B
Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
B
Ộ XÂY DỰNG
TRƯ
ỜNG ĐẠI HỌC
KI
ẾN TRÚC HÀ NỘI

V
Ũ THỊ HƯƠNG LAN
TÍNH TOÁN DAO Đ
ỘNG CỦA DẦM, KHUNG
CÓ Đ
Ộ CỨNG THAY ĐỔI
LUẬN VĂN THẠC SĨ: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP
Hà Nội – Năm 2011
Bộ giáo dục và đào tạo bộ xây dựng
trờng đại học kiến trúc hà nội

vũ thị hơng lan
khoá:2008-2011; LP: ch2008X1
tính toán dao động của dầm, khung có độ cứng thay
đổi
Chuyên ngành: Xây dựng dân dụng và công nghiệp
Mã số: 60.58.20
luận văn thạc sĩ: xây dựng dân dụng và công nghiệp
Ngời hớng dẫn khoa học:
PGS.TS

ng Quc Lng

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt
Phần 1: Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
4. ý nghĩa thực tiễn và khoa học của đề tài
Phần 2: nội dung của luận văn
Chơng 1: Tổng quan về DĐ của dầm, khung có
độ cứng thay đổi.
9
Chơng 2: một số phơng pháp tính dao động
của dầm, khung có độ cứng thay đổi.
15
2.1 Phơng pháp chuyển vị (phơng pháp ghép trơn).
15
2.1.1 Phơng trình vi phân dao động của dầm có tiết diện đều
15
2.1.2 Nghiệm của phơng trình vi phân dao động của dầm có tiết
diện đều
16
2.1.3 Mô men và lực cắt tại biên của thanh dao động ngang.
19
2.1.4 Các hàm tần số
24
2.1.5 Bài toán dầm có tiết diện thay đổi
27
2.1.6 áp dụng phơng pháp chuyển vị (phơng pháp ghép trơn)
28
2.2 Phơng pháp hệ tơng đơng
31

phơng pháp hệ tơng đơng
70
3.2.2 Ví dụ về tính dao động của khung có độ cứng thay đổi bằng
phơng pháp hệ tơng đơng
77
Kết luận và kiến nghị
82
tài liệu tham khảo
83
Phụ lục
85
5
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt
M Mô men uốn
M
e
Mô men uốn của hệ tơng đơng
Q Lực cắt hoặc tải tập trung
Q
e
- Lực cắt của hệ tơng đơng
q Tải phân bố
q
e
- Tải phân bố trong hệ tơng đơng
m Khối lợng
m
i
Khối lợng của đơn vị thứ i
- Khối lợng một đơn vị chiều dài dầm

cũng đang từng bớc phát triển mạnh mẽ. Ngành xây dựng trong nớc cũng
đang có những bớc phát triển đáng kể. Các công trình xây dựng và giao
thông ngày càng đợc thiết kế với kiến trúc đa dạng và hiện đại, đòi hỏi phần
kết cấu phải theo kịp để đáp ứng yêu cầu kiến trúc và chất lợng công trình.
Trớc kia, các kết cấu có tiết diện thay đổi thờng đợc đơn giản hóa, tính
toán nh các kết cấu có tiết diện không đổi tơng đơng. Nhng ngày nay,
yêu cầu cần phải phát triển và hoàn thiện công nghệ tính toán các công trình
xây dựng nói chung và các công trình kỹ thuật đặc biệt nói riêng để nâng cao
độ chính xác trong quá trình thiết kế kết cấu. Việc tính toán các kết cấu phải
có sự chính xác cao và thuận tiện cho việc sử dụng máy vi tính. Mặc dù vấn đề
tính toán kết cấu là rất quan trọng và đã đợc nhiều nhà khoa học quan tâm,
và đã có nhiều công trình nghiên cứu, song vẫn còn nhiều vấn đề về phơng
pháp tính toán các kết cấu vẫn cha đợc giải quyết triệt để. Cũng xuất phát từ
nhu cầu giải quyết những vấn đề đó tôi đã chọn đề tài của mình là:
Tính toán dao dộng của dầm, khung có độ cứng thay đổi.
Mục đích của luận văn là:
Tìm hiểu một số phơng pháp tính toán dao động của dầm, khung có độ
cứng thay đổi.
Giải các bài toán về dao động của dầm,khung có độ cứng thay đổi.
So sánh các kết quả nhận đợc với lời giải của các phơng pháp số và
phơng pháp giải tích đã biết.
Đối tợng và phạm vi nghiên cứu:
Đối tợng của luận văn là nghiên cứu dao động dầm, khung có độ cứng
thay đổi.
Phạm vi nghiên cứu là nghiên cứu dao động của dầm, và khung phẳng.
8
ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn là:
Nghiên cứu và áp dụng các phơng pháp tính toán dao động của dầm,
khung có độ cứng thay đổi, để thiết kế các công trình xây dựng
9

