B GIO DC V ĐO TO
TRƯNG ĐI HC Đ LT TRẦN GIA LC KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CC
TÍCH PHÂN KỲ DỊ

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 62.46.01.01 TM TẮT LUẬN N TIẾN SĨ TON HC
NGƯI HƯỚNG DẪN KHOA HC
1. GS. TSKH. Lê Dũng Tráng
2. TS. Trịnh Đức Tài Đà Lạt - 2014 Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Đà Lạt. Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TS. Lê Dũng Tráng

n
e
iλφ(x)
f(x)dx
và các bài toán liên quan đến nó; trong đó λ là một số dương đủ lớn, φ
là hàm trơn có giá trị thực được gọi là hàm pha, f là hàm trơn có giá
trị phức gọi là hàm biên độ.
Theo Elias M. Stein, có ba vấn đề cơ bản khi xét dáng điệu của I(λ), khi
λ → +∞, là địa phương hóa, đánh giá và tiệm cận. Có nhiều phương
pháp và công cụ để khảo sát dáng điệu của tích phân dao động I(λ),
trong đó việc sử dụng các tính chất của đa diện Newton của hàm pha φ
là một trong những công cụ hữu hiệu.
Luận án này gồm có 3 chương. Trong chương một chúng tôi nghiên cứu
tổng quan về tích phân kỳ dị dao động. Trước tiên chúng tôi nghiên cứu
phương pháp pha dừng, tiếp theo là nghiên cứu tích phân dao động theo
ba vấn đề cơ bản của Elias M. Stein và các học trò. Sau cùng chúng tôi
nghiên cứu những kết quả gần đây của E.M. Stein, D.H. Phong, J.A.
Sturm, B. Malgrange, V.I. Arnold, A.N. Varchenko, M. Greenblatt, I.
Parissis, trong trường hợp hàm pha là đa thức, hoặc là hàm giải tích.
Đặc biệt chú ý đến các số mũ trong công thức tiệm cận của tích phân
dao động, mối liên hệ giữa chúng với các tính chất của đa diện Newton
của hàm pha φ. Những kết quả đó cũng là động cơ và là khởi nguồn của
những kết quả của chúng tôi.
Trong chương hai, chúng tôi nghiên cứu mối liên hệ giữa đa thức Bern-
stein và hàm gamma Euler, trong đó làm rõ mối liên hệ giữa nghiệm
của đa thức Bernstein và giá trị riêng của ma trận monodromy của một
hàm giải tích thông qua các ví dụ, ban đầu đã nhận được hàm gamma
suy rộng Γ
f
từ hàm gamma Euler ứng với f là một đơn thức, và nhận

nào đó, nghiệm của bài
toán Cauchy có thể biểu diễn dưới dạng một tổng hữu hạn các tích phân dao động

e
iτF (y,x)
ϕ

y, x, (iτ)
−1

dx
và một số dư có cấp o(τ
−N
), khi τ → ∞; trong đó F là một hàm nhận giá trị thực,
τ là tham số lớn của bài toán, x là tham số thực, hàm ϕ có giá compact theo x và
là một đa thức theo (iτ)
−1
.
Vậy việc tính toán tiệm cận nghiệm của bài toán Cauchy được đưa về việc tính tiệm
cận các tích phân dao động. Trong các công trình của J.F. Nye và M.V. Berry ta có
thể tìm thấy nhiều ví dụ của các bài toán Vật lý được đưa về nghiên cứu tích phân
kỳ dị dao động.
Nhìn chung, cho đến năm 1950 người ta mới biết một ít về bài toán đánh giá tích
1
phân kỳ dị dao động, chỉ có một vài kết quả về phương pháp pha dừng trong trường
hợp hàm pha có các điểm kỳ dị cô lập không suy biến. Việc nghiên cứu bài toán
này đã có sự tiến bộ quan trọng từ khi xuất hiện các công trình của I. Gelfand và
các học trò, J. Bernstein và M. Fedoryuk. Các nhà Toán học này đã đưa ra phương
pháp nghiên cứu mối liên hệ giữa đơn đạo của hàm pha và khai triển tiệm cận của
các tích phân dao động. Từ đó đã đưa đến sự ra đời của đa thức Bernstein nổi tiếng,

