PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài:
Toán học là một môn khoa học đòi hỏi sự tư duy rất lớn với một sự lập luận chặt
chẽ và logic. Để có được những kỹ năng đó, đòi hỏi học sinh cần phải có một vốn kiến
thức cơ bản về toán học phổ thông. Tuy nhiên, thật tế cho thấy đa số học sinh thường hay
lúng túng và lập luận thiếu chặt chẽ khi đứng trước một bài toán nào đó, thậm chí các em
bị bế tắc không tìm được lời giải khi đối diện với một bài toán. Một mặt, do các em thiếu
kỹ năng về phương pháp trình bày. Mặt khác, do các em chưa nắm chắc về phương pháp
giải, hoặc đã nắm rõ phương pháp nhưng chưa phân loại được bài toán để áp dụng
phương pháp giải phù hợp.
Trong chương trình môn Hình học lớp 12 – Ban cơ bản, mảng kiến thức về tính thể
tích của khối đa diện, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chiếm một vị trí
quan trọng, thường được ra trong các đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ
hằng năm. Mặc dù, sách giáo khoa Hình học 11 – Ban cơ bản đã nêu rõ khái niệm thế nào
là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian, nhưng để xác định
được khoảng cách đó đòi hỏi học sinh cần có những kỹ năng và phương pháp giải toán
nhất định.
Để giải các bài toán liên quan đến tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau, một mặt chúng ta có thể sử dụng định nghĩa để xác định đường vuông góc chung
của hai đường thẳng. Mặt khác, chúng ta có thể sử dụng tính chất để quy về bài toán tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Tuy nhiên, qua nhiều năm thực tế giảng
dạy, khi đứng trước bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau học sinh
thường hay lúng túng không biết bắt đầu từ đâu và giải quyết bài toán như thế nào. Do
vậy, để nâng cao kỹ năng giải toán đối với dạng toán này, tôi đã mạnh dạng xây dựng cho
học sinh các phương pháp giải, cũng như hình thành cho các em những kỹ năng đối với
những phương pháp đó. Tất cả những nội dung này đều được thể hiện trong đề tài sáng
kiến kinh nghiệm : “ Rèn luyện kỹ năng giải toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau trong không gian”.
1



thuật trong quá trình giải toán. Đối với mỗi dạng toán đều mang trong nó những cách giải
với những thủ thuật riêng mà việc hình thành những thủ thuật đó là một điều thật sự cần
thiết cho người học toán.
Việc hình thành cho học sinh kỹ năng trong giải toán không chỉ mang lại cho học
sinh có một cách nhìn tổng quát về mặt phương pháp đối với một dạng toán nào đó mà
còn giáo dục cho học sinh biết phân tích, xem xét để trong mỗi tình huống cụ thể, công
việc cụ thể sẽ vận dụng khả năng nào là hợp lý. Đồng thời nó góp phần bồi dưỡng cho
người học những đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như tính chủ động, tính
kiên trì vượt khó, tính kế hoạch, kỹ năng phân tích, tổng hợp... của một sự vật, hiện
tượng.
Đối với bộ môn hình học không gian, để tiếp thu được nó đòi hỏi học sinh phải có
sự tư duy trừu tượng tốt và để giải quyết những bài toán liên quan đến tính toán trong
hình học không gian thì học sinh cần phải có vốn kiến thức liên quan đến kỹ năng tính
toán, như: Hệ thức lượng, tỷ số lượng giác trong tam giác vuông; Định lý Ta-let trong
hình học phẳng; Tam giác đồng dạng; Định lý côsin,....
Theo hình học không gian lớp 11 – Ban cơ bản, thì khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau ∆ 1 , ∆ 2 là đoạn thẳng MN với M ∈ ∆1 , N ∈ ∆ 2 , MN ⊥ ∆1 và MN ⊥ ∆ 2 .
Khi đó, đường thẳng MN còn gọi là đường vuông chung của hai đường thẳng chéo nhau
∆1 , ∆ 2 .

1


Ta lại có tính chất: “Với hai đường thẳng chéo nhau thì luôn có duy nhất một mặt
phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia”.
Với khái niệm và tính chất trên thì để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau chúng ta thường: Xác định đường vuông góc chung hoặc xác định một mặt phẳng
chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Và trong đề tài sáng kiến kinh
nghiệm này chúng ta cùng bàn về những kỹ năng để giải quyết các vấn đề trên.
2. Thực trạng của vấn đề:

vuông góc với nhau. Khi đó để xác định đường vuông góc chung của a và b ta tiến hành
theo các bước:
Bước 1: Xác định mặt phẳng ( α ) ⊃ a và

(α ) ⊥ b .
Bước 2: Xác định giao điểm I = b ∩ ( α ) ,
vẽ IH ⊥ a ( H ∈ a ) . Khi đó, IH là đoạn
vuông góc chung của a và b.

