Trƣờng THPT Chu Văn An

Tổ Toán - Tin

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

" TÌM KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG
PHƯƠNG PHÁP SONG SONG ".

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
1. Lý do chọn đề tài.
- Trong chương trình Toán học THPT thì kiến thức về Hình học không gian đối với nhiều
học sinh là một mảng kiến thức mà các em cảm thấy gặp nhiều khó khăn và đôi khi còn thấy
băn khoăn là mình có làm đúng hay chưa. Nội dung chương 3 sách Hình học lớp 11 về "Quan
hệ vuông góc" đã gây khó khăn cho không ít học sinh vì vuông góc nhưng khi vẽ hình biểu diễn
thì không thấy vuông góc trực tiếp, mối quan hệ giữa các yếu tố vuông góc, góc, khoảng cách
không còn dễ thấy như trong Hình học phẳng nữa.
- Trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, Tốt nghiệp THPT 2015 và các kỳ thi HSG, bài toán
tính khoảng cách luôn là một dạng bài xuất hiện thường xuyên và là vấn đề mà nhiều học sinh
cảm thấy không tự tin do đó kết quả chưa cao. Một phần vì các em còn bỡ ngỡ với Hình học
không gian do trước đó là phần Hình học phẳng, hơn nữa Hình học không gian có vẻ trừu tượng
hơn, khó hình dung, đặc biệt là "dễ gây hiểu nhầm", ví dụ nối 2 đường thẳng có vẻ cắt nhau
nhưng thực chất là không cắt nhau, do ở vị trí chéo nhau, 2 đường thẳng vuông góc hay cần
chứng minh vuông góc thì hình vẽ biểu diễn không thấy vuông góc ... Dẫn đến học sinh làm bài

Sáng kiến kinh nghiệm

1

Giáo viên: Đỗ Thanh Minh


Giáo viên: Đỗ Thanh Minh


Trƣờng THPT Chu Văn An

Tổ Toán - Tin

- Hơn nữa, phương pháp giải ở đây chỉ là những cách thông thường, không phải là những
cách giải tổng quát nhất cho dạng toán, mà đôi khi để giải bài toán ta còn phải vận dụng linh
hoạt tổng hợp những cách khác.
- Phương pháp nghiên cứu: khảo sát điều tra thực tế dạy và học, tổng hợp so sánh, rút kinh
nghiệm, trao đổi với đ ng nghiệp, tham khảo ý kiến đ ng nghiệp...
II. NỘI DUNG SƠ LƢỢC PHƢƠNG PHÁP " TÌM KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI
ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG PHƯƠNG PHÁP SONG SONG ".
1. Phương pháp chung.
- Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau ta vận dụng tính chất thường gặp:
" Khoảng cách giữa 2 đƣờng thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đƣờng thẳng này
đến mặt phẳng song song chứa đƣờng thẳng kia"
- Vận dụng tính chất này bằng cách tạo ra đường thẳng song song nên tôi tự đặt tên là
"phƣơng pháp song song" giúp học sinh dễ nhớ.
2. Nội dung phương pháp đưa ra.
- Từ bài toán cơ bản: Tính khoảng cách từ chân đƣờng cao đến mặt bên của hình chóp (hay
mặt phẳng chứa đỉnh chiều cao). Từ đó chuyển sang bài toán rộng hơn " Tính khoảng cách
giữa 2 đƣờng thẳng chéo nhau"

B. NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP
I. BÀI TOÁN CƠ BẢN:
Là tính khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến mặt bên (hay mặt phẳng
chứa đỉnh của chiều cao)

(H Î BC).
Bước 3: Nối xiên lên trên đỉnh, tức là nối H với S.
Bước 4: Kẻ đoạn vuông góc từ chân đường cao, tức là kẻ AK ^ HS (K Î HS).

