-1-
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
TRƯỜNG THPT THÀNH PHỐ CAO LÃNH
Năm học: 2013 – 2014
A. SỐ PHỨC. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC.
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thỏa mãn
2
1i = −
.
Kí hiệu
z a bi
= +
• i: đơn vò ảo, • a: phần thực, • b: phần ảo.
Chú ý:
o
z a 0i a= + =
được gọi là số thực
(a )∈ ⊂¡ £
o
z 0 bi bi= + =
được gọi là số ảo (hay số thuần ảo)
o
0 0 0i= +
vừa là số thực vừa là số ảo
Biểu diễn hình học của số phức:
M(a;b) biểu diễn cho số phức z ⇔ z = a + bi
2. Hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức
z a bi= +
và
z ' a ' b'i= +

= +
và
z' a ' b 'i
= +
với
a,b,a ',b'∈¡

( ) ( )
z.z' aa ' bb' ab' a'b i
= − + +
5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
z a bi
= −
o
'.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+=
o z là số thực
zz =⇔
; z là số ảo
zz −=⇔
6. Môđun của số phức z = a + bi
o
2 2
z a b zz OM= + = =
uuuur
o
00,0 =⇔=∈∀≥ zzCzz
o
z.z' z z' , z z' z z ' z,z '= + ≤ + ∀ ∈£
7. Chia hai số phức.
-2-

,0 wzzw
z
z
=⇔=≠
,
z
z
z
z
z
z
z
z
'
'
,
''
==






II. CÁC DẠNG TOÁN
Bài toán 1.
Giải.
a.
z i (2 4i)(3 2i) i 14 8i 14 7i= + − + = + − = −
Phần thực a = 14; Phần ảo b =

3
(2 3i)
e. (1 + i)
2
– (1 – i)
2
f.
( ) ( )
+ − −
2 2
3 i 3 i
g. (2 + i)
3
– (3 – i)
3
h.
+ − −
+ − −
2 3
3 2
(1 2i) (1 i)
(3 2i) (2 i)
i.
( )
2
4 5
3 2
2
−
− +

i
i
i
i −
−
+
− 2
1
3
o.
+ +
+
− −
3 2i 1 i
1 i 3 2i
p.
( )
)32(41
43
ii
i
+−
−
2. Tính
a.
i21
3
+
b.
i

63
45
34
+
+
+−
n. (2 + 3i)
2
o. (2 – 3i)
3
p.
i
i
+
+
1
24
q.
2 i (1 i)(4 3i)
3 2i
+ + + −
+
r.
(3 4i)(1 2i)
4 3i
1 2i
− +
+ −
−
s.

i
ii
+−
+
2
21
32
m. (3 – 2i)(2 – 3i)
t.
2 2i 1 2i
1 2i 2 2i
+ +
+
− −
Bài toán 2.
Giải.
1006
2012 2 1006 1006 1006 1006 2 503 1006 503 1006
(1 i) (1 i) (2i) 2 .i 2 .(i ) 2 .( 1) 2
 
+ = + = = = = − = −
 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tính.
a.
2 3 2009
1 i i i i
+ + + + +
b.
100

a.
z i z 2 3i x yi i x yi 2 3i x (y 1)i x 2 (y 3)i+ = − − ⇔ + + = + − − ⇔ + + = − + −

2 2 2 2
x (y 1) (x 2) (y 3) x 2y 3 0⇔ + + = − + − ⇔ + − =
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng
x 2y 3 0+ − =
b.
2 2 2 2
z 3 1 x yi 3 1 x 3 yi 1 (x 3) y 1 (x 3) y 1+ ≤ ⇔ + + ≤ ⇔ + + ≤ ⇔ + + ≤ ⇔ + + ≤
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn
2 2
(x 3) y 1+ + ≤
tâm I(-3;0) và bán kính bằng 1
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
-4-
Tính
2012
(1 i)+
Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z
thỏa mãn:
a.
z i z 2 3i+ = − −
; b.
z 3 1+ ≤
Tìm các số thực x và y biết
2x yi 3 2i x yi 2 4i+ − + = − + +
Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
a.
43 =++ zz

i.
z
=
iz 43 +−
j.
10)_2( =− iz
và
'.zz
= 25
k.
z

≤
1
l.
z
=1 và phần ảo của z =1
m.
( )
243 =−− iz
n.
1
4
=







z 0
=
có một căn bậc hai là 0
o
z a=
là số thực dương có 2 căn bậc 2 là
a±
o
z a=
là số thực âm có 2 căn bậc hai là
a .i±
o z = x + yi là số phức có căn bậc 2 là w = a + bi sao cho
2 2
2
x y a
w z
2xy b