hiện trong số hạng đầu tiên đó là một việc rất có ý nghĩa.
Hàm gamma Euler có một vị trí rất quan trọng trong Toán học, Vật Lý và
Kỹ thuật, do đó việc mở rộng hàm gamma là một việc cần thiết được nhiều nhà
Toán học quan tâm như E.L. Post [Pos19], E.W. Barnes [Bar99; Bar04], Díaz và
Pariguan [DP07], M.Mansour [Man09], Trong luận án này chúng tôi sử dụng đa
thức Bernstein-Sato để mở rộng hàm gamma Euler và hy vọng thông qua sự mở
rộng đó sẽ tìm được một số tính chất của tích phân kỳ dị.
Mặt khác, bài toán tìm tiệm cận số điểm nguyên trong một tập là một trong
những bài toán cơ bản của Lý thuyết số.
2
Mục đích, phương pháp và đối tượng nghiên cứu
Trong luận án này chúng tôi tập trung giải quyết các bài toán sau:
• Nghiên cứu tổng quan dáng điệu tiệm cận của các tích phân kì dị dao động
thông qua số hạng đầu tiên trong các công thức tiệm cận tương ứng của chúng
và khảo sát các số mũ xuất hiện trong các công thức tiệm cận đó.
• Mở rộng hàm gamma Euler và nghiên cứu các tính chất của hàm gamma suy
rộng đó.
• Tìm công thức tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa
đại số được xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-
Gindikin. Các số mũ trong các công thức tiệm cận được tính một cách tường
minh thông qua các yếu tố của đa diện Newton của các ánh xạ đa thức đó.
Để giải các bài toán đó, chúng tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
• Các phương pháp địa phương hóa, đánh giá và tiệm cận thường được dùng
trong lý thuyết tích phân kỳ dị.
• Sử dụng đa diện Newton để khảo sát dáng điệu tiệm cận của tích phân dao
động, tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa đại số.
• Mở rộng hàm gamma Euler và sử dụng đa thức Bernstein-Sato để nghiên cứu
các tính chất của hàm gamma suy rộng. Phương pháp này hoàn toàn khác với
các phương pháp mà các nhà Toán học khác đã sử dụng trước đây.
• Các phương pháp tính toán trong Giải tích tiệm cận, Hình học đại số, Tôpô

trong đó B(s) là đa thức Bernstein-Sato của f, như xây dựng được điều kiện
đủ để một đa thức f thỏa phương trình hàm trên. Trong trường hợp f(t) = t
k
,
chúng tôi chứng minh được hàm gamma ứng với t
k
thỏa mãn phương trình
hàm nói trên và có hầu hết các tính chất của hàm gamma Euler. Các tính chất
đó đều có sự tham gia của đa thức Bernstein-Sato của t
k
và cách mở rộng của
chúng tôi hoàn toàn tương thích với cách mở rộng của các nhà Toán học trước
đây.
3. Từ những kết quả của GS.TSKH. Đinh Dũng về tiệm cận thể tích của đa diện
lôgarit trong lý thuyết xấp xỉ, chúng tôi đã mở rộng các kết đó và nhận được
tiệm cận thể tích của các tập dưới mức của lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn
điều kiện Mikhailov-Gindikin. Các số mũ phát biểu trong Định lý 3.1 được
tính một cách tường minh thông qua đa diện Newton của các ánh xạ đa thức
tương ứng và chúng hoàn toàn phù hợp với các kết quả của V.A. Vasilev, E.V.
Sinitskaya, A.I. Karol’, M. Greenblatt (xem [Vas77], [Sin04], [Kar09], [Gre10]).
4. Cũng từ kết quả của GS. Đinh Dũng về tiệm cận số điểm nguyên của đa diện
lôgarit, chúng tôi đã tìm được công thức tiệm cận số điểm nguyên của các tập
nửa đại số xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-
Gindikin theo các yếu tố của đa diện Newton của lớp các ánh xạ đa thức đó.
Để nhận được kết quả đó, chúng tôi đã sử dụng đa diện đầy đủ của chính đa
diện Newton của ánh xạ đa thức đó và các số mũ nhận được trong công thức
tiệm cận của Định lý 3.2 tương tự như trong công thức tiệm cận thể tích của
các tập dưới mức.
5. Bên cạnh đó chúng tôi chỉ ra được lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện
Mikhailov-Gindikin là một tập con mở của tập các ánh xạ đa thức có cùng

