Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
NHẮC LẠI
CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
1
( ) .x x
α α
α
−
′
=

( )
1
2
x
x
′
=

2
1 1
x x
′
 
= −
 ÷
 

( )
1

x x
a a a
′
=
( )
.
u u
e u e
′
=
( )
. .ln
u u
a u a a
′
′
=
( )
sin cosx x
′
=

(cos ) sinx x
′
= −

2
2
1
(tan ) 1 tan

′ ′
= = +
2
2
(cot ) (1 cot )
sin
u
u u u
u
′
′ ′
= − = − +
( )
1
ln 'x
x
=

( )
1
ln x
x
′
=
( )
1
log '
ln
a
x

( 1)
a. Giải phương trình bậc hai:
Nếu b là số lẻ Nếu b là số chẵn
Tính
2
4b ac∆ = −
•
0∆ <
: Phương trình vơ nghiệm
•
0∆ =
: Pt có nghiệm kép
2
b
x
a
= −
•
0
∆ >
: Phương trình trình có hai nghiệm
phân biệt:
2
2
b
x
a
b
x
a

: Pt có nghiệm kép
b
x
a
′
= −
•
0
′
∆ >
: Phương trình trình có hai nghiệm
phân biệt:
b
x
a
b
x
a

′ ′
− − ∆
=



′ ′
− + ∆
=



Trang 1
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
c. Dấu tam thức bậc hai: f(x) = ax
2
+ bx + c
1. Nếu
0∆ <
thì f(x) ln cùng dấu với a.
2. Nếu
0∆ =
thì f(x) có nghiệm
2
b
x
a
= −
và f(x) ln cùng dấu với a khi
2
b
x
a
≠ −
.
3. Nếu
0
∆ >
thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngồi khoảng 2
nghiệm f(x) cùng dấu với a.
d. Dấu các nghiệm của phương trình:


>

• Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
0
0
0
S
P
∆ >


⇔ >


>

2. Phương trình bậc 3:
Dạng:
2
( )( ) 0x ax bx c
α
− + + =
(1)
2
0 (2)
x
ax bx c
α
=

hoặc (2) có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm
x
α
=

0
( ) 0
0
( ) 0
g
g
α
α
 ∆ =



≠


⇔

∆ >



=




, điều kiện :
0t ≥
, khi đó (1)
2
0at bt c⇔ + + =
(2)
• (1) có 4 nghiệm phân biệt
⇔
(2) có hai nghiệm dương phân biệt
0
0
0
S
P
∆ >


⇔ >


>

Trang 2
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
• (1) có 3 nghiệm phân biệt
⇔
(2) có 1 nghiệm t = 0và 1 nghiệm t > 0
0
0


4. Phương trình chứa căn thức:
2
0B
A B
A B
≥

= ⇔

=

A B=
0 ( 0)A hayB
A B
≥ ≥

⇔

=

5. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối:
0B
A B
A B
≥

= ⇔

= ±




2
0
0
B
A B A
A B
≥


≤ ⇔ ≥


≤

7. Bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối:

A B B A B≤ ⇔ − ≤ ≤
A B
A B
A B
≥

≥ ⇔

≤ −

§1.

1/ 3 2 2 / 3 2 3 / 4
2 1 4
4 / 2 3 5 / 6 /
2 2
1 2 2 13 1 1
7 / 3 5 8 / 15 9 / 3 2
3 3 3 2 6 4
2 4
10 / y 11/ 12 / 4 3
2
1 1 3
13 / 14 / 12 / 2 3
2 1 4
y x x y x x y x x
x x
y x x y y
x x
y x x x y x x x y x x
x x x
y y x x
x x
x
y y y x x
x x
= + = + =
+
= + = =

= + = + + = +
+ +

+ +



Hm s gim trờn R
2
0
0, 3 2 0,
0
a
y x R ax bx c x R
<


+ +



Bi 1.2: Tỡm m cỏc hm s sau ng bin trờn tng khong xỏc nh ca nú
a/
( 2) 3m x
y
x m
+ +
=
+
b/
2
1
mx

4 1
3
mx
y mx x= +
(S: 0 m 4)
c/
1mx
y
x m
+
=
+
(S: m < 1 m > 1) d/
2
1
1
x mx
y
x
+
=

(S: 5 m
1
3
)
Bi 1.5: Tỡm m hm s
2 3 2
( 5 ) 6 6 1y m m x mx x= + + + +
ng bin trờn R.

