Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học
9
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
CHUYÊN ĐỀ : DIỆN TÍCH
Hình học 9
A/. PHẦN I
Kiến thức cơ bản :
1) Tiên đề về diện tích : Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích đa
giác là một số dương.
2) Diện tích đa giác có các tính chất sau :
+Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.
+Nếu một đa giác được chia thành những đa giác nhỏ không có điểm
trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó.
+Hình vuông cạnh có độ dài bằng 1 thì diện tích là 1 - Hình vuông đó
được gọi là hình vuông đơn vị.
I. DIỆN TÍCH TỨ GIÁC :
1) Cho tứ giác ABCD. Gọi AB = a , BC = b , CD = c , DA = d , AC =
d
1
, BD = d
2
, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính đường tròn
nội tiếp và p = (a + b + c + d) . Ta có :
d
a
b
c
d1
d2
m
I

2
=
22
2
2
1
4mdd =+

(m là độ dài đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai đường chéo)
b) S
ABCD
= d
1
d
2
sinα
(α là góc tạo bởi hai đường chéo d
1
, d
2
)
*Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O: R)
a
b
d
c
d1
d2
O
A

+Tổng hai cạnh đối diện : a + c = b + d
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 2
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học
9
2)Diện tích các tứ giác đặc biệt :
a)Diện tích hình chữ nhật :
A a B
b d S
ABCD
= a.b
d =
D C
b)Diện tích hình vuông
A a B
S
ABCD
= a
2
a d d = a
S
ABCD
= d
2
D C
*Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích
lớn nhất .
c)Diện tích hình thang :
A a B
h S
ABCD


A
h S
ABCD
= d
1
d
2
= a.h
D d
2
B d
1
2
+d
2
2
= a
2
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 3
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học
9
d
1
a
H
C
II.DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Cho tam giác ABC có BC = a , AC = b , AB = c, đường cao thuộc
cạnh BC là AH = h

Hay S
ABC
= a.h
Tương tự ta cũng có : S
ABC
= b.k = S
ABC
= c.l
(k là chiều cao ứng với cạnh AC, l là chiều cao ứng với cạnh AB)
2)Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O; r)
S
ABC
= p.r
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 4
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học
9
a
c
b
r
r
r
O
B
C
A
E
D
F
Chứng minh :

2
1
r.a +
2
1
r.b
S
ABC
= r.(c + a + b) = r. = p.r
( p = : nửa chu vi )
3)Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R)
S
ABC
=
a
c
b
h
O
B
C
A
H
D
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 5
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học
9
Chứng minh :
Kẻ đường cao AH và đường kính AD.
S

2
- BH
2
hay h
2
= c
2
- c’
2
∆ACH vuông tại H : AH
2
= AC
2
- CH
2

hay h
2
= b
2
- b’
2

=> c
2
- c’
2
= b
2


cb
cb
acb
22
''
''
Giải hệ phương trình :





−
=−
=+
a
cb
cb
acb
22
''
''
<=>





−+
=

'
2
'
222
222
Do đó h
2
= b
2
- b’
2
= b
2
-
( )
2
2
222
2
2
222
4
2
a
cba
b
a
cba −+
−=


2
222222
4
2.2
a
cbaabcbaab +−−−++
=
( )
[ ]
( )
[ ]
2
222222
4
2.2
a
babaccbaba +−−−++
=
( )
[ ]
( )
[ ]
2
2
22
2
4
.
a
baccba −−−+

a
cpbpapp −−−
=> h

=
( )( )( )
( )( )( )
cpbpapp
a
a
cpbpapp
−−−=
−−− 24
2
Vậy S
ABC
=
2
1
a.h =
2
1
a.
( )( )( )
cpbpapp
a
−−−
2
=
( )( )( )

-Ba tam giác có chung đỉnh là trọng tâm của một tam giác còn đáy là
ba cạnh thì có diện tích bằng nhau.
-Nếu một tam giác và một hình bình hành có cùng đáy và cùng chiều
cao thì diện tích tam giác bằng nửa diện tích hình bình hành.
B/.PHẦN II
I.CÁC BÀI TOÁN MẪU :
Bài 1 :
Cho tam giác đều ABC. Từ một điểm O ở trong tam giác, ta kẻ OH ⊥
AB, OK ⊥ AC, OI ⊥ BC. Chứng minh rằng khi O di động trong tam giác thì
tổng OH + OK + OI không đổi.
Giải
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 8
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học
9
H
I
K
A
B
C
O
Gọi cạnh của tam giác đều ABC là a và chiều cao là h, thì S
ABC
= a.h và AB
= BC = CA = a
Ta có S
ABC
= S
AOB
+ S

