HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Chú ý : .
Các bài toán hệ phương trình sau đây được trích trong tập “Hệ phương trình luyện thi đại học” của lớp
11C1K35-Trường THPT Đặng Thúc Hứa, Thanh Chương, Nghệ An.
Lời giải: Phan Thị Minh Ngọc (10C1K36), có tham khảo lời giải của các thành viên của diễn đàn
www.k2pi.net
Mọi góp ý các bạn vui lòng cập nhật thông tin tại diễn đàn www.k2pi.net
Một số bài toán đã được lược bỏ trong quá trình biên soạn. Đã chỉnh sửa lại đề cho cái bài sau: 16;37;69 Bài 1 (Nguyễn Thế Anh)
1.
3 2 2
3 2
3 3 3 4 1 1
3 6 6 12 1 2
x x y x y
y xy x y y
2 2 2 2
4 2 6 0 2 4 6 0
x xy y x y y x x xy
Ta có:
2
2 8 0
3
y
x
Nên phương trình trên vô nghiệm.
Trường hợp 2 :
1 0 1
x y y x
.Thay vào
1
Ta có:
3 2
0
6 0 3 2 2
3 2 2
x
x x x x
x
2
1 0
1 0
y x y x
xy
xy x y
ĐK:
; 0
x y
Từ phương trình đầu tiên của hệ ta có:
2 0
2 0
2 0
y x y x xy
x y
y x y x
y x
; 1;1
x y
Bài 2 (Nguyễn Văn Anh)
3.
3 3 2 2
3 3 2 2
2 3
5( )
8 0
5
5 1 2
2
x y x y
x y
xy
x y x y
x y
x y
xy xy
x y x y
Với
x y
Ta thế vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
2 2
1 1
2 2
5 5
5 1 2 3
5 1 2 2 5 1 2 9 2 5 1 2 9 4 1
x x
x x x
x x x x x x x x x
Vậy hệ phương trình có nghiệm là
; 1;1
x y
Bài 3 (Hoàng Đình Chung).
6.
2 2
2 2 2 2
10 3 29 2 20
2 5 5 5 2 5 5 5
x y x xy x y
x y x y x x x y x y y y
2 2
2
10 10 10 3 10 27 10 0 10 17 73 0 10
y y y y y y y y y y
Với
10 0
y x
Vậy hệ phương trình có nghiệm là
; 0;10
x y
7.
3 2 2 2
2 2 2 2
5 2 2 2 0
1
0
2
x x x y xy xy
x x y xy y
Với:
2 2
5 2 2 2
x xy y x y
kết hợp phương trình thứ hai của hệ ta có:
2 2
2 2 2 2
5 2 2 2
2 2 2 0
x xy y x y
x x y xy y
Xét thấy
; 0;0
x y là 1 nghiệm của hệ. Với
; 0
x y
Đặt
2
5 2 2 2 2 1 0
1 3
2
a a a
a a a a a a
a a a
a
a a a a
a
Với .
1 3
2
a
; 0;0 , 1; 3 1 , 1; 3 1
x y
8.
2 2 6 2 3 4 2 4
2 0
2
4
x x y xy y xy y x y
x
xy
y
Hướng dẫn: Rút
y
từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ nhất rồi phân tích có nhân tử chung
2
1
y
y
Với
1
2
x
y
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
2
1 1
1 0 2 0
2
x
x x
x
Vô nghiệm
Với
x y
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
3 3
3 2 3 2
6 16 9 31 23 2 4 2 3 4 3
x x x y y y x x y y
Xét hàm số:
3
( ) 4
f t t t
2
' 3 4 0
f t t
Hàm số đồng biến
Phương trình thứ nhất của hệ có dạng:
( 2) 3 2 3 1
f x f y x y y x
Thay 1
x y
3 3 2
2 2
3 17 18 3 13 9
6 5 10 0
y xy x x x y
x y xy y x
Rút
xy
từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
3
3 2 3 3
5 3 3 2 1 2 1 2
y y y x x y y x x
Xét hàm số:
3
( ) 2 0
f t t t
Hàm số đồng biến
Với
8 5
3 3
y x
Với
2 1
y x
Vậy hệ có nghiệm:
5 8
; 1;2 , ;
3 3
x y
14.
