Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác

1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Đồng Hới, tháng 5 năm 2011

Người thực hiện: Trần Xuân Bang
Tổ Toán
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác

2

Phần thứ nhất.

2
x + csinxcosx = d: Với 15 phương trình có lời giải
chi tiết.
7. Phương trình:
asin
3
x + bcos
3
x + csin
2
xcosx + dsinxcos
2
x + dsinx + ecosx = 0: Với 5 phương
trình có lời giải chi tiết.
8. Phương trình a(tanx + cotx) + b(tan
2
x + cot
2
x) + c = 0: Với 1 phương trình có
lời giải chi tiết.
9. Phương trình a(tanx - cotx) + b(tan
2
x + cot
2
x) + c = 0: Với 1 phương trình có
lời giải chi tiết.
10. Các phương trình lượng giác khác:
10.1 Biến đổi về tích: Với 80 phương trình có lời giải chi tiết.
10.2 Biến đổi thẳng về phương trình lượng giác cơ bản: Với 20 phương trình
có lời giải chi tiết.

m

: Gọi T =
1 2 3
0, , , , 1
2 2 2
 
 
   
 
 
 

Nếu
m T

thì chọn

sao cho
os
c m


. Khi đó nghiệm của phương trình là:

2
x k
 
  
, (

b) Phương trình
3
osx = - 2 ;( )
2 6
c x k k


    

.
c) Phương trình
5 5
osx = - arccos - 2 ;( )
2 2
c x k k

 
    
 
 
 

.
d) Phương trình
10
osx = -
3
c : vn vì
10
1

c x k k
  
    

.
Tổng quát: Phương trình
osu(x) = cosv(x) ( ) ( ) 2 ;( )
c u x v x k k

    

.
VD2.
a) Phương trình
1
os(2x-1) = 0 2 1 ;( )
2 2 4 2
c x k x k k
  

        

.
b) Phương trình
0 0 0 0 0
os(x-15 ) = 1 x-15 360 x=15 360 ;( )
c k k k    

.
c) Phương trình



   

 

 

     
     

     
     

 




1.2. sinx = m.


1
m

: vn


1
m

x k
  
  
;
k


.
Nếu
m T

thì nghiệm của phương trình là:

arcsin 2
x m k

 
hoặc
arcsin 2
x m k
 
  
;
k


.
VD1.
a) Phương trình sinx =
1

4
2
2
3
x k
k
x k





  

 


 



.
c) Phương trình
5
arcsin - 2
2
5
sinx = - ( ).
2
5

3
: vn vì
11
1
3

.
Chú ý 1:
i) Phương trình
sinx = 0 ;( )
x k k

  

.
ii) Phương trình
sinx = 1 2 ;( )
2
x k k


   

.
3i) Phương trình
sinx = - 1 2 ;( )
2
x k k



  
 

 

  


.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác

5

VD2.
a) Phương trình
1
sin(2x - 1) = 0 2 1 ;( )
2 2
x k x k k


      

.
b) Phương trình

0 0 0 0 0 0
sin(x - 15 ) = 1 x - 15 90 360 x=105 360 ;( )
k k k     

 





 
 
 

 
 

  
 

 
 
  
  
 


 

 

 

 


 
 
 


 

 

   


   
   

  



 

 


 





k


.


Nếu
m T

thì nghiệm của phương trình là:

arctan
x m k

 
,
k


.
VD1.
a) Phương trình tan x =
3

;( )
3
x k k


   

.
Tổng quát: Phương trình
tanu(x) = tanv(x) ( ) ( ) ;( )
u x v x k k

   

.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác

6

VD2.
a) Phương trình tan 2x =
3

2 ;( ) ;( )
3 6 2
x k k x k k
  

       
 

b) Phương trình tan (x - 45
0
) = -
1
3

   

            


1.4. cotx = m.


