Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
1

Chủ đề:KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG
THẲNG CHÉO NHAU VÀ ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG
Chuyên đề “Hình Học Không Gian” nói chung và chủ đề “Khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau và đoạn vuông góc chung” nói riêng, là một chủ đề tương đối
khó khăn với đa số học sinh. Chúng tôi biên soạn tài liệu này nhằm giúp các em nhìn nhận
vấn đề trên dễ dàng hơn và có hệ thống hơn.
I-NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP:
Để xác định Khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b chéo nhau và đoạn vuông góc chung,
thông thường dùng 2 phương pháp cơ bản sau:
Phương pháp 1:Bước 1
: Xác định mặt phẳng
(
)
a
α
⊥

tại A và
)(
α
cắt b.

b
a
α
α

⊂


⊥



+ Dựng
AH b
⊥ ⇒
AH là đoạn vuông
góc chung của 2 đường thẳng
a
và
b
.

b
α
⊂
.
Bước 2:
Chiếu vuông góc đường thẳng
a
trên mặt phẳng
(
)
α
được đường thẳng
'
a
,
{
}
'
a b K
∩ =

Bước 3:
Dựng hình chữ nhật AHKP.
Dễ dàng chứng minh được: KP là đoạn
vuông góc chung của 2 đường thẳng
a

và
b
.

α

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
2

II-MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HOẠ:
Bài tập 1
: Cho tứ diện đều ABCD cạnh
a
. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung
của AB và CD.
Hướng dẫn:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
AHB
.
Rõ ràng:
(
)
CD AHB
⊥

Bước 2: Dễ thấy,
(
)
AB AHB
⊂
.

Rõ ràng:
(
)
SA ABCD
⊥

Bước 2: Dễ thấy,
(
)
CD ABCD
⊂
.
và
AD CD AD
⊥ ⇒
là đoạn vuông góc chung
của SA và CD.
Bước 3: Tính AD (tùy theo giả thiết)
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SC:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
SAD
.
Dễ chứng minh được:
(
)
AB SAD
⊥


AH SA AD
= +
.
Bài tập 3
: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, các mặt bên là các hình vuông cạnh
a
.
a) Hình lăng trụ có đặc điểm gì ?
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa A’B và B’C’.
Hướng dẫn:
a) Hình lăng trụ đứng tam giác đều cạnh a.
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa A’B và B’C’:
K
D
C
B
H
A

S
A
B
C
D

P
K

Ta có:
(
)
' ' '
BI AII A A I
⊥ ⇒
là hình chiếu của A’B trên
(
)
' '
AII A
.
+ Dựng
' ' '
I H A I I H
⊥ ⇒
là khoảng cách của A’B và B’C’.
+ Dựng hình chữ nhật HKPI’
⇒
KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng A’B và B’C’.
Bước 3: Tính I’H.
Xét Xét
' '
A I I
∆
vuông tại I’:
2 2 2
1 1 1
' ' ' '

)
BM SIM SM
⊥ ⇒
là hình chiếu của SB trên
(
)
SIM
.
+ Dựng
IH SM IH
⊥ ⇒
là khoảng cách của SB và AD.
+ Dựng hình chữ nhật HKPI
⇒
KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng SB và AD.
Bước 3: Tính IH.
Xét
SIM
∆
vuông tại I:
2 2 2
1 1 1
IH IS IM
= +
.
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BD:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)

)
(
)
(
)
(
)
(
)
, , ,d d d
BD SA BD SAE J SAE JR
= = =

+ Dựng hình chữ nhật RKPJ
⇒
KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng SA và BD.
Bước 3: Tính JR.
Ta có:
2 .
JR IH
=
Xét
SIL
∆
vuông tại I:
2 2 2
1 1 1
IH IS IL
= +