2 2
2 2
4 2 2 5 3
thay vào phương trình thứ hai của hệ cho ta :
2
4 1
3 3
9 6 8 0
2 5
3 3
x y
x x
x y
Với
4 3
2
x
y
Thay vào phương trình thứ hai của hệ cho ta:
1
1 3 2 3 0
3
2 3
y
y x y
y x
Với
1
3
y
thay vào phương trình thứ nhất của hệ cho ta:
2
2
16
3
3 10 0
8
3
3 4 7 0
x y x x y y
x y x xy y
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
3 2
3 3 2 2 3 2
4 6 3 0 1 4 1 6 1 4 6
x y x x y y x x x y y y
Xét hàm số:
3 2
( ) 4 6
f t t t t
ta có:
2
'( ) 3 8 6 0
f t t t
nên hàm số đồng biến.
Phương trình thứ nhất của hệ có dạng :
Thay
1
Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Thế
xy
từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ ta có :
3
3 4 2 0 1 1
x x y y x x y x x y y y
Xét hàm số :
3
f t t t
ta có :
2
' 3 1 0
f t t
. Nên hàm số đồng biến
Phương trình có dạng :
x y y
ĐK:
1; 3 4 8
y x y
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
2
3 4 2 4 1 0 1
3 2
x y y x y x y
y x y
Đặt
6
1
1
a
y
. Ta có:
2 3 2
1 1
1 2 1 0 1
2 2
a a a a a a
. Hay
6
1
1 1 1 2
1
y y
y
Với
2 8
y x
ĐK:
1 ; 1
x y
Đặt
1 ; 1 0 ; 0
x a y b a b
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
2
2 2 2 2 2 2
1 2 4 4 0 2 2 0
a b ab b ab b a b ab ab
1 0
1
5
1 2
x
x
y
y
Nhân thấy rằng
1
5
x
y
Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
2
3 3 2 2 2 2 2
1
6 3 5 6 2 1 3 1 1 0
3
x y xy xy x y x y xy x y x xy
Thay
1
3
xy
vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:
2
1 1
1
9 3
y y x
Vậy hệ có nghiệm:
1 1
x y y x y y
x y y
Với
2
2 1 1
x y y x y
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
3 2
4 4 9 0 1 2
y y y y x
Với
2 2 2
x y y y
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
3 2
1
3 8 15 6 0
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
2 2
2 2
2
2 3 4 1 0
3 4 1 0
y x
x y x x y y
x x y y
Trường hợp 1 :
2
y x
thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
2
5 3 0
x
Vô nghiệm
Trường hợp 2:
Với
0
y
Thay vào giải ta được
3 13
2
x
Với
4
y
. Thay vào giải ta được
3 13
2
x
ĐK:
; 0
x y
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
2
2 2 2 2
2 2 2 0 0 2
x y x y xy y xy x xy y x xy x y xy x y x y xy
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
Thử lại thấy rằng hệ chỉ có nghiệm:
3 5 3 5
; ;
2 2
x y
26.
2 2
2 2 2
(2 ) 2( ) 6
x x y y
x x xy x y
Đáp số:
; 1;1
x y
Bài 13 (Nguyễn Tài Hiếu). Giải các hệ phương trình sau :
28.
2 2
2 2
2 3 5
8 8 0
x y x y
x y x y
Hướng dẫn: Phương trình thứ hai có nhân tử
x y
ĐS :
5 65 5 65 5 65 5 65
; ;
4 4 4
ĐS
3
; 1;1 , 1;
4
x y
30.
3 2 2
2 2 6
x xy x x y x y
y x x y
ĐS :
3
3
x
y
y
y x y y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
ĐK:
0 ; 1
y y
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
Với
2
2
y x y y
thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
2
2 2
35
2 4 4 0 8 0 8
4
y y y y y x
(Loại)
Với
2
2 2
y x y y
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
2
4 1 4 1 0 2 1 0 1
y y y y y
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
2 4 2 2 2
2 3 6 9 12 18 1 0
x y x x y x y y
Với
4 2 2 2
3 6 9 12 18 1
x x y x y y
=0 Ta có
2
2 2
2
6 9 12 12 18 11 27 2 1 24 0
x
y y y y
Phương trình vô nghiệm
x y
Vậy hệ có nghiệm :
1
; 1;
2
x y
35.