Phương trình có nghiệm với mọi m. Gọi T =
1
0, , 1, 3
3
 
  
 
 
Nếu
m T

thì chọn

sao cho
cot
m


. Khi đó nghiệm của phương trình là:


   

.
b) Phương trình cotx = -
1
3

;( )
3
x k k


    

.
c) Phương trình cotx = - 2
arcot(-2) ;( )
x k k

   

.
Chú ý:
Phương trình
cotx = cot ;( )
x k k
  
   



.
c) Phương trình cot(x - 45
0
) =
5




arcot - 5 +arcot - 5 ;( )
4 4
x k x k k
 
 
       

.
e) Phương trình cot(3x - 2) = cot60
02
cot(3 2) cot 3 2 ;( )
3 3 3 9 3
x x k x k k
   

  
   

Trong đó,
( )
x

là sinu(x), cosu(x), tanu(x), cotu(x).
VD1. Giải phương trình cos2x + 2sin
2
x + sin2x = 0.
HD. Phương trình đã cho

2 2
2cos 1 2sin 2sin2x = 0 1 sin 2 0
2 2 ,( ).
2 4
x x x
x k x k k
 
 
      
        

VD2. Giải phương trình
6 6
sin x cos x sin 2x
 
.
HD. Phương trình đã cho

VD3. Giải phương trình
2
(3 2sin x)cosx (1 cos x)
1
1 sin2x
  


.
HD. Điều kiện:
 
sin 2x 1

Phương trình đã cho



          



2 2
cosx 1
3cos x sin2x 1 cos x 1 sin2x cos x 3cosx 2 0
cosx 2 (vn)     
cosx 1 x k2 ; (k )



      

 
 








2 2 2
sin x 0 sin x 0
5cosx (2 cos 1) 4(1 cos x) 2cos x 5cosx 3 0
sin x 0
sin x 0
x k2 ; (k )
cosx 3 (vn)
3
cosx 1/ 2
cosx 1/ 2


VD5. Giải phương trình
2
2
1 1
cos x 2 cosx 2 0




 


1
cosx 0 (1)
cosx
1
cosx 2 (2)
cosx
.
2
(1) 1 cos 0 (vn)
x  
2 2
(2) cos 2cos 1 0 (cos 1) 0 cos 1 2 ; (k )
x x x x x k

           


VD6. Giải phương trình
x
1
x
x
1
x


1
cosx 1 (1)
cosx
1
cosx 2 (2)
cosx
.
2
(1) cos cos 1 0 (vn)
x x   
2 2
(2) cos 2cos 1 0 (cos 1) 0 cos 1 2 (k )
x x x x x k

           


VD7. Giải phương trình
2
2
1 1
cos x 2 cosx 1
cosx
cos x
 
   
 
 
.

2

cos
cos]
cos
[cos
01xx
2
 coscos






      





1 5
cosx (vn)
1 5
2
x arccos k2 ; (k )
2
1 5
cosx
2

 
   
 
   
     
   
   
2
2
1 1
2 cosx 2 7 cosx 2 0
cosx cosx
1 1
2 cosx 7 cosx 6 0
cosx cosx


  




  


1
cosx 2 (1)
cosx
1 3
cosx (2)

HD. Ñieàu kieän :
0x

sin
.
Phương trình đã cho
2
1 1
sin x sinx 2 0
sin x sin x
   
     
   
   
  




 


1
sin x 1 (1)
sin x
1
sin x 2 (2)

.
Phương trình đã cho
2 2
1 1 1 1
4 sin x 2 4 sin x 7 0 4 sin x 4 sin x 15 0
sin x sinx sin x sin x
 
       
            
 
       
       
 
 

Trn Xuõn Bang - Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh
Phng trỡnh Lng giỏc

10










1 3






x k2
6
(k
7
x k2
6
)
VD11. Gii phng trỡnh

0
4
3
x2x2
22
cossin
.
HD. Phng trỡnh ó cho
03x214x214
2
)cos()cos(
03x24x2403x244x244
22
coscoscoscos


















2
2
x k
tgx 1
tg x 1
4
(k )
tg x 3
tgx 3
x k
3


VD13. Tỡm nghieọm cuỷa phửụng trỡnh :
4 4























2
2
2
2
1
2
1
2

.
VD14. Gii phng trỡnh:

03xx5x212





)
cos
(sin
)
sin
(
.
HD. Phng trỡnh ó cho
03xx5xx2
2
)cos(sin)cos(sin





4 4
(k )
2
3
x k2
x k2
4 4


VD15. Gii phng trỡnh:

07xx12x215





)
cos
(sin
)
sin
(
.
HD. Phng trỡnh ó cho
07xx12xx5
2
)cos(sin)cos(sin















x k2
4 4
3
2
x k2
sin x
sin x cosx 1
4 4
4 2
(k )
7
7
sin x cosx
7
x arcsin k2
sin x
5
4