Phơng pháp tích phân trực tiếp [16].
Chỉ có thể giải đợc trong trờng hợp khi dầm có tiết diện hình lăng trụ.
Từ đó ta tìm đợc phơng trình vi phân của dầm có tiết diện hình lăng trụ là
phơng trình vi phân Bessel. Giải phơng trình vi phân Bessel ta tìm đợc
chuyển vị, từ đó tính đợc góc xoay, mô men uốn và lực cắt. Từ các điều kiện
biên, ta có thể xác định đợc các hằng số trong hệ thức. Trong quá trình đó, ta
sẽ nhận đợc phơng trình đặc trng. Giải phơng trình đặc trng ta sẽ nhận
đợc các trị riêng
1
từ đó tính đợc các tần số riêng của dầm.
2
1
1



n
g
n
g
x
(x) c
l
x


i i i i
i i
i i
i
i i
i
m v P v
P v
m v
Phơng pháp ma trận chuyển tiếp [15]
Đây là một trong những phơng pháp giải tích cơ bản để tính hệ thanh.
Nó đặc biệt có hiệu quả khi tính thanh dạng dải (thẳng, cong, không gian).
ứng dụng vào bài toán ổn định, dao động, nó cho phép giải một loạt các
trờng hợp phức tạp.
Trong phơng pháp ma trận chuyển tiếp ngoài những ẩn ở đầu trái (gốc
xuất phát để tính toán) còn có ẩn số ở những liên kết ngoài cứng và liên kết
trong trơn. Những giá trị không biết ở đầu phải (nút cuối thanh) thờng đợc
tính ra trong việc giải bài toán. Từ các điều kiện biên, ta có thể xác định đợc
các hằng số trong hệ thức, trong quá trình đó ta sẽ nhận đợc các phơng trình
đặc trng. Giải phơng trình đặc trng ta sẽ nhận đợc các giá trị riêng
1
từ
đó tính đợc các tần số riêng tơng ứng.
Phơng pháp thay thế khối lợng [15]
Thay thế các khối lợng phân bố hay tập trung với khối lợng ít hơn
trên kết cấu đặt tại một số điểm đặc biệt. Nội dung của phơng pháp thay thế
khối lợng là thay hệ gồm các khối lợng phân bố liên tục và tập trung thành
hệ có một số khối lợng tập trung. Đa hệ từ hệ vô hạn bậc tự do thành hệ hữu
hạn bậc tự do. Từ phơng trình tần số ta sẽ tìm đợc các tần số riêng.[15]

