Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trờng Đại học Kiến trúc Hà
Nội, các thầy cô trong khoa Sau đại học, cùng với các thầy cô giáo các bộ
môn đã tạo mọi điều kiện để chúng tôi có thể hoàn thành khoá học 2008-
2011!
Đặc biệt tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến thầy giáo hớng dẫn luận
văn tốt nghiệp của tôi là thầy: PGS.TS Đặng Quốc Lơng. Tôi xin cảm ơn thầy
đã nhiệt tình giúp đỡ, tạo điều kiện, dành nhiều thời gian cũng nh đầu t tài liệu
để hớng dẫn tôi hoàn thành đợc luận văn tốt nghiệp của mình!
Tôi xin cảm ơn công ty CP T vấn Đầu t Xây dựng và Thơng Mại Việt
Bắc cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tôi
trong thời gian học tập và làm luận văn tốt nghiệp của mình.
Luận văn của tôi còn cha thật hoàn chỉnh, nhiều chỗ trình bày còn thiếu
sót. Nhng tôi xin hứa sẽ đầu t nghiên cứu thêm những vấn đề còn thiếu sót đó
để hoàn thiện thêm kiến thức của mình trong quá trình làm việc sau này!
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đã thực hiện đầy đủ các yêu cầu của một luận văn tốt
nghiệp thạc sỹ chuyên ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp. Tôi cam
đoan đã thực hiện đúng quy cách luận văn, và nội dung đề tài phù hợp với
chuyên ngành. Đề tài luận văn của tôi cũng không bị trùng lặp với các đề tài
luận văn tốt nghiệp trớc đây. Nội dung của luận văn đã đợc trích dẫn đầy đủ
các tài liệu tham khảo.
1
Mục lục Trang
Mục lục
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt
Phần 1: Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
4. ý nghĩa thực tiễn và khoa học của đề tài

41
2.2.4 Dao động của dầm có độ cứng thay đổi.
45
2.2.5 Tính toán dao động cho dầm, khung, và các kết cấu công
trình đơn giản
48
2.2.6 Hệ khung có dầm lý tởng
50
2.2.7 Khung một tầng và kết cấu công trình đơn giản
50
2.2.8 áp dụng cho hệ khung 2 tầng và các công trình 2 tầng
57
2.2.9 áp dụng phơng pháp hệ tơng đơng tính toán dao động của
khung có độ cứng thay đổi
64
Chơng 3: áp dụng tính dao động của dầm,
khung có độ cứng thay đổi.
66
3.1 Ví dụ về tính dao động của dầm có dộ cứng thay đổi bằng
phơng pháp chuyển vị (phơng pháp ghép trơn)
66
3.2 Phơng pháp hệ tơng đơng
70
3.2.1 Ví dụ về tính dao động của dầm có độ cứng thay đổi bằng
phơng pháp hệ tơng đơng
70
3.2.2 Ví dụ về tính dao động của khung có độ cứng thay đổi bằng
phơng pháp hệ tơng đơng
77
Kết luận và kiến nghị

c Hệ số cản nhớt
k Hệ số đàn hồi
t Thời gian
- Chu kỳ dao động
f Tần số dao động
l Chiều dài dầm
n Số đoạn chia
- Sai số
- Góc xoay
- Chuyển vij
W Trọng lợng
g Gia tốc trọng trờng
&
x
- Vận tốc
&&
x
- Gia tốc
F Lực tác dụng
4
Phần 1: Mở đầu
Việt Nam là một đất nớc đang phát triển, đời sống kinh tế xã hội đang
ngày càng đợc cải thiện và nâng cao. Các ngành công nghiệp trong nớc cũng
đang từng bớc phát triển mạnh mẽ. Ngành xây dựng trong nớc cũng đang có
những bớc phát triển đáng kể. Các công trình xây dựng và giao thông ngày
càng đợc thiết kế với kiến trúc đa dạng và hiện đại, đòi hỏi phần kết cấu phải
theo kịp để đáp ứng yêu cầu kiến trúc và chất lợng công trình. Trớc kia, các
kết cấu có tiết diện thay đổi thờng đợc đơn giản hóa, tính toán nh các kết cấu
có tiết diện không đổi tơng đơng. Nhng ngày nay, yêu cầu cần phải phát triển
và hoàn thiện công nghệ tính toán các công trình xây dựng nói chung và các