Bây giờ ta phân tích một số ví dụ cụ thể:
Ví dụ 1: Cho tứ diện đều OABC có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng OA và BC theo a.
* Phân tích bài toán:
Gọi I là trung điểm của BC.
Vì ∆OBC và ∆ABC đều nên:
OI ⊥ BC
⇒ BC ⊥ (OIA) ⇒ BC ⊥ OA

 AI ⊥ BC

Do đó, BC và OA là hai đường thẳng chéo
nhau và vuông góc với nhau.
Hơn nữa: (OIA) ⊃ OA và (OIA) ⊥ BC
Ta có: I = BC ∩ (OIA) . Nên từ I kẻ
IH ⊥ OA , thì: d (OA, BC ) = IH

* Lời giải bài toán:

1


2

Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH
vuông góc với mp(ABCD) và SH = a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và
SC.
(ĐH_A_2010).
* Phân tích bài toán:
Vì ∆AMD = ∆DNC ⇒ DM ⊥ CN
Mặt khác: DM ⊥ SH ⇒ DM ⊥ (SNC )
⇒ DM ⊥ SC .

Như vậy, DM và SC là hai đường thẳng
chéo nhau và vuông góc với nhau.
Hơn nữa: ( SNC ) ⊃ SC và ( SNC ) ⊥ DM
Ta có: H = DM ∩ (SNC ) .
Do đó, từ H kẻ HK ⊥ SC thì:
d ( DM , SC ) = HK

* Lời giải bài toán:
Theo kết quả phân tích trên thì ta đã có: d ( DM , SC ) = HK
Hơn nữa: S ∆CMD = S ABCD − S ∆AMD − S ∆BMC =
Trong tam giác vuông SHC, ta có:

a2
1
a2
a2
2a
⇒ CH .DM =

Vậy d ( DM , SC ) =

2a 3
19

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên
SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.
(ĐH_D_2014).
* Phân tích bài toán:
Gọi H là trung điểm của BC.
Vì ∆SBC đều, nên: SH ⊥ BC
Mà: ( SBC ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC )
Vì ∆ABC vuông cân tại A, nên:
AH ⊥ BC
⇒ BC ⊥ ( SAH ) ⇒ BC ⊥ SA .

Như vậy, BC và SA là hai đường thẳng
chéo nhau và vuông góc với nhau.
Hơn nữa, ( SAH ) ⊃ SA và ( SAH ) ⊥ BC tại
H, nên nếu gọi K là hình chiếu của H lên
SA thì: d ( SA, BC ) = HK
* Lời giải bài toán:
Theo kết quả phân tích trên thì ta đã có: d ( SA, BC ) = HK
Ta có: SH =

BC a
a 3
=
; AH =

vuông góc với nhau, và trong dạng toán này việc xác định đường vuông góc chung cũng
như tính toán khoảng cách tương đối thuận lợi. Tuy nhiên, các bài toán thuộc dạng này
chúng ta thường ít gặp, mà hay gặp nhất là dạng toán tính khoảng cách giữa hai đường
1


thẳng chéo nhau mà chúng không vuông góc. Sau đây ta sẽ xét phương pháp giải đối với
dạng toán này.
PHƯƠNG PHÁP 2: XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG CHỨA ĐƯỜNG THẲNG NÀY VÀ
SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG KIA.
Để thực hiện phương pháp này chúng ta có thể tiến hành theo hai bước sau:
Giả sử bài toán yêu cầu tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Bước 1: Xác định mặt phẳng ( α ) ⊃ a và ( α ) // b (Thông thường ta phải xác định
hay tạo ra mp ( α ) sao cho thuận lợi để thực hiện bước 2)
Bước 2: Tìm một điểm I ∈ b và xác định hình chiếu H của I lên ( α ).
Khi đó: d (a, b) = d ( I , (α )) = IH
Qua nhiều năm thực tế giảng dạy tôi nhận thấy, học sinh thường hay lúng túng và
gặp khó khăn ở bước 2 trong việc xác định hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng.
Đối với những học sinh có năng khiếu về hình học không gian thì hầu như học sinh nào
cũng nắm được khá rõ khái niệm thế nào là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một
mặt phẳng. Tuy nhiên, các em chưa hiểu được rằng việc xác định hình chiếu của một
điểm lên một mặt phẳng không chỉ đơn thuần là thể hiện vị trí của điểm đó trên hình vẽ
mà ta cần phải chỉ ra được các tính chất của điểm hình chiếu, điểm hình chiếu có càng
nhiều tính chất thì càng có lợi cho việc tìm lời giải bài toán. Nói như vậy có nghĩa rằng,
trên một đường thẳng học sinh cần phải biết chọn điểm nào phù hợp để sau khi xác định
hình chiếu của nó thì điểm hình chiếu phải bộc lộ rõ các tính chất, phải gắn kết được với
giả thiết của bài toán.
Qua nhiều năm thực tế giảng dạy, khi xác định hình chiếu của một điểm lên một
mặt phẳng tôi luôn nhấn mạnh với học sinh cần phải nắm chắc yếu tố sau đây:
Giả sử ta cần xác định: “ Hình chiếu H của một điểm nào đó nằm trên đường

