BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT TRẦN GIA LỘC KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CÁC
TÍCH PHÂN KỲ DỊ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGÀNH TOÁN HỌC

dụng để viết luận án đều được trích dẫn đầy đủ.
Các kết quả của tôi hoặc của tôi làm việc chung với các nhà toán học trên
là mới và chưa công bố trong bất kỳ công trình của ai khác. PGS.TSKH.
Hà Huy Vui, TS. Trịnh Đức Tài đã đồng ý cho tôi sử dụng các kết quả
nghiên cứu chung của tôi với họ để viết luận án này.
Luận án này được viết và hoàn thành tại Viện Toán học và Trường Đại
học Đà Lạt, dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Lê Dũng Tráng,
PGS.TSKH. Hà Huy Vui và TS. Trịnh Đức Tài; đã được ba nhà Toán
học trên đọc, góp ý và sửa chữa.
Đà Lạt, ngày 01 tháng 08 năm 2014
Trần Gia Lộc
i
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên tôi bày tỏ lòng biết ơn cố PGS.TSKH. Nguyễn Hữu Đức, người đã
dạy và hướng dẫn tôi làm luận văn Thạc sĩ, đã dẫn dắt tôi đến với lý thuyết kỳ dị,
đã khuyến khích động viên tôi tiếp tục làm nghiên cứu sinh và dành cho tôi sự quan
tâm sâu sắc. Đặc biệt, ông đã giới thiệu tôi theo học và làm việc với GS.TSKH. Lê
Dũng Tráng để hoàn thành luận án này.
Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Lê
Dũng Tráng. Thầy đã đặt ra các bài toán một cách tường minh giúp tôi nhanh
chóng định hướng nghiên cứu của mình. Dù bận rộn với công việc và gặp vấn đề về
sức khỏe, nhưng Thầy vẫn kiên trì theo dõi và động viên tôi làm việc, đã dành cho
tôi một sự quan tâm đặc biệt, đã đề xuất các hướng nghiên cứu và đưa ra các câu
hỏi xác đáng, giúp tôi tự tin vượt qua những khó khăn để hoàn thành luận án. Qua
kiến thức uyên bác và sự hướng dẫn của Thầy, tôi đã biết và hiểu rõ giá trị của một
số lĩnh vực Toán học. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn đến Thầy.
Tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Trịnh Đức Tài đã dành cho tôi những buổi seminar
và những lần trao đổi bổ ích, giúp tôi vượt qua sự bỡ ngỡ ban đầu để giải quyết bài
toán của GS. Lê Dũng Tráng đặt ra cho tôi, đã đọc và có những ý kiến xác đáng
giúp tôi chỉnh sửa luận án này.

Lời cảm ơn ii
Mục lục iv
Danh sách hình vẽ vii
Danh sách các ký hiệu viii
Tóm tắt xii
Mở đầu 1
Các Hội nghị và Seminar có báo cáo kết quả của luận án 5
Các công trình của tác giả liện quan đến luận án 6
1 Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động 7
1.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Phương pháp pha dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Trường hợp hàm pha không có điểm kỳ dị trong supp(f) . . . 10
1.2.2 Trường hợp hàm pha có kỳ dị không suy biến . . . . . . . . . 11
1.3 Tích phân dao động trong trường hợp một chiều . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Đánh giá tích phân dao động một chiều . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3 Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Tích phân dao động trong trường hợp nhiều chiều . . . . . . . . . . . 18
1.5 Trường hợp hàm pha là đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Đa diện Newton và tích phân dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.1 Chỉ số dao động và chỉ số kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.2 Đa diện Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.3 Đa diện Newton và đánh giá tích phân dao động . . . . . . . . 28
1.7 Tích phân dao động phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iv
MỤC LỤC
1.8 Tiệm cận thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.8.1 Dạng Gelfand-Leray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.8.2 Thể tích của tập dưới mức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.8.3 Tích phân kiểu Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

