A. lời nói đầu
Học toán mà đặc biệt là môn hình học, mỗi học sinh đều cảm thấy có những khó
khăn riêng của mình.
Nguyên nhân của những khó khăn đó là:
1. Nhiều học sinh cha nắm vững các khái niệm cơ bản của các định lý, tính chất
của các hình đã học. Một số chỉ học vẹt mà không vận dụng vào giải các bài
tập.
2. Sách giáo khoa cung cấp cho học sinh một hệ thống các kiến thức cơ bản nhng
không thể có đầy đủ các bài tập mẫu cho các kiến thức đã học thuộc các dạng
khác nhau.
Do vậy cũng không có điều kiện hớng dẫn chi tiết cho học sinh cách vận dụng
các kiến thức đó vào giải các bài tập cụ thể mà các em sẽ gặp trong quá trình học
tập.
3. Đối với bộ môn hình học, ngoài các bài toán về trí thông minh hình học còn
có các bài toán về dựng hình và quỹ tích là những dạng toán đặc biệt khó mà
thời gian để học các dạng toán này trên lớp lại không nhiều , học sinh ít đợc
luyện tập ở lớp cũng nh ở nhà nên gặp các loại bài tập này các em thờng rất
lúng túng . Để khắc phục những nguyên nhân trên và giúp học sinh có cơ sở
học và giải quyết tốt các bài tập về hình học , tôi xin đề cập đến một khía cạnh
rất nhỏ về một phơng pháp chứng minh bài toán hình học thông qua cách vẽ
đờng phụ. Đề tài nhằm giúp các em hiểu thấu đáo cách vận dụng kiến thức cơ
bản để giải quyết các bài toán chứng minh hình học .
Nội dung đề tài gồm 4 phần :
Phần I : Những điều cần chuẩn bị trớc khi chứng minh .
Phần II : Suy nghĩ tìm phơng pháp chứng minh .
Phần III : Những điều cần chú ý khi chứng minh .
Phần iV : Cách vẽ đờng phụ và vai trò của đờng phụ trong toán chứng
minh
Với một số bài toán minh hoạ cho bài toán chng minh hình học lời giải chi tiết
, chính xác chặt chẽ, hy vọng đề tài sẽ góp phần giúp các em học sinh khắc phục
đợc các nguyên nhân đã đề cập ở trên để có khả năng giải các bài toán chứng

II/ Suy nghĩ để tìm phơng pháp chứng minh:
Muốn chứng minh một bài toán hình học ta phải nắm vững phơng pháp suy xét
vấn đề tìm hiểu và suy đoán từng bớc một . Phơng pháp chủ yếu để tìm lời giải
của một bài toán chứng minh hình học thờng là phơng pháp bắt đầu từ kết luận .
Ta thừa nhận kết luận , dùng đó làm cơ sở suy xét . Giả sử Z là kết luận ta thừa
nhận Z . Nếu Z đúng thì dẫn đến mệnh đề Y đúng , vì từ Y suy ra đợc Z . Nếu có
Y thì một mệnh đề tiếp theo X chẳng hạn cũng đúng , vì từ X suy đợc ra Y . Tiếp
tục nếu có X thì lại có một mệnh đề X
1
khác cũng đúng vì từ X
1
suy dợc ra
X Cứ nh vậy suy ngợc cho đến cuối cùng ta đợc một mệnh đề A chẳng hạn
phù hợp với giả thiết , hoặc chính mệnh đề A là giả thiết thì thôi.
Phơng pháp suy luận trên gọi là phơng pháp phân tích đi lên và có thể tóm tắt nh
sau:
Z Y X X
1
A
Đây là phơng pháp bằng suy luận có lý ta đi ngợc từ kết luận lên giả thiết . Nó
không phải là một phơng pháp chứng minh . Vì xuất phát từ một mệnh đề cha
biết đúng sai , bằng suy luận có lý ta suy ra đợc một mệnh đề đúng thì cha thể có
kết luận gì về tính đúng sai của mệnh đề xuất phát ( Z ) . Do vậy sau khi vận
dụng phơng pháp trên để tìm đợc cách chứng minh ( Gọi là tìm đợc chìa khoá
giải bài toán ) ta phải trình bày lời giải theo quá trình ngợc lại gọi là phơng pháp
tổng hợp
Sơ đồ nh sau: A X
1
X Y Z
Với A là giả thiết của bài , mệnh đề này luôn luôn đúng. Bằng suy luận có lý dựa