ng bin trờn tp xỏc nh ca nú
c/
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1y x x m x m= + +
luụn gim
d/
3 2
1
(3 ) ( 3) ( 2) 3
3
y m x m x m x= + + +
tng trờn R
Bi 1.8: Chng minh rng vi mi m, hm s
3 2 2
( 1) ( 2 3) 3 2y x m x m m x m= + + + +
luụn ng
bin trờn tp xỏc nh ca nú
Trang 4
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Bài 1.9: Cho hàm số
2 3 2
( 5 ) 6 6 6y m m x mx x= − + + + −
. Tìm m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó
hàm số đồng biến hay nghịch biến ĐS:
5
; 0
3
m
 

trên khoảng
( )
2 ; 0−
ĐS:
1
2
m ≤ −
§2.
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và có đạo hàm trên (a; b) ⊂ D (có thể trừ
điểm x
0
)
* Nếu
( ) ( )
( ) ( )
0
0





f' x > 0 trên a; x
f' x < 0 trên x ; b
thì x
0
là điểm cực đại của hàm số
* Nếu
( ) ( )

, đồ thị là (C).
− Nghiệm của phương trình
( )
' 0f x =
là hồnh độ của điểm cực trị.
− Nếu
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x
=


<


thì hàm số đạt cực đại tại x = x
0
.
− Nếu
( )
( )
0
0
' 0
'' 0

2
và tìm y”(x
1
), y”(x
2
) …
* Nếu y”(x
i
) < 0 (hoặc y”(x
i
) > 0) thì hàm số đạt cực đại (hoặc đạt cực tiểu) tại x
i
, i = 1, 2,
Bài 2.1: Tìm cực trị của các hàm số sau
1)
3 2
3 9 4y x x x= + − +
2)
3 2
2 5
2
3 2
y x x x= − + −
3)
3 2
4
6 9 1
3
y x x x= − + −
Trang 5


=
+
9)
1
4 1
1
y x
x
= + +

10)
3 2
1 2
2 5
3 3
y x x x= + + +
11)
4 2
3
2 4
4
y x x= +
12)
2
2
x
y
x
=

ữ

b)
sin 2y x x=
c)
sin 2 cos2y x x= +
d)
2 3
3sin cos
2
x
y x x
+
= + +
Dng 2: Tỡm m hm s t cc tr ti im
0
x
Cỏch 1:
- Hm s t cc i ti im
0
0
0
( ) 0
( ) 0
y x
x
y x

=


y x

=






Cỏch 2:
Hm s t cc tr ti im
0
x

0
( ) 0 ?y x m

= =
Th li: lp bng bin thiờn th li
Bi 2.4: Tỡm m hm s
1)
3 2 2
3 3( 1)y x mx m x m= + +
t cc i ti x = 2 S:
3m =
2)
2 3 2
( 5 ) 6 6 6y m m x mx x= + + +
t cc tiu ti x = 1 S:
2m =

3
3mx
2
+ (m 1)x + 2 t cc tiu ti x = 2 S: m = 1
8) y = x
3
mx
2
+
2
3
m


ữ

x + 5 t cc tiu ti x =1 S: m =
7
3
Bi 2.5: Tỡm a, b hm s:
a)
4
2
4
x
y ax b= + +
cú cc tr ti
1x =
v giỏ tr cc tr tng ng ca hm s bng
2

Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Bài 2.6: Tìm các giá trị của m, n sao cho hàm số:
( )
n
y = f x = x + m +
x +1
đạt cực đại tại x = – 2 và có
f(–2) = – 2. ĐS: m = 1; n = 1.
Dạng 3: Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
Hàm bậc 3:
3 2
y ax bx cx d= + + +
và hàm hữu tỉ
2
' '
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
Hàm số có cực đại và cực tiểu
0y
′
⇔ =
có hai nghiệm phân biệt
0
0
a ≠


y
x
+ − −
=
+
ĐS:
0m <
d)
2
2( 1) 5
1
x m x m
y
x
− + − − −
=
−
ĐS:
8m <
Bài 2.8: Tìm m để hàm số
3 2
(2 1) (2 ) 2y x m x m x= − − + − +
khơng có cực trị. ĐS:
5
1
4
m− ≤ ≤
Dạng 4: Chứng minh hàm số ln có cực đại và cực tiểu
Với hàm bậc 3:
3 2

,x x
với
2 1
x x−
khơng phụ thuộc m.
c) Cho hàm số
2 2
2 1x kx k
y
x k
− + +
=
−
. Chứng minh rằng với mọi giá trị của k, hàm số ln có
cực đại, cực tiểu và tổng tung độ của chúng bằng 0.
d) (B – 2005) Cho hàm số:
2
( 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
. Chứng minh rằng với m bất kì đồ thị của
hàm số ln có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng
20
.
e) Cho hàm số

có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hồnh
. 0
CĐ CT
y y⇔ <
.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
. 0
CĐ CT
x x⇔ <
.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm phía trên trục hồnh
0
. 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
+ >

⇔

>

.

