Kinh nghiệm dạy học sinh giải bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau.
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong những năm qua, bài toán khoảng cách thường xuyên xuất hiện trong các
đề thi Đại học cũng như đề thi học sinh giỏi các tỉnh, phần lớn học sinh thấy lúng
túng khi đứng trước các bài toán này. Bằng kinh nghiệm giảng dạy của mình, tôi
nhận thấy học sinh thường “ngại” học bộ môn hình học không gian nói chung và
chuyên đề khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau với các lí do sau:
+) Kiến thực bộ môn hình học không gian mang tính trừu tượng cao
+) Thời lượng dành cho chuyên đề này còn ít
+) Khi giảng dạy, giáo viên chưa chắt lọc được những bài tập cần thiết và cần
phải chữa có hệ thống cho học sinh
+) Giáo viên chưa chuẩn bị tốt hệ thống bài tập cơ bản, kiến thức bổ trợ cần
thiết và đặc biệt chưa có hệ thống bài tập tốt.
Ngoài ra, khi đứng trước những bài toán hình học không gian, nhiều học trò
thường hay nghĩ đến phương pháp tọa độ. Khi sử dụng phương pháp tọa độ thì việc
giải bài toán thường dễ dàng hơn, tuy nhiên lời giải dài, khối lượng tính toán lớn
nên cũng dễ mắc phải lỗi tính toán. Hơn nữa, làm như vậy một phần nào làm mất
đi vẻ đẹp vốn có của bộ môn hình không gian.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Kiến thức cơ sở và bài tập cơ bản
a) Các kiến thức cơ sở của hình học phẳng và hình học không gian:
+) Định lí cosin
+) Định lí sin
+) Công thức độ dài đường trung tuyến
+) Công thức tính diện tích
+) Các tính chất của tam giác vuông và đường cao của nó
+) Các tính chất về hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng và hai mặt phẳng vuông góc; các quan hệ song song và liên hệ giữa quan
hệ song song và quan hệ vuông góc.
2

b
B

A

⇒ AB là đoạn vuông góc chung của a và b

Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song
3


+) Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a

a

A
M

+) Chọn điểm M thuộc a, dựng MH vuông góc với (P) tại
H

B

b

H

+) Từ H dựng đường thẳng a’ song song với a, cắt b tại B
+) Từ B, dựng đường thẳng song song với MH cắt a tại A
⇒ AB là đoạn vuông góc chung của a, b


góc chung của a, b (Chú ý d(a,b) = OH)

d) Các bài toán cơ bản liên quan mật thiết với bài toán khoảng cách:
Bài toán cơ bản 1. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H
là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC). CMR
a) H là trực tâm tam giác ABC
b)

1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
OH
OA
OB
OC 2

(Hình 1)

Bài toán cơ bản 2. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Hãy tính khoảng cách từ A đến (SBC) (Hình 2)

4


MA

minh rằng: d ( B; ( P)) = MB (Hình 3)
A

K
H

M

B

Bài toán cơ bản 4. Cho tam giác ABC và điểm M. Gọi H là hình chiếu của M trên
(ABC). Chứng minh rằng: nếu MA = MB = MC thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.
2. Bài tập luyện tập
5


Bài tập 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = a, BC = b,
BB’ = c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và A’D
Bài giải:

A

D

Vì A’B’//CD và A’B’=CD nên A’B’CD là


1
=
+
+
⇒ HB =
2
2
2
BH
BA
BC
BB' 2

Vậy d(AC, A’D) =

abc

này được giải quyết nhanh gọn)

a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2

abc
a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2

Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và
SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
a) SB và AD;

b) BD và SC.


6


BD và SC. Ta thấy d(BD; SC) = OK =
SAC). Ta có

1
AI (AI là đường cao của tam giác vuông
2

1
1
1
1
1
a 6
=
+
= 2 + 2 ⇒ AI =
.
2
2
2
3
AI
AS
AC
a
2a


C

đó hình chiếu H của A’ trên (ABCD) là

O
H

tâm đường tròn ngoại tiếp, đồng thời
cũng là trọng tâm tam giác đều ABD.

A

D

Vì (ABCD) // (A’B’C’D’) nên
d(AC; B’D’) = d((ABCD);(A’B’C’D’)) = d(A’;(ABCD)) = A’H.
2
3

Gọi O là tâm hình thoi ABCD. Ta có AH = AO =

a 3
3

xét tam giác AHA’ vuông tại H, ta có A' H = AA' 2 − AH 2 =
Vậy d(AC; B’D’) =

a 6
.
3

2
2
2 ⇒ BH =
BH
BN
BA
BM
7
7

Chú ý: Việc linh hoạt vận dụng các bài toán cơ bản 1 và 3 đem lại lời giải đơn
giản cho bài toán.
Bài tập 5(TSĐH B2007) Cho hình chóp tứ giác đầu S.ABCD có đáy là hình
vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M, N lần lượt
là trung điểm của AE và BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Gọi P là trung điểm của SA, ta có tứ giác
MPNC là hình bình hành nên MN//PC, từ
đó suy ra MN//(SAC). Mặt khác BD ⊥
(SAC) nên BD ⊥ PC, suy ra BD ⊥ MN.
Ta có
d(MN; AC) = d(MN; (SAC)) =

1
2

1
4

d(N; (SAC)) = d(B;(SAC)) = BD=

13

Bài tập 7 (HSG Thanh Hóa 2011 - 2012) Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình
chữ nhật có AB = a, BC = 2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, các mặt phẳng
(SBC) và (SCD) cùng tạo với đáy một góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai
đường thẳng SA và BD bằng

