Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

231
 Chuyên đề 8:
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

 Vấn đề 1: MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
TỌA ĐỘ
1.
1 2 3 1 2 3
u (u ; u ; u ) u u i u j u k    

2.
1 1 2 2 3 3
a b (a b ; a b ; a b )    

3.
  
1 1 2 2 3 3
a.b a b a b a b

4.
31
12
23
23
31
12
aa
aa






7.

a.b
Cos(a,b)
a . b

8.
1 2 3 1 2 3
a cùng phương b a,b 0 a :a :a b :b : b

   


9.



a,b,c đồng phẳng a,b .c 0

10. Diện tích tam giác:




ABC

  
2 2 2
A B C 0
)

0 0 0
đi qua M(x ; y ; z )
( ):
co ù vectơ pháp tuyến : n (A;B;C)









     
0 0 0
( ):A(x x ) B(y y ) C(z z )
= 0
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

232
 Mặt phẳng chắn: () cắt Ox, Oy, Oz lần lượt A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c),
(a, b, c khác 0)

x x y y z z
Phương trình tham số : với (a ; a ; a 0)
aaa
  
  

 Đường thẳng đặc biệt:
y 0 x 0 x 0
Ox: ; Oy: ; Oz
z 0 z 0 y 0
  
  
  
  
  B. ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d:
x 1 y z 3
2 1 2



. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, vuông góc với
đường thẳng d và cắt trục Ox.
Giải
 Gọi M là giao điểm của  với trục Ox  M(m; 0; 0) 

d
A


O
x
P
Q
M
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

233
+) Vectơ pháp tuyến của (Q) là
(Q) d
na
.
  = (P)(Q)  véctơ chỉ phương của  là:
(P) (Q)
a n ,n




.
Cách 3.
 Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với d  (Q): 2x + y – 2z + 2 = 0.
 Gọi M là giao điểm của Ox và (Q)  M(–1; 0; 0).
 Véctơ chỉ phương của  là:
AM
.

 M   
 
M 2 t; 1 3t; 5 2t    


 
AB 1; 2 ; 1  
,
 
AM t; 3t; 6 2t  
,
 
AB,AM t 12; t 6; t

    

.
 S
MAB
=
35

1
AB,AM 3 5
2




   





   


Vectơ pháp tuyến của (P):
 
n 1; 2; 3
; vectơ chỉ phương của :
 
u 1; 1; 1

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

234
Đường thẳng d cần tìm qua I và có một vectơ chỉ phương:

 
 
 
 
PP
12
n 1; 2; 3 , n 3; 2; 1  


):

 
 
 
 
PP
12
n 1; 2; 3 , n 3; 2; 1  

(P) vuông góc với hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
)
 (P) có một vectơ pháp tuyến:
     
   
P P P
12
n n ,n 8; 10; 4 2 4; 5; 2

      


Mặt khác (P) qua A(1; 1; 1) nên phương trình mặt phẳng
(P): 4(x – 1) – 5(y – 1) + 2(z – 1) = 0
Hay (P): 4x – 5y + 2z – 1 = 0
Bài 5: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 0), B (0; 2; 1)

z4

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

235
Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1),
C(–2; 0; 1)
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
2. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho:
MA = MB = MC.
Giải
1.
đi qua A(0; 1; 2)
(ABC):
có vectơ pháp tuyến là AB,AC 2(1; 2; 4)









Phương trình mp(ABC): 1(x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0
 x + 2y – 4z + 6 = 0
2. Cách 1:
Ta có:
AB.AC 0



x2
2x 2y z 3 0
y3
x y 1 z 1
z7
1 1 4

Vậy M(2; 3; 7).
Cách 2: Gọi M(x; y; z)
Ta có








MA MB
MA MC
M ( )



          


          

236
Bài 7:CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 3) và đường thẳng d
có phương trình:



x y z 1
1 1 2

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O
Giải
1.