y
CT
của các hàm số thường gặp:
a/ Đối với hàm số dạng:
( )
( )
u x
y
v x
=
nếu có cực trị thì y
CĐ
=
( )
( )
( )
( )
' '
;
' '
CT
CT
CT
u x u x
y
v x v x
=
CĐ
CĐ
b/ Đối với hàm số bậc 3: y = f(x) = ax

như sau:
* Phân tích hs về dạng y = (Ax + B).y’ + Cx + D (Bằng cách chia y cho y’, có thương là Ax + B
và phần dư là Cx + D)
* Nếu hàm số có cực trị thì y
CĐ
= Cx
CĐ
+ D; y
CT
= Cx
CT
+ D vì tại x
CĐ
, x
CT
có y’ = 0
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
Chia y cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đthẳng đi qua 2 điểm cực trị.
Bài 2.10: (CĐ – 2009) Cho hàm số
3 2
(2 1) (2 ) 2y x m x m x= − − + − +
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực
tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hồnh độ dương. ĐS:
5
2
4
m< <

CÐ CT
x x+ =
ĐS:
1m
= −

b/ Cho hàm số
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + − + − + − +
. Tìm m để hàm số có cực
đại cực tiểu tại x
1
, x
2
và
( )
1 2
1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = +
ĐS:
1 5m m= ∨ =
Bài 2.13 (B – 2007) Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1y x x m x m= − + + − − −
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực
tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O. ĐS:

2
là tung độ của các
điểm cực trị, tìm m để
1 2
8y y− =
ĐS:
3; 1m m= = −
Bài 2.17: Cho hàm số
3 2
3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − +
. Xác đònh m để hàm số có cực đại, cực tiểu
đồng thời giá trò cực tiểu bằng 3. ĐS:
3
2
m =
Bài 2.18: Cho hàm số
3 2
4 3y x mx x= + −
. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
1
x
,
2
x
thỏa
1 2
4x x= −
Trang 8
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI

Bài 2.21: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số sau đây:
a/ y = x
3
– 3mx
2
+ 3(2m – 1)x + 1 có CĐ, CT và tìm tọa độ các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số.
Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu đó. ĐS: m ≠1
b/ y = (x + m)
3
+ (x + 2m)
3
– x
3
có cực đại, cực tiểu ĐS: m ≠ 0
c/
( )
2
2
1
x m x m
y
x
+ − −
=
+
có cực đại, cực tiểu, tìm tọa độ của điểm cực đại, cực tiểu và viết phương
trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu đó. ĐS:
1
2
m < −

phương trình (2) có hai nghiệm
phân biệt
0x
≠

0
2
b
a
⇔ − >
 Hàm số có 1 cực trị
0y
′
⇔ =
có đúng một nghiệm
⇔
phương trình (2) vơ nghiệm hoặc (2) có
nghiệm
0x =

0
0
a
b
=

⇔

≠


3 điểm cực trị lập thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ. ĐS:
1
3
m =

Bài 2.24: (ĐH khối B – 2011) Cho hàm số
4 2
2( 1) (1)y x m x m= − + +
, m là tham số. Tìm m để đồ thị
hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị
thuộc trục tung B và C là hai điểm cực trị còn lại. ĐS:
2 2 2m = ±
Bài 2.25: (ĐH khối A – 2007) Cho hàm số:
2 2
2( 1) 4
2
x m x m m
y
x
+ + + +
=
+
. Tìm m để hàm số có cực đại,
cực tiểu đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác vng
tại O. ĐS:
4 2 6m = − ±
Trang 9
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Bài 2.26: Cho hàm số

. Tìm m để hàm sớ có 2 điểm cực trị và
hồnh độ 2 điểm cực trị trái dấu. ĐS:
3 1m− < <
Bài 2.29: Cho (C
m
):
4 2 4
2 2y x mx m m= − + +
. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu
đồng thời các điểm cực trị của đồ thị (C
m
) lập thành một tam giác đều. ĐS:
3
3m =

§3.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Số M gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên tập D
( )
( )
0 0
,
:
f x M x D
x D f x M
≤ ∀ ∈

⇔

∃ ∈ =

1 2
, , x x
[ ; ]a b∈
• Tính
1 2
( ) , ( ) , , ( ), ( )f x f x f a f b
So sánh các giá trị trên
⇒
kết ḷn
Ghi chú: Nếu đề u cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà khơng chỉ ra trên đoạn nào thì ta
tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm sớ
Bài 3.1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm sớ sau:
1.
3 2
( ) 3 7 1f x x x x= − − +
trên [0; 2] ĐS:
max ( ) 7,min ( ) 4f x f x= = −
2.
3 2
( ) 8 16 9f x x x x= − + −
trên [1; 3] ĐS:
13
max ( ) , min ( ) 6
27
f x f x= = −

3.
4 2
( ) 2 4 3f x x x= − + +
trên [0; 2] ĐS:

ĐS:
1
max ( ) , min ( ) 3
3
f x f x= = −
7.
3 2
3 9 35y x x x= − − +
trên đoạn
[ 4 ; 4]−
ĐS:
max ( ) 40 , min ( ) 41f x f x= = −
8.
3 2
( ) 2 3 12 1f x x x x= − − +
trên đoạn
5
2;
2
 