đó chú ý đến việc tính toán dầm trên nền đàn hồi nh các nghiên cứu của
6
Anokhin N.N; Gabaxoop.R.F; Leonchiev N.N [17] Vấn đề tính toán dầm có
độ cứng thay đổi chịu tải trọng tĩnh đợc nghiên cứu trong các công trình của
Varvac P.M. Công trình nghiên cứu của Khetrumov P.A nghiên cứu các bài
toán về tính toán các thanh ghép có tiết diện thay đổi. Trong công trình này có
áp dụng phơng pháp biến phân. Động lực học của thanh có độ cứng thay đổi
đợc làm sáng tỏ trong công trình của Korenhev B.G [15]. Trong công trình
này sử dụng phơng pháp thông số ban đầu để giải phơng trình vi phân Bexel
với chỉ số v tùy ý trong các hàm cơ sở. Tuy vậy, các công trình kể trên liên
quan đến tính toán động lực học của thanh có độ cứng thay đổi chỉ giới hạn ở
lý thuyết, không có các ví dụ tính toán và các kết quả bằng số.
Phơng pháp tính dao động của dầm có độ cứng thay đổi có thể chia
thành phơng pháp chính xác và phơng pháp gần đúng. Phơng pháp chính xác
gồm một số phơng pháp: Phơng pháp tích phân trực tiếp (chỉ trong trờng hợp
à(x) và J(x) đợc biểu thị bằng các hàm số thích hợp). Phơng pháp gần đúng
gồm một số phơng pháp: Phơng pháp chuyển vị, phơng pháp năng lợng, phơng
pháp ma trận chuyển tiếp, Phơng pháp thay thế khối lợng, Phơng pháp sai
phân hữu hạn, Phơng pháp Bunốp Galookin, phơng pháp Lagrăng Rit [16].
Sau đây trình bày một số phơng pháp đợc trình bày trong bài toán cơ
học:
Phơng pháp tích phân trực tiếp [16].
Chỉ có thể giải đợc trong trờng hợp khi dầm có tiết diện hình lăng trụ.
Từ đó ta tìm đợc phơng trình vi phân của dầm có tiết diện hình lăng trụ là ph-
ơng trình vi phân Bessel. Giải phơng trình vi phân Bessel ta tìm đợc chuyển vị,
từ đó tính đợc góc xoay, mô men uốn và lực cắt. Từ các điều kiện biên, ta có
thể xác định đợc các hằng số trong hệ thức. Trong quá trình đó, ta sẽ nhận đợc
phơng trình đặc trng. Giải phơng trình đặc trng ta sẽ nhận đợc các trị riêng
1
từ đó tính đợc các tần số riêng của dầm.

biến thiên liên tục, ta phải tiến hành chia nhỏ thanh thành nhiều phân đoạn mà
mặt cắt và khối lợng 1 đơn vị dài à đợc xem là không đổi.
0 1 2 3 4
U
01
J
01
J
12
J
23
J
34
Phơng pháp năng lợng [16]
PP NL dựa trên định luật bảo toàn năng lợng, tổng động năng và thế
năng của hệ trong quá trình dao động đợc bảo toàn. Theo phơng pháp này ngời
ta phải giả định trớc đờng đàn hồi, sau đó tính đợc động năng và thế năng. Từ
đó tính đợc tần số dao động của hệ.
2 2
2
2
=
=