Tiếp theo ta xác định hình chiếu của một điểm trên đường thẳng AB lên mp(α ) :
Trong mp( ABC ) từ A kẻ AD ⊥ ∆ tại D. Khi đó: ( SAD) ⊥ (α ) . Như vậy, điểm
A ∈ AB và A nằm trong mp(SAD) vuông góc với (α ) , nên theo cách xác định hình chiếu

của một điểm lên một mặt phẳng nêu trên thì ta chỉ cần vẽ hình chiếu H của A lên đường
giao tuyến SD của mp(SAD) và (α ) là đã chỉ ra được khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau SN và AB, đó chính là đoạn AH.

1


* Lời giải bài toán:
Theo

phân

tích

trên

ta

có:

d ( SN , AB) = d ( AB, (α )) = d ( A, (α )) = AH

Hơn nữa: AD = MN = a
Theo giả thiết ta có: SBˆ A = 60 0 (Vì SBˆ A là
góc của hai mặt phẳng (ABC) và (SBC))
Trong tam giác vuông SAB, ta có:

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2 HB . Góc
giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 . Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau SA và BC.
(ĐH_A_2012).
* Phân tích bài toán:
Ta nhận thấy: SA và BC là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc.
Thật vậy, nếu: SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ SM ⇒ ∆SBC cân tại S (M: trung điểm BC)
⇒ DB = SC ⇒ ∆SHB = ∆SHC ⇒ HC = HB =

a (1)
3

Mặt khác, nếu gọi I là trung điểm của AB thì: HI =
Do đó: HC 2 = HI 2 + IC 2 =

a
a 3
; IC =
6
2

7a 2
a 7
(2)
⇒ HC =
9
3

Từ (1) và (2) ta thấy vô lý. Do đó: SA không thể vuông góc với BC.

HAˆ N = 60 0 ⇒ sin 60 0 =

HN
2a 3 a 3
⇒ HN = HA. sin 60 0 =
.
=
HA
3 2
3

Tương tự, ta có: HBˆ K = 60 0 ⇒ sin 60 0 =
Do đó: KN = NH + HK =

HK
a 3 a 3
⇒ HK = HB. sin 60 0 = .
=
HB
3 2
6

a 3 a 3 a 3
+
=
3
6
2

1

SN

a 3
a 21
, SH =
2
3

SN 2 = SH 2 + HN 2 =

NK .SH
=
Suy ra: FK =
SN

7 a 2 a 2 8a 2
2a 6
+
=
⇒ SN =
3
3
3
3

a 21 a 3
.
3
2 = a 42
8

Mà:
BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB )

Như vậy, điểm A ∈ AD và A nằm trong
mp(SAB) vuông góc với (SBC ) , nên theo

cách xác định hình chiếu của một điểm
lên một mặt phẳng nêu trên thì ta chỉ cần
vẽ hình chiếu H của A lên đường giao
tuyến SB của mp(SAB) và mp(SBC ) là đã
chỉ ra được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SC, đó chính là đoạn AH.
* Lời giải bài toán:
Theo phân tích trên thì ta đã có: d ( AD, SC ) = d ( AD, ( SBC )) = HA
Trong mp( ABCD) qua I vẽ đường thẳng IE // AD ( E ∈ CD ) .
0
Suy ra: SEˆ I = 60 0 , nên trong tam giác vuông SEI , ta có: tan 60 =

SI
⇒ SI = a 3
IE

Trong mp(SAB) qua I vẽ đường thẳng IK // AH ( K ∈ SB) .
Trong tam giác vuông SIB , ta có:

1
1
1
9
1
2a 93

Phương pháp 2 thường được áp dụng cho trường hợp hai đường thẳng chéo nhau
mà chúng không vuông góc với nhau. Và trong dạng toán này việc xác định được một mặt
phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia sao cho thuận lợi và phù
hợp là điều quan trọng, quyết định sự thành công trong việc tìm lời giải của bài toán.