−
 
 
ĐS:
min ( ) 19f x = −
9.
3
2
( ) 2 3 4
3

( ) 8 5f x x x= − +
trên đoạn
[ ]
1;3−
(TN 2010) ĐS:
[ ]
[ ]
1;3
1;3
min ( ) 11;max ( ) 14f x f x
−
−
= − =
12.
10
( ) 3
3
f x
x
= −
+
trên đoạn
[ ]
2;5−
(TN 2011) ĐS:
[ ]
[ ]
2;5
2;5
7

[ ]
[ ]
1;2
1;2
min ( ) 4;max ( ) 8f x f x
−
−
= =
15.
4 3 2
( ) 2 5 1f x x x x= + − +
trên đoạn
[ ]
1;2−
(TN 2014) ĐS:
[ ]
[ ]
1;2
1;2
min ( ) 5;max ( ) 13f x f x
−
−
= − =
Bài 3.2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm sớ sau:
1.
2
2 5y x x= − +
trên đoạn
[ 1 ; 3]−
ĐS:

2
4y x x= + −
(ĐH khới B – 03) ĐS:
max ( ) 2 2 , min ( ) 2f x f x= = −

2.
2
3 10y x x= + −
ĐS:
max ( ) 10,min ( ) 3 10f x f x= = −
3.
2
( 2) 4y x x= + −
ĐS:
max ( ) 3 3 , min ( ) 0f x f x= =
Bài 3.4 (Tham khảo): Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm sớ sau:
1.
( ) sin 2f x x x= −
trên đoạn
;
2 2
π π
 
−
 
 
ĐS:
max ( ) , min ( )
2 2
f x f x

Bài 3.5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm sớ:
a)
4
y x
x
= +
( x > 0) b)
2
1
( )
1
x x
f x
x
− +
=
−
trên
( )
1 ;+ ∞
c)
1
( )f x x
x
= −
trên (0; 2]
d)
2
( ) 3 2 5f x x x= + − +
e)

P =

Trang 11
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Bài 3.7: (B – 2011) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a
2
+ b
2
) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 2 2
3 3 2 2
4 9
a b a b
P
b a b a
   
= + − +
 ÷  ÷
   
. ĐS:
23
min
4
P = −

Bài 3.8: (CĐ – 2011) Tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có nghiệm:
( ) ( )
( )

36
maxP =

Bài 3.11: (D – 2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)
2
+ (y – 4)
2
+ 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
( ) ( )
3 3
3 1 2A x y xy x y= + + − + −
. ĐS:
17 5 5
min
4
A
−
=

Bài 3.12: (A – 2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4c
2
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
( ) ( )
3 3 2 2
3 3
32 32
3 3
a b a b

2
6
3
x y x y
P
x y
x xy y
+ −
= −
+
− +
. ĐS:
5 7
3 30
maxP = +

Bài 3.15: (CĐ – 2013) Tìm m để bất phương trình:
( )
2 1 4x m x m− − − ≤ −
có nghiệm. ĐS:
2m
≥
Bài 3.16: (A – 2014) Cho x, y, z là các số thực dương khơng âm và thỏa mãn điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 2.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:


Bài 3.18: (D – 2014) Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 1 ≤ x ≤ 2; 1 ≤ y ≤ 2. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
( )
2 2
2 2 1
3 5 3 5 4 1
x y y x
P
x y y x x y
+ +
= + +
+ + + + + −
. ĐS:
7
min
8
P =

Bài 3.19: (CĐ – 2014) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
( )
2 5f x x x= + −
ĐS:
( ) ( ) ( ) ( )
min 0 5;max 4 5f x f f x f= = = =
§4.
TIỆM CẬN
1. Tiệm cận đứng: (Vng góc với trục hồnh Ox)
Nếu ∃x
0

x y
→−∞
→−∞
=
(hữu hạn) thì đường thẳng có phương trình y = y
0
là tiệm cận ngang bên trái
(hay bên phải) của đồ thị hàm số.
Trang 12
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Phương pháp tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số bậc nhất (hàm nhất biến)
ax b
y
mx n
+
=
+
+ TXĐ: D = R \
n
m
 
−
 
 
+ TCĐ:
( )
lim :
n
x

x
+
=
− +
c)
2 1
2 1
x
y
x
+
=
−
d)
2
3
x
y
x
+
=
−

Bài 4.2: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
a)
2
2
4 5
x
y

x
+
=
−
. Tìm các điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm
cận của (C) bằng 4. ĐS:
(2;4) , (0; 2) ,(4;2) , ( 2;0)− −
Bài 4.4: Cho (C):
2 1
1
x
y
x
−
=
+
. CMR tích khoảng cách từ một điểm bất kì trên (C) đến 2 tiệm cận của (C)
là một hằng số. Tìm các điểm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất.
ĐS: b)
( )
1,2
1 3;2 3M − ± m
§5.
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Các bước tiến hành khảo sát hàm số:
 Tìm TXĐ.
 Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: Tính y, giải phương trình y’ = 0. Nêu các khoảng tăng, giảm.
- Cực trị:
- Giới hạn:

