì
ï
-=-
í
-=-
ï
î
c)
xyxmy
xyymx

xyymx
2
2
(1)
(1)
ì
ï
+=-
í
+=-
ï
î
c)
m
xy
y
m
yx
x
2
2
2
2
2
2
ì
=+
ï
ï
í

241
3227
ì
ï
-+=-
í
++=
ï
î
c)
yxy
xxyy
2
22
34
41
ì
ï
-=
í
-+=
ï
î

d)
xxyy
xxyy
22
22
35438

ï
-+=
í
=
ï
î

ĐS: a) b) c)
d) e) f)
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xxyy
22
22
3211
2317
ì
ï
++=
í
++=
ï
î
b)
xxyy
xxyy
22
22
35537

ì
ï
-+=-
í
++=
ï
î
e)
xxyy
xxyy
22
22
232
24
ì
ï
+-=-
í
-+=
ï
î
f)
xxyy
yxyx
22
22
3543
911813
ì
ï

í
+=
ï
î
c)
xy
xyxyy
33
223
1
22
ì
ï
+=
í
++=
ï
î

d)
xxyy
xxyy
323
323
1
22
ì
ï
-+=
í

î

ĐS: a) b) c)
d) e) f)
Bài 4. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
xmxyym
xmxymym
22
22
(1)
ì
ï
++=
í
+-+=
ï
î
b)
xyy
xxym
2
2
12
26
ì
ï
-=
í
-=+


ã
Dng 1: Trong h cú mt phng trỡnh bc nht vi n x (hoc y).

ã
Dng 2: Trong h cú mt phng trỡnh cú th a v dng tớch ca cỏc biu thc bc
nht hai n.

ã
Dng 3: Trong h cú mt phng trỡnh cú th a v dng phng trỡnh bc hai ca
mt n vi n cũn li l tham s.
Chỳ ý: ụi khi cú th ta phi kt hp bin i c 2 phng trỡnh ca h a v mt
trong cỏc dng trờn. Bi 1. Gii h phng trỡnh sau:
ỡ
ù
++=
ớ
+++=
ù
ợ
xxy
xxyxyx
2
322
59
32618


ỡ
=
ù
ù
ộ
=
ớ
ờ
=-
ù
ờ
ù
=-
ở
ợ

xy
xy
xy
xy
1;3
3;15
17;637
17;637
ộ
==
ờ


ỗữ
ỗữỗữ
ốứ
ốứốứ
.
Bi 2. Gii h phng trỡnh sau:
xyxy
xxy
22
3
1
2
ỡ
ù
+-=
ớ
=+
ù
ợã
HPT


xxx
yxx
642
3

2
229(1)
266(2)
ỡ
ù
++=+
ớ
+=+
ù
ợã
T (2), rỳt
xx
xy
2
66
2
+-
= . Thay vo (1) ta c: xx
3
(4)0
+=



x
x
0

ớ
-=
ù
ợã
D thy
y
0
ạ
. T (2), rỳt
y
x
y
2
5
2
-
= .
Thay vo (1) ta c:
yy
yy
yy
2
22
2
55
311
22

+++=
ớ
++-=
ù
ợã
D thy y
ạ
0. HPT
ị

[
]
yyyxyxy
4()(2)
-++-=


[ ]
yx
2
(3)0
=



yx
3




yx
yx
1
1
ộ
=+
ờ
=
ở

Nghim:
Bi 7. Gii h phng trỡnh sau:
xxyy
xxyxy
22
2
430(1)
213(2)
ỡ
ù
++=
ớ
++=-
ù
ợ
ỡ
ù
++++-=
ớ
-+=
ù
ợã
(1) xyxy
2
2()3()20
+++-=



xy
xy
2
1
2
ộ
+=-
ờ
+=
ờ
ở

Nghim:

+=



yx
1
=+

Nghim:
(1;2),(2;1)