  


(P) d
qua A(1; 1; 3)
(P):
co ù vectơ pháp tuyến n a (1; 1;2)

Phương trình mặt phẳng (P): 1(x – 1) – (y – 1) + 2(z – 3) = 0
 x – y + 2z – 6 = 0
2. Gọi M(t; t; 2t + 1)  d
 Tam giác OMA cân tại O  MO
2


.
Bài 8 :ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2; 4)
và đường thẳng

  

x 1 y 2 z
:
1 1 2

1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và
vuông góc với mặt phẳng (OAB).
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
Giải
1. Tọa độ trọng tâm: G(0; 2; 4). Ta có:
  OA (1; 4; 2),OB ( 1; 2; 2)

Vectơ chỉ phương của d là:
 
   u (12; 6; 6) 6 2; 1; 1

Phương trình đường thẳng d:



+ MB
2
nhỏ nhất  t = 2. Khi đó M(1; 0; 4)

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

237
Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường
thẳng:




1
x y 1 z 1
d:
2 1 1
;
 



  





2


    


Vì (P) qua A(0; 1; 2)  (P) : x + 3y + 5z  13 = 0.
Do B(0; 1; 1)  d
1
, C(1; 1; 2)  d
2
nhưng B, C  (P), nên d
1
, d
2
// (P).
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là (P): x + 3y + 5z  13 = 0
2. Vì M  d
1
, N  d
2
nên M(2m; 1+ m; 1 m), N(1 + n; 12n; 2 + n)

AM (2m; m; 3 m); AN (1 n; 2 2n; n)      
.

AM,AN ( mn 2m 6n 6; 3mn m 3n 3; 5mn 5m).

          


A,M,N thẳng hàng 


x 3 y 1 z
1 2 1

1. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 
1
và song song với đường
thẳng 
2
.
2. Xác đònh điểm A  
1
, B  
2
sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Giải
1. 
1
qua M
1
(1; 1; 2) có vectơ chỉ phương
 
1
a 1; 1; 0


2
qua M
2
(3; 1; 0) có vectơ chỉ phương

:
 
1
x 1 t
A A 1 t; 1 t; 2
y 1 t
z2



    
  





 Phương trình tham số 
2
:
 
2
x 3 t
B B 3 t ; 1 2t ; t
y 1 2t
zt








   







1
2
AB.a 0
2t 3t 0
t t 0
3t 6t 0
AB.a 0

 A(1; 1; 2); B(3; 1; 0) .
Bài 11:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(4; 2; 4) và đường thẳng
d
  





  
 Vấn đề 2: HÌNH CHIẾU VÀ ĐỐI XỨNG

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

HÌNH CHIẾU

Phương pháp
 Cách 1: (d) cho bởi phương trình tham số:
Bài toán 1: Tìm hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng (d).
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

239
 H  (d) suy ra dạng tọa độ của điểm H phụ thuộc vào tham số t.
 Tìm tham số t nhờ điều kiện

d
AH a

 Cách 2:
(d) cho bởi phương trình chính tắc.
Gọi H(x, y, z)


d
AH a
(*)
 H  (d): Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được x, y, z
 Cách 3:

 H là trung điểm AA'.
H


A
(d)
(d)
A
H



d
()
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

240
Bài toán 2: Tìm điểm A' đối xứng với điểm A qua mặt phẳng ().
Phương pháp
 Tìm hình chiếu H của A trên ().
 H là trung điểm AA'.

Bài toán 3: Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua
đường thẳng ().
Phương pháp
 Trường hợp 1: () và (D) cắt nhau.
 Tìm giao điểm M của (D) và ().

M
(D)
A
A’
()
d
(D)
A

M
A’
d
(D)
A
d
A’
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

241
B. ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0
và hai điểm A(3; 0;1), B(1; 1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song
song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến
đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Giải
Gọi  là đường thẳng cần tìm;  nằm trong
mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P)
Phương trình (Q): x – 2y + 2z + 1 = 0
K, H là hình chiếu của B trên , (Q).