Ngoài ra còn nhiều điều khác nữa phải chú ý nh tính cẩn thận , tính chính
xác trong vẽ hình Thực hiện tốt các điều đó các em học sinh sẽ tránh đợc
những sai sót và sau một thời gian luyện tập sẽ có tiến bộ rõ rệt.
IV. Cách vẽ đờng phụ và vai trò của đờng phụ trong
toán chứng minh:
Khi giải một bài toán chứng minh hình học , trừ một số bài dễ còn lại phần
lớn các bài toán đều cần phải vẽ thêm đờng phụ mới chứng minh dợc . Vậy vẽ đ-
ờng phụ nh thế nào và vẽ để nhằm mục đích gì ? Đó là điều mà ngời học cần phải
biết đợc đối với mỗi bài toán cụ thể . Không thể có một phơng pháp chung nào
cho việc vẽ đờng phụ trong bài toán chứng minh hình học. Ngay đối với một bài
toán cũng có thể có những cách vẽ đờng phụ khác nhau tuỳ thuộc vào cách giải
bài toán. Dới đây tôi chỉ xin nêu ra một số cách vẽ đờng phụ thông qua một bài
toán cụ thể để giúp phần nào cho bạn đọc làm quen.
1/Vẽ đờng phụ để tạo mối liên hệ giữa các điều kiện đã cho hoặc giữa các
yếu tố trong kết luận của bài toán với nhau:
Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD, (BC//AD) có góc A nhỏ hơn góc C. Chứng
minh rằng đờng chéo AC<BD.
Hớng giải: Bình thờng 2 đờng chéo AC và BD không có mối liên hệ nào giúp
ta so sánh. Nếu đa hai đoạn thẳng ấy về chung một tam giác ta có thể vận dụng
mối liên hệ giữa các cạnh và góc trong một tam giác để so sánh.
Muốn vậy ta có nhiều cách vẽ đờng phụ.
Có thể từ B hoặc từ C vẽ đờng thẳng song song với AC hoặc BD.
Cũng có
thể ở giữa A và D ta chọn một
điểm E sao cho BE=AC (hoặc
sao cho CE=AB, tuỳ cách
vẽ của bạn). Điều này hoàn
toàn có thể làm đợc bằng
phơng pháp dựng hình
và nh vậy ta đã làm xuất hiện BDE có BE=AC.

Hớng giải: Ta thừa nhận ngay việc chứng minh cho DH=DK thực chất
C
B
E
D
F
M
A
C
B
E
D
F
M
A
là chứng minh cho AFD=CED có diện tích bằng nhau vì 2 tam giác
này đã có hai cạnh đáy AF và CE bằng nhau. Nếu hai tam giác có
hai cạnh đáy bằng nhau và có đờng cao thuộc hai cạnh đáy đó
cũng bằng nhau thì diện tích bằng nhau, Vì vậy nếu ta vẽ đờng chéo
AC và lấy ACD làm trung gian để so sánh diện tích CED và
diện tích AFD. Ta thấy ngay diện tích AFD = diện tích ACD
(cùng đáy AD, cùng chiều cao hạ từ F và C xuống AD)
Diện tích AFD=CED (cùng đáy CD, cùng chiều cao hạ từ A, E xuống CD)
Suy ra diện tích AFD=CED hay 1/2 DH.AF=1/2DK.CE Mà AF=CE Suy ra
DH=DK
Ví dụ 4: Chứng minh rằng đờng trung bình của một hình thang cân thì
nhỏ hơn đờng chéo của nó.
Hớng giải :
Gọi hình thang cân ABCD có BC // AD , AB = CD và BC< AD, MN là đ -
ờng trung bình của hình thang .

chồng lên đoạn AC để làm xuất hiện đoạn thẳng hiệu của AB và AC. Đó là CB =
AB AC.Ta có ABB cân tại A . Từ B kẻ BH AB và CF BH .Đến đây ta
thấy việc giải bài toán trở nên rất dễ dàng . Ta chỉ cần chứng minh cho BE = BH
và CDHF là hình chữ nhật , sẽ suy ra đợc BF = BE CD. Cuối cùng bài toán đa về
việc so sánh BF và BC trong BFC.

4/ Vẽ thêm những đại lợng bằng nhau hoặc thêm vào những đại lợng bằng nhau mà
đề bài đã ra để tạo mối liên hệ giữa các đại lợng cần chứng minh giúp cho việc
chứng minh đợc dễ dàng .
Ví dụ 6 : Cho ABC, P là một điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác sao cho góc
PAC = góc PBC , và M, N là hình chiếu tơng ứng của P xuống AC và BC . Nối M, N
với trung điểm D của AB . Chứng minh MD = ND.
Hớng giải :
H
F
D
C
B
B
A
Giữa MD và ND cha có mối liên hệ nào giúp ta so sánh . Nếu ta xác định
thêm hai trung điểm I và K của BP và AP rồi nối DK, MK, nối DI, NI ta thấy xuất
hiện 2 tam giác DMK và DNI . Gợi ý cho ta nghĩ đến việc tìm cách chứng
minh cho 2 tam giác đó bằng nhau để rút ra MD = ND .
Mà DMK = DNI là điều dễ thấy .
Ví dụ 7: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền
thì bằng nửa cạnh ấy .
Hớng giải : Tam giác ABC có góc B = 1v , AM = MC =
2
AC