(k )
7
x arcsin k2
4
5 2
3 7
x arcsin k2
4
5 2

VD16. Gii phng trỡnh
x22x2
24
coscos
.
HD. Phng trỡnh ó cho






2
4 2
2
cos 2x 1
cos 2x cos 2x 2 0
cos 2x 2(vn)

sin 2 0 2 ; (k )


       


VD18. Giải phương trình
2 2
cos x cos 2x 1
 
.
HD. Phương trình đã cho
011x4x4x011x2x
242222
 coscoscos)cos(cos




         




2
4 2
2
cos x 0
4cos x 5cos x cosx 0 x k (k )
5
2
cos x (vn)




5
2
x21
0x
5
2
x2
0x
5
1
x
1x
01x6x5
2
2
2
24
cos
sin
cos
sin
cos
cos
coscos

 


.
HD. Phương trình đã cho
06x26x807x2113x8
2424
 sinsin)sin(sin
            
4 2 2 2 2
1 1 1
4sin x 13sin x 3 0 sin x sin x 3(vn) 2sin x 1 cos2x
4 2 2
1
cos2 2 2 ; (k )
2 3 6
x x k x k
 
 
          

.
VD21. Giải phương trình
2xgxtg
22
 cot
2
xtg
1
xtg
2
2
 (1) .

Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác

13




        

 


2
4 2 4 2
2
tg x 1
(1) 4tg x 1 tg x 2 4tg x tg x 3 0
3
tg x (vn)
4

        
tgx 1 x k ; (k )
4


VD23. Giải phương trình
8
1

4
1
x21
442442
 sinsinsinsinsinsin


    




2
4 2
2
sin 2x 1
sin 2x 8sin 2x 7 0
sin 2x 7 (vn)

0x2


cos
2 ; (k ).
2 4 2
k
x k x
  

       


      
.
         
2 2
(1) sin2x 3 2 cosx 2cos x 1 1 sin2x 2cos x 3 2 cosx 2 0



  
 


     
 

 


   


x k2
cosx 2 (vn)
4
x k2
4
cosx 2 / 2
x 2k (loaïi)
4


Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác

14

2 2 2
4sin x cos2x 2(1 cos 2x) 1 0 2(1 cos2x) cos2x 3 cos 2
x 0
           


 
       

 

2
cos2x 1 (loaïi,vì sin2x 0)
1
2cos 2x cos2x 1 0 cos2x
2
cos2x 1/ 2

2
2x 2k x k
3 3
 
         
;

  
           
2 2
k
(2cos x 1) 0 cos2x 0 2x k x
2 4 2
;
( )
k



VD28. Giải phương trình
2
(sin2x 3 cos2x) 5 cos 2x
2

 
   
 
 
.
HD. Phương trình đã cho
2
1 3
4( sin 2x cos2x) cos 2x 5 0
2 2 2

 
     

cos 2x 1
6

7
2x 2k x k
6 12
 
         
;
( )
k


.
VD29. Giải phương trình
0,25 4
x x
log sin sin x log sin cos2x 0
2 2
   
   
   
   
.
HD. Phương trình đã cho
4 4
x x
log sin sin x log sin cos2x
2 2
   


2 2
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x
0 (1)
cosx
.
HD. Ñieàu kieän :
cos x 0
          
2 2
(1) 4(1 cos 2x) 3(1 cos2x) 9 3cos2x 0 2cos 2x 3cos2
x 1 0

Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác

15


 
   

  

 
   
 

 
 
 
    
 
 

k
sin3x 0 3x k x
3

       ;
( )
k


.
VD32. Giải phương trình
  
2
cotx tan x 4sin 2x (1)
sin 2x

HD. Ñieàu kieän :
k
sin 2x 0 x
2

  
      


HD. Ñieàu kieän :
cosx 0 x k
2

    

       

2 2
2 2
sin x sin x
(1) 5sinx 2 3(1 sin x) 5sin x 2 3(1 sin x)
cos x 1 sin x

2
2 2
3sin x
5sinx 2 (5sin x 2)(1 sin x) 3sin x 2sin x 3sin x 2 0
1 sin x
          





 
  



        


 
 
  

      
 

   
 
   


2
t 0 cosx 0
x k
2t 2t 0 (k )
2
t 1 cosx 1
x 2k

.
Trần Xn Bang - Trường THPT Chun Quảng Bình
Phương trình Lượng giác

16

VD35. Tìm x thuộc đoạn



5 sin x sin3x cosx (cos2x 3)(1 2sin 2x)
     