Þ d[A; (SBC)] = AK
*** Yêu cầu:
Trong quá trình tính khoảng cách thì cần phải nắm vững quy trình của bài toán cơ bản
Sáng kiến kinh nghiệm

4

Giáo viên: Đỗ Thanh Minh


Trƣờng THPT Chu Văn An

Tổ Toán - Tin

II. KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ VẬN DỤNG CHO BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH.
1. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song, 2 mặt phẳng song song, đường thẳng và mặt
phẳng song song.
- Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song bằng khoảng cách từ 1 điểm tuỳ ý trên đường
thẳng này đến đường thẳng kia.
- Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ 1 điểm tuỳ ý trên mặt phẳng
này đến mặt phẳng kia.
- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ 1 điểm tuỳ ý
trên đường thẳng đến mặt phẳng.
2. Tính chất của trung điểm của một đoạn thẳng liên quan đến khoảng cách.
- Tính chất 1: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm M, điểm A thuộc mp (P). Khi đó khoảng cách
từ trung điểm M đến mp (P) bằng một nửa khoảng cách từ đầu mút B đến mp (P).


Tính chất 2: d[A, (P)] = d[B, (P)]

5

Giáo viên: Đỗ Thanh Minh


Trƣờng THPT Chu Văn An

Tổ Toán - Tin

3. Tỉ lệ khoảng cách.
Cho đoạn thẳng AB có điểm A thuộc mp (P). Khi đó tỉ số khoảng cách từ M đến mp (P) và
khoảng cách từ B đến mp (P) tương ứng tỉ lệ với đoạn thẳng AM và AB.
B

M

A
M'

B'

P

Tính chất:

d [M ,(P)] MM ' AM
=


** Bài toán: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a, b và a ^ b

a

M

b
H

P

b1) Chứng minh a ^ b
b2) Tìm mp (P) chứa b và (P) ^ a
b3) Gọi giao điểm của a và (P) là M
b4) Kẻ MH ^ b (H Î b). Khi đó MH là đoạn vuông góc chung của a và b.
b5) Tính d(a, b) = MH.
2) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau (có thể là 2 đường thẳng chéo nhau và
vuông góc).
- Ta vận dụng kết quả:
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt
phẳng song chứa đường thẳng kia.
** Ý tưởng giải:
- Tìm ra hay vẽ thêm 1 đường thẳng song song với đường thẳng này và cắt đường thẳng kia.
- Thường dùng: ưu tiên vẽ đường thẳng song song với đường thẳng thuộc mặt phẳng đáy.
---> Xuyên suốt trong các bài tập cần nắm vững ý tưởng giải trên.

Sáng kiến kinh nghiệm

7

B

C

Lời giải:
a) d(SA, BC)?
- Nhận xét: Cách 1: Chỉ ra đoạn AB là đoạn vuông góc chung là cách đơn giản nhất cho câu này

Sáng kiến kinh nghiệm

8

Giáo viên: Đỗ Thanh Minh


Trƣờng THPT Chu Văn An

Tổ Toán - Tin

- Tuy nhiên ta thử áp dụng phương pháp song song xem sao?
Ý tưởng: Nhận thấy vì AB thuộc đáy nên ta tìm ra đường thẳng song song với AB và cắt SA
Ta có: BC//AD Þ BC // (SAD) Þ d(BC, AD) = d[BC, (SAD)] = d[B, (SAD)] = BA = a (vì
AB ^ (SAD)
S

H

B

A


Tổ Toán - Tin

S

I

H

B

K

A

O
C

D

b) d(SC, BD)?
- Nhận xét: Cách 1 (tốt nhất) .
Gọi O là tâm hình vuông, chỉ ra OK là đoạn vuông góc chung của SC và BD.
- Tuy nhiên ta thử áp dụng phương pháp song song xem sao?