.
Bi 10. Gii h phng trỡnh sau:
xxy
xy
x
xy
2
241
5(1)
2
3(2)
2
ỡ
++
=-
ù
ù
+
ớ

23
ộ
=-=
ờ
==-
ờ
ở

Trn S Tựng H phng trỡnh nhiu n
Trang 11

Nghim:
11
(3;2),;
23
ổử

ỗữ
ốứ
.
Bi 11. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xxy
22
32
2()1(1)
261(2)
ỡ
ù
+=

-+=



x
x
1
1
2
ộ
=-
ờ
=
ờ
ở
.
Nghim:
Bi 12. Gii h phng trỡnh sau:
xxyxy
xxyxy
2
2
24220(1)
3630(2)
ỡ
ù
+ +=
ớ
+-+=
ù

(1)2
31
ỡ
ù
+=
ớ
+=-
ù
ợã
HPT


xxy
xyxyx
222
222
2(1)
31(2)
ỡ
ù
+=
ớ
+=-
ù
ợ
.
Ly

ờ
=
ở
.
Nghim:
Bi 14. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xy
yx
xy
22
22
11
2()(1)
2
11
(2)
2
ỡ
+=+
ù
ù
ớ
ù
-=-
ù
ợã

32(3)
31(4)
ỡ
ù
+=
ớ
+=
ù
ợ

Ly
(3)4

ta c:
xy
xy
3
3
()3
()1
ỡ
ù
+=
ớ
-=
ù
ợ




++=
ớ
+=+
ù
ợã
Ly
(1)(2)
+
ta c: xyxyy
22
3(47)320
+-+-+=



xy
y
x
2
1
3
ộ
=-
ờ
-
=
ờ




yx
yx
32
2
ộ
=-
ờ
=-
ở

Nghim:
(1;1),(2;1)
-
.
Bi 17. Gii h phng trỡnh sau:
xyx
yxy
43
43
1
233(1)
4
1
233(2)
4
ỡ
+-=-+

22
22
11
0
22
ổửổử
+-++-=
ỗữỗữ
ốứốứ


x
y
13
2
13
2
ỡ

=
ù
ù
ớ
-+
ù
=
ù
ợ

Nghim:

(1)(2)(3)
++
ta c: xyzxyz
222
(2)(4)(2)0
-+-+-=



xy
xz
yz
2
4
2
ỡ
=
ù
=
ớ
ù
=
ợ

Thay vo HPT ta c: z
2
1
=

ị

xy
33
(2)(3)
-=+
ị

xy
5
=+
.
Nghim:
(3;2),(2;3)

.
Bi 20. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xyxy
33
22
9(1)
24(2)
ỡ
ù
+=
ớ
+=+
ù
ợ
ù
ợã
Ly
(1)3(2)
-
, ta c
xy
33
(4)(3)
-=-
ị

xy
7
=-
.
Nghim:
(3;4),(4;3)
.
Trn S Tựng H phng trỡnh nhiu n
Trang 13

Bi 22. Gii h phng trỡnh sau:
xyxy
xyxy
22
3216(1)

ộ
++=
ờ
+-=
ở

Nghim:
Bi 23. Gii h phng trỡnh sau:
xyxy
xyxy
22
2346(1)
44123(2)
ỡ
++=-
ớ
+++=
ợã
Ly
2(1)(2)
+
, ta c xyxy
2
(2)10(2)90
++++=



2(1)(2)
-
, ta c xx
2
11100
-+=



x
x
1
10
ộ
=
ờ
=
ở

Nghim:
Bi 25. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xxyx
22
2
1
(1)
5
57
43(31)(2)