k
− beta và t
k
− zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.7 Phương trình hàm của Γ
f
với f là đa thức bậc hai . . . . . . . . . . 56
3 Tiệm cận số điểm nguyên và tiệm cận thể tích của các tập nửa đại
số 58
3.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Phát biểu các kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Các chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.1 Chứng minh Định lý 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.2 Chứng minh Định lý 3.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.3 Chứng minh Định lý 3.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
KẾT LUẬN 85
A Các khái niệm cơ bản 87
A.1 Không gian L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
A.2 Không gian L
∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
A.3 Các ký hiệu ∼ ,  , o , và O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
v
MỤC LỤC
A.4 Tập nửa đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
A.5 Đa thức monic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
B Mở đầu về đồng điều đơn hình và đồng điều kỳ dị 90

 . 
L
p
chuẩn L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
 f 
L
p


R
d
| f(x) |
p
dx

1
p
- chuẩn L
p
của f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
 . 
L
∞
chuẩn L
∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
 f 
L

(X, F, µ) ký hiệu tắt L
p
(X), hoặc L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
L
1
(X, F, µ) không gian tất cả các hàm khả tích trên X . . . . . . . . . . . . 87
L
∞
(X, F, µ) còn ký hiệu tắt là L
∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
C
∞
(Ω, R) Không gian các hàm nhận giá trị thực, khả vi vô hạn trên Ω. . . . .10
C
∞
0
(Ω) Không gian các hàm trơn có giá compact trong Ω. . . . . . . . . . . . . . . . .9
C
∞
(Ω) Không gian các khả vi vô hạn trong Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
O
X
bó các hàm giải tích trên X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Các tích phân và phép biến đổi tích phân
F(f)

+∞

s
+
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

R
n
e
iλφ(x)
f(x)dx tích phân dao động loại I . . . . . . . . . . . . 8
viii
Danh sách các ký hiệu
Các số và hằng số đặc biệt
γ = lim
n→∞

1 +
1
2
+ ···+
1
n
− log n

, hằng số Euler. . . . . . . . . . . . . . . 49
µ = dim
C
O
X,0
/


Γ
t
k
(s) =

∞
0
t
k(s−1)
e
−t
dt , Re(s) > 1 −
1
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Γ
k
(s) =

∞
0
t
s−1
e
−
t
k
k
dt, hàm k-gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
B(p, q) =

(q)
Γ
t
k
(p + q)
, Re(p) > 0, Re(q) > 0, hàm t
k
− beta . . . . . . . . . . . .55
ζ(s) =

∞
n=1
1
n
s
, Re(s) > 1, hàm zeta Riemann 53
ζ
H
(s, a) =

∞
n=0
1
(n + a)
s
, Re(s) > 1, a = 0, −1, −2, . . ., hàm zeta Hurwitz
54
ζ
f
(s) =

(1 − e
−t
)
−1
e
−t
dt, Re(s) > 1, hàm t
k
− zeta . 55
Các ký hiệu khác
b
f
(s) hoặc b(s), đa thức Bernstein-Sato của f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
K(x, t) hạt nhân Calderon-Zygmund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
coneΓ(f) nón sinh bởi Γ(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
∆
+
(d) = {(d
1
, . . . , d
n
) ∈ R
n
+
: d
1
= . . . = d
n
}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
E

đường chéo ∆
+
(d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
H
p
(X
t
, C) nhóm đồng điều thứ p của thớ X
t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
J(t)

φ=t
fdx
1
∧ . . . ∧dx
n
/dφ, hàm Gelfand-Leray . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

∂
2
φ
∂x
i
∂x
j

(x
0
) ma trận Hessian của φ tại x

(f
1
, . . . , f
m
) : R
n
−→ R
m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Γ
∞
(f) = conv

m
∪
i=1
supp(f
i
)