S

I

B


d(BD, SC) = d[BD, (SCE)] = d[B, (SCE)] =

1
d[A, (SCE)]
2

(theo tính chất trung điểm)
Dễ thấy AC ^ CE nên kẻ AI ^ SC

AI ^ (SCE)

Þ

d(BD, SC) =

1
1
d[A, (SCE)] = AI
2
2

1
1
1
1
1
11
3a 22
=

vẫn khá mạnh cho cả 3 câu. Ta sẽ thấy cách giải trên còn mạnh hơn cho các bài toán sau (các
dạng bài không dễ tìm đoạn vuông góc chung).

2) VÍ DỤ 2 (Câu 7 - TN THPT năm 2015). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh a, SA vuông góc với (ABCD), góc giữa SC và đáy bằng 450. Tính khoảng cách giữa 2
đường thẳng SB và AC
S

K

H

B

A

D

C

E

*Nhận xét: vì AC thuộc đáy nên ta vẽ BE //AC (phƣơng pháp song song)
Sáng kiến kinh nghiệm

11

Giáo viên: Đỗ Thanh Minh



mp (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2. HB. Góc giữa SC và mp đáy bằng 600.
Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC theo a.

S

E

E

A
I

C

C

A

K
K

H

H

B

B

Ý tƣởng tìm lời giải:

- Kẻ HK ^ AE, kẻ HI ^ SK, ta có HI ^ (SAE) Þ d[H, (SAE)] = HI

- Tính được AH =

2a
a 3
a 42
a 42
, HK =
, HI =
. Vậy d(BC, SA) =
.
3
3
12
8

4) VÍ DỤ 4 (Trích đề thi ĐH khối A - 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; SA
vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mp qua SM và song song với BC, cắt AC
tại N. Biết góc giữa 2 mp (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB
và SN theo a.

Sáng kiến kinh nghiệm

13

Giáo viên: Đỗ Thanh Minh



- Kẻ AH ^ NE, kẻ AK ^ SH nên AK ^ (SNE) Þ d[A; (SNE)] = AK

(2)

· = 600 , SA = 2a 3 và xét D SAH, tìm AK = 2a 39
* Tính AK =? Dễ dàng tìm được: SBA
13

Vậy d(AB, SN) = 2a

39
.
13

5) VÍ DỤ 5 (Trích đề thi ĐH khối D - 2008)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên
AA' = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và
B'C theo a.
Sáng kiến kinh nghiệm

14

Giáo viên: Đỗ Thanh Minh


Trƣờng THPT Chu Văn An

Tổ Toán - Tin
A'


Cách 2: Trong 2 đường thẳng AM và B'C có M là trung điểm của BC, nên ta vẽ đường trung
bình ME // B'C thì lời giải dễ dàng hơn.

** LỜI GIẢI (THEO CÁCH 2).
- Gọi E là trung điểm của BB', ta có ME // B'C
- Ta có: B'C//ME

Þ B'C // (AME) Þ d(B'C, AM) = d[B'C, (AME)] = d[C; (AME)] = d[B, (AME)] (1)
(Theo tính chất của trung điểm)
- Kẻ BH ^ AM, kẻ BK ^ EH nên BK ^ (EMA) Þ d[B; (EMA)] = BK

(2)

- Tính BK?
Sáng kiến kinh nghiệm

15

Giáo viên: Đỗ Thanh Minh


Trƣờng THPT Chu Văn An

Tổ Toán - Tin

1
1
1
1
a 7

S

B

C

E
K

B
C
H

H

O

K

A

A

D

D

* PHÂN TÍCH BÀI TOÁN:
Do bài toán cơ bản là tính d[H, (SBD)] nên ta quy d[A, (SBD)] về theo d[H, (SBD)].
** LỜI GIẢI:


(2)

a
2a
a 2
, HE = . Vậy: d[H, (SBD)] =
3
3
4

Nhận xét chung:
Các bài toán về khoảng cách thường được quy về tính khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng, và từ chân đường cao là điển hình, do đó phương pháp song song hay sử
dụng tính chất trung điểm, tỉ lệ khoảng cách... là kỹ thuật biến đổi, qua đó giúp học sinh có
thể thêm linh hoạt và tự tin hơn.

C. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

- Qua quá trình giảng dạy và đúc kết kinh nghiệm tôi nhận thấy để dạy cho học sinh học tốt
môn hình học không gian thì cần phải hệ thống lại kiến thức, nắm được các phương pháp chứng
minh, lập luận chặt chẽ, lôgíc,…Ngoài ra cần giúp cho học sinh tư duy hình ảnh, rèn kỹ năng vẽ
hình. Từ đó giúp học sinh tiếp thu kiến thức ngày càng tốt hơn, hiệu quả giảng dạy của giáo
viên cũng được nâng dần.
- Trong quá trình giảng dạy các lớp, đặc biệt là năm học 2014 - 2015 áp dụng cho lớp 11A1
và 12B3 trường THPT Chu Văn An - huyện Đức Trọng, tôi thấy lúc đầu khi chưa tổng hợp
thành các phương pháp trên, tôi dạy theo cách thức của Sách giáo khoa thì nhiều em rất khó
hiểu, không hình dung được và kết quả kiểm tra rất thấp. Sau khi tổng hợp thành các phương
pháp trên với tính chất định hướng rõ hơn thì nhiều em đã nắm được bài toán, từ đó khi kiểm
Sáng kiến kinh nghiệm

Sau:

26 (70%)

Trƣớc: 1 HS
12B3

(20%)

Sau:

(3%)

12 HS

Trƣớc: 32

(30%)

(97%)

33
Sau:

7

(20%)

Sau:


- Sáng kiến kinh nghiệm có thể áp dụng rộng rãi cho học sinh khối 11, 12. Khả năng
ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm là ở phương pháp đặt vấn đề, phân tích, hướng dẫn học
sinh giải quyết vấn đề.
- Kết hợp với các hình vẽ bằng phần mềm: Cabri, Geometer's Sketchpad sẽ tăng cường
tính trực quan của hình vẽ và khả năng tư duy của học sinh nhiều hơn.
3. Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển.
Như đã nêu trên, muốn cho học sinh học tốt hơn môn hình học không gian thì giáo viên
cần phải có một số kỹ năng sau:
- Kỹ năng vẽ hình và trình bày lời giải.
- Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề, giúp học sinh biết tư duy
và trực quan hình vẽ.
- Giáo viên phải tâm huyết, nhiệt tình, gương mẫu quan tâm đến học sinh. Luôn tạo ra
tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học sinh. Phải thường xuyên học hỏi
trau d i chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh.
4. Kiến nghị, đề xuất

Sáng kiến kinh nghiệm

19

Giáo viên: Đỗ Thanh Minh


Trƣờng THPT Chu Văn An

Tổ Toán - Tin

- Giáo viên nên tăng cường sử dụng Công nghệ thông tin với các phần mềm. Sử dụng
các hình ảnh, video minh hoạ.
- Cần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ hình. Nắm vững các yếu tố trên sẽ giúp cho



Trƣờng THPT Chu Văn An

Tổ Toán - Tin

MỤC LỤC

A. ĐẶT VẤN ĐỀ...............................................................................................................Trang 1

I. GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. ............................................Trang 1

II. NỘI DUNG SƠ LƢỢC PHƢƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƢỜNG
THẲNG CHÉO NHAU BẰNG " PHƢƠNG PHÁP SONG SONG"...........................Trang 1

B. NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP.................................................................................... Trang 2
I. BÀI TOÁN CƠ BẢN: . ................................................................................................ Trang 2

II. KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ VẬN DỤNG CHO BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH.
.............................................................................................................................................Trang 2

III. BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU.
.............................................................................................................................................Trang 3

Sáng kiến kinh nghiệm

22

Giáo viên: Đỗ Thanh Minh