Hà Nội, 02 - 14/12/2013 (PGS.TSKH. Hà Huy Vui báo cáo).
5
Chương 1
Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động
1.1 Mở đầu
Tích phân kỳ dị phát triển một cách mạnh mẽ trong khoảng 60 năm gần đây, thông
qua các công trình mở đầu của S.G. Mikhlin, A.P. Calderon và A. Zygmund. Nó
có vai trò quan trọng trong nghiên cứu nghiên cứu chuỗi Fourier, phương trình đạo
hàm riêng và nhiều ngành khác của giải tích.
Một ví dụ cổ điển của tích phân kỳ dị là phép biến đổi Hilbert
Hf(x) =
1
π

+∞
−∞
f(t)
x − t
dt , −∞ < x < +∞ ,
trong đó f ∈ L
2
(R). Biểu thức dưới dấu tích phân có kỳ dị tại t = x. Tuy nhiên, ta
có thể xét tích phân trên theo nghĩa giá trị chính (principal value - pv.).
Hf(x) = pv.
1
π

+∞
−∞
f(t)

|K(x, t)| ≤
C
|x − t|
, x, t ∈ R ,




∂
∂x
K(x, t)




+




∂
∂t
K(x, t)




≤
C
|x − t|

∂t
K(x, t)




≤
C
|x − t|
n+1
, x, t ∈ R
n
,
trong đó C là hằng số thì ta gọi K(x, t) là hạt nhân Calderon-Zygmund. Trường hợp
K(x, t) = e
iλφ(x)
hoặc K(x, t) = e
iλϕ(x,t)
, với λ là tham số lớn và dương, ta thường
gặp các tích phân dạng
I(λ) =

R
n
e
iλφ(x)
f(x)dx ,
còn gọi là tích phân dao động loại I hay tích phân dao động, và
T
λ

cận.
1.2.1 Địa phương hóa
Giả sử φ có giá compact trong khoảng mở (a, b). Dáng điệu tiệm cận của I(λ) được
xác định bởi các điểm kỳ dị của hàm pha φ. Khi đó, từ dáng điệu địa phương của
I(λ) tại các điểm này ta có thể suy ra dáng điệu tiệm cận toàn cục của I(λ).
Bổ đề 1.1 (Riemann-Lebesgue, [Ste93]). Giả sử φ và f là các hàm trơn sao cho f
có giá compact trong khoảng mở (a, b) và φ

(x) = 0, với mọi x ∈ [a, b]. Khi đó
I(λ) = O(λ
−N
), khi λ → ∞, với mọi N ≥ 0 .
Bổ đề 1.1 chính là trường hợp một chiều của nguyên lý pha dừng (Định lý ??).
1.2.2 Đánh giá tích phân dao động một chiều
Bổ đề 1.2 (Van der Corput, [Ste93]). Giả sử φ : [a, b] −→ R là một hàm thuộc lớp
C
k
và


φ
k
(x)


≥ 1, với k ≥ 1 nào đó và với mọi x ∈ [a, b]. Nếu k = 1 thì giả thiết
8
Chương 1. Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động
thêm φ


φ
(k)
(x)


≥ 1, với
k ≥ 1 và với mọi x ∈ [a, b]. Khi đó
|{x ∈ [a, b] : |φ(x)| ≤ α}| ≤ 2kα
1
k
.
Hệ quả 1.1. Nếu φ thỏa mãn giả thiết của Bổ đề 1.2 và f thuộc lớp C
1
thì