i i i i
i i
i i
i

dựng phơng pháp phần tử hữu hạn trớc đây gặp rất nhiều khó khăn. Chỉ từ khi
có sự xuất hiện của máy tính và sự phát triển mạnh mẽ của ngành tin học cùng
với các phần mềm hỗ trợ nh Cad, Sap, Etaps. Thì thực sự phơng pháp phần tử
hữu hạn mới đợc ứng dụng phổ biến và rộng rãi trong thực tế.
Đối tợng nghiên cứu của phơng pháp phần tử hữu hạn là tìm lời giải số
cho các bài toán của lý thuyết trờng nói chung và cơ học vật rắn biến dạng nói
riêng. phơng pháp phần tử hữu hạn đợc áp dụng đặc biệt thành công trong lĩnh
vực cơ học vật rắn biến dạng, trong đó các ẩn số cần tìm là chuyển vị, biến
dạng, ứng suất tại mỗi điểm bất kỳ trong kết cấu.
Phơng pháp phần tử hữu hạn tối thiểu hóa phiếm hàm năng lợng và bao
gồm các bớc sau:
1) Chia nhỏ đối tợng nghiên cứu thành các phần tử hữu hạn;
2) Lựa chọn các ẩn số cơ bản của hàm xấp xỉ trong giới hạn của phần
tử;
3) Xây dựng ma trận độ cứng, nghĩa là xác định sự phụ thuộc giữa lực
tác dụng và chuyển dịch trong các nút của phần tử;
4) Lập hệ phơng trình đại số;
5) Giải các phơng trình thành phần và tính toán các hàm số cần phải
tìm trong các nút phần tử;
Phơng pháp xấp xỉ dần [18]
9
Phơng pháp xấp xỉ dần có 3 dạng: Dạng tích phân, dạng vi phân, và
dạng sai phân. Các dạng tích phân và vi phân dự trên các ma trận tích phân và
vi phân tơng ứng. Dạng sai phân dựa trên cơ sở hàm đa thức từng đoạn và coi
các gián đoạn hữu hạn đã suy rộng khái niệm về miền vi phân và kể đến các
gián đoạn hữu hạn của hàm số cũng nh đạo hàm bậc nhất của nó. Gabbaxov
R.F [6] đã xác định rằng dạng hợp lý nhất của phơng pháp xấp xỉ dần là dạng
sai phân. Dạng này đợc biểu hiện khi phân hoạch vùng tích phân của các ph-
ơng trình vi phân thành các miền con ( các phần tử có kích thớc hữu hạn), và
sử dụng ma trận vi phân và tích phân trong giới hạn phần tử. Nhờ đó ta có thể

1
,
bằng cách thêm vào một hệ thức của hệ tơng đơng. Sự phát triển của cơ sở lý
10
thuyết này căn cứ vào các giả thiết về độ lệch (sai số) nhỏ, giả thiết về đờng
nối các trọng tâm của các mặt cắt liền tiếp nhau là đờng thẳng. Nếu đờng nối
này cong thì lý thuyết này sẽ vẫn ứng dụng đợc với độ chính xác tơng đối nếu
tỷ lệ giữa bán kính của đờng cong đối với chiều dày của mặt cắt cấu kiện là
lớn.
Một hệ tơng đơng đợc thành lập, nó đợc sử dụng để tính toán lần lợt độ
lệch, dao động tự do, và dạng dao động của các phần tử có độ cứng thay đổi
của hệ ban đầu.
Chơng 2: một số phơng pháp tính dao động của dầm,
khung có độ cứng thay đổi.
2.1 Phơng pháp chuyển vị góc (phơng pháp ghép trơn) [16]
2.1.1 Phơng trình vi phân dao
động của dầm có tiết diện đều
Xét một phân tố khối l-
ợng àdx của dầm tựa đơn có tiết
diện không đổi.
Dầm dao động ngang dới tác
động của các lực bên ngoài.
11
y(x,t)
dx
M(x,t) M(x,t)+ M(x,t)
x
dx
Q(x,t)
Q(x,t)+ Q(x,t)


(2.2)
Kết hợp hai phơng trình cuối ta đợc:
4 2
4 2
0
y(x,t) y(x,t)
EJ
x x

+à =

(2.3)
Nếu dao động là điều hòa, không cần xét đó là dao động tự do hay có dao
động cỡng bức với tần số vòng :
y(x,t) y(x)sin t=
(2.4)
Thay vào phơng trình (2.3) ta đợc:
4
2
4
0
y(x)
EJ y(x)
x

+ à =

(2.5)
Phơng trình này đồng nhất với phơng trình:

