Trường THPT Chu Văn An

Tổ Toán - Tin

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

" TÌM KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG
PHƯƠNG PHÁP SONG SONG ".
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
1. Lý do chọn đề tài.
- Trong chương trình Toán học THPT thì kiến thức về Hình học không gian đối với nhiều
học sinh là một mảng kiến thức mà các em cảm thấy gặp nhiều khó khăn và đôi khi còn thấy
băn khoăn là mình có làm đúng hay chưa. Nội dung chương 3 sách Hình học lớp 11 về "Quan
hệ vuông góc" đã gây khó khăn cho không ít học sinh vì vuông góc nhưng khi vẽ hình biểu diễn
thì không thấy vuông góc trực tiếp, mối quan hệ giữa các yếu tố vuông góc, góc, khoảng cách
không còn dễ thấy như trong Hình học phẳng nữa.
- Trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, Tốt nghiệp THPT 2015 và các kỳ thi HSG, bài toán
tính khoảng cách luôn là một dạng bài xuất hiện thường xuyên và là vấn đề mà nhiều học sinh
cảm thấy không tự tin do đó kết quả chưa cao. Một phần vì các em còn bỡ ngỡ với Hình học
không gian do trước đó là phần Hình học phẳng, hơn nữa Hình học không gian có vẻ trừu tượng
hơn, khó hình dung, đặc biệt là "dễ gây hiểu nhầm", ví dụ nối 2 đường thẳng có vẻ cắt nhau
nhưng thực chất là không cắt nhau, do ở vị trí chéo nhau, 2 đường thẳng vuông góc hay cần
chứng minh vuông góc thì hình vẽ biểu diễn không thấy vuông góc ... Dẫn đến học sinh làm bài
mà không chắc chắn là đúng hay sai và dần dần cảm thấy Hình học không gian "khó học" hay ít
thấy thích học phần kiến thức này.
- Qua đề tài này, tôi muốn giới thiệu một bài toán cơ bản và một phương pháp thường dùng
để học sinh có một cách giải tương đối tổng quát cho một lớp các bài toán tính khoảng cách
giữa 2 đường thẳng chéo nhau. Từ đó có thêm mối liên hệ cho bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Giáo viên: Đỗ Thanh Minh


Trường THPT Chu Văn An

Tổ Toán - Tin

2. Nội dung phương pháp đưa ra.
- Từ bài toán cơ bản: Tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của hình chóp (hay
mặt phẳng chứa đỉnh chiều cao). Từ đó chuyển sang bài toán rộng hơn " Tính khoảng cách
giữa 2 đường thẳng chéo nhau"
B. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
I. BÀI TOÁN CƠ BẢN:
Là tính khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến mặt bên (hay mặt phẳng
chứa đỉnh của chiều cao)
Minh hoạ: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Xác định khoảng cách từ điểm A
đến mp (SBC).

S

K

A

B

H

C



Tổ Toán - Tin

- Tính chất 2: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm M, điểm M thuộc mp (P). Khi đó khoảng cách
từ 2 đầu mút A và B đến mp (P) là như nhau.
B

B

M

A'

M
B'

A
B'

M'

P
P

A

d [M ,(P)] 1
=
Tính chất 2: d[A, (P)] = d[B, (P)]
d [B,(P)] 2

TH2: 2 đường thẳng chéo nhau và không vuông góc ---> Ta thường dùng cách 2, cách 3.
Tính chất:

III. BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.
1) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau và vuông góc:
* Phương pháp: Xác định đoạn vuông góc chung
** Bài toán: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a, b và a ^ b

Sáng kiến kinh nghiệm

3

Giáo viên: Đỗ Thanh Minh


Trường THPT Chu Văn An

Tổ Toán - Tin

a

M

b
H

P

b1) Chứng minh a ^ b
b2) Tìm mp (P) chứa b và (P) ^ a


B

C

4

Giáo viên: Đỗ Thanh Minh


Trường THPT Chu Văn An

Tổ Toán - Tin

Lời giải:
a) d(SA, BC)?
- Nhận xét: Cách 1: Chỉ ra đoạn AB là đoạn vuông góc chung là cách đơn giản nhất cho câu này
- Tuy nhiên ta thử áp dụng phương pháp song song xem sao?
Ý tưởng: Nhận thấy vì AB thuộc đáy nên ta tìm ra đường thẳng song song với AB và cắt SA
Ta có: BC//AD Þ BC // (SAD) Þ d(BC, AD) = d[BC, (SAD)] = d[B, (SAD)] = BA = a (vì
AB ^ (SAD)
S

H

B

A

O


b) d(SC, BD)?
- Nhận xét: Cách 1 (tốt nhất) .
Sáng kiến kinh nghiệm

5

Giáo viên: Đỗ Thanh Minh


Trường THPT Chu Văn An

Tổ Toán - Tin

Gọi O là tâm hình vuông, chỉ ra OK là đoạn vuông góc chung của SC và BD.
- Tuy nhiên ta thử áp dụng phương pháp song song xem sao?
S

I

B

K

A

E

O
C

+
= 2+ 2=
Þ AI =
2
2
2
2
AI
AS
AC
9a
2a
18a
11
3a 22
Vậy: d(BD, SC) =
.
22
* Nhận xét chung qua ví dụ 1: Tuy phương pháp song song có dài dòng hơn nhưng cách giải
vẫn khá mạnh cho cả 3 câu. Ta sẽ thấy cách giải trên còn mạnh hơn cho các bài toán sau (các
dạng bài không dễ tìm đoạn vuông góc chung).
Dễ thấy AC ^ CE nên kẻ AI ^ SC