13
gián đoạn hữu hạn của hàm số cũng nh đạo hàm bậc nhất của nó. Gabbaxov
R.F [6] đã xác định rằng dạng hợp lý nhất của phơng pháp xấp xỉ dần là dạng
sai phân. Dạng này đợc biểu hiện khi phân hoạch vùng tích phân của các
phơng trình vi phân thành các miền con ( các phần tử có kích thớc hữu hạn),
và sử dụng ma trận vi phân và tích phân trong giới hạn phần tử. Nhờ đó ta có
thể giải đợc các bài toán dẫn đến hệ phơng trình vi phân bậc 2, đạo hàm
bình thờng và đạo hàm riêng. PP này có tính đến những gián đoạn ở vế phải
của phơng trình vi phân cần tìm và những đạo hàm đầu tiên của nó. Khi sử
dụng phơng pháp xấp xỉ dần không cần phải viết các điều kiện biên ở bải
toán cho các điểm ngoải miền khảo sát, cũng không cần cô đặc lới ở gần
vùng gián đoạn.
Phơng pháp sử dụng phơng trình suy rộng của phơng pháp sai phân
hữu hạn.[18]
Phơng pháp sai phân hữu hạn có tính đến tất cả các gián đoạn hữu hạn
nói trên, ngoài gián đoạn của các đạo hàm bậc nhất của vế phải các phơng
trình vi phân ban đầu. Khi đó, khác với các phơng trình bình thờng của
phơng pháp sai phân hữu hạn không cần cô đặc lới hoặc dùng giá trị trung
bình tại vùng gần gián đoạn. Ngoài ra tất cả các điểm tính toán phân bổ trong
giới hạn của vùng tích phân các phơng trình vi phân. Khi không có các gián
đoạn, các phơng trình suy rộng của phơng pháp sai phân hữu hạn trở thành
các phơng trình đã biết của phơng pháp sai phân hữu hạn. Nếu bài toán
đợc giải trên máy tính với mức độ phân hoạch cao thì sự khác nhau về độ
chính xác giữa kết quả khi dùng phơng pháp phần tử hữu hạn hay phơng
trình suy rộng của phơng pháp sai phân hữu hạn là không đáng kể.
Phơng pháp hệ tơng đơng [18]
Đây là một phơng pháp khá đơn giản để giải quyết các vấn đề phức
tạp, đợc sử dụng để phân tích tĩnh học, động lực học, và sự dao động của hệ
kết cấu đợc cấu tạo từ nhiều cấu kiện có độ cứng EJ thay đổi.
14

2
y(x, t)
M(x, t) EJ
x



3
3
y(x, t)
Q(x, t) EJ
x



(2.1)
áp dụng nguyên lý Dalembert cho phơng trình cân bằng lực thẳng đứng
y(x,t)
dx
M(x,t) M(x,t)+ M(x,t)
x
dx
Q(x,t)
Q(x,t)+ Q(x,t)
dx
x
16
2
2
0




(2.5)
Phơng trình này đồng nhất với phơng trình:
2
0y''''(x) y(x)
EJ


(2.6)
Phơng trình không có điều kiện biên nào đợc xét nên phơng trình này đợc
áp dụng cho những thanh có điều kiện biên bất kỳ.
2.1.2 Nghiệm của phơng trình vi phân dao động của dầm có tiết diện
đều
Nghiệm tổng quát của phơng trình vi phân thuần nhất (2.6) là tổng hợp
của 4 nghiệm riêng có dạng nh sau:
kx
y(x) e
(2.7)
đợc nhân với các hằng số tích phân. Thay (2.7) vào (2.6) ta đợc phơng
trình đặc trng:
4 2
0k EJ
(2.8)
Suy ra:
1 2 3 4 1 2, , ,
k ;k i ik
l l


x
cosh (e e )
l
; phơng trình (2.11) có dạng
x x x x
y(x) A cos Bsin C cosh D sinh
l l l l


(2.12)
Hệ thức liên hệ giữa 2 tập hợp hằng số là:
1
1
2
C (C D)
;
2
1
2
C (C D)
;
3
1
2
C (A iB)
;
4
1
2
C (A iB)

y'''(x)
EJ

(2.16)
Trong đó:
3
3
x x x x
y'''(x) Asin B cos Csinh D cos
l l l l l


(2.17)
Các phơng trình từ 2.12 đế 2.17 cho phép tính đợc tần số và dạng dao động
riêng của dầm tiết diện không đổi với điều kiện biên bất kỳ.
*) Đối với dầm tựa đơn, điều kiện biên có thể áp dụng là:
0 0 0
0 0 0y( ) ; y(l)
M( ) ; M(l)
18
Kết hợp 2.12 và 2.15 ta có các hệ phơng trình sau:
0
0 0
0