E
S
A
B
C
D
I
H
K
P
L

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
4

Bài tập 5
: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
,
AB a
=

, 3 , 7, 2

BC a AD a CD a SA a
= = = =
. Khi SA
⊥
(ABCD), dựng và tính độ dài đoạn
vuông góc chung giữa các đường thẳng:

2 2 2
1 1 1
AH AC AD
= +
.
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SD:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
SAD
.
Rõ ràng:
(
)
AB SAD
⊥

Bước 2: Dễ thấy,
(
)
SD SAD
⊂
.
Dựng
AK SD AK
⊥ ⇒
là đoạn vuông góc chung của SD và AB.
Bước 3: Tính AK:
Xét
SAD

trên
(
)
SAB
.
+ Dựng
AI SB AI
⊥ ⇒
là khoảng cách của SB và AD.
+ Dựng hình chữ nhật AIJP
⇒
JP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng SC và AD.
Bước 3: Tính AI.
Xét
SAB
∆
vuông tại I:
2 2 2
1 1 1
AI AS AB
= +
.
Bài tập 6
: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy
,
AB a
=
đường cao
SO h

C
B
D
A
S
I
J
P

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
5

Bước 2: Chiếu AD trên
(
)
SBC
(hay tính
(
)
,
d
AD SB
)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và AD
ON BC
⇒ ⊥

Ta có:
(

d d d
AD SB AD SBC M SBC MI
= = =

+ Dựng hình chữ nhật MIKP
⇒
KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng SB và AD.
Bước 3: Tính MI. Ta có:
2 .
MI OH
=

Xét
SON
∆
vuông tại O:
2 2 2
1 1 1
OH OS ON
= +
.
Bài tập 7:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng
a
. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm AC và AD. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng
DM và D’N.
Hướng dẫn:


)
Do
(
)
// '
DJ MI DJ IJ IJ D JD
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
.
Ta có:
(
)
(
)
' '
D JD D NJ
⊥
, dựng
(
)
' '
DH D J DH D NJ
⊥ ⇒ ⊥

Suy ra:
(
)
(
)
(
)

(
)
' '
ABC D
.
Dễ dàng chứng minh
(
)
' ' '
BC ABC D
⊥

Bước 2: Dễ thấy,
(
)
' ' '
BD ABC D
⊂
.
Dựng
'
HK BD HK
⊥ ⇒
là đoạn vuông góc
chung của BD’ và B’C.
Bước 3: Tính HK: Ta có
1
'
2
HK C P

H
J
I
N
D
C
B
A
B'
C'
A'
D'
M

P
K
H
D
C
B
A
B'
C'
A'
D'

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
6


OC DBB D
⊥

'
B O
⇒
là hình chiếu của B’C trên
(
)
' '
DBB D
.
+ Dựng
' ' '
O H B O O H
⊥ ⇒
là khoảng cách của A’C’ và B’C.
+ Dựng hình chữ nhật O’HKP
⇒
KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng A’C’ và B’C.
Bước 3: Tính O’H.
Xét
' '
O B O
∆
vuông tại O’:
2 2 2
1 1 1
' ' ' '

và
AJ IJ
⊥
.
Dễ chứng minh được:
(
)
//
AB SIJ

Bước 2: Chiếu AB trên
(
)
SIJ
(hay tính
(
)
,
d
AB SI
)
Ta có:
(
)
(
)
SAJ SIJ
⊥
, dựng
(

AH AJ SA
= +
.
Bài tập10:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh
a
. Gọi I, J lần lượt là tâm các
hình vuông ADD’A’ và BCC’B’. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai
đường thẳng CI và AJ.
Hướng dẫn:




Giải bằng

Phương pháp 2:

Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
'
AA J
.
Dễ chứng minh được:
(
)
// '
CI AA J



⇒ ⊥

⊥


Suy ra:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, , ' , '
d d d
CI AJ CI AA J I AA J IH
= = =

