SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị:TRƯỜNG THPT NAM HÀ
Mã số:
………………………

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI
ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Người thực hiện: NGUYỄN THỊ THANH TRANG
Lĩnh vực nghiên cứu: TOÁN HỌC
Quản lý giáo dục
Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN HỌC
Phương pháp giáo dục
Lĩnh vực khác: ……………………………

Năm học: 2012-2013

1


SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
________________
I.

THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1.
2.
3.
4.

Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
giải phương trình bằng phương pháp đồ thị.
giải bất phương trình bằng phương pháp đồ thị.

2


A. MỞ ĐẦU :
TÊN ĐỀ TÀI
KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY:
GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

1) LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Qua quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy: Các bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
là chủ đề tương đối khó đối với học sinh, học sinh rất lúng túng và thường bỏ qua..Tuy nhiên những
năm gần đây trong các đề tuyển sinh vào các trường đại học, cao đẳng phần hình học không gian
thường có câu: tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bên cạnh tìm thể tích khối đa
diện.Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài này, nhằm trang bị thêm cho học sinh vốn kiến thức khi làm
toán, đồng thời giúp cho học sinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học và vận dụng vào việc
giải bài tập một cách năng động sáng tạo.

2) ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Các bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Nhằm củng cố cho học sinh kiến thức
để phát triển tư duy, óc sáng tạo, đồng thời bổ sung vào vốn kiến thức của các em để chuẩn bị sau này
cho các kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, học sinh giỏi.

3) PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
Trong chương trình toán lớp 11. Học sinh lớp 11, 12 khá giỏi mà chúng ta đang giảng dạy.

4) PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

A

a'
H
B
b


 Dựng mp(  ) chứa b và song song a.
 Dựng hình chiếu vuông góc a’của a trên mp(  )
 Từ giao điểm B của a’ và b, dựng đường thẳng vuông góc với mp(  ), rồi lấy giao điểm của A
của đường thẳng này với a
AB là đoạn vuông góc chung của a và b
4


3/Tính chaát: Với a, b là hai đường thẳng chéo nhau


Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường
thẳng đó đến mặt phẳng song song chứa đường thẳng còn lại.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
a
M
P

N

b

 d ( SA, MB)  AM
ˆ M  2Rsin30 0  R
Tam giác ABM vuông tại M,có AM  AB.sinA B
Vậy: d ( SA, MB)  AM  R

Bài 2:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a ; BC = 3a; tam giác SAB
cân tại S và ( SAB)  ( ABCD ) . Gọi I là trung điểm đoạn AB. Tính khoảng cách giữa đường thẳng SB
và CD.
Giải:
S

D

A
I
B

C

Ta có :
SI  AB( tinh chat tam giac can) 

( SAB)  ( ABCD )
  SI  ( ABCD )

( SAB)  ( ABCD )  AB


 SI  BC


OA  (BIC) 
  OA  IJ(*)
Ma : IJ  (BIC) 

ABC vuông cân tai A và OBC vuông cân tai O

Chứng minh tương tự : BC  (AOJ)
BC  (AOJ) 
  BC  IJ(**)
Ma : IJ  (AOJ) 
Từ (*) ;(**) suy ra :IJ là đoạn vuông góc chung của OA và BC
2
2
AIJ vuông tại I có IJ  AJ  AI 

Vậy : d (OA, BC)  IJ 

a
2

a
2

7


Bài 4:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = a; CD = 2a
SD  ( ABCD ) , E là trung điểm đoạn CD.
a/Tính khoảng cách giữa đường thẳng SD và AB.
b / Tính khoảng cách giữa đường thẳng SD và BC.

Lược Giải:
S

C

A
G

I

B

Gọi I là trung điểm BC
SABC là hình chóp tam giác đều,nên : SG  ( ABC )
Mà : GI  ( ABC )
suy ra : SG  GI (*)
Mặt khác : BC  GI (**)
Từ (*) ;(**) suy ra :GI là đoạn vuông góc chung của SG và BC
a 3
 d ( SG, BC )  GI 
2
Bài 6(ĐH A 2010) :Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là vuông tại cạnh a. Gọi M; N lần lượt là
trung điểm đoạn AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH  ( ABCD ).SH  a 3 . Tính
thể tích khối chóp SCDMN và khoảng cách giữa đường thẳng DM và SC theo a.

