ĐI HC QUC GIA H NI


Bài toán xác định góc trong không gian giữa 2 đường
thẳng chéo nhau, góc giữa 2 mặt phẳng, góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng.
Ging viên hưng dẫn  !"#$%$&#$
Sinh viên thc hin  !"#$'()#*)#
M sinh viên ++,+,++-
Lp ./$01(2#
Kha 3,++
Hà Nội, tháng 6 – 2014
1
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
4
2
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
5465
Điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những đối tượng cơ bản của hình học không
gian. Từ đó chúng ta có thể tạo nên những vật thể khác nhau như: hình chóp, hình
lăng trụ, hình nón… Môn hình học không gian là môn học nghiên cứu các tính chất
của các hình nằm trong không gian.
Bài tiểu luận này sẽ nghiên cứu chủ yếu về vấn đề góc trong không gian, cụ thể là
các bài toán xác định góc trong không gian giữa 2 đường thẳng chéo nhau, góc giữa
2 mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Khái niệm góc trong không gian
được nhắc tới trong hình học không gian lớp 11.
Trong thực tế, chúng ta có thể bắt gặp rất
nhiều hình ảnh về góc trong không gian như
sợi dây dọi vuông góc với nền nhà cho ta
hình ảnh về sự vuông góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng, mái nhà so với mặt đất, hình

có thể nắm vững được:
• Cách dựng góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau, góc giữa 2 mặt phẳng, góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Cách tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau, góc giữa 2 mặt phẳng, góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng.
4
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
5A
I. BC5D
1. E;7F)$)7G.H#=$I#
Cho hai đường thẳng , bất kỳ trong
không gian.
Từ điểm O nào đó,ta vẽ hai đường
thẳng , lần lượt song song (hoặc trùng)
với , . Dễ thấy rằng khi điểm O thay
đổi thì góc giữa và không thay đổi.
Hình 1
'#$#$J)+
Góc giữa hai đường thẳng và là góc giữa hai đường thẳng và cùng đi qua một
điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với và .
Kí hiệu hay .
'#$#$J)3 Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng
bằng 90°.
Chú ý:
• Để xác định góc giữa hai đường thẳng nói và , ta có thể lấy điểm O nói trên
thuộc một trong hai đường thẳng đó.
• Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90.
• Nếu , lần lượt là vectơ chỉ phương của và và (, ) = α thì góc giữa hai đường
thẳng và bằng α nếu α ≤ 90° và bằng 180° - α nếu α ≥ 90°.
• Khi hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, ta còn nói gọn là hai đường

chiếu ∆’ của nó trên (P) (h.5).
Hình 5
Chú ý:
6
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
• Nếu đường thẳng ∆ thuộc mặt phẳng (P) hoặc đường thẳng ∆ song song với
mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng 0°.
• Nếu đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa
đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng 90°.
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 90°.
3. E;7F)$)71K=/$I#
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q).
Lấy hai đường thẳng a và b lần lượt vuông
góc với (P) và (Q).
Khi đó, góc giữa hai đường thẳng a và b
không phụ thuộc vào cách lựa chọn chúng
và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P)
và (Q) (h.6).
Hình 6
'#$#$J)S: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
vuông góc với hai mặt phẳng đó.
'#$#$J)T Hai mặt phẳng gọi là vuông
góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°
(h.7).
Chú ý:
• Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng
nhau hoặc song song với nhau thì góc
giữa chúng bằng 0°.
• Góc giữa hai mặt phẳng không vượt
quá 90°.

Bước 2: Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Sử dụng tỷ số lượng giác của góc trong tam giác vuông hoặc sử dụng định lý hàm số
Côsin trong tam giác thường để xác định số đo góc giữa và
• Định lý hàm số Côsin (h.1.3)
Hình 1.3
8
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
• Hệ thức lượng trong tam giác vuông
(h.1.4)
=
cos α =
tan α = cot α =
Hình 1.4
X%Y:+: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của BC và AD. Tính góc giữa AB và CD, biết MN = a.
Gii:
Dựng góc
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng
CD.
Xét tam giác ABC có IM là đường
trung bình của tam giác ABC ⇒ IM //
AB
Xét tam giác ABC có IN là đường trung
bình của tam giác ACD ⇒ IN // CD
(h.1.5)
Hình 1.5
Ta có: ⇒ =
Tính góc
Theo định lý hàm số Cô-sin cho tam giác MIN có:
Suy ra =