/
l
EJ

à
=
ữ

(2.10)
Khi đó nghiệm tổng quát có dạng:
3
1 2 4
1 2 3 4
k x
k x k x k x
y(x) C e C e C e C e= + + +
(2.11)
áp dụng công thức với hàm Hypebolic và hàm lợng giác:
1 2
1
2

= +
ik x ik x
x
cosh (e e )
l
; phơng trình (2.11) có dạng
x x x x
y(x) A cos Bsin C cosh Dsinh

= = + + +
ữ

(2.13)
Mô men uốn đợc xác định bằng đạo hàm bậc hai của y đợc xác định bởi:
M(x)
y''(x)
EJ
=
(2.14)
Trong đó:
2
2
x x x x
y''(x) A cos B sin C cosh D sinh
l l l l l


= + + +
ữ

(2.15)
13
Lực cắt đợc xác định bằng đạo hàm bậc ba của y đợc xác định bởi:
Q(x)
y'''(x)
EJ
=
(2.16)
Trong đó:


+ =

+ =

= =

=

A C
A ;C
A C
B sin Dsinh
B sin ;D sinh
B sin D sinh
(2.18)
Nếu là nghiệm không tầm thờng thì nó phải thoả mãn:
0 0 0 = =B ,D ,sin
Trong đó:
2 = , , , j
(2.19)
Thay PT trên vào 1.10, ta tính đợc tần số vòng quay dao động riêng:
1
2 2
2
2


=
ữ

0
0
0
+ =

= =

+ =

+ =
+ =
A C
C A;D B
B D
A(cos cosh ) B(sin sinh )
A(sin sinh ) B(cos cosh )
(2.22)
Hằng số có giá trị khác 0 chỉ khi định thức của hệ số của 2 phơng trình cuối
bằng 0:
2 2 2
0 + =(cos cosh ) (sin sinh )
Sau khi sắp xếp lại ta đợc
1 0 =cos cosh
Khi tính toán hệ khung gồm các dao động ngang (hệ dầm liên tục, khung cứng
vv) việc xác định hằng số tích phân từ A đến D là khác nhau đối với các
thanh khác nhau. Nếu hệ khung, dầm đợc phân tích là có n thanh thì sẽ có 4n
ẩn số. Các phơng trình cần cho việc xác định hằng số tích phân đợc lấy từ các
điều kiện biên tại các điểm nút của hệ thanh.
2.1.3 Mô men và lực cắt tại biên của thanh dao động ngang.
Xét những hệ dao động với dao động điều hoà. Dao động này có thể

Q
ứng với lực trợt tác động tại vị trí x=1 trong cả dấu
và độ lớn, trong khi đó lực ở đầu bên trái
gh
Q
thì ngợc lại với lực trợt tại x=0.
Nếu biết đợc sự biến dạng tại các đầu thanh ta có thể xác định đợc tất cả
các mô men uốn và lực cắt tại đầu theo phơng trình 2.12-2.17 áp dụng cho
những mặt cắt tại mỗi đầu các thanh.
Điều này cũng thoả mãn với trờng hợp thanh chắn đợc liên kết tại 2 đầu
các điều kiện biên khác nhau. Tức là, ngay cả khi nó bị ngàm, tựa bản lề, tự do
ở một đầu hay có tựa đàn hồi (hình 2.3)
Hình 2.3. Các điều kiện biên [16]
Ví dụ xét thanh bên bên trái bị ngàm chặt, còn đầu phải cho chuyển
động xoay cỡng bức theo dao động điều hoà
sin t
với biên độ
1 =
, trong
lúc những chuyển vị và góc xoay còn lại ở đầu kia bằng 0. (hình 2.4)
16
1
Q
gh
=
M
gh
=
EJ
L

0 0 1
= =
= =
' '
y( ) ; y(l)
y ( ) ; y (l)
(2.23)
Thay 2.23 vào 2.12 và 2.13 đợc hệ phơng trình không thuần nhất.
0
0
0
+ =
+ =
+ + + =
+ + + =
A C
B D
A cos Bsin C cosh D sinh
Asin B cos Csinh D cosh L /
(2.24)
Từ đó ta đợc các hằng số tích phân:
2 1
2 1