P
H
K
O'
D
C
B
A


Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
7

+ Dựng hình chữ nhật IHKP
⇒
KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AJ và CI.
Bước 3: Tính IH.
Xét
MIJ
∆
vuông tại I:
2 2 2
1 1 1
IH IM IJ
= +
.
Bài tập 11:
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh
2
a
,
cạnh bên
' 2
AA a
= , AD’
⊥
BA’.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và BA’ .
Hướng dẫn:

(
)
'
AD E
(hay tính
(
)
' , '
d
A B AD
)
Ta có:
( ) ( ) ( )
' ' ' ' '
'
AI BD
AI BB D B AD E BB D B
AI BB
⊥

⇔ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


Dựng
(
)
' '
BH D E BH AD E

.
Bài tập 12:
Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’, đáy ABC có cạnh
a
, cạnh
bên bằng
h
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC’.
Hướng dẫn:




Giải bằng

Phương pháp 2:

Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
)
'
BDC
, với
//
CD AB
CD AB


=



⊥


Dựng
(
)
' '
CH C I CH BDC
⊥ ⇒ ⊥

Suy ra:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, ' , ' , '
d d d
AC BC AC BDC C BDC CH
= = =
+ Dựng hình chữ nhật CHKP
⇒
KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AC và
BC’.

A'
B
A
C
H
K
P

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
8

Bài tập 13:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo
' 2
AC a
=
và
'
AB AA a
= =
.
a) Chứng minh:
' '
AC CD
⊥

b) Tính d(D,(ACD’)).
c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AC’, CD’.
Hướng dẫn:

⊥ ⇒ ⊥

và
(
)
(
)
'
ADI AD C AI
∩ =
.
Dựng
DH AI
⊥

(
)
(
)
(
)
' , '
d
DH AD C D AD C DH
⇒ ⊥ ⇔ =

Xét
'
ADC
∆

∆
đồng dạng với
'
KIC
∆
, ta có:
' . '
' '
KI KC AD KC
KI
AD DC DC
= ⇔ =
.
Bài tập 14:
Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’.
a) Chứng minh:
(
)
' ' '
BC A B CD
⊥

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AB’ và BC’.
Hướng dẫn:

a) Chứng minh
(
)
' ' '
BC A B CD


Bước 2: Chiếu AB’ trên
(
)
' '
A B CD
:
Ta có:
(
)
' '
AH A B CD
⊥

'
HB
⇒
là hình chiếu của AB’ trên
(
)
' '
A B CD
.
+ Dựng
'
IJ B H IJ
⊥ ⇒
là khoảng cách của AB’ và BC’.
+ Dựng hình chữ nhật IJKP
⇒

K
I

J
P
I
D'
A'
C'
B'
A
B
C
D
K
H

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
9

III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1
: Tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD
⊥
BC,
AD a
=
và
(

C
/
D
/
tâm đáy là O, O
/
.Xác định đoạn vuông góc
chung giữa:
a) OO
/
và CD
/
. b) BD và CD
/
. c) BO
/
và CD
/
.
Bài tập 4
: (
Đại Học Y Dược Tp. HCM – 1999
). Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông
ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông ABCD. Trên đường
thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S. Gọi
α
là góc nhọn tạo bởi mặt bên và
đáy của hình chóp S.ABCD.
a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD theo a và
α
Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế
10

MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC:
Đề 02:

ĐH B- 2002
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng
a
.
a) Tính theo
a
khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc
giữa hai đường thẳng MP và C’N.
Đề 03:

ĐH Dự bị D-1 2002
Cho tứ diện đều ABCD, cạnh
6 2
a = . Hãy xác định độ dài
đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.
Đề 04:

ĐH B- 2007
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a

thể
tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C.

Đề 07:

ĐH A-2010
Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
. Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của AB và AD. H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc
với mặt phẳng
(
)
ABCD
và
SH a
=
3
. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo
a
.

Đề 08:

ĐH A- 2012
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh
a
. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao