Sở giáo dục & đào tạo Hải Dơng
Sáng kiến kinh
nghiệm
Một số dạng phơng trình - bất phơng
trình chứa căn thức và phơng pháp giải
Môn : Toán
Khối : 9
1
Năm học 2007 - 2008
Phòng giáo dục & đào tạo thanh miện
Sáng kiến kinh
nghiệm
Một số dạng phơng trình - bất phơng trình
chứa căn thức và phơng pháp giải
Môn : Toán
Khối : 9
Ngời thực hiện: bùi văn uý
đánh giá của tổ chuyên môn
(Nhận xét, đánh giá xếp loại)
đánh giá của hội đồng nhà trờng
(Nhận xét, đánh giá xếp loại, ký và đóng dấu) tác giả :
Đơn vị công tác :
A. đặt vấn đề
Trong chơng trình dạy toán nói chung của trung học cơ sở, có rất nhiều vấn
đề mà ngời dạy chúng ta cần quan tâm, đánh giá và suy nghĩ để từ đó t duy tổng
hợp, tiến hành thực hiện áp dụng việc đổi mới giúp cho việc giảng dạy của thầy hiệu
quả hơn, việc tiếp thu của trò dễ dàng hơn và học trò hứng thú với việc học tập ở tr-
ờng. Qua nghiên cứu chơng trình giảng dạy tôi nhận thấy trong phân môn Đại số
lớp 9 phần bài tập liên quan đến căn thức và các phép biến đổi của căn thức đặc biệt
là các dạng toán về phơng trình và bất phơng trình chứa căn thức đối với học sinh
khi thực hiện rất khó khăn, trong một số đề thi học sinh giỏi các cấp thì dạng toán
liên quan đến giải phơng trình và bất phơng trình chứa căn thức là những bài toán
hay và khó.
Trong những năm gần đây, việc đổi mới phơng pháp dạy học là một yêu cầu
bắt buộc đối với tất cả các môn học, cụ thể chúng ta phải áp dụng linh hoạt các ph-
ơng pháp để tạo cho học sinh học tập có hệ thống, tự giác trong việc nghiên cứu lý
thuyết cũng nh tìm tòi lời giải, phát triển tính sáng tạo của học sinh trong việc vận
dụng các kiến thức đã học để khám phá lời giải của các bài tập, thống kê và đa
chúng về một số dạng cơ bản trên cơ sở đó thực hiện việc giải toán một cách dễ
dàng hơn.
Qua quá trình giảng dạy các đối tợng học sinh, tôi đã thực hiện việc tổng hợp
một số dạng toán về phơng trình - bất phơng trình chứa căn thức và phơng pháp
giải, bớc đầu đã đạt đợc những kết quả nhất định. Tôi mạnh dạn tổng hợp và viết
sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng ph ơng trình bất ph ơng trình và phơng
pháp giải trong khuôn khổ của chơng trình toán trung học cơ sở nhằm mong muốn
đợc các đồng nghiệp tham khảo và cho ý kiến.
4

4
1x
=
x1
Phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1 (2)
Nếu chỉ dựa vào phép tính biến đổi ta sẽ thấy:
(2)

x - 1 = (1 - x)
2








=
=
2
1
x
x
Do vậy, trong mọi trờng hợp, cần phải xem xét điều kiện có nghĩa của phơng
trình một cách chi tiết, sau đó mới tiến hành các phép biến đổi tơng đơng.
1. Quy tắc giản ớc : Khác với các biểu thức đại số bậc nguyên khi một thừa
số khác không, ta có thể giản ớc hoặc đặt thừa số chung. Đối với biểu thức chứa
căn, cần đặc biệt lu ý tới điều kiện có nghĩa.
Bài toán 1 : Giải phơng trình:

3+x

2x - 3 + 2
)2)(1( xx
= x + 3

2
)2)(1( xx
= 6 - x
6 - x

0 x

6
5





x =

3
28

4 (x
2
- 3x + 2) = 36 - 12x + x
2
3x

3
+ v
3
+ 3uv (u +v)
Từ biểu thức u + v = a dễ dàng suy ra:
u
3
+ v
3
+ 3uva = a
3
Tuy nhiên, phép thế giá trị u + v = a này vào biểu thức lập phơng có thể dẫn
đến một phép bình phơng và phép biến đổi không còn là phép biến đổi tơng đơng.
Bài toán 2 : Giải bất phơng trình:
3
x
+
3
3 x


m (1)
Giải: (1)


3
3 x


m -


0
1) m = 0,

x là nghiệm.
2) m

0 xét tam thức bậc hai:
f(t) = 3mt
2
- 3m
2
t + m
3
- 3, với t =
3
x
= 9m
4
- 12m(m
3
- 3) = - 3m
4
+ 36m = - 3m(m
3
- 12)
m 0
3
12
- 0 + 0 -

3
2
+
Từ đó ta đợc









m
m
6
3
2
3
x











3
2
2 xx ++
.
3
2
2 xx
(
3
2
2 xx ++
+
3
2
2 xx
) = 4
Vậy phơng trình tơng đơng với:
3
2
2 xx ++
+
3
2
2 xx
=
3
4
3
3
2

phụ.
Bài toán 4: Giải phơng trình:
4
1+x
= (a
4
x
-
4
1+x
)x
Giải: Điều kiện x

0
Nhận xét:
a

, x = 0 không là nghiệm của phơng trình. Chia 2 vế của phơng
trình cho x
4
x
, ta đợc:






+
x

=
2
(1)
Giải: Điều kiện 1

x

5; Đặt
4
1x
= y +
2
2
, -
2
2


y


2
2
Khi đó:
x = (y +
2
2
)
4
+ 1,

)
4
= 4


(y +
2
2
)
2
- (y -
2
2
)
2

2
+ 2(y
2
-
2
1
)
2
= 4

2y
4
+ 6y
2

xx 1
)


4
1 x
+
4
x

Giải: Điều kiện 0

x

1
Viết bất phơng trình đã cho dới dạng:
(
4
1 x
+
4
x
)
2
+ (
4
1 x
-
4
x

4
x


x
Do vậy (
4
1 x
+
4
x
)
2



4
1 x
+
4
x
Vậy (1) luôn luôn đúng. Suy ra nghiệm là đoạn
[ ]
1;0
4. Phép chuyển về hệ: (hữu tỉ hoá gián tiếp)
7
Nhìn chung, các phơng trình và bất phơng trình chứa căn thức đều có thể
chuyển đợc về một hệ hữu tỉ. Tuy nhiên, không phải khi nào cũng cho thấy tính u
việt của hệ nhận đợc. Thông thờng, phép toán chuyển về hệ sẽ có hiệu quả khi các
phép toán đó có sử dụng các hằng đẳng thức quen biết.

-
u
4
-
v
4
+ 2(u + v) =
3
8
(u + v)
2
= 10 + 2uv



(u + v)(1 -
uv
2
) =
3
4
Đặt tiếp
uv
2
= t

uv =
t
2
, t >

2


45t
3
- 72t
2
+ t + 18 = 0

15 (3t
3
- 2t
2
) - 14 (3t
2
- 2t) - 9(3t - 2) = 0

(3t - 2) (15t
2
- 14t - 9) = 0
t =
3
2
=> uv = 3

t =
15
4627 +
=> uv =
4627

(u + v)
2
= 10 + 2a
1
v
3
=
2
1
(
)210210
11
aa +

(2) =>
(u - v)
2
= 10 - 2a
1
u
4
=
2
1
(
)210210
11
aa +
v
4


,
để hệ :
x
2
- 2x = 2 (

y +

)
(

y +

)
2
= 2x - 1
Là hệ đối xứng: Lấy

= 1,

= -1
Ta đợc hệ:
x
2
- 2x = 2(y - 1)
( x


2

= 0 y = - x
x
2
- 2x = 2(- x - 1)
y = x


x = y = 2
2

x
2
- 4x + 2 = 0
y = -x
( vô nghiệm)
x
2
= -2
Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta đợc nghiệm duy nhất của phơng trình :
x = 2 +
2
Bài toán 9 : Giải phơng trình:
x2
+
4
x
=
2
1
Giải: Điều kiện 0

sẽ đợc hệ

(1)
u
2
+ v
4
= 2 (
2
1
- v)
2
+ v
4
= 2
Giải phơng trình (1): v
4
+ v
2
-
2
v +
2
1
= 2

(v
4
+ 2v
2

) = 0
9
Vế trái luôn luôn dơng, vậy phơng trình đã cho vô nghiệm.
5. Phân tích thành nhân tử: (phép đặt ẩn phụ không toàn phần)
Một trong những nội dung khó nhất của loại phơng trình và bất phơng trình
chứa căn chính là xác định tiêu chuẩn để một biểu thức chứa căn có thể phân tích đ-
ợc thành nhân tử. Tuy nhiên, dựa vào đặc thù riêng của từng bài, có thể xem một bộ
phận thích hợp của biểu thức đã cho nh một biến số độc lập và phân tích chúng theo
biến phụ đó.
Bài toán 10 : Giải phơng trình:
4
x+1
- 1 = 3x + 2
x1
+
2
1 x
(1)
Phân tích: Coi
x1
= t nh biến độc lập. Khi đó viết (1) dới dạng:
4
x+1
- 1 = 3(1 - t
2
) + 2t + t
x+1


3t


,

,

thích hợp để tam thức theo biến t có biệt thức

= 0.
Giải: Điều kiện -1

x

1 (1)
Đặt
x1
= t
3x = - (1 - x) + 2 (1 + x) - 1 = - t
2
+ 2(x + 1) - 1
Khi đó phơng trình (1) có dạng
4
x+1
- 1 = - t
2
+ 2(x + 1) - 1 + 2t + t
x+1

t
2
- (2 +


t = 2 -
x+1

x1
= 2 -
x+1
x = 0
Cả hai giá trị đều thoả mãn điều kiện (1). Vậy phơng trình có hai nghiệm là x = 0 và
x = -
5
3
6. Phép giải và biện luận:
Việc giải phơng trình và bất phơng trình chứa căn thức có tham số thờng đợc
tiến hành theo đặc thù của từng bài cụ thể để tìm cách giải tối u. Để có một cách hệ
thống các bớc, ta sắp xếp việc biện luận theo trình tự dới đây:
Bài toán 11 : Giải và biện luận bất phơng trình
1
2
x


x m (1)
Phân tích: Các điểm đặc biệt: x =

1, x = m

-1 1 m
Từ đó, suy ra phép biện luận theo sự phân bố của m.
10

2
- 1

x
2
- 2x + 1

x

1
Vậy x

1
Là nghiệm
x

- 1
2) m = -1 (1)


1
2
x


x + 1 (2)
a) x

- 1 là nghiệm
b) Xét x > - 1. Bất phơng trình (2)

2mx

m
2
+ 1

x


m
m
2
1
2
+
=> m

x


m
m
2
1
2
+

Vậy x



+ 1 (*)
+ -1 < m

0 thì ( * ) vô nghiệm
+ 0 < m < 1 thì ( * )

x


m
m
2
1
2
+
thoả mãn điều kiện x

1
Vậy x

-1
x


m
m
2
1
2
+

Giải: (1)


22
)1()1( mx


2(x - 1) - (m - 1) (1')
Điều kiện để căn thức có nghĩa: x

1 +
1m
(2)
x

1 -
1m
1) Xét 2(x - 1) - (m - 1)

0

x

1 +
2
1m
kết hợp với (2) thì (1) có nghiệm:
x

1 -

- 4(m - 1) (x - 1) + 2(m - 1)
2


0

(x - 1)
2
+ 2 (x - 1) - (m - 1)
2

0
x = 1 m = 1



Trờng hợp này vô nghiệm
x - m = 0 x = 1
Kết luận:

m bất phơng trình có nghiệm x

1 -
1m
Bài toán 13: Giải và biện luận phơng trình: x
2
+ m =
mx
Giải: Điều kiện: x


2
- x + m = 0 (1)
x

m; y

0

y = -1 - x
x
2
+ x + m + 1 = 0 (2)
x

m; y

0
1) Giải hệ (1)
a) Nếu m < 0 thì (1) có nghiệm x = y =
2
411 m+
b) Nếu m

0 thì điều kiện để (1) có nghiệm là

= 1 - 4m

0

0

x =
2
431 m+
(loại)
y =
2
431 m
< 0
Trờng hợp này hệ vô nghiệm.
Kết luận:
12
+ Nếu m < 0 thì phơng trình có nghiệm x =
2
411 m+
.
+ Nếu 0

m


4
1
thì phơng trình có nghiệm x =
2
411 m
.
+ Nếu m >
4
1
thì phơng trình vô nghiệm.

a
1
1
2
++

xx
x
= 1 (
1
1
2
++

xx
x
)
2
Đặt
1
1
2
++

xx
x
= y (1); 0

y


323
;0
khi và chỉ khi f (
3
323 +
)

0

a


323
)13(2
+

(3)
Khi đó phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình :
1
1
2
++

xx
x
= y x =
2
242
2
1631

2
4
2
++ aa
bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận các phơng trình
1)
3
ax
-
3
bx
= c
2)
1
2
+ axx
= ax + 1
3)
1
2
axx
=
1
2
x
+ x
4)
4
1x

≤
a
4)
ax +
-
ax −

≤

ax −2
Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
1)
1
3
−x
= x
2
+3x -1
2)
x
+
4
2
)1( xx −
+
4
3
)1( x−
=
x−1

(
2
1 x−
+
x2
)
≤
1 - 2x - x
2
3) x
2
+ 2
≥

88 −x
4) x
2
- 2x - 1
≥
2(1 - x)
12
2
−+ xx
Bµi 5: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
1) x +
1−x
= 13.
2) 2x
2
+ 3x +

= x + 1.
3)
x
x
3
3 +
=
2
2
9
41
9
1
xx
++
.
4) x
2
– 5 +
6
2
−x
= 7.
Bµi 7: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
1)
3
45+x
-
3
16−x

+
+
x
x
=
12
7
.
6)
1
1
3
2
3
−
−
x
xx
-
1
1
3
3
2
+
−
x
x
= 4.
14

15