b
a
e
iλφ(x)
f(x)dx




≤
c

= 0.
Nếu giá của f chứa trong một lân cận đủ nhỏ của x
0
thì
I(λ) =

e
iλφ(x)
f(x)dx ∼ λ
−
1
k
∞

j=0
a
j
λ
−
j
k
, (1.3)
theo nghĩa với mọi số nguyên N và r không âm,

d
dx

r

I(λ) − λ

f(x)dx, khi λ → +∞, (1.4)
trong đó hàm pha φ trơn, nhận giá trị thực; và hàm biên độ f trơn, nhận giá trị
phức, có giá compact.
Việc mở rộng Bổ đề 1.1 sang trường hợp nhiều biến hoàn toàn tương tự. Tuy
nhiên khi mở rộng Hệ quả 1.1 (đánh giá tích phân dao động 1 chiều) sang trường
hợp n chiều, ta không nhận được kết quả tương tự mà chỉ nhận được kết quả yếu;
vì hằng số trong đánh giá tích phân n chiều phụ thuộc vào hàm pha φ.
Định lý 1.2 ([Ste93]). Giả sử f ∈ C
∞
(R
n
), φ là hàm trơn có giá trị thực và ∇φ = 0
trên giá của f. Khi đó
I(λ) =

R
n
e
iλφ(x)
f(x)dx = O(λ
−N
),
khi λ → ∞, với mọi N ≥ 0.
E.M. Stein đã đưa ra một đánh giá không đều cho các tích phân dao động dạng
(1.4).
Định lý 1.3 ([Ste93]). Giả sử f trơn và có giá chứa trong quả cầu đơn vị, và φ là
một hàm giá trị thực sao cho với mọi β ∈ N
n
, |β| > 0 ta có


L
∞
+ ∇f
L
1
)
10
Chương 1. Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động
trong đó hằng số c
k
(φ) độc lập với λ và f.
Nhận xét 1.1. Tương tự như trường hợp một chiều, ta cũng có thể nói rằng giữa
các đánh giá thể tích tập dưới mức và các đánh giá tích phân dao động trong trường
hợp nhiều chiều có mối quan hệ chặt chẽ với nhau.
Trường hợp hàm pha φ có một kỳ dị không suy biến tại điểm x
0
, ta nhận được
công thức tiệm cận sau
Định lý 1.4 ([Ste93]). Giả sử φ(x
0
) = 0 và φ có một điểm kỳ dị không suy biến tại
x
0
. Nếu f có giá trong một lân cận đủ nhỏ của x
0
, thì

R
n
e

iλφ(x
0
)


α
n−1

k=0
a
k,α
(f)λ
α

ln λ

k
khi λ → +∞ , (1.6)
nếu giá của hàm biên độ f được chứa trong một lân cận đủ bé của điểm x
0
. Trong
đó α chạy khắp một tập hữu hạn các cấp số cộng không phụ thuộc vào f và các cấp
số cộng này được lập bởi các số hữu tỉ âm. Các hệ số a
k,α
là các hàm suy rộng của
hàm biên độ.
11
Chương 1. Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động
1.4.1 Chỉ số dao động và chỉ số kỳ dị
Định nghĩa 1.1.


n∈K

n + R
k
+

.
Nói chung, một đa diện Newton có thể chứa các mặt có chiều khác nhau. Các
mặt này hoặc là compact, hoặc là không bị chặn.
12
Chương 1. Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động
Định nghĩa 1.4. Lược đồ Newton của tập K là hợp của tất cả các mặt compact
của đa diện Newton của K.
Ký hiệu Γ
+
(K), Γ
+
(K) tương ứng là đa diện Newton và lược đồ Newton của tập
K. Cho φ =

n∈K
a
n
x
n
, với a
n
∈ C, ta định nghĩa
supp φ := {n ∈ N

n lần
) : t ∈ R}. Định lý sau cho ta mối liên hệ giữa chỉ số
dao động và khoảng cách Newton của hàm φ tại 0.
Định lý 1.6 (Varchenko, [Var76; Gre10]). Giả sử với mỗi mặt compact ∆ của
Γ
+
(φ), hàm ∇φ
∆
(x) không triệt tiêu trên (R \ {0})
n
và khoảng cách Newton của φ
là d > 1. Khi đó chỉ số dao động của φ tại 0 bằng −
1
d
. Nếu một mặt của Γ
+
(φ)
(compact hoặc không compact) có chiều là k và cắt đường thẳng ∆(t) tại phần trong
của nó thì số bội của chỉ số dao động đó bằng n − k − 1.
Nếu đường thẳng ∆(t) cắt Γ
+
(φ) tại một đỉnh thì ta cho k = 0.
13
Chương 1. Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động
Nhận xét 1.3. Từ các Định lý 1.5 và 1.6 ta suy ra số hạng đầu của khai triển tiệm
cận của tích phân dao động I(λ) có dạng
C
f
λ
−