3y x x= − +
c)
3 2
1
2 3
3
y x x x= − +
d)
3
3 2y x x= − +
e)
3 2
6 9 1y x x x= − + +
f)
3 2
3 2y x x= − + −
g)
3 2
1y x x x= − + − −
h)
3 2
1
2
3
y x x x= − + − +
i)
3 2
3 4 2y x x x= − + −
j)
2

2 1
2
x
y x= + −
d)
4
2
3
2 2
x
y x= − −
e)
4 2
2 4y x x= − +
f)
4 2
1 9
2
4 4
y x x= − + +
Trang 13
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
g)
4 2
1 3
4 2
y x x= − +
h)
4 2

y x x= − +
p) y = – x
4
+ 10x
2
– 9
Bài 5.3: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a)
2 1
1
x
y
x
−
=
−
b)
3 2
1
x
y
x
−
=
+
c)
2
1
x
y

1
2 1
x
y
x
− +
=
−
h)
1
x
y
x
=
−

i)
3
1
x
y
x
+
=
+
j)
4
2
x
y

−
n)
1
2
x
y
x
− +
=
+
p)
2
2 1
x
y
x
+
=
− +
q)
3 1
2 2
x
y
x
+
=
+
§6.
CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ

B B B
+ + = ⇒ = − − ⇒ = −
-
/ /
d d
d d k k
′
′
⇒ =
-
1
. 1
d d d
d
d d k k k
k
′ ′
′
⊥ ⇔ = − ⇒ = −
Phương trình tiếp tuyến: có 3 dạng
Dạng 1: Cho (C):
( )y f x=
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
0 0
( ; ) ( )M x y C∈
Cách làm:
( ) ?y f x y
′
= ⇒ =
• Hệ số góc của tiếp tuyến tại M:

′
= ⇒ =
• Gọi
0 0
( ; )M x y
là tiếp điểm
( )
0
'f x k⇒ =
(1)
• Giải phương trình (1)
0 0
x y⇒ ⇒
• Phương trình tiếp tuyến:
0 0
( )y k x x y= − +
Trang 14
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Lưu ý: Nếu đề cho tiếp tuyến song song với đường thẳng d
tt d
k k⇒ =
Nếu đề cho tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d
1
tt
d
k
k
⇒ = −
Dạng 3*: (Nâng cao – tham khảo) Cho (C):

)
• Giải phương trình (1)
0
x⇒
, thay
0
x
tìm được vào phương trình
( )∆
ta được phương trình
tiếp tuyến
Cách 2:
• Phương trình tiếp tuyến đi qua A có dạng:
( )
A A
y k x x y= − +

( )∆
•
( )∆
tiếp xúc với (C)
⇔
hệ phương trình sau có nghiệm:
( ) ( ) (1)
( ) (2)
A A
f x k x x y
f x k
= − +


5
1;
2
M
 
− −
 ÷
 
ĐS:
1 11
4 4
y x= − −
c)
2
2 5
( ) :
1
x x
C y
x
− + −
=
−
tại điểm
(2 ; 5)A −
ĐS:
3 11y x= −
d) (C):
2
1

2 3x =
ĐS:
6 12 3y x= −
c)
2
( ) :
1
C y
x
=
−
tại điểm có hồnh độ
1x = −
ĐS:
1 3
2 2
y x= +
Bài 1.3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
a)
2
( ) :
2 3
x
C y
x
+
=
−
tại điểm có tung độ
3y = −

y
x
−
=
+
ĐS:
3 1
4 2
y x= − +
Bài 1.5: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hồnh
a)
2 1
2
x
y
x
+
=
−
ĐS:
4 2
5 5
y x= − −
b)
3
2 2
x
y
x
−

5
4
y x=
c)
3 2
1
( ) : 2 5 1
3
C y x x x= + +
bit tt cú h s gúc bng
2
S:
1
2 , 2 1
3
y x y x= = +
Bi 1.7: Vit phng trỡnh tip tuyn ca
1
( ) :
1
x
C y
x
+
=

ti giao im ca (C) vi d:
2 1y x=
.
S:

y
x

=
+
, d:
7 1 0x y =
S:
1 2 1 30
,
7 7 7 7
y x y x= + = +
Bi 1.9: Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) vuụng gúc vi ng thng d bit:
a)
3 2
( ) : 3 2C y x x= +
, d:
1
2
9
y x= +
S:
9 7 , 9 25y x y x= + =
b)
2
( ) :
1
x
C y
x