+=
ờ
ờ
ờ
+=-
ở

Nghim:
21112
;,;
552525
ổửổử
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Bi 26. Gii h phng trỡnh sau:
xxy
xxyyyx
32
22
349(1)
8817(2)
ỡ
ù
+=-
ớ
-+=-
ù
ợ


xyxyxy
23
22
62350(1)
5525130(2)
ỡ
ù
++=
ớ
++++=
ù
ợã
Ly
(1)3(2)
+
ta c: yxy
22
15
(25)30
22
ộự
ổửổử
ờỳ
++++=
ỗữỗữ
ờỳ
ốứốứ

yxyy
22
2
2230(1)
310(2)
ỡ
ù
+++=
ớ
+++=
ù
ợ

H phng trỡnh nhiu n Trn S Tựng
Trang 14 ã
Ly
(1)2(2)
+
ta c: xyxy
2
(2)3(2)20
++++=



xy
xy

ớ
-=
ù
ợã
Ly
(1)8(2)
-
ta c: xy
24
(2)(4)
-=-


xy
xy
2
6
ộ
=-
ờ
=-
ở
.
Nghim:
(4;2),(4;2)

.

xxy
yxy
32
32
235(1)
67(2)
ỡ
ù
+=
ớ
+=
ù
ợã
Ly
4(1)(2)
+
ta c: xxyxyy
3223
812627
+++=


xy
3
(2)27
+=


ã
Ly
(1)3(2)
-
ta c: xy
33
(1)(2)
-=+


xy
3
=+
.
Nghim:
(2;1),(1;2)

.
Bi 33. Gii h phng trỡnh sau:
xyxy
xy
33
22
3()4(1)
9(2)
ỡ
ù
-=
ớ
=

33
;()
- l cỏc nghim ca phng trỡnh: XXX
2
4270231
==
Vy nghim ca H PT l xy
33
231,231
=+=
hoc xy
33
231,231
=-=-+ .

ã
Khi:
xy
3
=-
, ta cú: xy
33
4
-=-
v
(
)
xy
33
.27

ạ
0. Ta cú: (1)


xy
xy
xy
xy
1
()10
1
ổử
ộ
=
-+=
ỗữ
ờ
=-
ở
ốứ

Trn S Tựng H phng trỡnh nhiu n
Trang 15

Trng hp 1:
xy
xyxy
xy
xxxxx
xy

yx
x
xxVN
x
3
3
4
1
1
1
2
21
1
20()
ỡ
ỡ
=-
ù
ỡ
=-
=-
ùù

ớớớ
=+
ợ
ùù
-=+
++=
ợ

x
0
=
khụng tho món (2) nờn (2)


x
y
x
2
1
1
-
+= , thay vo (1) ta c:

xx
xxxx
xx
22
22
11
.341
ổử

+=-+
ỗữ
ốứ

xxxx
32

ớ
+-+=
ù
ợã
T (1)
ị
yxx
22
51616
=-++
.
Thay vo (2) ta c: yxyy
2
2480
=



y
yx
0
24
ộ
=
ờ
=+
ở


ị
xxx
22
(24)51616
+=-++

x = 0
ị
y = 4.
Kt lun: Nghim (x; y):
4
(0;4),(4;0),;0
5
ổử
-
ỗữ
ốứ
.
Bi 37. Gii h phng trỡnh sau:
xyxy
xyxyy
222
71(1)
131(2)
ỡ
+-=-
ớ
+-=-
ợ

ổử
ỗữ
ốứ
.
Bi 38. Gii h phng trỡnh sau:
xyxy
xyy
222
71(1)
101(2)
ỡ
=++
ớ
=-
ợã
T (1)
ị

y
x
y
71
1
+
=
-
. Thay vo (2) ta c:

1
(1)
3
ộ
=-=
ờ
=-=
ờ
ở

Nghim:
1
(3;1),1;
3
ổử

ỗữ
ốứ
.
Bi 39. Gii h phng trỡnh sau:
yxy
xyxy
2
22
10(1)
2210(2)
ỡ
ù
-+=
ớ

(2;1)