Lược Giải:
S

K


 CD 2  CH .CN
 CH 

CD 2 2a

CN
5

 SCH vuông tại H có SC  SH 2  CH 2 

a 19
5

Tính thể tích khối chóp SCDMN
Vì : SH  ( ABCD ).
Nên : VSCDNM

1
1
5a 3 3
 SH .S CDNM  SH .CN .DM 
3
6
24

Khoảng cách giữa đường thẳng DM và SC theo a.
Trong mp(SHC) kẻ HK  SC. (1)
Ta có :

DM  CN (cmt)


A'
K
I'

C'
H

E

B

A

I

C

Gọi I; I’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’
K là trung điểm của B’I’
E; H lần lượt là tâm của hình bình hành AA’B’B và AA’I’I
a 3
 A' C' I ' vuông tại I’.Nên : A' I '  A' C ' 2 C ' I ' 2 
2
a 7
 AA' I ' vuông tại A’.Nên : AI '  AA' 2  A' I ' 2 
2
 A' KB cân tại K  KE  A' B(1)

 AB'C' cân tại A  AI '  B' C'

I
J

O
B
C

Gọi J là trung điểm của CD
H là hình chiếu của I lên SJ(1)


SJC vuông tại J.Nên : SJ  SC 2  CJ 2 



SOJ vuông tại O.Nên : SO  SJ 2  OJ 2

a 3
2
a 2

2

SO.IJ a 6

.
SJ
3
SABCD là hình chóp tứ giác đều.Nên: SO  ( ABCD ).
CD  ( SOI ) 


A

B
C

Gọi H là hình chiếu của A lên SB AH  SB (1)
K là hình chiếu của A lên SD.
a/

SAB vuông tại A.Nên : SB  SA2  AB 2  2a
SAB vuông tại A.Có AH là đường cao
SA. AB a 3

.
Nên : AH .SB  SA. AB  AH 
SB
2
BC  AB
  BC  (SAB)

BC  SA 
Mà : AH  (SAB).
Suy ra : AH  BC. (2)
Từ ( 1); (2) Suy ra: AH  (SBC ).



 d ( A, ( SBC ))  AH


A
M

K

D
I
N

O

B

C

Gọi I là trung điểm của AD
H là hình chiếu của O lên SI.(1)
Vì :SA = SB = SC = SD
Nên : SO  ( ABCD)

 SO  AD(2)
Từ ( 1) ;(2) Suy ra : OH  (SAD).
 d (O, ( SAD))  OH


SOD vuông tại O.Nên : SO  SD 2  OD 2 

SOI vuông tại O. Có OH là đường cao. Nên :
1
1

E

D

P
M

A

D

O

K

B

C
N

Gọi P là trung điểm của SA; K là trung điểm của OC
 MP // AD // NC và MP = NC = a/2
 MPCN là hình bình hành.
 MN // PC


BD  ( SAC )
  NK  ( SAC )
NK // BD 


Lược Giải:
a/ Thể tích khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’

V ABC. A'B 'C '  AA'.S ABC

a3 2

2

b/ Khoảng giữa hai đường thẳng AM và B’C
Gọi N là trung điểm của BB’
C'

B'

A'

N
K
H
B

M

C

A

 B' C // MN  B' C //( AMN ).
 d ( AM , B' C )  d ( B' C ; ( AMN ))  d ( B' , ( AMN ))  ( B, ( AMN ))  BH

Bài 6 (ĐH 12-A-A1):Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông
góc của S trên mp(ABC) là H nằm trên AB sao cho AH = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và
mp(ABC) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp SABC và khoảng giữa hai đường thẳng SA và BC.

Lược Giải:
S

F

K
E

C

B
I

H
d

A

J

thể tích khối chóp SABC
Gọi I là trung điểm của AB
SCˆH là góc giữa SC và (ABC), suy ra : SCˆH  600 .
a
a 3
a 7

2
2
Ta có : HK  (SAJ ) . Suy ra: d ( H , ( SAJ ))  HK
2a
a 3
2a 6
SH .HJ a 42
; HJ  AH sin 60 0 
; SJ  SH 2  HJ 2 
; HK 

3
3
3
SJ
12
3
3
a 42
d ( SA, BC )  d ( BC ; ( SAJ ))  d ( E , ( SAJ ))  EF  HK  d ( H , ( SAJ )) 
2
2
8

Ta có : AH 

17


Bài 7: Cho hình lâp phương ABCD.A’B’C’D’,có cạnh a Gọi M ;N lần lượt là trung điểm đoạn AC và

a 2
3a 2
DD '.DJ a
; D' J  DD' 2  DJ 2 
; DH 

4
4
D' J
3



DJ 



DM // NJ  DM //( D' JN ).