Bi 1.10: Cho (C ):
2
1
2
x x
y
x
+
=
+
. Viờt phng trinh tiờp tuyờn cua (C) biờt tip tuyn o vuụng goc
vi ng phõn giac cua goc phõn t th nhõt cua hờ truc toa ụ. ẹS:
5 2 2y x=
Bi 1.11: Cho ham sụ
2
(3 1)m x m m
y
x m
+ +
=
+
. Vi gia tri nao cua m thi tai giao iờm cua ụ thi vi
truc hoanh, tiờp tuyờn song song vi ng thng y +10 = x. Viờt phng trinh tiờp tuyờn õy.
S:
2
0;
3
m =
Bi 1.12: Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s:
a) (C):

( ) : 2 3
3
C y x x x= +
bit tip tuyn cú h s gúc nh nht S:
8
3
y x= +
b)
3 2
( ) : 3 2C y x x= +
bit tip tuyn cú h s gúc ln nht S:
3 3y x=
Bi 1.14: Cho (C):
3
1
x
y
x
+
=

. Gi M l im bt kỡ trờn (C). Tip tuyn ca (C) ti im M ct hai tim
cn ca (C) ti cỏc im A, B. Chng minh M l trung im ca on AB.
Trang 16
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Bài 1.15: (D – 2007) Cho hàm số y =
2
1
x

Bài 1.17: Cho (C):
2 1
1
x
y
x
−
=
−
. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C)
sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vng góc với đường thẳng IM. ĐS: M(0; 1)
Bài 1.18: Cho hàm số
3 2
3 2y x x= − +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) kẻ từ
điểm
23
; 2
9
A
 
−
 ÷
 
. ĐS :
5 61
2, 9 25,
3 27
y y x y x= − = + = − +
Bài 1.19: Cho hàm số

 
.
ĐS:
3 3
, 2 2
2 2
y y x= = ± +
Bài 1.21: (D – 2005) Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x= − +
. Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có
hồnh độ bằng
1−
. Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm M song song với đường thẳng
5 0x y− =
.
ĐS:
4m =
Bài 1.22: Cho hàm số:
2 1
1

có 3 nghiệm phân biệt
Bài 2.2: (TN – 2010) Cho hàm số
3 2
1
5
3
y x x= − − +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Tìm m để phương trình
3 2
3 0x x m+ + =
có 3 nghiệm thực phân biệt
Bài 2.3: Cho (C):
3 2
1 2
3 3
y x x= − +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
3 2
3 0x x m− + =
Trang 17
Giaựo vieõn:Nguyeón Hửừu Chung Kieõn
Toaựn 12 vaứ LTẹH Cẹ HKI
Bi 2.4: Cho hm s
3 2
1
2 3 1

cú th (C)
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho
b) Da vo (C), bin lun theo m s giao im ca (C) v ng thng d:
2
m
y =
Bi 2.8: Cho hm s
3 2
2 3 1y x x= +
cú th (C)
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C)
b) Tỡm m phng trỡnh
3 2
2 3 0x x m =
cú ba nghim phõn bit
Bi 2.9: Cho (C):
4 2
8 10y x x= +

a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C)
b) Da vo (C), bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh:
4 2
8 10x x m + =
Bi 2.10: Cho (C):
4
2
2( 1)
2
x
y x=

4 2
2 0x x m + =
cú 3 nghim phõn bit
Bi 2.14: Cho hm s
4
2
2 1
4
x
y x= +
cú th (C)
a) Kho sỏt v v th (C ) ca hm s ó cho
b) Da vo (C), tỡm m phng trỡnh:
4 2
8 0x x m + =
vụ nghim
Bi 2.15: Cho hm s
4 2
4 1y x x= +

a) Kho sỏt v v th (C) ca hm s ó cho
b) Tỡm m phng trỡnh
4 2
4 0x x m + =
cú 4 nghim thc phõn bit
Trang 18
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Bài 2.16: Cho hàm số
3 2

là:
( ) ( ) (1)f x g x=
•
1
( )C
và
2
( )C
cắt nhau tại n điểm phân biệt ⇔ phương trình hồnh độ giao điểm (phương trình
(1)) có n nghiệm phân biệt
Cần nhớ:
1. Phương trình bậc 2:
2
0ax bx c+ + =
có hai nghiệm phân biệt
0
0
a ≠

⇔

∆ >


2
( 4 )b ac∆ = −
2. Phương trình bậc 3: Dạng:
2
( )( ) 0x ax bx c
α

⇔

≠

3. Phương trình trùng phương:
4 2
0ax bx c+ + =
(1) Đặt
2
t x=
, điều kiện :
0t ≥
(1)
2
0at bt c⇔ + + =
(2)
(1) có 4 nghiệm phân biệt
⇔
(2) có hai nghiệm dương phân biệt
0
0
0
S
P
∆ >


