http://ebooktoan.com
TÍCH PHÂN
I.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số
Bài toán: Tính
( )
b
a
I f x dx=
∫
,
*Phương pháp đổi biến dạng I
Định lí . Nếu 1) Hàm
( )x u t=
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]
;
α β
,
2) Hàm hợp
( ( ))f u t
được xác định trên
[ ]
;
α β
,
3)
( ) , ( )u a u b
α β
= =
,

Khi x=0 thỡ t=5
Khi x=1 thỡ t=6

1 6
2 3
0 5
5
3
⇒ = + =
∫ ∫
dt
I x x dx t

( )
1
6
1
2
1
2
5
6 6
1 1 ( ) 2
1
5 5
3 3 9
1
2
+
= = =

 
Ví dụ 2. Hãy tính các tích sau:
1
http://ebooktoan.com
a)
4
2
0
4 x dx−
∫
b)
1
2
0
1
dx
x+
∫

Giải: a) Đặt
2sin , ;
2 2
x t t
π π
 
= ∈ −
 
 
.
Khi x = 0 thì t = 0. Khi

.
Khi
0x =
thì
0t =
, khi
1x =
thì
4
t
π
=
.
Ta có:
2
tan
cos
= ⇒ =
dt
x t dx
t
.

1
4 4
2 2 2
0 0 0
1
. .
4

= ∈ −
 
 

hoặc
[ ]
cos , 0;x a t t
π
= ∈
.
2
http://ebooktoan.com
• Với
2 2
a x+
, đặt
tan , ;
2 2
π π
 
= ∈ −
 ÷
 
x a t t

hoặc
( )
, 0;
π
= ∈x acott t

∈
 
 
.
*Phương pháp đổi biến dạng II
Định lí : Nếu hàm số
( )u u x=
đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
sao cho
'
( ) ( ( )) ( ) ( )f x dx g u x u x dx g u du= =
thì
( )
( )
( ) ( )
u b
b
a u a
I f x dx g u du= =
∫ ∫
.
Ví dụ 3: Tính
1
2 3
0
5I x x dx= +
∫
Giải: Đặt

x x
∫
c)
1
2
0
4 2
1
x
dx
x x
+
+ +
∫
d)
2
2
1
(2 1)
dx
x −
∫
e)
2
3
3
2
cos(3 )
3
x dx

1 1
2 1 (3 1)
1
2 12 12
u
x dx u du+ = = = −
∫ ∫
= 60
2
3
.
b)Đặt
lnu x=
. Khi
x e=
thì
1u =
. Khi
2
x e=
thì
2u =
.
Ta có
dx
du
x
=
⇒


1 3
2
0 1
3
4 2 2
2ln 2(ln3 ln1) 2ln3
1
1
x du
dx u
x x u
+
= = = − =
+ +
∫ ∫
.
d)Đặt
2 1u x= −
. Khi
1x =
thì
1u =
. Khi
2x =
thì
3u =
.
Ta có
2
2

thì
3
u
π
=
,
Khi
2
3
x
π
=
thì
4
3
u
π
=
.
Ta có
3
3
du
du dx dx= ⇒ =
. Do đó:

2 4
3 3
3 3
4

thì:

( )
' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
b
u x v x dx u x v x v x u x dx
a
= −
∫ ∫
hay
b b
a a
b
udv uv vdu
a
= −
∫ ∫
.
Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
• Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng
'
udv uv dx=
bằng cách chọn một phần thích
hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại
'
( ) .dv v x dx=
• Bước 2: Tính


=


2
2
dx
du
x
x
v

=


⇒


=



2 2 2 2
1 1
1 1
ln ln
1 1
2 2 2 4 4
e e
e e

2
0
cos
x
e xdx
π
∫

Giải: a) Đặt
5
4
ln
1
1
4
dx
u x
du
x
dv dx
v
x
x

=
=


 
⇒

u x du dx
dv xdx v x
= =
 
⇒
 
= =
 
. Do đó:
( )
2 2
0 0
cos sin sin cos 1
2 2
2 2
0 0
x xdx x x xdx x
π π
π π
π π
= − = + = −
∫ ∫
.
c)Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
 
⇒

x x x
e xdx e x e xdx
π π
π
⇒ = −
∫ ∫
.
Đặt
1 1
1 1
sin cos
x x
u e du e dx
dv xdx v x
 