Þ

AI ^ (SCE)

Þ

d(BD, SC) =


*Nhận xét: vì AC thuộc đáy nên ta vẽ BE //AC (phương pháp song song)
** Lời giải:
Dễ thấy SA = AC = a 2
Vẽ BE //AC, BE = AC (hay hình bình hành ACBE).
Ta có: AC // (SBE) Þ d(AC, SB) = d[AC, (SBE)] = d[A, (SBE)]
(1)
Kẻ AH ^ BE, kẻ AK ^ SH. Dễ thấy: d[A, (SBE)] = AK
(2)
a
a 10
Ta có AH =
, xét tam giác vuông SAH, tính được: AK =
2
5
a 10
Vậy: d(AC, SB) =
5
3) VÍ DỤ 3. (Trích đề thi ĐH khối A - 2012)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên
mp (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2. HB. Góc giữa SC và mp đáy bằng 600.
Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC theo a.
S

E

E

A
I


3
AE).
2
- Kẻ HK ^ AE, kẻ HI ^ SK, ta có HI ^ (SAE) Þ d[H, (SAE)] = HI
2a
a 3
a 42
a 42
- Tính được AH =
, HK =
, HI =
. Vậy d(BC, SA) =
.
3
3
12
8
(Theo tính chất tỉ lệ của khoảng cách, vì AB =

4) VÍ DỤ 4 (Trích đề thi ĐH khối A - 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; SA
vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mp qua SM và song song với BC, cắt AC
tại N. Biết góc giữa 2 mp (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB
và SN theo a.
Sáng kiến kinh nghiệm

7

Giáo viên: Đỗ Thanh Minh

- Kẻ AH ^ NE, kẻ AK ^ SH nên AK ^ (SNE) Þ d[A; (SNE)] = AK
(2)
39
·
* Tính AK =? Dễ dàng tìm được: SBA
= 600 , SA = 2a 3 và xét D SAH, tìm AK = 2a
13
39
Vậy d(AB, SN) = 2a
.
13
5) VÍ DỤ 5 (Trích đề thi ĐH khối D - 2008)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên
AA' = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và
B'C theo a.
A'
B'

C'

E

A

B
K

M

A

- Gọi E là trung điểm của BB', ta có ME // B'C
- Ta có: B'C//ME
Þ B'C // (AME) Þ d(B'C, AM) = d[B'C, (AME)] = d[C; (AME)] = d[B, (AME)] (1)
(Theo tính chất của trung điểm)
- Kẻ BH ^ AM, kẻ BK ^ EH nên BK ^ (EMA) Þ d[B; (EMA)] = BK
(2)
- Tính BK?
1
1
1
1
a 7
=
+
+ 2 Þ BK =
2
2
2
BK
BE
BM
BA
7
a 7
Vậy d(B'C, AM) =
.
7
V. BÀI TOÁN KHÁC VỀ KHOẢNG CÁCH
6) VÍ DỤ 6 (Trích đề thi ĐH khối A - 2014)
3a

* PHÂN TÍCH BÀI TOÁN:
Do bài toán cơ bản là tính d[H, (SBD)] nên ta quy d[A, (SBD)] về theo d[H, (SBD)].
** LỜI GIẢI:
- Vì AH Ç (SBD) = B và AB nhận H là trung điểm
Þ d[A, (SBD)] = 2. d[H, (SBD)]
(1)
(Theo tính chất của trung điểm)
^
^
Þ
^
- Kẻ HK
BD, HE
SK
HE
(SBD) Þ d[H, (SBD)] = HE
(2)
a
2a
a 2
Xét các tam giác phù hợp, ta tính được: SH = a, HK =
, HE = . Vậy: d[H, (SBD)] =
3
3
4

Sáng kiến kinh nghiệm

9



Sĩ số

11A1

38

12B3

33

Tỉ lệ
Trên TB
Trước: 8 HS (20%)
Sau:
26 (70%)
Trước: 1 HS (3%)
Sau:
7 (20%)

Dưới TB
Trước: 30 (79%)
Sau:
12 HS
(30%)
Trước: 32 (97%)
Sau:
26 HS
(80%)


Tổ Toán - Tin

- Kỹ năng vẽ hình và trình bày lời giải.
- Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề, giúp học sinh biết tư duy
và trực quan hình vẽ.
- Giáo viên phải tâm huyết, nhiệt tình, gương mẫu quan tâm đến học sinh. Luôn tạo ra
tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học sinh. Phải thường xuyên học hỏi
trau dồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh.
4. Kiến nghị, đề xuất
- Giáo viên nên tăng cường sử dụng Công nghệ thông tin với các phần mềm. Sử dụng
các hình ảnh, video minh hoạ.
- Cần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ hình. Nắm vững các yếu tố trên sẽ giúp cho
việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi, học sinh tiếp thu kiến thức ngày một tốt hơn. Từ
đó góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy.
5. Trao đổi, học tập.
- Các phương pháp song song ở trên chưa phải là cách tổng quát và chưa là phương
pháp giải tốt nhất nên mong muốn quý Thầy, Cô đóng góp ý kiến để đề tài này được hoàn thiện
hơn, cùng giúp học sinh học tập tốt hơn kiến thức Hình học không gian và phần nào giúp các
em tìm được vẻ đẹp ẩn chứa trong các hình vẽ, kiến thức Hình học không gian.
Đức Trọng, ngày 22 tháng 01 năm 2016.
Người viết

ĐỖ THANH MINH

Sáng kiến kinh nghiệm

11

Giáo viên: Đỗ Thanh Minh