a
3
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a ; SA  ( ABCD ).SA  a .
Tính khoảng giữa hai đường thẳng AC và SD.
 d ( DM , D' N )  d ( DM ; ( D' JN ))  d ( D, ( D' JN ))  DH 

Lược Giải:
S

E


2
2
SI
3



AI 



AC // d  AC //( SDI ).

 d ( AC , SD)  d ( AC; ( SDI ))  d ( A, ( SDI ))  AE 

a 3
3

☼ TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG CÁCH SỬ DỤNG :
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT
PHẲNG SONG SONG LẦN LƯỢT CHỨA HAI ĐƯỜNG THẲNG ĐÓ.

Bài 1 :Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’,có BB’=a góc giữa BB’ và mp(ABC)bằng 600,tam
ˆ C  600 .Hình chiếu vuông góc của B’ lên mp(ABC) trùng với trọng
giác ABC vuông tại C và BA
tâm G của tam giac ABC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C’ và AB.

Lược Giải:
B'



Lược Giải:
S

N
M

I

A

B

D

C

a/BCMN là hình chữ nhật.

MN // AI 
  MN // BC (1)
BC
//
AI


MN  AI  BC  a(2)
Từ ( 1) ;(2) Suy ra : BCMN là hình bình hành(*)

BC  ( SAB) 

A

N
C

B

Ta có : ( AA' ' D' D) //( BB ' C ' C )
 d ( FN , DE )  d (( AA' D' D); ( BB ' C ' C ))  d (C , ( AA' D' D))  CD  a

Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, ,tam giác ABC vuông tại
A ; AB=a ; AC  a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) là trung điểm cạnh BC. Tính
theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C’ và AI.

Lược Giải:
A'

C'

B'

C

A
I
B

Gọi I là trung điểm của BC.
2
2

Qua đề tài này học sinh có thể tự giải các bài tốn về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Tự đánh giá kết quả của đề tài :
Những điểm thực hiện tốt:
Học sinh sẽ có kỹ năng hơn về việc giải các bài tốn về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Học sinh vận dụng được kiến thức của mình trong việc giải các bài tốn về khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau

Kết luận:
1) Bài học kinh nghiệm:
Giáo viên thể hiện được tinh thần đổi mới phương pháp giảng dạy của mình qua các tiết ơn tập là
lấy học sinh làm trung tâm.Thầy chủ đạo còn trò chủ động.
Giáo dục cho học sinh được tính độc lập suy nghĩ, tính kiên trì, biết tìm tòi vấn đề, phát hiện vấn đề
trong q trình tự ơn tập.Nhất là phát huy được khả năng phân tích và tổng hợp một vấn đề.
Đây là kinh nghiệm được tích lũy trong q trình dạy tốn của tơi, qua phương pháp này tơi đã
cung cấp một số kỹ năng giúp cho học sinh chuẩn bị cho các kì thi tuyển sinh, chọn học sinh giỏi.
Qua đề tài này tơi mong các q đồng nghiệp giúp đỡ , bổ sung để sáng kiến kinh nghiệm mang lại
hiệu quả tốt hơn, thiết thực hơn.

2) Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài:
Qua đề tài này, nếu được hội đồng khoa học ngành chấp nhận.Hướng nghiên cứu tiếp của tơi với đề
tài: giải các bài tốn về thể tích khối đa diện; khối tròn xoay.

 Tài liệu tham khảo:
 Sách giáo khoa lớp 11; Sách bài tập lớp 11.
 Sách giáo khoa lớp 11 nâng cao; Sách bài tập nâng cao lớp 11.
 Các đề tuyển sinh ĐH-CĐ.
Biên hòa, ngày 12 tháng 12 năm 2012
Người viết


- Có giải pháp cải tiến, đối mới từ giải pháp đã có
2. Hiệu quả
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn nghành có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn nghành có hiệu
quả cao
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả
3. Khả năng áp dụng
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Tốt
Khá
Đạt
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiển, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống :
Tốt
Khá
Đạt
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng :
Tốt
Khá
Đạt

XÁC NHẬN TỔ CHUYÊN MÔN

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

23