= =
⇒
 
= = −
 
6
http://ebooktoan.com
2 2
2
0 0
cos cos cos
2
0
x x x
e xdx e e x e xdx

b
a
P x xdx
∫
( )cos
b
a
P x xdx
∫
cos
b
x
a
e xdx
∫
u P(x) lnx P(x)
x
e
dv
x
e dx
P(x)dx cosxdx cosxdx
Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào
để chọn u và
'
dv v dx=
thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói
chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn
'
dv v dx=

=
=



∫
7
http://ebooktoan.com
• Nếu tính tích phân
( ) ( )P x Q x dx
β
α
∫
mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là
hàm số ln(ax) thì ta đặt
( )
'
( )
( )
( )
du Q x dx
u Q x
dv P x dx
v P x dx
=

=


⇒

ax
du ae dx
u e
dv bxdx
v bx
b
=

=


⇒
 
=
=



hoặc đặt
1
sin
cos
ax
ax
du ae dx
u e
dv bxdx
v bx
b
=

2
0ax bx c
+ + ≠
với mọi
[ ]
;x
α β
∈
)
Xét
2
4b ac
∆ = −
.
+)Nếu
0
∆ =
thì
2
2
dx
I
b
a x
a
β
α
=
 
−

)

( )
1
1 2 2
1
ln
x x
I
a x x x x
β
α
−
⇒ =
− −
.
+) Nếu
0
∆ <
thì
2
2
2
2
2 4
= =
+ +
 
 
−∆

, ta tính được I.
b) Tính tích phân:
( )
2
, 0
mx n
I dx a
ax bx c
β
α
+
= ≠
+ +
∫
.
(trong đó
2
( )
mx n
f x
ax bx c
+
=
+ +
liên tục trên đoạn
[ ]
;
α β
)
+) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:

+
++
+
=
++
+
∫∫
222
)2(
β
α
β
α
. Tích phân
dx
cbxax
baxA
++
+
∫
2
)2(
β
α
=
β
ε
cbxaxA
++
2

α α α
thì đặt

1 2
1 2
( )

( )
n
n
A
A AP x
Q x x x x
α α α
= + + +
− − −
.
+ Khi
( )
( )
2 2
( ) , 4 0Q x x x px q p q
α
= − + + ∆ = − <
thì đặt
2
( )
.
( )
P x A Bx C

4 11
5 6
x
dx
x x
+
+ +
∫
.
Giải:
Cách 1.Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho:

( )
{ }
2 2 2
2 5
4 11
, \ 3; 2
5 6 5 6 5 6
A x
x B
x
x x x x x x
+
+
= + ∀ ∈ − −
+ + + + + +
¡

⇔

( )
{ }
2 2 2
2 2 5
4 11 1
, \ 3; 2
5 6 5 6 5 6
x
x
x
x x x x x x
+
+
= + ∀ ∈ − −
+ + + + + +
¡
.
Do đó
1 1 1
2 2 2
0 0 0
4 11 2 5
2
5 6 5 6 5 6
x x dx
dx dx
x x x x x x
+ +
= +
+ + + + + +

x x x x
+
= + ∀ ∈ − −
+ + + +
¡

( )
{ }
2 2
3
4 11
, \ 3; 2
5 6 5 6
A B x A B
x
x
x x x x
+ + +
+
⇔ = ∀ ∈ − −
+ + + +
¡

4 3
3 2 11 1
A B A
A B B
+ = =
 
⇒ ⇔

∫ ∫ ∫

1 1
9
3ln 2 ln 3 ln
0 0
2
x x= + + + =
.
Ví dụ 8:Tính tích phân:
1
2
0
1
dx
x x+ +
∫
.
Giải:
Do
1 1
2
2
0 0
1
1 3
2 4
dx dx
x x
x

3
1 tan
2 3 2 3 3
3
2
3
1 3 3 9
(1 tan )
4
6
π π
π π
π
π
π
+
= = = =
+ +
+
∫ ∫ ∫
t dt
dx
dt t
x x
t
.
Ví dụ 9. Tính tích phân:
1
2
3

ln 1 ln
2 2
2 2 8 2 4
0 0
x
x= + − = +
.
2. Tích phân các hàm l ượng giác
2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản
Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau:
a)
2
2
sin 2 sin7J x xdx
π
π
−
=
∫
;
b)
2
4 4
0
cos (sin cos )K x x x dx
π
= +
∫
;
c)