∪ {0}

, đa diện Newton của ánh xạ đa thức
f = (f
1
, . . . , f
m
) : R
n
−→ R

0
)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
sgn φ

(x
0
) dấu của φ

(x
0
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
supp(f) {x ∈ Ω : f (x) = 0}, giá của hàm f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
supp φ {n ∈ N
k
: a
n
= 0}, giá của chuỗi φ =

n∈K
a
n
x
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
P (x, s,
∂
∂x
) toán tử đạo hàm riêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

o
Z
n
{κ = (κ
1
, ··· , κ
n
) ∈ Z
n
: κ
j
= 0, j = 1, ··· , n}. . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
Z
f
(r) = G
f
(r) ∩
o
Z
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Card

G
f
(r) ∩
o
Z
n


dao động, mối liên hệ giữa chúng với các tính chất của đa diện Newton
của hàm pha φ. Những kết quả đó cũng là động cơ và là khởi nguồn của
những kết quả của chúng tôi.
Trong chương hai, chúng tôi nghiên cứu mối liên hệ giữa đa thức Bern-
stein và hàm gamma Euler, trong đó làm rõ mối liên hệ giữa nghiệm
của đa thức Bernstein và giá trị riêng của ma trận monodromy của một
hàm giải tích thông qua các ví dụ, ban đầu đã nhận được hàm gamma
suy rộng Γ
f
từ hàm gamma Euler ứng với f là một đơn thức, và nhận
xii
được nhiều tính chất tương tự như các tính chất của hàm gamma Euler
([Loc11], [LT12]).
Trong chương ba, chúng tôi nghiên cứu tiệm cận thể tích và tiệm cận số
điểm nguyên của các tập nửa đại số được xác định bởi lớp các ánh xạ đa
thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin. Các số mũ trong các công
thức tiệm cận mà chúng tôi thu được, được biểu diễn một cách tường
minh thông qua các yếu tố của đa diện Newton của các ánh xạ đa thức
đó ([VL14]).
xiii
MỞ ĐẦU
Tổng quan những vấn đề liên quan đến luận án
Tích phân dao động đã thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà Toán học và các
nhà Vật lý từ khi xuất hiện công trình Théorie Analytique de la Chaleur của Joseph
Fourier vào năm 1822. Nhiều bài toán Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, hình
học đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết số; các bài toán về quang học, âm học, cơ
học lượng tử, đều có thể đưa về việc nghiên cứu các tích phân dao động. Mặc dù
bài toán này đã có từ lâu, nhưng do phạm vi ứng dụng rộng lớn của nó, nên đến
nay vẫn có nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu nó và đã thu được nhiều kết
quả quan trọng.

thể tìm thấy nhiều ví dụ của các bài toán Vật lý được đưa về nghiên cứu tích phân
kỳ dị dao động.
Nhìn chung, cho đến năm 1950 người ta mới biết một ít về bài toán đánh giá tích
1
phân kỳ dị dao động, chỉ có một vài kết quả về phương pháp pha dừng trong trường
hợp hàm pha có các điểm kỳ dị cô lập không suy biến. Việc nghiên cứu bài toán
này đã có sự tiến bộ quan trọng từ khi xuất hiện các công trình của I. Gelfand và
các học trò, J. Bernstein và M. Fedoryuk. Các nhà Toán học này đã đưa ra phương
pháp nghiên cứu mối liên hệ giữa đơn đạo của hàm pha và khai triển tiệm cận của
các tích phân dao động. Từ đó đã đưa đến sự ra đời của đa thức Bernstein nổi tiếng,
đa thức này thỏa mãn mối liên hệ
P (x, s,
∂
∂x
)f
s
= b
f
(s)f
s−1
,
trong đó P là một toán tử vi phân, f là đa thức, b
f
(s) cũng là đa thức và được gọi
là đa thức Bernstein ứng với f. Sau đó, J.E. Bj¨ork đã mở rộng đa thức Bernstein
cho trường hợp f là một mầm hàm giải tích. Năm 1973, B. Malgrange đã thiết lập
mối quan hệ giữa đơn đạo và khai triển tiệm cận các tích phân dao động một cách
tường minh.
Cũng trong thập niên 1970, V.I. Arnold và A.N. Varchenko đã đưa ra các kết quả
lý thú về tốc độ tắt dần (the decay rate) của tích phân dao động thông qua giao