. Vậy, phương trình :



x 3 y z 1
26 11 2

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường
thẳng:
     
   

12
x 2 y 2 z 3 x 1 y 1 z 1
d : ; d :
2 1 1 1 2 1
.
1/ Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
1
.
2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
Giải
1/ Mặt phẳng () đi qua A(1; 2; 3) và vuông góc với d
1

2/ Viết phương trình đường thẳng :
Vì A' đối xứng với A qua d
1
và cắt d
2
, nên  đi qua giao điểm B của d
2
và ().
Tọa độ giao điểm B của d
2
và () là nghiệm của hệ
B
H
K
A
Q
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

242

x2
x 1 y 1 z 1
y 1 B(2; 1; 2)
1 2 1
2x y z 3 0
z2


Giải
1/ A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A'(0; 0; 2)  C'(0; 2; 2)
Ta có:

   A C (0;2; 2), BC ( 2;2;2)

Suy ra
   
     A C.BC 0 4 4 0 A C BC

Ta có:









A C BC
A C (ABC )
A C AB

Suy ra (ABC') qua A(0; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến là
A C (0; 2; 2)


nên có
phương trình là: (ABC') 0(x – 0) + 2(y – 0) – 2(z – 0) = 0  y – z = 0

1
D
1

có A trùng với gốc tọa độ O, B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A
1
(0; 0;
2
).
a/ Viết phương trình mp(P) đi qua 3 điểm A
1
, B, C và viết phương trình hình
chiếu vuông góc của đường thẳng B
1
D
1
lên mặt phẳng (P).
b/ Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A
1
C. Tính diện tích thiết
diện của hình chóp A
1
ABCD với mặt phẳng (Q).
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

243
Giải
Ta có: A(0; 0; 0); B
1
(1; 0;

   
 
     2 x 0 0 y 0 1 z 2 0


  2.x z 2 0

Ta có
 
11
B D 1; 1; 0

 Mặt phẳng () qua B
1
(1; 0;
2
)
nhận
 
P 1 1
n n , B D 1; 1; 2


   


làm vectơ pháp tuyến. Nên () có phương trình:
(): 1(x – 1) – 1(y – 0) +
2
(z

 
 
 
 











x 0 t 2
y 0 t 3
t
z 2 2t 4

 Gọi M = A
1
C  (Q) thay (2) (3) (4) vào (1) ta được
1 + t 
 
   
1
2 2 2t 0 t
2



Tương tự A
1
D  (Q) = N
22
0; ;
33




; A
1
B  (Q) = L
22
; 0;
33





B
1
A
1
D
1
C
1

12
S AM; AL
26






 

2
NL 1; 1; 0
3
và
 

1
NM 3; 1; 2
6

 




2
NL,NM 1; 1; 2
9



     

SA 2(1; 0; 1), SB 2(1; 1; 1), n SA,SB 4(1; 0;1)

 Mặt phẳng (SAB) qua A(0; 0; 2) và có
n 4(1;0;1)
, (SAB): x + z – 2 = 0 (1)
 d đi qua O và d  (SAB) 
d
a (1; 0; 1)
.
Phương trình tham số d:
 









x t (2)
y 0 (3)
t
z t (4)

 I = d  (SAB) ta thay (2), (3), (4) vào (1)  t = 1  I(1; 0; 1)
 Vì C, O đối xứng qua (SAB) nên I là trung điểm OC





x 0 2t (2)
y 0 (3)
t
z m mt (4)

Thay (2), (3), (4) vào (1): 4t – m
2
+ m
2
t = 0 


2
2
m
t
m4

 SA  () =
2
22
2m 4m
H ; 0;
m 4 m 4






    

  
42
2
OBH
2 4 2
1 2m m 8m
S OH,OB 8 m 2 2
2
m 4 m 8m 16
(đpcm)
Bài 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:



   


   

   







12
a ,a 2;0; 1

Vậy (P) qua M(0; 2; 0), và vectơ pháp tuyến
n
= (2; 0; 1)
Nên phương trình (P): 2(x  0) + 0 (y + 2)  1 (z  0) = 0
 2x  z = 0
b/
  
min 2
MH MH
 H là hình chiếu của điểm M trên 
2

Cách 1: Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và vuông góc với 
2
Phương trình (Q): x + y + 2z  11 = 0
{H} = (Q)  
2
 H(2; 3; 3)
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