       
5cosx 1 2sin2x (cos2x 3)(1 2sin 2x) 5cosx cos2x 3


      



2 2
cosx 2 (vn)
5cosx 2cos x 2 2cos x 5cosx 2 0
cosx 1/ 2 (thỏa đk (2))

x 2k
3

    
; ( k


)

Vì


2
– 2sin
2
xcos
2
x]
= 2
2
1
1 sin 2
2
x
 

 
 
= 2 – sin
2
2x
Phương trình đã cho tương đương sin
2
2x + sin2x -1 = 0
Đặt t = sin2x với điều kiện -1  t  1 ta được phương trình:
t
2
+ t – 1 = 0  t =
1 5
2
 
. Giá trị

k


 
 
 
 
 
 
, (k  ).
VD37. Giải phương trình sin
2
x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2.
HD. Điều kiện: cosx  0
Chia hai vế của phương trình cho cos
2
x ta được:
tan
2
x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan
2
x)


tan
3
x – tan
2
x = 5tanx – 3 – 2 tan
2


Với t = 1, phương trình tanx = 1 có nghiệm
4
x k


  , k  
Với t = -3, phương trình tanx = -3 có nghiệm x = arctan(-3) + k, k  
Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho. Vậy phương trình đã
cho có các nghiệm x =
4
k


 , x = arctan(-3) + k, k  
VD38. Giải phương trình:
3 3
2 3 1 3 1
sin cos sin 2 sin cos
3 2 2 3
x x x x x
 
 

   
 
 
 
 
 

3
x x x x x x
 
   
 
 


2 2
sin cos 0 (1)
2
sin 3sin cos cos 0 (2)
3
x x
x x x x
 



  


(1)

x =
3
4

+k, k  
(2)

 
 
   , x = arctan
2 3
3
+ k, k  .
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác

18

VD39. Giải phương trình:
2
3 4 2sin2
2 3 2(cotg 1)
sin2
cos
x
x
x
x

   
.
HD. Đk:
2
x k


Phương trình đã cho tương đương với:

6
tg
tg
x k
x
x
x k



   
 








  




(k

)
So sánh với điều kiện, ta có nghiệm :
6 2

2
2 3
cos
4 2
3 6
3 2
x c x
c
x x x
x
x
x k
k
k
x
x k
x
k


 



      
    





.
HD. ĐK:
2
x k


  ,
Phương trình đã cho


02cos312cos1(312cos22
2
 xxx


















k
x tha K khi ch khi
x m
Vy (1) cú 3 h nghim l:
; ,( , )
6
x m x k m k




.
VD42. Giaỷi phửụng trỡnh 1
cos
1
sin2)1cos2(cos1



x
xxx
.
HD. K :
cos 1 2
x x k











2
4
5
2
4
4
sin
2
2
sin
kx
kx
x
( )
k



VD43. Giaỷi phửụng trỡnh
2
3 2 3(1 ).cot
cosx cosx x



02coscos6
cos
1
cos3
2cos3
2
2


xx
x
x
x
















sin 2 1
x cos x cos x

.
HD.



4
1
2cos
4
3
2sin
4
3
1)cos(sincossin3)cos(sin
)(cossincossin
2
22222322
32
3
266



x
xxxxxxx
xxxx


1
3
1
2cos
12cos
kx
kx
x
x

( )
k



VD45. Tỡm caực nghieọm treõn khoaỷng


0;

cuỷa phửụng trỡnh
Trn Xuõn Bang - Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh
Phng trỡnh Lng giỏc

20sin3 cos3
7 4 cos2
2sin 2 1

2
1
mx
mx

( )
k

)cossin1)(cos(sin4)cos(sin3cos3cos4sin4sin33cos3sin
33
xxxxxxxxxxxx
)12sin2)(cos(sin)1cossin4)(cos(sin






xxxxxxx
xx
x
xx
cossin
1
2
sin
2

5
2
6
2
1
sin
kx
kx
x
( )
k



Trong khong



;0 ta c hai nghim ca phng trỡnh l:
6
5
;
6


xx
VD46. Cho phửụng trỡnh
cos2 (2 1)sin 1 0 (*)
x m x m


x k
s x
i
x k



















( )
k



b) Tỡm m PT (*) cú nghim trờn khong


m
VD47. Giaỷi phửụng trỡnh
2
2cos4 6 s 1 3cos2
0
cos
x co x x
x


.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác

21

HD. ĐK:
2
x k


  ,
Phương trình đã cho


02cos312cos1(312cos22
2
 xxx



012cos32cos2
2

( )
k



2

k
x  thỏa ĐK khi chỉ khi
x m

 