= =


= =

L sinh sin

2
2
2
= =

= = + + =
hg
''
M M(L)
EJ
EJy (L) EJ ( A cos Bsin C cosh D sinh ) F ( )
L L
(2.28)
3
3
3 2
0 0

= = = + =
'''
gh
EJ
Q Q( ) EJy ( ) EJ ( B D) F ( )
L L
(2.29)
17
3
4
3 2


cosh cos
sinh sin
F ( )
cosh cos
(2.31)
Tóm lại, các lực cắt, mô men uốn tại các đầu mút ứng với các chuyển vị đơn vị
khác tại các đầu thanh gh khác cũng sẽ thu đợc bằng cách làm tơng tự. Xét
chuyển vị và góc xoay tuỳ ý tại các đầu g và h
0
0
= =
= =
g h
' '
g h
y( ) y ; y(l) y
y ( ) ; y (l)
Các hằng số tích phân trở thành
1 2 3 4
2
3 4 5 6
3
1 1
2 2
1 1
2 2
g
h
h g g
g

3
5
3
6
1
1
+
=

+
=

sinh sin
F ( )
cosh cos
cosh sin sinh cos
F ( )
cosh cos
(2.33)
ý nghĩa của các hàm tần số
F( )
đợc thể hiện rõ cả ở các công thức 2.27-2.33
Khi đó biên độ độ võng tại một mặt cắt ngang bất kỳ của thanh chắn đợc tính
theo phơng trình 2.12 kết hợp các biểu thức 2.32. Lực cắt và mô men uốn tại
các đầu thanh đợc tính theo 2.14-2.16
Ví dụ:
18
1 2 3 4
3 4 5 6
2

'' '
h
y( ) y ; y(L) y
y ( ) ; y (L)
C¸c h»ng sè tÝch ph©n lµ:
1
2
= =
g
A C y
(2.34)
1 1
1
2
1 1
1
2
ϕ
 
= − λ + λ − λ λ + λ λ +
 
λ λ − λ λ λ
 
ϕ
 
= λ − λ + − λ λ + λ λ +
 
λ λ − λ λ λ
 
h

 
= λ ϕ − λ − λ +
 
λ
 
 
= − λ ϕ − λ − λ + ϕ
 
λ
 
= −
= ϕ −
λ
g
h
g g
g
h
g g
g
g
y
y
A F ( ) F ( ) F ( ) y
L L
y
y
B F ( ) F ( ) F ( )
L L
C y A

Trong trờng hợp vừa đợc xét, cách giải động học có sự khác nhau cơ bản so
với PP giải tĩnh. Với trờng hợp thanh tựa tĩnh thì chuyển vị và các lực của
thanh tựa khớp ở 2 đầu đều bằng 0.
2.1.4 Các hàm tần số
a. Hàm F()
Đợc tính toán và lập thành các bảng tra ứng với giá trị của (Mục 10.2 tài liệu
tham khảo [16])
b. Hàm tần số ()
Một đại lợng quan trọng trong phép tính động năng là giá trị tích phân:
2
à

j
y (x)dx
(2.39)
Đợc dùng trong việc tính toán các dạng riêng không trực giao, trong các dao
động giảm dần cũng nh không giảm dần, khi xét đến ảnh hởng của tải trọng
động
Dạng của dao động điều hoà của thanh tiết diện chữ nhật, tách rời khỏi hệ
khung, đợc xác định theo phơng trình 2.12, các hằng số tích phân đợc tính
theo công thức 2.34. Do đó 2.12 có thể viết dới dạng:
1 3
3
1
2



=
ữ ữ

3
1
2




ữ ữ




h
x x x x
y F ( ) cos cosh F ( ) sin sinh
L L L L
+
3
4 6
3
1
2



+ +
ữ ữ ữ




thay 2.40 vµo 2.39 ta cã:
2 2 2 2 2
1 2 1 2
2µ = µϕ Φ + µϕ Φ + µϕ ϕ Φ Φ +
∫ ∫ ∫ ∫
h g g h
y (x)dx (x)dx (x)dx (x) (x)dx
(2.43)
1 3 1 4 2 3
2 2 2+ µϕ Φ Φ + µϕ Φ Φ + µϕ Φ Φ +
∫ ∫ ∫
g h h g g h
y (x) (x)dx y (x) (x)dx y (x) (x)dx
2 2
2 4 3 4 4
2 2 2+ µϕ Φ Φ + µ Φ Φ + µ Φ
∫ ∫ ∫
g g h g h
y (x) (x)dx y y (x) (x)dx y (x)dx
TÝch ph©n 2 vÕ ta ®îc:
2 2
3 2 1 3
2
4
2 2
4 5 6
3 2
2
2
2 2