⇔ >



y x m
= − +
cắt đồ thị (C) tại hai
điểm phân biệt. ĐS: b)
( ) ( )
;0 4;m∈ −∞ ∪ + ∞
Bài 3.2: Cho hàm số
3 2
1
x
y
x
−
=
−
. Tìm m sao cho trên (C) có hai điểm
( ; ) , ( ; )
A A B B
A x y B x y
khác
nhau và:
2
2
A A
B B
mx y
mx y
− = −



tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam
giác OAB vng tại O. ĐS: m =
3 5±
Trang 19
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Bài 3.5: (C):
2 1
1
x
y
x
−
=
+
. Gọi (
∆
) là đường thẳng đi qua điểm I(2; 0) và có hệ số góc m. Tìm m để (
∆
)
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB. ĐS:
2
3
m =
Bài 3.6: (ĐH khối B – 2009) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng
y x m= − +
cắt đồ thị hàm
số
2
1x

):
2
1
mx x m
y
x
+ +
=
−
cắt trục hồnh tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hồnh
độ dương. ĐS:
1
0
2
m− < <
Bài 3.9: (D – 2009) Tìm m để đường thẳng
2y x m= − +
cắt đồ thị hàm số
2
1x x
y
x
+ −
=
tại 2 điểm A,
B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. ĐS: m = 1
Bài 3.10: Chứng minh d:
3y x m= +
ln cắt (C):
4

−
2x + m cắt (C) tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
3
(O là gốc tọa độ). ĐS:
2m = ±
Bài 3.13: ( ĐH khối D – 2006 ) Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
. Gọi d là đường thẳng đi qua A(3; 20) có hệ
số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. ĐS:
15
4
m >
và
24m ≠

Bài 3.14: (CĐSP TPHCM – 2006) Cho hàm số
3 2
6 9 1y x x x= − + −
. Gọi d là đường thẳng đi qua A(2;
1) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. ĐS:
3m
> −

Bài 3.15: (D – 2008) Cho hàm số
3 2
3 4y x x= − +
(C). CMR mọi đường thẳng đi qua I(1; 2) với hệ số
góc k (k >

y x mx x m= − − + +
. Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
có hoành độ x
1
, x
2
, x
3
và thoả điều kiện:
2 2 2
1 2 3
15x x x+ + >
ĐS:
1m >
Bài 3.18: Cho hàm số
3 2
2 3( 1) 2y x mx m x= + + − +
có đồ thị là (C
m
), điểm M(3; 1), d:
2 0x y+ − =
.
Tìm các giá trị m để d cắt (C
m
) tại 3 điểm
(0;2)A
, B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng
2 6

m< <
Bài 3.21: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 2
( 1) (2 3 2) 2 (2 1)y x m x m m x m m= − + − − + + −
cắt trục hồnh tại 3
điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hồnh độ âm. ĐS:
1 1
0
2 3
m m< < ∧ ≠
Bài 3.22: Cho hàm số
4 2 2
2( 2) 5 5y x m x m m= + − + − +
(1). Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh
tại 4 điểm phân biệt. ĐS:
5 5
1
2
m
−
< <
Bài 3.23: Cho hàm số
4 2
( 1) 3y x m x= + − −
(1). Tìm m để d:
4y = −
cắt đồ thị hàm số (1) tại 4 điểm
phân biệt. ĐS: m < – 1
Bài 3.24: Cho (C
m

=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Chứng minh rằng mọi đường thẳng
y x m
= +
ln cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi
1 2
,k k
lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để
1 2
k k+
đạt giá trị lớn nhất.
ĐS:
1 2 max
( ) 2k k+ = −
khi
1m = −
Ba ̀i 3.27 : Cho hàm số y =
−
4x
3
– 2x
2

−
9x (C). Xác định k để (d): y = kx cắt (C) tại ba điểm phân biệt
O; M; N và M là trung điểm của ON. ĐS: k = – 1
BÀI TẬP ÔN TỔNG HP
Bài 1: Cho hàm sớ

=
−
a) Tìm a, b để đồ thò hàm số cắt trục tung tại A(0; – 1) và tiếp tuyến của đồ thò tại A có hệ số
góc bằng – 3. ĐS: a = 2; b = 1
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) với a, b vừa tìm được
Trang 21
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
c) Cho đường thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm B(
−
2, 2). Tìm m để (d) cắt (C) tại hai
điểm phân biệt M
1
, M
2
. ĐS:
12
0
13
m m< − ∨ >
d) Các đường thẳng đi qua M
1
và M
2
song song với các trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật
Tính các cạnh của hình chữ nhật đó theo m. ĐS:
3 1S m= +
e) Với giá trò nào của m thì hcn này trở thành hình vuông ĐS:
1m = ±
Bài 4: Cho (C):