2 2
2 2
( )(2 ) 5 3 3
( ) 2 7
x y x y x y y
x y x y x y
ĐK:
1
3
33 4 3
13
1 10 13 0
3 4 3
10
y
y
y
y y y
y
y y
y y y
3 3 2 2
2 2
3 2 1 3 2 1 0
7 6 14 0
x y x y y y x x
x y xy x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
ĐK:
; 1
x y
Từ phương trình thứ hai ta có:
2 2
2 2
10
2
0
Từ phương trình thứ nhất ta lại có:
3 3
1 3 1 1 3 1
x y x y y x y x
Xét hàm số
' 1 0
2 1
g a
a
. Hàm số đồng biến.
Phương trình có dạng
g x g y x y
Với
x y
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
2
2
3 13 14 0
7
3
x
x x
x
x y xy
x y
x x x y y xy x x y
Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
2
2
2
2 1 0 1
x x y y x
Thay
2
1
y x
vào phương trình thứ nhất ta có:
Với
1 0
x y
Với
0 1
x y
Vậy hệ có nghiệm là:
4
4
4
4
1
1 1 1 1 1
1
x y
y x
Xét hàm số:
4
4
1
1 1 0
f t t t
t
Với
x y
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
3 2
2 3 6 0 2 2
x x x x y
Với
x y
.Thay vào phương trình thứ hai cảu hệ ta có:
3 2
2 6 0 3 3
x x x x y
Vậy hệ có nghiệm
Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
2
2
2 2
2 2 2
2
3 4 4 6 9 0
4 2 3 4 6 9 0
' 0
3 1
' 0
3 1
4 2 3 4 6 9 0
3 4 4 6 9 0
x
y
y y y
x x y y y
y
x
y y x x x
x x x
Xét hàm số:
3 2
6 9
f x x x x
và
3 2
4 4
g y y y y
với
; 3;1
x y . Ta có:
2
' 3 6 9 0
f x x x
Nên hàm số đồng biến
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi
1
1
3
3
f x f
x
y
g y g
Hướng dẫn: Thế
y
từ phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai.
ĐS:
; 0;0 , 1;1
x y
41.
3 3
2 2
( 1) ( 1) 12( ) 24 0
1
2
x y x y
x y x y
Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất có nhân tử
Hướng dẫn: Lấy phương trình thứ nhất cộng (trừ) phương trình thứ hai rồi đặt ẩn phụ
ĐS:
; 26;9
x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
43.
2 2
2 2
5 5
( ) 2 6 7
y x x
x y x y
Hướng dẫn: Lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai có nhân tử
2 1
Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
2 2
' 9 3 3 1 9 3 8 0
x
y y y y
Nên phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
45.
4
4
2
3 1 1
x y x x x y y y y x x y
x x y
ĐK:
; 0
x y
Thay
x y
vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
2
2 2
1
3 1 2 1 4
2
3 1 4 4 1
x
x x x
x x x
Vậy hệ có nghiệm:
; 4;4
x y
1
; 3;
3
x y
Bài 20 (Lê Thị Kim Liên).
47.
2 2 2
3 3
2
2 2 2 2
2
2
3
3
8 3 1 3 1
4 3 1 2 1 1
1
2 1 4
y x y y
y y x y x
Thay
2
a b b
vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
3 2
2 2 2 2 5 4 3 2
3 2 3 0 3 6 7 2 1 0 0
b b b b b b b b b b b b b b b
Với
0 0
b a
. Khi đó:
2
2
1
1 4 0
2
1 0
1
x
x
y
y
2 2
( 1) ( 1)( ) 1
( )( 2 ) 1 ( ) ( 2 3)
y x x y
x x y x x x y x y
Đặt 1 ; 1
x a y b
. Ta có:
2 2
3 2 2 3
1
2 3 2 2
b a ab
b a b ab a a b
x y y
x x y y x y
Hướng dẫn: Phương trình thứ hai là phương trình đẳng cấp.
ĐS:
; 0;0 , 2; 2 , 1; 1
x y
Bài 22 (Nguyễn Thanh Mai).
51.
2 2 3 3 2
2 2 2 2 2 2
(2 )(4 2 1) 7
x y x y x y xy x y x
4( 1) 8 2 ( 2 1) ( 2)
( ) ( 3) 3 4 ( 2) ( 2)
xy y y x y
y x y x y xy y xy y
Bài 23 (Nguyễn Viết Mạnh).
53.