đã thu được những kết quả thú vị. Ông ta đã mở rộng Định lý Varchenko cho lớp
các hàm pha φ mà không cần điều kiện ∇φ
∆
(x) = 0, ∀x ∈ (R \{0})
n
(xem [Gre10]).
1.5 Tiệm cận thể tích
1.5.1 Dạng Gelfand-Leray
Xét tích phân dao động sau:

R
n
e
iλφ(x)
f(x)dx. (1.8)
Theo Định lý Fubini, bằng cách thực hiện phép đổi biến φ = t, ta đưa Tích phân
(1.8) về dạng

+∞
−∞
e
iλt


φ=t
fdx
1
∧ . . . ∧ dx
n
/dφ

a
k,α
(t − t
0
)
α
(ln(t − t
0
))
k
, t → t
0
.
trong đó α chạy trên một tập con rời rạc của tập số thực.
Vậy nếu biết chuỗi tiệm cận của hàm Gelfand-Leray ta có thể xác định chuỗi
tiệm cận của tích phân dao động và ngược lại tiệm cận của tích phân dao động cho
ta thông tin về tiệm cận của hàm Gelfand-Leray.
1.5.2 Thể tích của tập dưới mức
Giả sử hàm pha φ có một cực tiểu cô lập và giá trị cực tiểu của hàm pha bằng
không. Giả sử rằng f ≡ 1 trong một lân cận của điểm cực tiểu. Ta kí hiệu J là hàm
Gelfand-Leray và xét hàm
V (t) =

t
0
J(s)ds .
Rõ ràng với giá trị dương đủ nhỏ của đối số, hàm V (t) bằng thể tích của tập dưới
mức của hàm pha. Do đó tiệm cận của hàm thể tích của tập dưới mức xác định
tiệm cận của tích phân dao động trong trường hợp hàm pha có một cực tiểu cô lập
và hàm biên độ bằng hằng số trong một lân cận của điểm cực tiểu đó của hàm pha.

(φ) tại điểm D
0
.
Định nghĩa 1.7. Lược đồ Newton của một hàm được gọi là lược đồ cực tiểu nếu
nó cắt tất cả các trục tọa độ, và tất cả các đỉnh của nó chỉ có các tọa độ chẵn.
Năm 1977, V.A. Vassiliev đã xét dáng điệu tiệm cận của tích phân Laplace dạng
I(λ) =

R
n
e
−
φ(x)
h
f(x)dx, khi h → +0, (1.10)
trong đó φ : R
n
−→ R là hàm trơn có 0 là điểm cực tiểu duy nhất, và f là hàm trơn
có giá compact.
Định lý 1.8 (Vassiliev, [Vas77]). Cho φ : (R
n
, 0) −→ (R, 0) là một hàm giải tích có
một cực tiểu cô lập tại 0. Nếu với mọi mặt ∆ của Γ
+
(φ) ta có φ
∆
(x) > 0 thì
|{x ∈ R
n
: φ(x) < φ(0) + h}|  h




 e
−
φ(0)
h
h
1
d
| ln h|
p
, khi h → +0.
16
Chương 2
Đa thức Bernstein-Sato và hàm gamma
suy rộng
Trong chương này chúng tôi giới thiệu kết quả của B. Malgrange, chỉ ra một quan
hệ trực tiếp giữa các nghiệm của đa thức b(s) và đơn đạo của f, tìm ví dụ minh
họa cho kết quả đó. Mặt khác, với một đa thức f, chúng tôi mở rộng hàm gamma
Euler và gọi nó là hàm gamma ứng với f hay hàm gamma suy rộng. Sử dụng đa
thức Bernstein-Sato ứng với f, chúng tôi thiết lập được một phương trình hàm đối
với hàm gamma suy rộng đó trong một số trường hợp.
2.1 Đơn đạo của một kì dị cô lập
Cho f là một mầm hàm giải tích trong một lân cận mở của 0 ∈ C
n
, thỏa mãn
f(0) = 0 và 0 ∈ C
n
là điểm kì dị cô lập của f. Cho  > 0, η > 0 và đặt