Vậy (1) có 3 họ nghiệm là:
; ,( , )
6
x m x k m k

 
    

.
VD48. Giaûi phöông trình 1
cos
1
sin2)1cos2(cos1




















2
4
5
2
4
4
sin
2
2
sin
kx
kx

)cos1(322cos3
2
2
cos
3cos2 2 3(1 cos )
1 cos
x
x x
x
   


02coscos6
cos
1
cos3
2cos3
2
2


 xx
x
x
x






x
x

( )
k



VD50. Giaûi phöông trình
6 6 2
sin 2 1
x cos x cos x
  
.
HD.



4
1
2cos
4
3
2sin
4
3
1)cos(sincossin3)cos(sin
)(cossincossin
2
22222322











2
3
1
arccos
2
1
3
1
2cos
12cos
kx
kx
x
x

( )
k









2
12
2
12
5
2
1
mx
mx

( )
k

)cossin1)(cos(sin4)cos(sin3cos3cos4sin4sin33cos3sin
33
xxxxxxxxxxxx 
)12sin2)(cos(sin)1cossin4)(cos(sin














2
6
5
2
6
2
1
sin
kx
kx
x
( )
k



Trong khoảng



;0 ta được hai nghiệm của phương trình là:
6


1
2
in
6
2
5
s nx = 2
2
6
x k
s x
i
x k





 




 



 


2
t
t m








Vậy ta phải có :


1; 0
m 
VD53. Giải phương trình
x x
x
x x
2
cos2 sin2
3 cot 3
sin cos
 
  
 
 
.
HD. Điều kiện

2
2
cos cos
3 3.
sin .cos
sin
 

x x
2
2sin 3sin 1 0
  

x
x
sin 1
1
sin
2







x k loaïi
x k
x k
2 ( )

5
2 ; 2
6 6
 
 
    ,
( )
k



VD54. Giải phương trình


x x
2
3tan 1 3 tan 1 0
   

HD.
 







 




.
HD.
Điều kiện: x x
2
3 1
sin cos
2 4
  
(*)
Phương trình đa cho tương đương:

 
 


          
 


x
x x x x k k
x loaïi
2
cos 1
2cos 3cos 1 0 cos 1 2 ,( )
1
cos ( )
2


  
   


VD57. Giải phương trình
cos2 3cos 2 0
  
x x

HD. Phương trình đã cho tương đương:

2
2cos 3cos 1 0
x x
  

cos 1
cos 1
1
cos os
cos
3
2







2 2
2cos 2 3cos 4 0
x x
  

HD. Phương trình đã cho tương đương:

2 2 2
cos2 1
2cos 2 3(2cos x - 1) + 1 = 0 2cos 2 3 os2x + 1 = 0
1
cos2
2
x
x x c
x



   




 
2 2
2 2
3 6
x k x k
k

x k
2
2
3
2
2
3





 



  

( k 

)
Nghiệm của phương trình là: x = k2;
x k x k
2 2
2 ; 2
3 3
 
 
     (k



    

.
VD61. Giaûi phöông trình
2
2cos4 6 s 1 3cos2
0
cos
x co x x
x
  

.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình Lượng giác

25

HD. ĐK:
2
x k


  ,
Phương trình đã cho


02cos312cos1(312cos22
2

1
2cos
12cos
012cos32cos2
2

( )
k



2

k
x  thỏa ĐK khi chỉ khi
x m

 

Vậy (1) có 3 họ nghiệm là:
; ,( , )
6
x m x k m k

 
    

.
VD62. Giaûi phöông trình 1
cos






















2
4
5
2
4
4
sin
2
2

2
sin
cos
)cos1(322cos3
2
2
cos
3cos2 2 3(1 cos )
1 cos
x
x x
x
   


02coscos6
cos
1
cos3
2cos3
2
2


 xx
x
x
x



cos
kx
kx
x
x

( )
k



VD64. Giaûi phöông trình
6 6 2
sin 2 1
x cos x cos x
  
.
HD.