tại A’ và ta có tam giác A’HA vuông tại H).
Từ đây suy ra cos = = > 0.
Mà () = ⇒ cos () = cos () = cos =
U&7=@/GV#$'
Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác BCD. Hãy tính cô-sin của góc giữa AC và DO.
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AD.
a) Tính cô-sin của góc giữa AB và DM, biết ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng a.
b) Hãy tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = .
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA’ = c.
Hãy tính góc giữa AD’ và B’C.
2. 2;Q&7=(2#Z2;G'#$E;7F)G.H#=$I#9&1K=/$I#
Để giải các bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong trường hợp chúng
cát nhau ta thực hiện như sau:
10
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
Bước 1: Dựng góc giữa đường thẳng
d và mặt phẳng (P).
Xác định giao điểm O của đường
thẳng d và mặt phẳng (P).
Lấy điểm M thích hợp trên d sao cho
dễ dàng kẻ được MH ⊥ (P).
Khi đó OH là hình chiếu của OM trên
mặt phẳng (P) (h.2.1).
Hình 2.1
Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa OM và OH.
= = .
Bước 2: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Ta quy về tính góc giữa đường thẳng d và đường thẳng đi qua OH (hướng dẫn trong
phần a)).

Hình 2.4
X%Y:+: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = a vuông
góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SBC).
Gii:
Dựng góc:
Giao điểm AB ∩ (SBC) = {B}.
Dựng mặt phẳng vuông góc với (SBC).
Kẻ IA ⊥ BC.
Ta có: ⇒ BC ⊥ (SAI).
Suy ra (SBC) ⊥ (SAI).
Giao điểm AB ∩ (SAI) = {A}.
Trên mặt phẳng (SAI) kẻ AH ⊥ SI, suy ra:
AH ⊥ (SBC) (h.2.5).
Khi đó AH chính là hình chiếu vuông góc
của đường thẳng AB lên mặt phẳng SBC.
Hình 2.5
Suy ra góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SBC) chính là góc giữa hai đường
thẳng AB và HB hay chính là góc .
Tính góc:
12
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
Ta tính góc .
Tam giác SAI vuông tại A có: .
Suy ra AH = .
Ta có tam giác ABH vuông tại H có: = = .
Suy ra = 50°.
Vậy góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SBC) bằng 50°.
X%Y:3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh SA =
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

và (Q)
Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)
Lấy điểm O thích hợp trên d sao cho: Trên
mặt phẳng (Q) từ O dựng đường thẳng a ⊥
d, trên mặt phẳng (P) từ O dựng đường
thẳng b ⊥ d (h.3.1).
Khi đó =
Hình 3.1
Bước 2: Tính góc
Ta quy về tính góc giữa hai đường thẳng a và b (hướng dẫn trong phần a))
Nếu ≤ 90° thì = .
Nếu > 90° thì = 180° − .
$WP+: Để dựng góc giữa hai mặt phẳng một cách chi tiết, ta có thể sử dụng một
số các gợi ý sau:
Gợi ý 1: Nếu phát hiện thấy trong
mặt phẳng (Q) có một điểm M sao
cho dễ dàng kẻ được MH ⊥ (P) (MH
thường là đường cao, H ∈ (P)).
Kẻ HO ⊥ d (O ∈ d, d là giao tuyến
của hai mặt phẳng (P) và (Q)). Nối
OM.
Khi đó HO chính là hình chiếu của
OM trên mặt phẳng (P).
Hình 3.2
Mà d ⊥ HO ⇒ d ⊥ OM (theo định lý ba đường vuông góc).
Suy ra, theo định nghĩa, góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc .
Gợi ý 2: Nếu phát hiện thấy có
14
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
đường thẳng a vuông góc với giao

Chứng minh =
Xét tam giác SAH có AS ⊥ AH, áp dụng hệ
thức lượng trong tam giác vuông SAH có:
Hình 3.5
AH = SH .
Từ đó ta có: = .BC.AH = .BC.SH. = 
15
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
X%Y:3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = .
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
b) Tính diện tích tam giác SBC.
Gii:
a) Dựng góc
Gọi H là trung điểm của cạnh BC. ta có
BC ⊥ AH.
Do SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC (h.3.6).
Suy ra BC ⊥ (SAH).
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(SBC) bằng SHA.
Hình 3.6
Tính góc
Đặt α = SHA, ta có:
= .
Ta suy ra α = 30°. Vậy góc giữa (ABC) và (SBC) bằng 30°.
b) Vì SA ⊥ (ABC) nên tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác ABC.
Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác SBC và ABC.
Ta có: S’ = S. ⇒ S = .
Suy ra: S = = .
U&7=@/GV#$'[

• Lê Hồng Đức – Nhóm cự môn, Giải toán Hình học 11, NXB Hà Nội, 2007.
• Các diễn đàn toán học như http://diendantoanhoc.net, http://hocmai.vn …
18
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011