3
x
y =
Bài 7: Cho (C):
3 2
3 3 1y x x x= − + − −

a) Khảo sát và vẽ (C)
b) Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. Viết phương trình d
Bài 8: Cho (C):
2 1
1
x
y
x
+
=
−

a) Khảo sát và vẽ (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vng góc với đường thẳng: 3x – y + 2 = 0
c) Tìm k để d: y = kx + 3 cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho
∆
OMN vng tại O
d) Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là các số ngun
Bài 9: Cho hàm số
3 2
1y x ax bx= + + +
. Tìm a, b để đồ thị hàm số đi qua hai điểm
(1 ; 2)A

2
x =
d) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm
16
1 ;
3
A
 
−
 ÷
 
và có hệ sớ góc k . Tìm tất cả các giá trị của k
để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. ĐS:
5
; 8
4
k < ≠ −
Trang 22
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
Bài 12: Cho (C):
2 4
1
x
y
x
+
=
+


0
0; 2; 4x = ± −
Bài 14: Cho hàm sớ
3 2
( ) 6 9 1y f x x x x= = − + +

a) Khảo sát và vẽ (C)
b) Dựa vào (C), biện ḷn theo m sớ nghiệm phương trình:
3 2
6 9 0x x x m− + + =
c) Viết phương trình tiếp tún của (C) tại điểm tḥc (C) có hồnh đợ là nghiệm của phương trình
( )f x
′′
=
9
−
d) Đường thẳng (d) đi qua M(4; 5) và có hệ sớ góc k. Tìm k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
ĐS:
0; 9k k> ≠
Bài 15: Cho hàm số
( )
1
2
m
mx
y C
x m
+
=
+

y
x
−
=
−
có đồ thị gọi là (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Viết pt tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x + 4y – 3 = 0
c) Tìm m để d: y = mx + 2 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
d) Tìm các điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ. ĐS:c)
6 2 5
6 2 5
m
m

< − −

> − +


; d)
1 13
2
x
− ±
=
Bài 19: Cho (C): y = x
3
– 2x
2

c) Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A. Tìm
m để (C
m
) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt ĐS: m < 3
Bài 21: Cho hàm số
( )
1
2
m
mx
y C
x
−
=
+
a) Đònh m để hàm số giảm trong từng khoảng xác đònh của nó. ĐS:
1
2
m < −
b) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số trên ứng với m = 2
c) Viết phương trình tt của đồ thò (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng:
5 1 0x y− + =
d) Tìm các điểm trên (C) có tọa độ ngun
B ài 22 : Cho hàm số y = x
3
+ (m – 3)x
2
+ 2mx + 2
a) Đònh m để hàm số có CĐ và CT. ĐS:
6 3 3

3 2
( )
m
y x mx m C= + −
a) Tìm m để hàm số tăng trong khoảng
( ; )−∞ + ∞
ĐS: m ≠ 0
b) Khảo sát và vẽ (C) khi m = 3
c) Viết pt tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
9 1 0x y+ − =
d) Tìm k để
3 2
3 0x x k+ − =
có 2 nghiệm phân biệt thuộc [–1; 2] ĐS: 0 < k < 2
Bài 25: Cho hàm số:
3
1 2
3 3
y x x= − + −
có đồ thò là (C)
a) Khảo sát và vẽ (C)
b) Dùng đồ thò (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
3
3 0x x m− + =
c) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm M
20
3;
3
 
−

3
ĐS:
5 7
;
3 3
m m= − = −
Bài 27: Cho hàm số
3
1 2
3 3
y x x= − +
.
Trang 24
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên
Toán 12 và LTĐH – CĐ – HKI
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số trên
b) (ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội 2001) Tìm trên đồ thò (C) các điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thò
(C) vuông góc với đường thẳng
1 2
3 3
y x= − +
ĐS:
( )
4
2;0 ; 2;
3
 
−
 ÷
 

b) Với giá trị nào của m, phương trình
2 2
2x x m− =
có đúng 6 nghiệm thực phân biệt
Bài 31: (ĐH khối D – 2010)Cho hàm sớ
4 2
6y x x= − − +
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đờ thị (C) của hàm sớ đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tún của (C), biết tiếp tún vng góc với đường thẳng
1
1
6
y x= −
ĐS: y = − 6x + 10
Bài 32: Cho hàm số
3 2
3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − +
. (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
b) Tìm m để hàm số tăng trên R
c) Xác định m để hàm số có CĐ, CT đồng thời giá trị cực tiểu bằng 3. ĐS:
3 1
;
2 3
m m= =
Bài 33: Cho hàm sớ
3
2
11
3

=
−

a) Viết phương trình tiếp tún của (C) biết tiếp tún tạo với trục hoành mợt góc 45
0
b) Tìm các cặp điểm trên (C) đới xứng nhau qua điểm
3 1
;
2 2
I
 
 ÷
 
ĐS:
( ) ( )
0; 1 , N 3;2M −
Bài 35: Cho (C):
2
2
x
y
x
=
+
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp
tuyến đó bằng
2 2
ĐS: y = x; y = x + 8