minh thông qua các yếu tố của đa diện Newton của các ánh xạ đa thức đó.
Để giải các bài toán đó, chúng tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
• Các phương pháp địa phương hóa, đánh giá và tiệm cận thường được dùng
trong lý thuyết tích phân kỳ dị.
• Sử dụng đa diện Newton để khảo sát dáng điệu tiệm cận của tích phân dao
động, tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa đại số.
• Mở rộng hàm gamma Euler và sử dụng đa thức Bernstein-Sato để nghiên cứu
các tính chất của hàm gamma suy rộng. Phương pháp này hoàn toàn khác với
các phương pháp mà các nhà Toán học khác đã sử dụng trước đây.
• Các phương pháp tính toán trong Giải tích tiệm cận, Hình học đại số, Tôpô
đại số, Lý thuyết kỳ dị, Giải tích số và Đại số tuyến tính.
Những đóng góp mới của luận án
Các kết quả chính của luận án bao gồm:
1. Dựa trên kết quả của B. Malgrange (xem [Mal74a]), chúng tôi đã làm rõ mối
liên hệ giữa các nghiệm của đa thức Bernstein-Sato và các giá trị riêng của
ma trận đơn đạo của một hàm giải tích thông qua các ví dụ một cách tường
minh.
2. Chúng tôi đã mở rộng hàm gamma Euler bởi định nghĩa sau
Γ
f
(s) :=

∞
0
f(t)
s−1
e
−t
dt,
3

4. Cũng từ kết quả của GS. Đinh Dũng về tiệm cận số điểm nguyên của đa diện
lôgarit, chúng tôi đã tìm được công thức tiệm cận số điểm nguyên của các tập
nửa đại số xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-
Gindikin theo các yếu tố của đa diện Newton của lớp các ánh xạ đa thức đó.
Để nhận được kết quả đó, chúng tôi đã sử dụng đa diện đầy đủ của chính đa
diện Newton của ánh xạ đa thức đó và các số mũ nhận được trong công thức
tiệm cận của Định lý 3.2.2 tương tự như trong công thức tiệm cận thể tích
của các tập dưới mức.
5. Bên cạnh đó chúng tôi chỉ ra được lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện
Mikhailov-Gindikin là một tập con mở của tập các ánh xạ đa thức có cùng
một đa diện Newton.
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Thông qua luận án này, tác giả đã đưa ra một số kết quả mới có thể được áp
dụng trong một số lĩnh vực như Giải tích tiệm cận, Tích phân dao động, Giải tích
số, Lý thuyết tối ưu,
4
CÁC HỘI NGHỊ VÀ SEMINAR CÓ BÁO CÁO
KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN
Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại các Hội nghị và các
Seminar sau:
• Seminar ngành Toán Giải tích, Khoa Toán - Tin học, Đại học Đà Lạt.
• Hội nghị Khoa học Khoa Sau Đại học, Đại học Đà Lạt - 2009.
• Hội nghị Khoa học Trường Đại học Tây Nguyên - 12/2009.
• International Conference on Topology of singularities and related topics, I,
JSPS-VAST Japan-Vietnam Bilateral joint project, Hanoi, Vietnam, March
03/2010.
• Hội nghị Tin học và Toán ứng dụng, Đại học Nha Trang 17/6/2011.
• Hội nghị toàn quốc về Đại số - Hình học - Tô pô (DAHITO), Đại học Thái
Nguyên 3-5/11/2011.
• International Conference in Mathematics and Applications (ICMA - MU 2011),

1
π

+∞
−∞
f(t)
x − t
dt , −∞ < x < +∞ ,
trong đó f ∈ L
2
(R). Biểu thức dưới dấu tích phân có kỳ dị tại t = x. Tuy nhiên, ta
có thể xét tích phân trên theo nghĩa giá trị chính (principal value - pv.).
Hf(x) = pv.
1
π

+∞
−∞
f(t)
x − t
dt = lim
→0
+
1
π

|x−t|>
f(t)
x − t
dt.