− =
= ⇔

=

(a, b, x, y
)∈¡
2. Phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a, b, c là số thực cho trước, a
0
≠

2
+ Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A
0≠
).
Tính
2
B 4AC∆ = −
o
0
≠∆
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
B
z ,
2A
− ±δ
=
(
δ
là 1 căn bậc hai của
)∆
o
0
=∆
: Phương trình có 1 nghiệm kép là
1 2
B
z z
2A
= = −

x 2
x 4
2 2
2xy 4
x 2
y y
2
2
y
x x
y
y 1
x
x
 =



= −  =



 
− = − − =




= −


−
có hai căn bậc hai là
2 i−
và
2 i− +
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
8;3;
9−
;
11−
; -I; -2i; 2i; 4i
2. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: (NC)
5 12i
− +
;
8 6i
+
;
33 56i
−
;
3 4i
− +
; 3+4i; 5 – 12i
Bài toán 2.
Giải.
a.
3 8i 25 18
(3 2i)z 4 5i 7 3i (3 2i)z 3 8i z i

z
– 2 + 3i) = 0
e. ( 2 i)
z
– 4 = 0
f.
( )
4 5i z 2 i− = +
g.
( ) ( )
2
3 2i z i 3i
− + =
s. (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z
t. (3 + 4i)z =(1 + 2i)( 4 + i)
h.
3 5i
2 4i
z
+
= −
i.
(2 3 ) 5 2
4 3
z
i i
i
+ − = −
−
j. (1 + 3i)z – (2 + 5i)= (2 + i)

7z 3z 2 0+ + =
; b.
2
3x 2x 1 0− + − =
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a.
(3 2i)z 4 5i 7 3i− + + = −
; b.
z
2 3i 5 2i
4 3i
+ − = −
−
Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt:
1
b i
3 47.i 3 47
z i
2a 14 14 14
− + ∆
− +
= = = − +
2
b i
3 47.i 3 47
z i
2a 14 14 14
− − ∆
− −
= = = − −

=+− xx
b.
02.32.23
2
=+− xx
c.
2
3 2 0x x− + =
d.
2
3 2 0
+ + =
x x
e.
2
1 0+ + =x x
f. z
4
–8 = 0
g. x
3
– 1 = 0
h. z
3
+ 1 = 0
i. z
4
+ 4 = 0
j. 5z
2

t. x
2
–4x + 11 = 0
u. z
2
– 3z + 11 = 0
2. Giải phương trình sau trên trường số phức
a. z
4
– 5z
2
– 6 = 0
b. z
4
+7z
2
– 8 = 0
c. z
4
– 8z
2
– 9 = 0
d. z
4
+ 6z
2
+ 25 = 0
e. z
4
+ 4z – 77 = 0

− −
= −
−
j.
3 2
1 1 1
0
2 2 2
z z z+ + − =
Bài toán 4.
Giải.
a.
2
x (3 4i)x 5i 1 0− + + − =
2 2
b 4ac 3 4i (1 2i) 0∆ = − = − + = + ≠
Gọi
δ
là một căn bậc hai của
∆
, ta có
1 2i
δ = +
Do
0
∆ ≠
, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
b 3 4i 1 2i
x 2 3i

Do
' 0
∆ ≠
, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
b' ' i 1 i
z 1
a 1
− + δ + −
= = =
2
b' ' i (1 i)
z 1 2i
a 1
− − δ − −
= = = − +
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. (NC)
1. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a. x
2
– (3 – i)x + 4 – 3i = 0
b. (z
2
+ i)(z
2
– 2iz - 1) = 0
c.
( )
2
1 2 0

2
3 6 3 13 0+ − − + − + =z i z i
l.
( )
2
cos sin cos sin 0.
− + + =
z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ
m.
( )
4 2
8 1 63 16 0− − + − =z i z i
n.
( )
4 2
24 1 308 144 0
− − + − =
z i z i
o. ( 1 – i)x
2
– 2x – (11 + 3i) = 0
p. ( 1 + i)x
2
– 2(1 – i)x + 1 – 3i = 0
q. z
2
+ 18z + 1681 = 0
2. Giải các hệ phương trình :
a.