2 2
sin5 sin9
10 18 45
2 2
x x
π π
π π
= − =
− −
.
b) Ta có
( )
2
4 4 2 2 2 2
cos (sin cos ) cos sin cos 2sin cosx x x x x x x x
 
+ = + −
 
( )
2
1 1 3 1
cos 1 sin 2 cos 1 1 cos4 cos cos cos4
2 4 4 4
x x x x x x x
   
= − = − − = +
 ÷
 
   
( )

1 cos 1 cos 1 cos
x x x x x
x x
x x x
−
= = = −
+ + +
⇒
2M =
.
2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác
2.2.1.Tính
cos
dx
I
asinx b x c
=
+ +
∫
Phương pháp:
Đặt
2
2
tan
2 1
= ⇒ =
+
x dt
t dx
t

asinx b x c c b t at b c
= =
+ + − + + +
∫ ∫
đã biết cách tính.
Ví dụ 11. Tính
4cos 3sin 5
dx
x x
+ +
∫

Giải: Đặt
2
2
1 2
tan 1 tan
2 2 2 1
 
= ⇒ = + ⇔ =
 ÷
+
 
x x dt
t dt dx dx
t
2
2
2
2 2

+
+
x
t
C C
x
t
.
2.2.2. Tính
2 2
sin sin cos cos
dx
I
a x b x x c x d
=
+ + +
∫
Phương pháp:
( ) ( )
2 2
sin sin cos cos
dx
I
a d x b x x c d x
=
+ + + +
∫

( ) ( )
2

x x x x
=
+ −
∫
.
Giải:Ta có
2
2 2 2
cos
sin 2sin cos 3cos tan 2tan 3
= =
+ − + −
∫ ∫
dx
dx
x
I
x x x x x x

14
http://ebooktoan.com
Đặt
2
tan
cos
= ⇒ =
dx
t x dt
x
( ) ( )

sin cos
m x n x p
I dx
a x b x c
+ +
=
+ +
∫
=
=
∫ ∫ ∫
++
+
++
−
+
cxbxa
dx
Cdx
cxbxa
xbxa
BdxA
cossincossin
sincos
Tích phân
∫
dx
tính được
Tích phân
Ccxbxadx

cos 2sin 4cos 3sin 4sin 3cos ,
+ = + + − + ∀
x x A x x B x x x

( ) ( )
cos 2sin 4 3 cos 3 4 sin ,x x A B x A B x x+ = + + − ∀
15
http://ebooktoan.com
2
4 3 1
5
3 4 2 1
5
A
A B
A B
B

=

+ =


⇒ ⇔
 
− =


= −


2
2
tan
2 1
= ⇒ =
+
x dt
t dx
t
Ta có
2
2 2
2 1
sin ;cos
1 1
t t
x x
t t
−
= =
+ +
• Những trường hợp đặc biệt:
+) Nếu
( )
sin ,cosR x x
là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là

( ) ( )
sin , cos sin ,cosR x x R x x− − =
thì đặt

3.1 .Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản
16
http://ebooktoan.com
Ví dụ 14. Tính tích phân:
1
0
1
dx
I
x x
=
+ +
∫
.
Giải
( )
( )
1 1
3
3
2
2
0 0
1
2
1 1
0
3
1
 

( 1 )
15
1
x dx
x x x dx
x x
−
= + − =
+ +
∫ ∫
.
3.2.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lượng giác
(xem ví dụ 2)
3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn
Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức
Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương đúng
Ví dụ 15:Tính

∫
−=
1
0
23
1 dxxxI
Giải:
∫∫
−=−=
1
0
22

−=−−=
∫
tt
dtttI
17
http://ebooktoan.com
4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ 16: Tính
2
2
2
1J x dx
−
= −
∫
Giải: Lập bảng xét dấu của
2
1x
−
trên đoạn
[ ]
2;2−
x -2 -1 1 2
2
1x
−
+ 0 - 0 +
Do đó
( ) ( ) ( )

. Khi đó

( ) 0
a
a
I f x dx
−
= =
∫
.
Ví dụ 17: Chứng minh
2
2
2
0
4 sin
xdx
I
x
π
π
−
= =
−
∫
.
Giải: Đặt
x t dx dt
= − ⇒ = −
. Khi x=