H
M
N
D
A
B
E
K
C
Lấy các cạnh của tam giác ABC có Â = 90
0
làm cạnh dựng ra ngoài tam giác
các hình vuông BCDE, ABFG , ACMN lần lượt có diện tích là : S
BCDE
=BC
2

= a
2
, S
ABFG
= AB
2
= c
2
, S
ACMN
= AC
2
= b

∆ABE và hình vuông BHKE có chung cạnh đáy là BE, đường cao ứng với
cạnh đáy này bằng BH => S
ABE
= S
BHKE
(3)
Từ (1), (2) và (3) => S
ABFG
= S
BHKE
(*)
+Ta chứng minh S
ACMN
= S
CDKH

Nối BM và AD
∆BCM = ∆DCA (c-g-c) => S
BCM
= S
DCA
(4)
∆BCM và hình vuông ACMN có chung cạnh đáy CM và có đường cao bằng
nhau và bằng AC => S
BCM
= S
ACMN
(5)
∆ACD và hình vuông CDKH có chung cạnh đáy là CD và có đường cao
bằng nhau và bằng KD => S

= b
2
+ c
2
Bài 3 :
Cho tam giác ABC. Trên phần kéo dài của các cạnh AB, BC và AC
lấy các điểm D, E, F (B nằm giữa A và D ; C năm giữa B và E ; A nằm giữa
C và F) sao cho BD = AB ; CE = BC và AF = AC. Gọi s là diện tích của
∆ABC. Tính diện tích ∆DEF theo s.
Giải
GT ∆ABC có diện tích là s
AB = BD ; BC = CE ; AC = AF
KL S
DEF
?
B
C
A
D
E
F
Cách 1 : Sử dụng tính chất cơ bản của diện tích
Xét ∆ABE có AC là trung tuyến (BC = CE) => S
ABC
= S
ACE
= s
=> S
ABE
= S

CEF
= S
ACE
+ S
AEF
= 2s
∆AFD có FB là trung tuyến (AB = BD) => S
DBF
= S
BAF
= s
=> S
AFD
= S
DBF
+ S
BAF
= 2s
S
DEF
= S
AED
+ S
AFE
+ S
AFD
= 4s + s + 2s = 7s
Vậy S
DEF
= 7s

AFD
= s + 2s + 2s + 2s = 7s
Vậy S
DEF
= 7s
Bài 4 :
Cho hình vuông ABCD cạnh a. M, N là trung điểm của AD và CD.
Nối BN và CM cắt nhau tại E. Chứng minh diện tích hình vuông ABCD gấp
5 lần diện tích tam giác BEC .
GT Hình vuông ABCD có AB = BC = CD = DA = a
Và AM = MD , NC = ND
KL S
ABCD
= 5S
BEC

Giải
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 12
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học
9
H
P
Q
E
M
N
A
D
B
C

=> CE = BN hay =
∆ECH ~ ∆BNC (gg) => = = => EH = BC hay EH = a
S
∆
BEC
= BC.EH = a.a = a
2
. Mà S
ABCD
= a
2
Vậy S
∆
BEC
= S
HV/ABCD
hay S
HV/ABCD
= 5S
∆
BEC

Cách 2 :
Chứng minh ∆BCN = ∆CDM (cgc) => NBC = MCD và CMD = BNC mà
BCM = CMD (SLT) =>BCM = BNC
Có : MCD + BCM = 90
0
(góc của hình vuông ABCD)
Nên NBC + BCM = 90
0






a
a

=> S
CEN
= S
BEC

Kẻ đường chéo BD của hình vuông ABCD => S
BCD
= S
HV/ABCD
= a
2
∆BCD có BN là đường trung tuyến => S
BCN
= S
BCD
= .a
2
= a
2
Mà S
BCN
= S

mà BCM = CMD (SLT) =>BCM = BNC
Có : MCD + BCM = 90
0
(góc của hình vuông ABCD)
Nên NBC + BCM = 90
0
=> BEC = 90
0
=> CM ⊥ BN tại E
∆BQP = ∆CEN (gcg) => BQ = CE mà BQ = QE (gt) => BQ = QE = CE
Ta có BE = BQ + QE = CE + CE = 2CE
Trong ∆ vuông BEC có BC
2
= BE
2
+ CE
2
= (2CE)
2
+ CE
2
= 5CE
2
=> CE =
5
2
BC
=
5
2