.
Bi 40. Gii h phng trỡnh sau:
xxyy
xyxy
422
22
4690(1)
2220(2)
ỡ
ù
-+-+=
ớ
++-=
ù
ợã
T (2)
ị

x
y
x
2
2
22
2

22
16(4)
(4)0
(2)
-
-+=
+
xxxx
2642
(4)(42064)0
-++-=



xy
xy
xy
xy
2(3)
2(3)
2(5)
2(5)
ộ
=-=
ờ
==
ờ

x
0
=
l nghim ca h.
Vi
y
0
ạ
, nhõn (1) vi
y
-
ri cng vi (2), ta c:
xxyxyy
3223
24420
-+-=



xy
=

Nghim:
(1;1),(0;0)
.
Bi 42. Gii h phng trỡnh sau:
xxyy
xy
22
22

+=-
ợ
.
Nghim:
(1;1)

.
Bi 43. Gii h phng trỡnh sau:
xy
x
xy
yx
y
xy
22
22
3
3(1)
3
0(2)
ỡ
+
+=
ù
ù
+
ớ
-
ù
-=

ta cú: (1)


xyy
xyy
xy
2
22
3
3
+
+=
+
(3)
Trn S Tựng H phng trỡnh nhiu n
Trang 17

(2)


xyx
xy
xy
2
22
3
0
-
-=
+

2
4(2)
ỡ
-=-
ù
ớ
ù
-=
ợã
(1)


xx
y
x
62
83
2
+
=
+
; (2)


x
y
x

==

Nghim:
(0;0)
.
Bi 45. Gii h phng trỡnh sau:
xxy
xy
x
2
2
(1)30
5
()10
ỡ
++-=
ù
ớ
+-+=
ù
ợ
(D 2009)
ã Vỡ x
ạ
0 nờn HPT


xy
x
xy

ù
ù
ớ
ù
-+=
ù
ợ

x
x
xy
xy
11
1
1
2
1
2
2
ỡ
ỡ
=
ù
ùù
=

ớớ


ã
H PT


xyxy
xy
33
22
3()6(4)(1)
36(2)
ỡ
ù
-=+
ớ
-=
ù
ợ
.
Th (2) vo (1) ta c:
xyxyxy
3322
3()(3)(4)
-=-+


xxyxy
322
120
+-=

33
7
()2
ỡ
-=
ớ
-=
ợã
H PT


xy
xyxy
33
2()14(1)
()2(2)
ỡ
-=
ớ
-=
ợ
.
H phng trỡnh nhiu n Trn S Tựng
Trang 18

Thay (2) vo (1) ta c: xyxxyy
22

ù
-=-+
ớ
-+=
ù
ợã
Thay (2) vo (1) ta c:
xyxy
3333
29
-=-



xy
2
=

Nghim:
(2;1),(2;1)

.
Bi 49. Gii h phng trỡnh sau:
xyyx
yx
33
22

=

x
xxy
2
0
5160
ộ
=
ờ
=
ởã
Vi
x
0
=
ị
y
2
4
=



y
2
=

-=
ỗữ
ốứ



xxxx
4242
32256125100
+=
xx
42
1241322560
+=


x
2
1
=



xy
xy
1(3)
1(3)

++=+



yx
yx
2
2
1
ộ
=-
ờ
=-
ở

Nghim:
117317117317
;,;
4444
ổửổử
-++-
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Bi 51. Gii h phng trỡnh sau:
xyxyxyx
xyyx
322
22
7()74(1)

ộ
=
ờ
=
ờ
=-
ở
.
Nghim:
(3;1),(3;7)

.
Bi 52. Gii h phng trỡnh sau:
xyxy
xyxy
332
44
1(1)
440(2)
ỡ
ù
+-=
ớ
+ =
ù
ợã
Thay (1) vo (2) ta c:

=
ờ
ở
.
Nghim:
33
31
(0;1),(1;0),(1;1),;
2525
ổử
ỗữ
ốứ
.
Bi 53. Gii h phng trỡnh sau:
yx
2xyyx
22
33
21(1)
2(2)
ỡ
ù
-=
ớ
-=-
ù
ợã

t
1
=

ị

xy
=
.
Nghim:
(1;1),(1;1)