2
2



j EJ
(j)
L
(2.20)
Với j là số nguyên dơng.
Dao động riêng thứ j đợc tính theo 2.12, Sau khi thay vào đợc dạng sau:
2 j x L j x
y(x) B sin y sin
L j L
Với y(L/2j) là biên độ dao động.
*) Đối với dầm ngàm tại hai đầu thì điều kiện biên là:
0 0 0
0 0 0' '

vv) việc xác định hằng số tích phân từ A đến D là khác nhau đối với các
thanh khác nhau. Nếu hệ khung, dầm đợc phân tích là có n thanh thì sẽ có 4n
ẩn số. Các phơng trình cần cho việc xác định hằng số tích phân đợc lấy từ
các điều kiện biên tại các điểm nút của hệ thanh.
2.1.3 Mô men và lực cắt tại biên của thanh dao động ngang.
Xét những hệ dao động với dao động điều hoà. Dao động này có thể
phát sinh do dao động tự do hay do dao động cỡng bức do lực tác dụng điều
hoà trong khoảng thời gian đủ dài:
g h
Mhg
Qhg
Mgh
Qgh
g h
Hình 2.2. Mô men, lực cắt đầu thanh tách từ khung [16]
Từ hệ trong hình 2.2 phần tách rời của thanh gh đang dao động ngang.
Để thay thế tác dụng của phần còn lại trên hệ, tại mỗi đầu thanh đợc tác dụng
bởi những mô men
gh hg
M (t), M (t),
và lực cắt
gh hg
Q (t),Q (t).
Giả sử mô men tại 2
đầu thanh quay thuận kim đồng hồ dơng.
20
Do đó, mô men đầu trái phù hợp với mô men uốn tác dụng ở mặt cắt
x=0 cả về độ lớn và dấu, trong khi mô men đầu phải có dấu ngợc lại với mô
men uốn tại mặt cắt x=1.
Lực cắt ở đầu thanh đợc coi dơng nếu lực hớng xuống phía dới.

F(
3
1
F(
L
EJ
2
Mhg=
F(
L
EJ
2
F(
2
L
Qhg=
EJ
Hình 2.4. Góc quay đơn vị tại đầu phải [16]
Nếu không có sự tác dụng trong khoảng giữa thanh, phơng trình 2.12 và các
đạo hàm từ 2.13-2.17, các điều kiện biên đợc biểu diễn là:
0 0 0
0 0 1' '
y( ) ; y(l)
y ( ) ; y (l)
(2.23)
Thay 2.23 vào 2.12 và 2.13 đợc hệ phơng trình không thuần nhất.
0

2
0 0


''
gh
EJ
M M( ) EJy ( ) EJ ( A C) F ( )
L L
(2.26)
Trong đó:
1
1



sinh sin
F ( )
cosh cos
(2.27)
Mặt khác:
2
2
2



hg
''
M M(L)

2
3
2
4
1
1
1









cos h sin sinh cos
F ( )
cosh cos
cos h cos
F ( )
cosh cos
sinh sin
F ( )
cosh cos
(2.31)
Tóm lại, các lực cắt, mô men uốn tại các đầu mút ứng với các chuyển vị đơn
vị khác tại các đầu thanh gh khác cũng sẽ thu đợc bằng cách làm tơng tự.
Xét chuyển vị và góc xoay tuỳ ý tại các đầu g và h
0

L L







1
g
g
C A y
D B



(2.32)
Trong đó:
3
5
3
6
1
1




h
gh h g
g
h
gh h g
y
y
EJ
M F ( ) F ( ) F ( ) F ( )
L L L
y
y
EJ
Q F ( ) F ( ) F ( ) F ( )
L L L
+) Mô men và lực cắt tại đầu thanh có bản lề tại điểm g. Điều kiện biên là:
0
0 0


g h
'' '
h
y( ) y ; y(L) y
y ( ) ; y (L)
Các hằng số tích phân là:
1
2

g

+) Đối với thanh ngàm tại g và có tựa tại h, các điều kiện biên là
0
0 0


g h
' ''
g
y( ) y ; y(L) y
y ( ) ; y (L)
(2.35)
Và các hằng số tích phân là:
7 8 9
2
9 10 11
3
1 1
2 2
1 1
2 2
1