[ ]
[ ]
1 1 2 3 1
2
2 1 2
3 1 4 3
4 1 3 4
5 3 4 3
2
6 3 6
1
4
1
4
1
2
4
1
2
4
1
3
4
1
3
4
Φ λ = λ λ − λ − λ
 
Φ λ = λ − λ
 

2
3
2
7 8 9 10 11 12
4 2 2 2
2 2
2
 
ϕ
ϕ
µ
 
= ϕ Φ λ + Φ λ + Φ λ + Φ λ + Φ λ + Φ λ
 
λ
 
 
h g h g g
h h h
h
y y y y
y y
L
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
L L L L L
Trong ®ã:
21
[ ]
[ ]
[ ]

= + +
= + +
= +

= + = +

( ) F ( ) F ( ) F ( )
( ) F ( ) F ( )F ( ) F ( )
( ) F ( ) F ( )F ( ) F ( )
( ) F ( ) F ( )F ( )
( ) F ( ) F ( ) F ( )F ( )
( ) F ( ) F ( )
(2.47)
Nếu thanh liên kết tựa tại 2 đầu, hằng số tích phân đợc tính theo 2.38. Tích
phân phơng trình 2.39 ta đợc:
{ }
2 2 2
13 14
4
2
à
à = + +


h g h g
L
y (x)dx y y ( ) (y y ) ( )

( ) F ( )
F ( )
(2.49)
Cuối cùng, đối với dầm công son, có đầu g bên trái tự do, các hằng số tích
phân đợc tính theo phơng trình 2.38
2
3
2 2
15 16 17
4 2
2


à
à = + +




h h h
h
y y
L
y (x)dx ( ) ( ) ( )
L L
(2.50)
Trong đó:
[ ]
[ ]
2


=

(2.52)
2
2
M(x, t) y(x,t)
Q(x,t) EJ(x)
x x x


= =
ữ


(2.53)
Phơng trình cân bằng của một phân tố, khi không chịu tác dụng của các ngoại
lực:
2 2 2
2 2 2
y(x,t) y(x,t)
EJ(x) (x)
x x t


+à



(2.54)

, y
2
y
3
.
0 1 2 3 4
U
01
J
01
J
12
J
23
J
34
Hình 2.5. Dầm có tiết diện thay đổi theo bậc [16]
23
Lập bảng các điều kiện cân bằng:

1

2

3
y
1
y
2
y

23
b
3
= d
3
b
1
b
12
c
1
c
12
= d
4
-b
12
b
2
b
23
c
12
c
2
c
23
= d
5
-b

a F ( )
l
+
+

= với i=1,2
2 2
1 1
i
i,i i,i
EJ EJ
a F ( ) F ( )
l l
+

= +


với i=1,2,3
1 3
2
1
i,i
i,i
EJ
b F ( )
l

+

= với i=1,2
6 6
3 3
1 1
i
i,i i,i
EJ EJ
c F ( ) F ( )
l l
+

= +


với i=1,2,3
24
1 1 0 3 0
2
01 01
EJ EJ
d F ( ) F ( ) y
l l

=




2 5
0d d= =
Nếu đồng thời thanh chịu tác dụng của tải trọng điểu hoà bên ngoài, các
số hạng mô tả tải trọng là:
1 1 1
d d M= +
2 2
d M=
3 3 3
d d M= +
4 4 1
d d Q= +

Với M
1
, M
2
, Q
1
là các thành phần tơng ứng của tải trọng bên ngoài
tác dụng lên dầm.
01 04 2 0 1 1 4 0 3 1
3 3
01 01 01 01

= = +