2 2
1 2
1 2
5 2
4

+ = +

+ = −

z z i
z z i
d.
2 2
4 0
2

+ + =

+ =

u v uv
u v i
e.
2
1
 − =


− = −

ϕ =



2. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z = r(cos
isin ) , z' r '(cos ' isin ')ϕ+ ϕ = ϕ + ϕ
thì :
o
z.z' r.r'[cos( ') isin( ')]
= ϕ+ϕ + ϕ+ϕ
o
z r
[cos( ') isin( ')]
z' r '
= ϕ−ϕ + ϕ−ϕ

3. Công thức Moa-vrơ :

*
Nn ∈
thì
n n
[r(cos isin )] r (cosn isin n )
ϕ+ ϕ = ϕ+ ϕ
Nhân xét:
n
(cos isin ) cos n isin nϕ+ ϕ = ϕ + ϕ
4. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Căn bậc hai của số phức z = r(cos
)sin

sin
2

ϕ =

π

⇒ ϕ = −


ϕ = −


Dạng lượng giác
z 2 2 cos isin
4 4
 π π 
   
= − + −
 ÷  ÷
 
   
 
b.
z 1 3.i= − −
o Mô đun
2 2
r a b 2= + =
o Gọi
ϕ

 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
a.
i.322 +−
b. 4 – 4i
c. 1 –
i.3
d.
4
sin.
4
cos
ππ
i−
e.
8
cos.
8
sin
ππ
i−−
f.
)1)(3.1( ii +−
g.
1 3
1
−
+
i

o
)
d.
)
2
sin.
2
(cos2
)
3
2
sin.
3
2
(cos2
ππ
ππ
i
i
+
+
3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a.
31 i−

b. 1 + i
c.
)1)(31( ii +−
d.
i

5 5
(1 i) 2 cos isin 2 cos isin 32 0 i 32i
4 4 2 2
 
 π π   π π 
       
− = − + − = − + − = − = −
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷
 
       
   
 
( )
( ) ( )
6
6
6 6
3 i 2 cos isin 32. cos isin 2 1 0i 2
6 6
 π π 
 
+ = + = π + π = − + = −
 ÷
 
 
 

( )

3 i 2 cos isin 2 cos isin 512i
6 6 2 2
 π π  π π
   
+ = + = + = −
 ÷  ÷
 
   
 
( )
10
9
(1 i) 1
16
3 i
+
⇒ = −
+
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tính :
a. [
00
30sin30(cos2 i+
)]
7
b.
6
)3( i−
c.
33

i
+
 
 ÷
 
f.
21
321
335








−
+
i
i
g.
5 7
cos sin (1 3 )
3 3
 
− +
 ÷
 
i i i

k. (cos12
o
+ isin12
o
)
5

Bài toán 3.
Giải.
a.
1 i 3− −
Dạng lượng giác:
2 2
z 2 cos isin
3 3
 π π 
   
= − + −
 ÷  ÷
 
   
 
-10-
Tính:
a.
( )
6
10
(1 i) 3 i− +
; b.

 ÷
   
 
 
và
2
1 3 1 3 2 6
w 2 cos isin 2 i i i
3 3 2 2 2 2
2 2
 
 π π 
   
= − − + − = − − = − + = − +
 ÷
 ÷  ÷
 
 ÷
   
 
 
b.
1 i 3
z
1 i
−
=
+
Dạng lượng giác
7 7

       
= − − + − = +
 ÷  ÷  ÷  ÷
   
       
   
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau :
a. –1 + 4
i.3
b. 4 + 6
i.5
c. –1 – 2
i.6
d. 1+
34
i
e. (
3
- i)
6
f.
2004
1







B - 2009
A - 2009
CĐ - 2009
TN THPT - 2009
Hết
-12-
TN THPT - 2008
TN THPT - 2007
TN THPT - 2007
TN THPT - 2006
-13-
-14-