ABC
=
Giải :
GT ∆ABC có AB = AC , CM ⊥ AB tại M, CM = h, B = α
KL S
ABC
=
*Phương pháp : Áp dụng công thức S
ABC
= BC.AD =CM.AB
=> Hãy tính BC và AH theo h và tỉ số lượng giác của góc B hoặc C, hoặc
AB theo h và các tỉ số lượng giác của góc B hoặc C.
Chứng minh :
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 14
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học
9
Kẻ CM ⊥ AB và AD ⊥ BC
h
M
D
B
C
A
∆BCM vuông tại M, ta có : sin B = sinα = = => BC =
∆ADB vuông tại D, ta có : D là trung điểm của BC (vì ∆ABC cân tại A), nên
BD = BC = . = và tanB = tanα = hay = => AD = BD. = . = .
=> S
ABC
= BC.AD = . = .
Bài 6 :

< (vì cạnh AB của tam giác đều ABC’ nhỏ hơn 1)
Vậy S
ABC
< .
Bài 7 :
Cho tam giác nhọn ABC với ba đường cao tương ứng AH, BI và CK.
Chứng minh S
HIK
= (1 - cos
2
A - cos
2
B - cos
2
C).S
ABC
.
*Phương pháp : Từ hệ thức của bài toán cần chứng minh ta có :
= 1 - cos
2
A - cos
2
B - cos
2
C và S
HIK
= S
ABC
- S
AKI

Chia hai vế cho S
ABC
, ta được : = - - -
= 1 - - -
*Từ K kẻ KM ⊥ AC => KM // BI (vì cùng vuông góc với AC)
Tam giác ABI có KM //BI => = (1)
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 16
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học
9
=
ACBI
KMAI
.
2
1
.
2
1
= = . (2)
= .= = .
Tam giác ABI vuông tại I (vì BI⊥ AC) => = cosA
Tam giác AKC vuông tại K (vì CK ⊥ AB) => = cosA
Nên . = cos
2
A , do đó = cos
2
A.
Tương tự ta cũng chứng minh được : = cos
2
B, = cos

A (1)
*Xét ∆ABH vuông tại H và ∆CBK vuông tại K có góc B chung (hoặc
BAH = BCK - cùng phụ với góc B hay hai góc nhọn có cạnh tương ứng
vuông góc)
∆ABH ~ ∆CBK => = => =
+ ∆BHK và ∆BAC có : = và góc B chung => ∆BHK ~ ∆BAC
=> = ()
2
= cos
2
B (2)
*Xét ∆ACH vuông tại H và ∆BCI vuông tại I có góc C chung (hoặc
CAH = CBI - cùng phụ với góc C hay hai góc nhọn có cạnh tương ứng
vuông góc)
∆ACH ~ ∆BCI => = => =
+∆CHI và ∆CAB có = và góc C chung => ∆CHI ~ ∆CAB
=> = ()
2
= cos
2
C (3)
Và ta có : S
HIK
= S
ABC
- S
AKI
- S
BKH
- S

Cách 1 : Vận dụng định lý Talét
GT ∆ABC có AD là phân giác góc  (D ∈ BC)
KL =
D
B
C
A
E
Từ đỉnh B kẻ BE // AC cắt tia AD tại E
Ta có BAD = CAD (gt)
BEA = CAD ( so le trong - vì BE // AC)
=> BAD = BEA => ∆ABE cân tại B => AB = BE.
∆ADC có BE // AC (Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét ) => =
Mà BE = AB , do đó = . Vậy =
Cách 2 : Giải bằng phương pháp diện tích :
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 18
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học
9
H
F
E
D
B
C
A
Kẻ đường cao AH ( AH ⊥ BC) và từ D kẻ DE ⊥ AB , DF ⊥ AC. Theo tính
chất tia phân giác của góc ta có DE = DF (DE và DF là khoảng cách từ điểm
D trên tia phân giác AD của góc A đến hai cạnh AB và AC )
Ta có S
ABD

K
C
A
B
D
M
N
Chứng minh :
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 19
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học
9
Từ D kẻ DH ⊥ AM và DK ⊥ CN
+Xét ∆ACD và ∆AMD hai tam giác này có chung cạnh đáy là AD và hai
đỉnh C và M cung năm trên đường thẳng BC song song với AD (Tính chất
cạnh đối của HBH/ABCD) => S
ACD
= S
AMD
(1)
+Xét ∆ACD và ∆NCD có cạnh đáy CD chung và hai đỉnh A và N nằm trên
đường thẳng AB // CD (Tính chất cạnh đối của HBH/ABCD)
=> S
ACD
= S
NCD
(2)
Từ (1) và (2) => S
NCD
= S
AMD