3 3 2 2
3 2
2 0
2 2
x y x y xy xy x y
x y x x y
ĐK:
1 0
x y
x x x
x y
Trường hợp 2:
2 2
0
x y x y
. Do
2 2
0
0 0
0
x
x y x y x y
y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Từ phương trình thứ nhất ta có:
2 2
10 2 19 5 6 41 0
x x y y y
Để phương trình có nghiệm:
2
' 0 49 1 0 1
x
y y
Thay
1
y
vào phương trình thứ nhất của hệ ta được
2
x y
y x
x y
xy y x
ĐK:
; 0
x y
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
Với
x y
.Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
3 2
3 4 8 0 1 1
x x x x y
Với
x y
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
3 2
3 4 8 0 1 1
y y y y x
Vậy hệ có nghiệm:
.
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
3
3
1 1
x x y y
Xét hàm số
3
f t t t
ta có
2
' 3 1 0
f t t
. Nên hàm số đồng biến
Phương trình thứ nhất của hệ có dạng :
1 1 1
f x f y x y x y
f t
t t
t
t
Nên hàm số đồng biến.
Phương trình có dạng
1 1 1
2 2 2
f y f y x
Vậy hệ có nghiệm :
1 1
; ;
2 2
x y
.
Bài 25 (Biện Thị Nguyệt)
; 1;1
x y
59.
2 2
2 2
3 3 0
2 1 2 3 1 0
x y x y
y x y x
Hướng dẫn: Chuyển vế và bình phương hai vế của phương trình thứ nhất.
ĐS:
; 1;1 , 2 2;2 2
x y
60.
3 3 2 2
2 2
2 1
4
9 18 8
2
1 1 0
1 1 3 1 2
y x
x y y y y x
Đặt
2
1 ; 1 0 , 2
y b x a b a
Ta có hệ:
2
b b
a b
Vô nghiệm
Vậy hệ vô nghiệm.
62.
3 2
2 2
20 3 3 0
3 1
y y xy x y
x y y
Hướng dẫn: Thế
3 1
y
từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ.
Hướng dẫn: Chia phương trình một cho
x
,chia phương trình hai cho
y
.
ĐS: VN
Bài 27 (Nguyễn Thanh Nhàn)
64.
2 2
4 ( 2) 4 1 2
2 3 4 0
x y x y x y x y y x x
x x y y
Do
2
2
1
0
2 2 2
x y
x y
x y x y x y x y
Nên 0
x y x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Thế
x y
vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
x y xy x xy y xy
x y
Đặt
; 2 ; 0
x a y b a b
Xét thấy
;0 , 0;
a b
đều không phải là nghiệm của hệ nên
; 0
a b
Đặt
Với
2
3
k
Hay
8
9
x y
. Thay vào giải ta được nghiệm:
8 2 162
; ;
193
193
x y
Với
1
k
Hay
x y
66.
2 2
3 4 5 6 1
1 17 4 16
x x y y
x y x
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
2
2 2
2 2
1 6 1
3 4 5 6 1
2
6 8 10 6 0 1
y y
x x y y
x x y y
Thử lại thấy rằng
; 1; 1
x y
không thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ.
Vậy hệ vô nghiệm.
Bài 28 (Nguyễn Thị Nhung).
67.
2 2
( 1)( 1 ) 12
3 2 1 1 2 1 0
x y x y xy xy
y x x x y y xy
ĐK:
2
2
1
1
1
2
x y
xy x y x y xy xy y
x y xy
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Lúc này ta có:
1
1
0 1 1
2
0 1
x
xy
y
1 , 2 1 1
xy x y
Thử lại thấy rằng
; 1;1
x y là nghiệm của phương trình
69.
2
(2 1)( ) 2
(2 2 5) ( 3) 3 0
x y x y xy y
x x y y y
ĐK:
; 0
x y
x y x y x y
Kết hợp
1 2
cho ta
x y
Thay vào giải ta nhận được nghiệm:
3 3
; 1;1 , ;
5 5
x y
Bài 29 (Lê Thị Oanh)
70.
6 4 2 2 2 2
3 36 9 12 6 9 24 115
2
3
2 6 4
x x x xy x y x xy xy xy x
x x
x
x x xy
y y
Hướng dẫn: Cả phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ đều có nhân tử
x
Bài 30 (Nguyễn Thị Hà Phương).