Ví dụ 8 : Cho ABC và một đờng thẳng xy không cắt tam giác . Chứng minh
rằng khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến đờng thẳng xy bằng
3
1
tổng
khoảng cách từ 3 đỉnh của tam giác tới đờng thẳng đó .
Hớng giải : ABC có G là trọng tâm . Kẻ AA , BB ,CC và GG vuông góc với
xy . Ta phải chứng minh GG =
( )
'''
3
1
CCBBAA ++
.
Dựa vào tính chất đờng trung tuyến của tam giác ta nghĩ ngay đến việc nối một đỉnh
nào đó của ABC với trọng tâm G thì đờng thẳng nối hai điểm đó
phải đi qua trung điểm cạnh đối diện

Giả sử nối B với G thì BG sẽ đi qua trung điểm N của AC . Và lấy một điểm
E là trung điểm BG ta sẽ có BE = EG = GN =
3
1
BN . Khai thác tính chất này và dựa
vào định lí Hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba thì song song
với nhau . Ta tiếp tục vẽ các đờng thẳng EE và NN vuông góc với xy tạo nên các
hình thang AACC ; EENN ; BBGG. Vận dụng tính chất đờng trung bình của
hình thang để tính chất đờng trung bình của mỗi hình thang trên so với hai đáy của
nó biến đổi dần ta sẽ đợc kết quả cần tìm .
* Những điểm cần lu ý khi vẽ đờng phụ :
a) Vẽ đờng phụ phải có mục đích , không vẽ tuỳ tiện . Phải nắm thật vững đề

*Một số loại đờng phụ thờng vẽ nh sau :
1) Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trớc hay đặt một đoạn thẳng
bằng đoạn thẳng cho trớc ( VD 2 ) .
2) Vẽ thêm một đờng thẳng song song với đoạn thẳng cho trớc từ một điểm cho
trớc .
3) Từ một điểm cho trớc vẽ đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng cho trớc ( VD
8 ).
4) Nối 2 điểm cho trớc hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho trớc .
5) Dựng đờng phân giác của một góc cho trớc .
6) Dựng một góc bằng một góc cho trớc hay bằng nửa góc cho trớc
7) Vẽ tiếp tuyến với một đờng tròn cho trớc từ một điểm cho trớc .
8) Vẽ tiếp tuyến chung, dây chung hoặc đờng nối tâm khi có hai đờng tròn giao
nhau hay tiếp xúc ngoài với nhau.
* Một số bài toán tham khảo .
Bài 1: ở miền ngoài hình bình hành ABCD lấy một điểm P sao cho góc PAB =
góc PCB . Các đỉnh A và C nằm trong những nửa mặt phẳng khác nhau đối với đờng
thẳng PB. Chứng minh rằng góc APB = góc DPC.
Bài 2: Cho ABC cân tại A . Từ trung điểm H của BC kẻ HE AC ( E
AC
) .
Gọi O là trung điểm của HE . Chứng minh AO BE.
B
A
D
M
C
Bài 3 : Giả sử AC là đờng chéo lớn của hình bình hành ABCD. Từ C kẻ các đờng
thẳng CE, CF tơng ứng vuông góc với AB, AD .
Chứng minh : AB. AE + AD. AF = AC
2

Tuy nhiên đề tài cũng có ít nhiều hạn chế về thể loại , cha đáp ứng đợc các đối tợng
nhất là học sinh giỏi . Trong phơng pháp nêu trên cũng còn hạn chế cả về nội dung
và phơng pháp .
Tôi rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến xây dựng của các đồng chí ,đồng
nghiệp để đề tài đợc củng cố, sửa chữa , đáp ứng đợc yêu cầu của bạn đọc .
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Đông Hoàng ngày 8 tháng 6 năm 2007
Ngời viết

Phí Ngọc Thi
Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa, sách giáo viên hình 7, 8.
2. Bài soạn hình 7, 8
3. Để học tốt hình 7, 8
4. Một số vấn đề phát triển hình 7, 8
5. Phơng dạy học toán học- Nguyễn Bá Kim , Vũ Dơng Thuỵ
6. Phơng pháp chứng minh trong hình học Nguyễn Phúc Trình
7. Tuyển chọn các bài toán cấp 2- Nguyễn Hải Châu