= = c : =
Vì a = => = (b + c) : = 2 (1)
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 20
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học
9
+Ta có G là trọng tâm của ∆ABC => = 2 (2)
Từ (1) và (2) => = => IG // DM hay IG // BC
Cách 2 : Sử dụng diện tích tam giác :
+Kẻ IK ⊥ BC
Vì a = => 2a = b + c
Và I là giao điểm của hai đường phân giác trong của ∆ABC, nên I là tâm
đường đường tròn nội tiếp ∆ABC => IK là bán kính của đường tròn nội tiếp
=> S
ABC
= .IK = .IK (1)
Ta có S
IBC
= a.IK (2)
Từ (1) và (2) => S
IBC
= S
ABC
(3)
G là trọng tâm của ∆ABC => =
+Kẻ AH ⊥ BC và GP ⊥ BC => AH // GP
∆AGH có GP // AH => = = => GP = AH
Ta lại có S
ABC
= BC.AH mà S
GBC

9
=> AE = 10 (cm)
Ta có BAD = CAD (gt) và BAD = ADE (SLT - vì DE // AB)
=> CAD = ADE => ∆ADE cân tại E.
Kẻ EF ⊥ AD => AF = FD = AD => AF = 6
∆AEF vuông tại F => EF = 8 => S
ADE
= AD.EF = 48 cm
2
Từ D kẻ DK ⊥ AC => DK vừa là đường cao của ∆ADE vừa là đường cao
của ∆ADC. Mà S
ADE
= AE. DK <=> 48 = .10. DK => DK = 9,6 (cm)
=> S
ADC
= AC. DK = .35.9,6 = 168 cm
2
Kẻ AH⊥ BC => AH là đường cao của ∆ABC cũng là đường cao của ∆ADC
Nên S
ADC
= CD.AH <=> 7.S
ADC
= 7CD.AH <=> 1176 = 7CD.AH (3)
Từ = => = <=> 5BC = 7CD (4)
Từ (3) và (4) => 1176 = .5BC.AH <=> = .BC.AH = S
ABC
Vậy S
ABC
= 235,2 cm
2

đoạn thẳng cố định.
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 22
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học
9
Bài 7 : Cho góc xOy, tia Ot nằm trong góc đó. Lấy điểm A cố định trên tia
Ox, điểm B cố định trên tia Oy và điểm C di động trên tia Ot. Tia Ot cắt AB
tại M.
Chứng minh rằng S
AOC
= S
BOC
khi và chỉ khi M là trung điểm của AB
Bài 8 : Cho tam giác ABC, các góc B và C có tỉ lệ 3 : 1; phân giác của góc Â
chia diện tích tam giác theo tỉ lệ 2 : 1 . Tính các góc của tam giác.
Hướng dẫn giải
Bài 1 :
H
G
E
D
F
B
A
C
Gợi ý cách giải
Gọi G là trọng tâm của ∆ABC, H là trung điểm của GC. Chọn S
GDH
làm
trung gian . Tính được S’ = 9S
GDH

GDH
= . S
ADC
= S
ADC

Ta lại có S
ADC
= S (tính chất đường trung tuyến trong tam giác)
=> S
GDH
= . S => S = 12S
GDH

+Ta có S’ = S
CDF
+ S
ADE
+ S
BEF

S
CDF
= 3S
GDH
(Hai tam giác này có cùng chiều cao nhưng cạnh đáy của
∆CDF gấp 3 lần cạnh đáy của ∆GDH) (1)
Ta có ∆GDH và ∆EGD có cùng cạnh đáy GD và hai đỉnh đối diện hai cạnh
đó nằm trên cùng một đường thẳng song song với GD => S
GDH

GDH
Vậy = = => S’ = S
Cách 2 :
Kéo dài AD một đoan DH, sao cho GD = GH. => GH = AG
Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác ta có AG = AD,
GH = AD, CG = CF ∆BGD = ∆CHD (cgc) => BG = CH = BE
G
F
D
E
B
A
H
C
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 24
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học
9
Vậy = = = . Nên ∆CGH đồng dạng với tam giác có độ dài bằng ba đường
trung tuyến AD, BE, CF của ∆ABC (ccc) và có diện tích là S’. => =
2
2
3






=
=> S’ = S

∆OMN .
a
b
x
B
D
C
O
A
M
N
Giải :
Gọi O là giao điểm của AD và BC.
Đặt S = S
ABNM
= S
MNCD
và MN = x
Xét ∆OAB và ∆OMN có : AB//MN => ∆OAB ~ ∆OMN
=> =
2






x
b
= (1)