.
Bi 54. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xyxyy
33
223
1(1)
22(2)
ỡ
ù
+=
ớ
++=
ù
ợã

t
t
t
1
1
1
2
ộ
=
ờ
=-
ờ
ờ
=
ở

ị

xy
xy
xy
2
ộ
=
ờ
=-
ờ
=
ở
.


xyxyxy
xyxy
33
55
2()6(1)
6.532(2)
ỡ
ù
+++=
ớ
++=
ù
ợ
. Thay (1) vo (2) ta c:
xyxyxyxyxy
5533
52()32
ộự
+++++=
ởỷ
xy
5
()32
+=



xy
2

. Thay (1) vo (2) ta c:
xyxyxy
33
3()27
+++=
xy
3
()27
+=



xy
3
+=

Nghim:
Bi 57. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xyxyxy
22
332
2(1)
2(2)
ỡ
ù
+=
ớ
++=+
ù

ỡ
ù
++=
ớ
+=
ù
ợã
Thay (2) vo (1) ta c: xxyyxy
3222
2(8)0
+++=


xxyxyy
3223
280
+++=
(3)
D thy
y
0
=
khụng tho HPT.
Vi
y
0
ạ

xyx
22
2
21(1)
2(2)
ỡ
ù
-=
ớ
+=
ù
ợã
Thay (1) vo (2) ta c:
xyxxy
222
2(2)
+=-

xyxy
22
320
=
(3)
D thy
x
0
=


ị

yx
yx
3
2
ộ
=
ờ
=-
ờ
ở

Nghim:
(1;1),(1;1)

.
Bi 60. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xy
xy
xy
2
22
1
()16(1)
1
()118(2)
ỡ

22
20
+-=



xy
=

Nghim:
Bi 61. Gii h phng trỡnh sau:
xyxyxy
xy
xy
2
22
(26)20
1
()18
ỡ
+-++=
ù
ổử
ớ
++=
ỗữ
ù
ốứ
ợ





xy
xy
7
ộ
=
ờ
=
ở
.
Nghim:
Bi 62. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xyxyxy
42
22
698
(1)
81
3440(2)
ỡ
+=
ù
ớ
ù
++ +=
ợ


PT ny cú nghim i vi y thỡ ta phi cú:
Trn S Tựng H phng trỡnh nhiu n
Trang 21

xxx
22
(4)4(34)0
D
= +


x
4
0
3
ÊÊ
(4)
T (3) v (4) ta cú: xy
42
25649697698
8198181
+Ê+=<
ị
khụng tho (1)
Vy: HPT ó cho vụ nghim.
Bi 63. Gii h phng trỡnh sau:
xyy
xyx
2
2


T (2)
ị
x
ạ
0, x
2
2

v
x
y
x
2
2 +
=
Thay vo (1) ta c:
x
x
x
2
2
2
2
248
ổử
+
+-=-
ỗữ
ốứ


xyy
xyx
2
2
48
2
ỡ
ù
-=-
ớ
=+
ù
ợ
ị

x
x
x
2
2
2
2
428
ổử
+
=-
ỗữ
ốứ


ã
iu kin
x
y
0
0
ỡ
>
ớ
>
ợ
. (1)


( )
xxyy
1(8)
-=+


xxyy
22
(1)(8)
-=+ (3)
Thay (2) vo (3) ta c: yy
2
38800
+-=



ợ
. HPT


(
)
(
)
xxyyxy
xy
364(1)
36(2)
ỡ
ù
-=+
ớ
-=
ù
ợ

Thay (2) vo (1) ta c:
(
)
(
)
xxyyxyxy
3(3)4-=-+




iu kin:
x
y
0
0
ỡ

ớ

ợ
. HPT


xyxyxyxy
xy
3
()3()2
2
ỡ
ù
+-+=
ớ
+=
ù
ợ

xy
xy
1
2

Û

xyxy
22
22162+=-
Û

( )
xyxyxy
2
22
222+=+-

Û

xyxy
22
22
+=+

Û

xyxy
222
22()
+=+
Û
xy
2
()0

ta được:
xy
8
+=

Nghiệm:
(4;4)
.
Bài 69. Giải hệ phương trình sau:
22
22
3(1)
114(2)
ì
+-=
ï
í
+++=
ï
î
xyxy
xy·
(2)
Û
xyxyxyxyxy
22222
2(1).(1)142()411