1


4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Đề tài này tôi đã triển khai ở các lớp 12 mà tôi trực tiếp giảng dạy, gồm: 12 2, 124
trong năm học 2013 – 2014 và lớp 122 trong năm học 2014 – 2015 ở trường THCS &
THPT Hà Trung. Để kiểm tra hiệu quả của đề tài sáng kiến kinh nghiệm tôi đã tiến hành
tổng hợp, phân tích số lượng học sinh làm được câu tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau trong đề kiểm tra định kỳ - Chương I – Hình học 12 qua các năm học
trước và sau khi triển khai đề tài sáng kiến kinh nghiệm. Kết quả thu được như sau:
Năm học

Lớp

Tổng
số

Số lượng học sinh làm được câu tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng

2012-2013 12/4
12/6
2013-2014 12/2
12/4



PHẦN III: KẾT LUẬN
Mỗi một dạng toán đều liên hệ mật thiết với những kỹ năng nhất định. Đó là những
kỹ năng đã được tiến hành trong quá trình hình thành dạng toán đó. Phát hiện được những
kỹ năng tiềm tàng trong một dạng toán là vạch được một con đường để người học chiếm
lĩnh dạng toán đó và đạt được những mục đích học tập khác, cũng đồng thời cụ thể hoá
mục đích dạy học dạng toán đó và chỉ ra được cách kiểm tra xem mục đích dạy học có đạt
kết quả hay không và đạt được đến mức độ nào.
Không có kỹ năng nào là tối ưu cho mọi dạng toán mà ta cần truyền đạt trong quá
trình dạy học. Cùng một dạng toán, nhưng có bài lại phù hợp với kỹ năng này nhưng bài
toán khác lại phù hợp với kỹ năng khác. Và hiển nhiên chúng ta không thể áp dụng cứng
nhắc mỗi dạng toán với một kỹ năng nhất định mà còn phụ thuộc rất nhiều vào từng bài
toán cụ thể, phụ thuộc vào sự nhận thức, sự tiếp thu của từng đối tượng học sinh.
Mảng kiến thức về hình học không gian là một trong những nội dung quan trọng
trong chương trình môn Toán lớp 11 và 12. Nhưng đối với học sinh đây lại là một mảng
kiến thức tương đối khó, trừu tượng, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học mà tôi giảng dạy lớp 12,
được học sinh đồng tình và đạt được kết quả đáng khích lệ. Với đề tài này, chúng ta có thể
phát triển thành một đề tài rộng hơn đó là: “Rèn luyện kỹ năng cho học sinh trong bài
toán tính khoảng cách giữa hai đối tượng trong không gian”, như: khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng
cách giữa hai mặt phẳng song song,…
Trong quá trình triển khai đề tài sáng kiến kinh nghiệm tôi nhận thấy rằng, đối với
học sinh khối 12 khi các em đứng trước một bài toán tính toán trong hình học không gian
thì các em thường quên khá nhiều về kiến thức hình học lớp 11. Vì vậy, trong các tiết tự
chọn lớp 12 chúng ta nên dành từ 1 đến 2 tiết để ôn tập kiến thức cần thiết của hình học
11cho học sinh.
Hình học không gian là mảng kiến thức khó bởi nó mang tính trừu tượng. Vì vậy
bên cạnh sự hưởng ứng của đa số học sinh thì vẫn còn một số ít chưa nắm bắt được các


PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ...................................................................................................3
1.Những vấn đề lý luận chung:.....................................................................................................3
2.Thực trạng của vấn đề:..............................................................................................................4
3.Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:......................................................................4
PHƯƠNG PHÁP 1: XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
CHÉO NHAU...................................................................................................................................5
PHƯƠNG PHÁP 2: XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG CHỨA ĐƯỜNG THẲNG NÀY VÀ SONG
SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG KIA................................................................................................8
4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:......................................................................................14
PHẦN III: KẾT LUẬN..................................................................................................................15
TÀI LIỆU THAM KHẢO..............................................................................................................17

1