2
2
2
0
4 sin
xdx
I
x
π
π
−
= =
−
∫
.
18
http://ebooktoan.com
2.Cho hàm số
( )y f x
=
liên tục và chẵn trên đoạn
[ ]
;a a−
. Khi đó
0
( ) 2 ( )
a a
a
I f x dx f x dx
−

J f x dx f t dt f t dt f x dx
−
⇒ = = − − = =
∫ ∫ ∫ ∫
(2)
Thay (2) vào (1) ta được
0
( ) 2 ( )
a a
a
I f x dx f x dx
−
= =
∫ ∫
Ví dụ 18: Tính tích phân:
2
2
2
cos
4 sin
x x
I dx
x
π
π
−
+
=
−
∫

 
−
 
 
nên
2
2
2
0
4 sin
x
dx
x
π
π
−
=
−
∫
và
2
2
cos
( )
4 sin
x
f x
x
=
−

1 sin 2 1
ln ln3
2
2 sin 2 2
0
x
I
x
π
−
= − =
+
.
3.Cho hàm số
( )y f x
=
liên tục và chẵn trên đoạn
[ ]
αα
:−
. Khi đó

∫∫
−−
=
+
=
α
α
α

; x =
α
thì t =-
α

Vậy
∫ ∫∫
− −−
+
−+
=
+
=
+
=
α
α
α
α
α
α
dttf
a
a
dt
a
tfa
dx
a
xf

t
)(
1
)(
)(
Suy ra
∫∫
−−
=
+
=
α
α
α
α
dxxfdx
a
xf
I
x
)(
2
1
1
)(
Ví dụ 19 : Tính tích phân:
1
4
1
2 1

1
4
12
2
1212
dttdt
t
dx
x
I
t
t
tx

20
http://ebooktoan.com

∫ ∫ ∫
− − −
−=
+
−=
1
1
1
1
1
1
4
4

 
 
.Khi đó

2 2
0 0
(sin ) (cos )f x dx f x dx
π π
=
∫ ∫
.
Chứng minh:
Đặt
2
t x dx dt
π
= − ⇒ = −
Khi x = 0 thì
2
t
π
=
, khi
2
x
π
=
thì t = 0
Do đó
0

2 2
(cos ) (cos )
− −
=
∫ ∫
xf x dx f x dx
π α π α
α α
π
Ví dụ 20:Chứng minh: I=
2
0
sin
sin cos 4
n
n n
x
dx
x x
π
π
=
+
∫
.
.
21
http://ebooktoan.com
Giải :
Tương tự như trên ta có:

Vậy I=
2
0
sin
sin cos 4
n
n n
x
dx
x x
π
π
=
+
∫
.
Ví dụ 21: Tính tích phân:
2
0
sin
1 cos
x x
dx
x
π
+
∫
.
Giải: Đặt
( )

0 0
sin sin
1 cos 1 cos
sin sin
1 cos 1 cos
t t t
dt dt
t t
x x x
dx dx
x x
π π
π π
π
π
= −
+ +
= −
+ +
∫ ∫
∫ ∫

2 2
0 0
sin sin
2
1 cos 1 cos
x x x
dx dx
x x

sin4cos
2sin
)
π
dx
xx
x
Ia

( ĐH-KA-2006)
∫
+
+
=
2
0
cos31
sin2sin
)
π
dx
x
xx
Ic
(ĐH-KA-2005)
∫
+
=
2
0

)3cos(sin
2cos
)
π
dx
xx
x
Ii
∫
=
2
0
sin)
π
dxxxIb
∫
−=
2
0
2
.cos)12()
π
dxxxId
∫
+
=
4
0
2cos1
)

+
+
=
3
0
2
35
1
2
) dx
x
xx
Ia
∫
++
+
=
4
0
121
12
) dx
x
x
Ic
dxxxIe
∫
−=
3
1


+=
1
2
1
2
1
1
1
) dx
x
x
Id
∫
+
=
3
1
3
)
xx
dx
If
( )
∫
−
−−+=
5
3
22) dxxxIh

ex
Ie
x
∫
+
=
2
1
2
)1ln(
) dx
x
x
Ib
∫
+
=
e
dxx
x
x
Id
1
3
.ln
1
)
∫
−=
3