2a
6

. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin góc

giữa hai đường thẳng SA và BD.
HD Giải: Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD),

S

suy ra H∈ AB, CH ⊥ HB, suy ra góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (ABCD) là ∠SBH . Hạ HE ⊥ CD tại
E, suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SCD) va (ABCD)
t

là ∠SEH . Do đó ∠SBH = ∠SEH suy ra HB = HE =

H

E

2a. Ta được BD//AE ⇒ BD//(SAE) ⇒ d(SA;BD) =
A

Từ đó, ta tính được V = 4a3/3 và cos(SA;BD) = 1/5
9


Bài tập 8 (HSG Thanh Hóa 2012 - 2013) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’
có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB = 2a và ∠ABC = 30 0 . Tính thể tích
khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’
bằng

a
2

Ta có A’B’//AB nên AB//(CA’B’)
⇒ d(AB;CB’) = d(AB;(CA’B’)) = d(B;(CA’B’))
= d(C’;(CA’B’)). Gọi M là trung điểm của A’B’,
vì C’A’B’ là tam giác cân tại C’ nên CM ⊥ A’B’,
lại có CC’ ⊥ (A’B’C’) ⇒ CC’ ⊥ A’B’ ⇒ A’B’ ⊥
(CC’M). Gọi H là hình chiếu của C’ trên CM thì

A

C

B
H

a
CH ⊥ (CA’B’) do đó C’H = d(C’;(CA’B’)) = .
2


⇒ V ABC . A'B 'C ' =
2
3
3

là đường cao nên
Ta có S A'B 'C '

B'

Nhận xét: Ngoài cách trên bài
toán còn các lời giải khác, như
phương pháp tọa độ, tuy nhiên
nhờ các bài toán cơ bản mà lời
giải được gọn hơn cả.

Bài tập 9 (HSG Nghệ An 2012 - 2013) Cho lăng trụ ABC.A 'B'C' có đáy là tam
giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A ' lên mặt phẳng (ABC) trùng
với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC
bằng

a 3
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A 'B'C' .
4

Giải
Diện tích đáy là SABC =

a2 3
. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và E là trung

ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600 .Tính thể tích
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DB theo a .
S
Giải
H, M lần lượt là trung điểm của AB và
d
CD
Ta có:
SH ⊥ AB


 ⇒ SH ⊥ ( ABCD )
( SAB ) ⊥ ( ABCD ) 
a 3
SH =
2

A
J

K
H

Góc giữa (SCD) và mặt đáy là
SH
a
=
∠SMH = 600 . Ta có HM =
0

1
1
1
a 3
Xét tam giác SHI vuông tại H, ta có:
=
+
⇒ HK =
2
2
2
HK
HS
HI
8
a 3
Vậy d( BD ,SA) =
.
4

Ta có hai tam giác BIH và BAD đồng dạng ⇒

11


Bài tập 11 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên là các hình vuông cạnh
a. Gọi D, E, F tương ứng là trung điểm của BC, A’C’, B’C’. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng DE và A’F.
HD giải:
Gọi M là trung điểm của A’B’, N là điểm đối xứng với M qua A’. Khi đó DE//


E
C'

A'
F
M

B'
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
0
thoi; góc BAD = 120 , BD = a; cạnh bên SA
vuông góc với đáy, mặt phẳng (SBC) hợp với đáy một góc 60 0. Mặt phẳng (P) qua
BD vuông góc với SC chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai
phần đó và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Bài 2. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi
cạnh bên và mặt đáy bằng 300. Hình chiếu vuông góc H của A trên mặt phẳng
(A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và
B’C’.
Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1 có AA1 = 3a, BC = a, AA1 ⊥ BC, khoảng
cách giữa hai đường thẳng AA1 và B1C bằng 2a. Tính thể tích lăng trụ.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, góc ∠BAC = 600;
AB = a; AC = 4a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy; SD tạo
với đáy một góc 450. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và SD. Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng DE và CF.
Bài 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Trên các cạnh AB
và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BM = CN = x. Xác định vị trí của điểm

M sao cho khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN bằng


đồng thời xây dựng tốt hệ thống bài tập.
D. KiÕn nghÞ
Chuyên đề về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là một trong
những chuyên đề khó của bộ môn hình học không gian, trong khi các kì thi tuyển
sinh hay thi học sinh giỏi bài toán này lại xuất hiện thường xuyên và cũng là một
bài toán khá khó trong đề thi, nhưng thời lượng chương trình là rất ít. Qua một số
năm giảng dạy về chuyên đề này tôi nhận thấy, với thời lượng phân phối của
chương trình cùng với một số tiết tự chọn và sự chuẩn bị bài một cách tốt nhất của
giáo viên thì các em học sinh khá và giỏi có thể tiếp thu chuyên đề này rất tốt,
thậm chí những học sinh giỏi còn cảm thấy thích thú với vấn đề này.
13


Trên đây là những kinh nghiệm của bản thân được tích lũy thông qua nhiều
năm giảng dạy, với mỗi bài toán còn có nhiều cách giải khác, ở đây tôi tập trung
hướng dẫn giải bằng phương pháp tổng hợp. Tuy nhiên tôi nhận thấy, đề tài này
cũng còn nhiều hạn chế, rất mong các đồng nghiệp quan tâm, trao đổi, bổ xung để
đề tài này được hoàn thiện hơn. Xin trân trọng cảm ơn!
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Nga sơn, ngày 12/05/2015
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của minh viết, không
sao chép nội dung của người khác.
Người viết sang kiến
Trịnh Ngọc Sơn

14