246
Cách 2:

d
a
(1; 1; 1)
Phương trình d:
  


  


  

x 1 t (2)
y 3 t (3)
z 2 t (4)
thay (2), (3), (4) vào (1) ta được: t = 1
Ta có AA'  (P) = H(2; 2; 3)
 Vì H là trung điểm AA' (A' là điểm đối xứng A qua (P)
Ta có:
 



   



    
   


Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

247
 Vấn đề 3: KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

KHOẢNG CÁCH
Bài toán 1: Tính khoảng cách từ điểm M(x
0
, y
0
, z
0
) đến mặt phẳng ().
Ax + By + Cz + D = 0 (A
2
+ B
2
+ C
2
 0)
Phương pháp

 
 
  

= 0
Và (): Ax + By + Cz + D
2
= 0
Phương pháp
Khoảng cách giữa () và () được cho bởi công thức:

 
 
 





12
2 2 2
DD
d,
A B C

Bài toán 5: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2. Phương pháp
 Cách 1:
 Tìm phương trình mặt phẳng () chứa d


Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

248
+ Ghi chú:
Mặt phẳng () và () chính là 2 mặt phẳng song song với nhau và lần lượt
chứa d
1
và d
2
.
 Cách 3:
 Viết d
2
dưới dạng phương trình tham số theo t
1
.
 Viết d
2
dưới dạng phương trình tham số theo t
2
.


Xem A  d
1
 dạng tọa độ A theo t
1
.
 Xem B  d

2
AB a
AB a
tìm được t
1
và t
2
.
 Khi đó d(d
1
, d
2
) = AB
 Cách 4 :
 
12
d d ,d





1 2 1
2
12
a ,a .M M
a ,a

GÓC
Cho 2 đường thẳng d và d' có phương trình:

2
+ B
2
+ C
2
 0)
(): A'x + B'y + C'z + D' = 0
 
2 2 2
A B C 0
  
  

1. Góc giữa hai đường thẳng d và d':

  


  
   
2 2 2 2 2 2
aa bb cc
cos
a b c . a b c

2. Góc giữa hai mặt phẳng () và ():

  



 MA = MB  (x – 2)
2
+ y
2
+ (z – 1)
2
= x
2
+ (y + 2)
2
+ (z – 3)
2

 x + y – z + 2 = 0 (2).
 Từ (1) và (2) ta có

   

   

2x y z 4 0
x y z 2 0


    

   

y z 2x 4 (a)
y z x 2 (b)

x 2 3x 6
x 2 1 9
22

 14x
2
+ 12x = 0  x = 0 hoặc x =

6
7

Với x = 0, suy ra y = 1 và z = 3.
Với x =

6
7
, suy ra y =
4
7
và z =
12
7
.
Vậy M(0; 1; 3) hay M
6 4 12
;;
7 7 7









 Vì M  nên M(2t; 1 + t; 3 + 3t)
 MA = 3  (2 – 2t)
2
+ (–1 – t)
2
+ (–2 – 3t)
2
= 9  t = 0 hoặc t =
3
7


Vậy M(0; 1; 3) hay M
6 4 12
;;
7 7 7




.
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
x 2 y 1 z
1 2 1












   


x1
y1
z1








. Suy ra: I(1; 1; 1).
 Giả sử M(x; y; z), thì:
 
IM x 1; y 1; z 1   
.