72.
2
2
2 2 2 2
1 2
4 5 6
b a b
a ab a b
(Hệ đẳng cấp)
73.
2
3
3 7 4 3 2 1 2 4 0
6 2 0
x xy y x y x y
x y y x y
Hướng dẫn: Thế
2
x
từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ.
Bài 32 (Nguyễn Đình Thành).
76.
2 2 2
2
3
2 14 8 3 24 12 5
1 2 3 2 3 5
x y x y xy y y
y x y x y
3 2 6 2 3 5 4 1 4 6 0
(3 5) 2 3 5 4
y y y y y y y
y y
Trường hợp 1:
1 2
y x
Trường hợp 2:
2
2
3
3
6
4 6 0
(3 5) 2 3 5 4
y y
y y
Bài 33 (Trần Thị Phương Thảo).
78.
2 2
2 2
2 2
2 4 1 4 13
2 2
x y xy
x xy y
x y
x y
x y
Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc hai ẩn
Hướng dẫn: Phương trình thứ nhất có nhân tử chung
x y
80.
3 3 2
2 2
4 4( 3 ) 3( 1) 7
( 1) ( 1) 4
x y x y x
x y
Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
2
3 2
3 4 2 3 1
f x x x x x
.Ta có:
2
' 3 6 4 0
f x x x
.Hàm số đồng biến
1 0
f x f
Xét hàm số :
3
4 12 8 1 3
0
1 1 0
f x g y
f x g y f g
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi
1
1
1
1
f x f
x
y
g y g
x y x x y
x y x y
Đặt: ; 1
x y a x b
. Ta có hệ:
2
2
2
2
2 2
2 1 2 1 0
3 2 3
a b a
b a a b
b a a b
Hay
3
1
2
1
1
1
2
2
x y
x
x
y
Trường hợp 2:
2
2
1
2 1 0
2
a a
a a b b
.Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
2 2 2
1
1 2 0 1 2 1 0
Vậy hệ có nghiệm là:
3 1 3 7
; ; , ;
2 2 2 2
x y
Bài 35 (Đậu Bá Tiệp).
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
82.
3 2 2 3 2 2
3
3
8 20 18 8 16 5 13 9 4
5 16 7
x x x x y xy y y y xy
y x
.Ta có:
2
44 1 0 1 108
x
y y x
Thử lại thấy rằng hệ chỉ có nghiệm:
; 1;2
x y
83.
4 2 2
6 3 2
4 2
1
3
4
2
4 20
3 2
x x y y
x y y
x x
4 2 2
3 3( ) 0
9 ( ) 5 0
x xy x y
x y x y x
HPT
2
2
2
2
2 2 2
3 3 3
3 3 3 5 0
3 3 5
0
4
3
1
3
0
x y x xy
x y
Với:
4
3
y
Vô nghiệm
Với
1
1
3
y x
Vậy hệ có nghiệm
1
; 0;0 1;
3
x y
86.
2 2
1 1 3
2013 2010 2
y x
Với:
2012 2
x y
. Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
2012 2012
1 1 3 11
2012 2012 11 2012
4025 2 2010 2 2
11
2012 11 2012
2
y x
y y x
y y
y x
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
3 2 3 2
1 1 1 2 2 2
x x x y y y
Xét hàm số:
3 2
f t t t t
. Ta có:
2
' 3 2 1 0
f t t t
Nên hàm số đồng biến.
Phương trình thứ nhất có dạng :
x x
y y x y
y x xy x y
Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
2 2
2 2
7
1
7 6 14 0
0
3
0
10
6 7 14 0
2
3
x
y
y
x x y y y
f x x x x
với
10
2;
3
x
Ta có:
2
' 36 24 367 0
f x x x
Nên hàm số đồng biến
2 878
f x f
Xét hàm số:
3 2
54 54 18
144
7
2 144
3
f x g y
f x g y f g
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi
2
2
7
7
thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ.
Vậy hệ có nghiệm
7
; 2;
3
x y
.
2 2
4 1
3 2 1 3 1
2 1
y x
y y
y x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP
Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
3 1
;
0
2 2
0
1 3
;
2 2
x
y
y
x
Từ bảng biến thiên ta thấy :
1 31
2 4
f x f
Xét hàm số :
3 2
3 1
5 6
2 2
g y y y y y
.Ta có :
5 7
' 0
3
g y y
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi
1
1
2
2
3
3
2
2
f x f
x
y
g y g
2 2
x y
.