.
Định lý 2.1 ([Mil68]). Tồn tại 
0
> 0 sao cho với mọi  thỏa 0 <  ≤ 
0
, tồn tại
η
0
() > 0 và với mọi η ≤ η
0
() ta có :
17
Chương 2. Đa thức Bernstein-Sato và hàm gamma suy rộng
a.) Ánh xạ f : X
∗
−→ T
∗
là một phân thớ C
∞
.
b.) Nếu t = 0 thì H
p
(X
t
, C) = 0, với p = 0, p = n − 1 và dim
C
H
n−1
(X

Định lý 2.4 ([Mal74b]).
(i) Các nghiệm của
˜
b(s) là các số hữu tỉ nhỏ hơn 1.
(ii) Ánh xạ s −→ exp(2iπs) là toàn ánh từ tập các nghiệm của
˜
b(s) đến tập các
giá trị riêng của ma trận đơn đạo H.
Ví dụ 2.1. Cho f : C −→ C là một hàm xác định bởi f(t) = t
k
. Ta có f(t)
s
= t
ks
và
d
dt
f
s
= kst
k−1
f
s−1
.
Giả sử rằng
d
m
dt
m
f

(k − m) + (s − 1)k

t
k−m−1
f
s−1
.
Do đó,
B
m+1
(s) = B
m
(s)(ks − m) .
18
Chương 2. Đa thức Bernstein-Sato và hàm gamma suy rộng
Từ công thức truy hồi này ta có
B(s) := B
k
(s) = ks(ks − 1)(ks − 2) · · · (ks − (k − 1)) .
Khi đó
˜
b(s) =

s −
1
k

s −
2
k


2πi
k


.
Do đó nếu đặt α
1
= 1, α
2
= e
2πi
k
, α
3
= e
2

2πi
k

, · · · , α
k
= e
(k−1)

2πi
k

, và

(X
1
, C).
Tính toán các giá trị của tự đẳng cấu h : H
0
(X
1
, C) −→ H
0
(X
1
, C) đối với cơ sở
này, ta được
h(γ
1
) = h(α
2
− α
1
) = α
3
− α
2
= γ
2
− γ
1
,
h(γ
2

k−1
) = h(α
k
− α
1
) = α
1
− α
2
= −γ
1
.
19
Chương 2. Đa thức Bernstein-Sato và hàm gamma suy rộng
Vậy ma trận của đơn đạo h là ma trận vuông cấp k − 1
H
k−1
=











−1 −1 −1 · · · −1 −1











−1 − λ −1 −1 · · · −1 −1
1 −λ 0 · · · 0 0
0 1 −λ · · · 0 0
· · ·
0 0 0 · · · −λ 0
0 0 0 · · · 1 −λ















, nên
λ
j
= e
2πi
j
k
, j = 1, · · · k − 1,
là các nghiệm của phương trình đặc trưng λ
k−1
+ λ
k−2
+ · · · + λ + 1 = 0.
Nhận xét 2.1. Nếu s
j
, j = 1, · · · , k − 1 là một nghiệm của đa thức
˜
b(s) thì
λ
j
= e
2πis
j
là một giá trị riêng của ma trận đơn đạo H.
2.3 Đa thức Bernstein-Sato và thác triển giải tích
của hàm f
s
Cho hàm f : R
n
−→ R có đa thức Bernstein-Sato được kí hiệu là b. Với s ∈ C thỏa

Γ
f
(s) :=

∞
0
f(t)
s−1
e
−t
dt . (2.1)
Hàm này có nhiều tính chất tương tự như hàm gamma Euler. Chúng tôi sẽ giới
thiệu một số kết quả bước đầu về phương trình hàm kiểu gamma đối với hàm Γ
f
(s)
trong một số trường hợp.
Vế phải của (2.1) là một hàm chỉnh hình trên nửa mặt phẳng phức Re(s) > 1−
1
k
,
với k là số bội của f tại t = 0. Nếu f(t) = t thì Γ
f
(s) chính là hàm gamma Euler
Γ(s). Ta có Γ(s) thỏa mãn phương trình hàm quen thuộc
Γ(s + 1) = sΓ(s) . (2.2)
Mặt khác, ta lại có
d
dt
t
s