+




∂
∂t
K(x, t)




≤
C
|x − t|
2
, x, t ∈ R
với C là hằng số. Tổng quát hơn, nếu K(x, t) xác định trên R
n
× R
n
thỏa mãn
|K(x, t)| ≤
C
|x − t|
, x, t ∈ R

n
,
trong đó C là hằng số thì ta gọi K(x, t) là hạt nhân Calderon-Zygmund. Ta thường
gặp một vài dạng hạt nhân sau
(i) Hạt nhân dao động K(x, t) = e
iλφ(x)
hoặc K(x, t) = e
iλϕ(x,t)
, với λ là tham số
lớn và dương. Trong lớp này ta thường gặp các tích phân dạng
I(λ) =

R
n
e
iλφ(x)
f(x)dx ,
còn gọi là tích phân dao động loại I hay tích phân dao động, và
T
λ
(f)(x) =

R
n
e
iλϕ(x,t)
ψ(x, t)f(t)dt ,
còn gọi là tích phân dao động loại II.
(ii) Hạt nhân kỳ dị dạng logarit K(x, t) = log |t − x|.
(iii) Hạt nhân kỳ dị dạng đại số K(x, t) = |t − x|

(Ω), và φ là hàm nhận
giá trị thực. φ được gọi là hàm pha, f được gọi là hàm biên độ hay hàm phân bố.
Điểm x
0
∈ Ω được gọi là điểm kỳ dị hay điểm dừng của hàm φ nếu
∇φ(x
0
) =

∂φ
∂x
1
(x
0
), . . . ,
∂φ
∂x
n
(x
0
)

= 0 .
Nguyên lý của phương pháp pha dừng được phát biểu chính thức bởi Lord Kelvin
(1887) trong bài toán liên quan đến thủy động lực ([Wat22], p. 229-230), mặc dù
vấn đề cốt yếu của nguyên lý này đã được tìm thấy trong các công trình sớm hơn
của Stokes về tích phân Airy và tích phân Parseval, và nó cũng được tìm thấy trong
một công trình của Riemann được công bố sau khi ông mất. Phương pháp này (với
n=1) được trình bày chặt chẽ trong các công trình của Van Der Corput [Cor34] và
A. Erdélyi [Erd56]. Bài toán gốc của L. Kelvin là tìm tiệm cận của tích phân

I(λ) ∼ f(x
0
)

2π
λ|φ

(x
0
)|
e
i[λφ(x
0
)+σ
π
4
]
, khi λ → +∞, (1.3)
trong đó σ = sgn φ

(x
0
). Công thức tiệm cận (1.3) được R. Wong phát biểu và
chứng minh chặt chẽ trong [Won01].
1.2.1 Trường hợp hàm pha không có điểm kỳ dị trong supp(f)
Cho f là một hàm liên tục trên tập Ω ⊂ R
n
. Ta gọi giá của hàm f, ký hiệu là
supp(f), là bao đóng của tập {x ∈ Ω : f(x) = 0}.
Định lý 1.2.1 (Nguyên lý pha dừng). Cho Ω ⊂ R

λ
−N
,
trong đó f
C
N
(Ω)
= max
x∈Ω

|α|≤N
|D
α
f(x)|.
Chứng minh. ([Fed89; GS94]) Xét toán tử vi phân L = ∇φ(x)
−2

n
j=1
∂φ
∂x
j
∂
∂x
j
.
Ta có L(e
iλφ
) = iλe
iλφ