Bài 39 (Phạm Thị Trà)
92.
3 3 2 2
2 2
5 8 100
( ) 5 13
3 3 3
3 4 4 0
x y x y x xy x
x y xy x y
Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
Thế
xy
từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
3 2 3 2
3 18 45 3 2 8 108
x x x y y y
Xét hàm số:
3 2
4
3 18 45 0
3
f x x x x x
. Ta có:
3
g y y
BBT :
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy :
4 80
3 9
g y g
Ta có :
108
4 4
3 3
f x g y
f x g y f g
Thử lại thấy rằng
4 4
; ;
3 3
x y
. Thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Vậy hệ có nghiệm :
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
3 11 9
2 2 3 0 1
11 9 9 14 9
x y
x y y xy
y x y x xy x
Từ phương trình thứ hai của hệ ta lại có :
11 1
2 3 2 2 3
3
2
11
3 11 3 9 0
3
y x x
x
y x y
Vô nghiệm
Nên từ
1
ta có :
2 0 2
x y y x
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được :
2
22 3 7
2 73 74 147 0 1 2
3
2
x
x x x x x y
x
Vậy hệ có nghiệm là :
; 1;2
x y .
3
f t t t
.Ta có:
2
' 3 1 0
f t t
Nên hàm số đồng biến.
Phương trình thứ nhất có dạng
2 2
1 3 4
f x f y x y
. Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
2
2 2 2
4 2 6
4 4 1 5 4 3 5 1 9 14 16 0
3 3
y y y y y y y x
Vậy hệ có nghiệm:
ĐK :
; 0
x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
2 2
3 3 2 2 2 2
3 3
3 2 2 3 2 2
2 2 8
3 3 5 2 2 2 2 2
3 3 5 16 8
2 2 0 2 1 0 2 0 2
x y y y
HPT x y xy xy x x y y y y x y y y
x y xy xy x y
x xy x y y x y x y x xy y x y x y
2
( ) ( 1)
x y x y
xy y x x y
3 3
3 3
2
2 2
2
2 1 2 1
3 3 3 3 1
x y x y
HPT x y x y y y
xy x y x y
2 2
6 12 3 0 1 2
2
2 2
1 2
2
y x
y y y y x
y x
Vậy hệ có nghiệm :
2 2 2 2
; 1;0 , ; 1 2 , ; 1 2
2 2
x y
Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
4 3 3 2
3 4
6 23 39 52 60 0 3 3 2 2 3 10 0
2 3
2 2
y x
y y y y y y y y
y x
Vậy hệ có nghiệm là:
y
. Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :
3 3 3 3 6 3 8 0 3 2 4 3
x x x y y x y y x y x y
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :
4 4 6 3 1 2 17
y y y y y
ĐK:
1 6
y
1 5 19
1 3 0 1 1
3 17 4 4 6
y y
PT y y y x
y y y
2
2 2
2
2 3 2 4 91 0
6 6 5 5 1 0 2 3 1 3 2 1 0
3 2 3 61 0
x xy x y
HPT x y x y xy x y x y
y xy x y
Với
3 1
2 3 1 0
2
y
x y x
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :
2
3 4
13 2 123 0
61 41
; 4;3 , ; , 61; 92
13 13
x y
Bài 42 (Trần Thị Ái Vân):
101.
2
2
3 7 4
2 1 (2 1)
x y y x
y y xy x x xy
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có :
4 4 4 0
x y x y x y y x
Với
x y
Thay vào
1
thì phương trình vô nghiệm.
Với
4 4 4 0
x y x y y x
kết hợp
1
ta có :
0 1
4 7 11 0
1 9
x y
x x x
x y
Hướng dẫn : Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra
x y
106.
2 2 2 2 2
2 2 2
3 8 5 3(5 ) 3 9 10
(3 5 ) (5 3 ) 27 509
x xy y y xy x xy y
x y x y x
Hướng dẫn: Nhân liên hợp phương trình thứ nhất của hệ.
108.
2
(4 11) 2 7 (3 4 ) 2 3 0
2 2 3 4 3 2 8 10
x x y y
Hướng dẫn: Từ phương trình thứ nhất có nhân tử
2
3
x
y
.
Copyright: Tài liệu đại học ©