(1)
Û

( )
xyxy
2
33
+=+

·
p = xy =
35
3
-
(loại)
·
p = xy = 3
Þ
xy
23
+=±
1/ Với
xy
xy
xy
3
3
23
ì
=

614(2)
ì
ï +=
í
++-=
ï
î·
Đặt txyt
2,(0)
=+³
. (1)
Û
tt
2
230
+-=

Û

t
1
=

Û

xy
21

ì
+=
Û
í
-=
î

Û

u
v
2
2
ì
=
í
=
î

Þ

x
y
2
3
ì
=
í
=-
î

3
-
= .
Ta có: (1)
Û

xy
xy
y
y
2
3
3
2.30
-
-
=
Û
tt
2
230
=

Û

t
t
1
3
2


ị

y
0
Ê
. Thay vo (2) ta c:
xyy
yxy
2
3
2634
ỡ
-=
ớ
-=+-
ợ



x
y
4
4
ỡ
=
ớ
=
ợ


8
9
==

Nghim:
88
(4;4),;
99
ổử
ỗữ
ốứ
.
Bi 72. Gii h phng trỡnh sau:
xyxyxyxy
xy
22
22
818365(23)60(1)
2330(2)
ỡ
ù
++-+=
ớ
+=
ù
ợã
iu kin:

=
. (3)

tt
2
2520
-+=



t
t
2
1
2
ộ
=
ờ
=
ờ
ở

+ Vi
t
2
=

ị

xy

xy
xy
231
2
6
+
=

ị
vụ nghim
Nghim:
(3;2)
.
Bi 73. Gii h phng trỡnh sau:
xxyxyy
xyxy
3223
6940(1)
2(2)
ỡ
ù
-+-=
ớ
-++=
ù
ợã
Ta cú: (1)

2122(2)
ỡ
ù
++=-
ớ
=-
ù
ợã
iu kin:
x
y
1
0
ỡ

ớ

ợ
. Ta cú: (1)


xyyxy
22
()(1)
++=-



=
.
Nghim:
(2;5)
.
Bi 75. Gii h phng trỡnh sau:
xyxy
xy
20(1)
1412(2)
ỡ
ù =
ớ
-+-=
ù
ợã
iu kin:
x
y
1
1
4
ỡ

ù
ớ




y
1
2
=

ị

x
2
=
.
Nghim:
1
2;
2
ổử
ỗữ
ốứ
.
Bi tng t:
a)
xyxy
xy
20
1211
ỡ
ù =
ớ


ã
iu kin:
xy
0
+>
.
(1)

xyxy
xy
2
1
()1210
ổử
+ =
ỗữ
+
ốứ

xyxyxy
22
(1)()0
+-+++=



xy
10
+-=

1(0)
2(3)
ộ
==
ờ
=-=
ở

Vy h cú 2 nghim: (1; 0), (2; 3).
Bi 77. Gii h phng trỡnh sau:
( )
2
32(1)
28(2)
ỡ
-=
ù
ớ
-=
ù
ợ
xyxy
xyã
iu kin :
xyxy
.0;


24
ỡỡ
==
ớớ
==
ợợã
Vi
y
x
3
=
, th vo (2) ta c : yy
2
32240
-+=
Vụ nghim.
Kt lun: h phng trỡnh cú 2 nghim l:
xx
yy
612
;
24
ỡỡ
==
ớớ
==
ợợ




xy
21
=+
(3)
Thay (3) vo (2) ta c:
yyyyyy
(21)222(21)2
+-=+-

(
)
yy
(1)220
+-=


y = 2
ị
x = 5
Nghim:
(5;2)
.
Bi 79. Gii h phng trỡnh sau:
xy