Với x = 5 thì y = 9 và z = –11. Với x = –3 thì y = –7 và z = 13.
Vậy M(5; 9; –11) hoặc M(–3; –7; 13).
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

251
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 1 y z 2
:
2 1 1

  

và mặt
phẳng (P): x  2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của  với (P), M là điểm thuộc .
Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC =
6
.
Giải
Ta có: C   nên C (1 + 2t; t; –2 – t) với t 
C  (P) nên (1 + 2t) – 2t – 2 – t = 0  t = –1. Do đó C (–1; –1; –1)
M   nên M (1 + 2m; m; –2 – m) (m  )
MC
2
= 6  (2m + 2)
2
+ (m + 1)
2
+ (–m – 1)
2

phẳng (ABC) bằng
1
3
.
Giải
Phương trình mặt phẳng (ABC):
  
x y z
1
1 b c
 bc.x + cy + bz – bc = 0
Vì d (O, ABC) =
1
3
nên


2 2 2 2
bc 1
3
b c b c
 9b
2
c
2
= b
2
c
2
+ b

Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :


x y 1 z
2 1 2
. Xác đònh
tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến  bằng OM.
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

252
Giải
Ta có M  Ox  M (m; 0; 0) (m ) suy ra OM = |m| .
Đường thẳng  qua N (0; 1; 0) và có vectơ chỉ phương
a
= (2; 1; 2) .

NM (m; 1; 0)

a , NM (2; 2m; 2 m)

  


Ta có: d (M, ) = OM 
a, NM
OM

.
Mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) nên có vectơ pháp tuyến là

(Q)
(R) (P)
k n , m (2;0; 2) 2(1; 0; 1)

    


Do đó phương trình (R) có dạng : x  z + D = 0.
Ta có: d (O; (R)) = 2
    
D
2 D 2 2
2
.
Vậy phương trình (R):
     x z 2 2 0 hay x z 2 2 0

Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1
:






AM (1 t; t 1; t)  

2
[a ,AM] (2 t; 2; t 3)   

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

253
Giả thiết cho: d(M; 
2
) = 1

2
2
[a , AM]
1
a

   


22
(2 t) 4 (t 3)
1
4 1 4       
  
22

(d)
()
n a , n 3(1; 2; 0)





Phương trình mặt phẳng (): (x – 0) + 2(y – 1) = 0  x + 2y – 2 = 0
2. M  d  M (–2t; 1 + t; t)
M cách đều O và (P)  OM = d (M , (P))

    
   

2 2 2
2( 2t) (1 t) 2(t) 2
4t (1 t) t
4 1 4


   
2
6t 2t 1 t 1
 t = 0  M (0; 1; 0)
Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0
và hai đường thẳng 
1
:

   
MA 2 t; 3 t; 8 6t , MA, u 8t 14; 20 14t; t 4

       


Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

254


  

2
MA,u 3 29t 88t 68

Khoảng cách từ M đến 
2
:
 


    
2
2
MA,u
d M, 29t 88t 68

Ta có
 
53 18 53 3
t 1 M 0; 1; 3 ; t M ; ;
35 35 35 35

    



Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1; 2; 1),
B(2; 1; 3), C(2; 1; 1) và D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B
sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Giải
Mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: (P) qua A, B và song song với CD
Vectơ pháp tuyến của (P):



n AB,CD     
       AB 3; 1; 2 , CD 2; 4; 0 n 2 4; 2; 7

Phương trình (P): 4x + 2y + 7z – 15 = 0
Trường hợp 2: (P) qua A, B và cắt CD. Suy ra (P) cắt CD tại trung điểm I của CD.
Ta có I(1; 1; 1) 

AH (2t 1; t 5; 2t 1)   

 Vectơ chỉ phương của d:
a (2;1; 2)

 Yêu cầu bài toán:
AH a
 2(2t – 1) + (t – 5) + 2(2t – 1) = 0
 t = 1  H(3; 1; 4) là hình chiếu của A lên d.
2/ Phương trình tổng quát của d:
  


  

x 2y 1 0
2y z 2 0

Cách 1: () chứa d nên: (): m(x – 2y – 1) + n(2y – z + 2) = 0 (m
2
+ n
2
 0)
 mx + (2n – 2m)y – nz – m + 2n = 0

 



22

đi qua H(3; 1; 4)
( ):
có vectơ pháp tuyến: AH (1; 4; 1)








 Phương trình (): 1(x – 3) – 4(y – 1) + 1(z – 4) = 0  x – 4y + z – 3 = 0.
Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A'(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của AB và CD.
1/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN.
2/ Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc
 biết cos =
1
6
.