Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
§1 : MA TRẬN VÀ PHÉP TOÁN MA TRẬN
I. Các khái niệm cơ bản về ma trận:
1.Định nghĩa: Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và
theo cột. Một ma trận có m dòng và n cột được gọi là ma
trận cấp mxn. Ma trận A cấp mxn được viết dưới dạng
A =














mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa


a
ij
là phần tử nằm trên dòng i và cột j của ma trận A.
Ta có thể dùng ký hiệu A = (a
ij
)
mxn

(1.2)
+ Hai ma trận A, B được gọi là bằng nhau, ký hiệu A = B
nếu chúng cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng đôi
một bằng nhau.
(a
ij
)
mxn
= (b
ij
)
mxn



==
=
⇔
njmi
ba
ijij
, ,2,1;, ,2,1









nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa

21
22221
11211
2
Trong ma trận vuông A, đường chéo nối góc trên bên trái
với góc dưới bên phải gọi là đường chéo chính, đường chéo
còn lại gọi là đường chéo phụ.
b Ma trận tam giác: là ma trận vuông có các phần tử nằm
về một phía đường chéo chính bằng 0.











nnnn
aaa
aa
a0
0 0
21
2221
11
(a
ij
=0 khi
i<j)
c Ma trận đường chéo, ma trận vô hướng, ma trận đơn
vị:
+ Ma trận đường chéo là ma trận vuông có các phần tử nằm
ngoài đường chéo chính bằng 0





nn
, ma trận đường chéo được
gọi là ma trận vô hướng.
+ Ma trận vô hướng có a
ii
= 1, i = 1, 2, …, n gọi là ma trận
đơn vị.
E =












1 00

0 10
0 01
4. Ma trận dòng và ma trận cột:
Ma trận chỉ có một dòng duy nhất ( ma trận cấp 1xn)
được gọi là ma trận dòng. Tương tự ma trận chỉ có một cột
duy nhất được gọi ma trận cột.

[ ]

.
.
.
II. Các phép toán tuyến tính đối với ma trận:
1.Phép cộng ma trận và phép nhân ma trận với số
Cho 2 ma trận cùng cấp A =
[ ]
ij
a
mxn
; B =
[ ]
ij
b
mxn
4
Định nghĩa: +Tổng 2 ma trận A, B là ma trận ký hiệu A+B
được xác định:
A+B =
[ ]
ijij
ba
+
mxn

+ Tích của ma trận A với số k là ma trận cấp mxn, ký
hiệu kA được xác định:
kA =
[ ]
ij

[ ]
ji
a
nxm
với i=1, 2, …,n; j = 1, 2,…,m.
Như vậy ma trận chuyển vị của A là ma trận nhận được
từ A bằng cách
Chuyển dòng thành cột, cột thành dòng.
Ví dụ:
§2: ĐỊNH THỨC
1.Định thức:
Cho A là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận
A gọi là định thức cấp n, ký hiệu │A│ hay detA.
DetA =
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa

21
22221
11211
Và được tính như sau:
• Định thức cấp 2: (n = 2):
det A =

12
a
23
a
31
+ a
13
a
32
a
21
) – (a
31
a
22
a
13
+ a
21
a
12
a
33
+
a
11
a
23
a
32

j
i
AaAaAaAaA +++==
∑
=
det
2211
1
(3)
* Khai triển định thức theo cột j :

njnjjjjj
j
i
n
i
j
i
AaAaAaAaA +++==
∑
=
det
2211
1
(4)
Ví dụ:
2) Các tính chất của định thức:
a.
,,
(AAA =

11211
+++
=
thì ta có thể tách detA thành tổng 2 định thức

nnnn
inii
n
aaa
bbb
aaa
A 21
21
11211
=
+
nnnn
inii
n
aaa
ccc
aaa
−
−
−
−−−−
=
−
−
−
−−−−
=
−→
−→
−+→
−+→
ddd
ddd
ddd
ddd
540
503
3221
540
503
2722
5400
5030
27220
11111
2
2

Nhận xét : Để tính một định thức cấp n ta có thể biến đổi
sao cho một dòng hoặc một cột nào đó chỉ còn 1 phần tử
khác 0, sau đó khai triển theo dòng hoặc cột đó.Bằng cách
như vậy ta có thể tính được định thức cấp n thông qua một
định thức cấp n-1.
3.Tính định thức bằng cách biến đổi về dạng tam giác:
Xét định thức của ma trận dạng tam giác
11

)0(
00

2 0

22
11211
jikhia
a
naa
aaa
A
j
i
nn
n
<==
detA = a
11
a
22

(i =1, 2, …, m; j =
1, 2, …, p)
Như vậy:
. Để tích AB xác định thì số cột của A phải bằng số
dòng của B.
12
. Phần tử c
ij
bằng tổng các tích tương ứng của các phần
tử nằm trên dòng i của A và cột j của B.
Ví dụ :
Chú ý: Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán.
2. Các tính chất cơ bản của phép nhân:
a. Cho ma trận A cấp mxn, B cấp nxp, C cấp pxq. Khi
đó:
A(BC)=(AB)C
b. Cho ma trận A cấp mxn; B, C cấp nxp; D cấp pxq. Khi
đó:
A(B+C)=AB+AC; (B+C)D=BD+CD
c. Cho ma trận A cấp mxn; B cấp nxp. Khi đó
(kA)B = A(kB)=k(AB)
d.Với mọi ma trận A cấp mxn; B cấp nxp ta có
(AB)’ = B’A’
e.Cho ma trận B, A cấp mxn; E ma trận đơn vị cấp n.
Khi đó:
AE = A; EB = B
Đặc biệt, trong tập hợp các ma trận vuông cùng cấp ta
luôn có
13
AE = EA = A

2. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo:
Cho A là ma trận vuông cấp n. Ma trận phụ hợp của A
là
14













=
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A

*

-1
│=│A│
-1
c. A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp và khả nghịch thì
(AB)
-1
= B
-1
.A
-1
4. Ứng dụng ma trận nghịch đảo:
Cho
[ ] [ ] [ ]
qxn
j
i
nxp
j
i
mxn
j
i
cbBaA == ;
. Xét các phương trình ma trận
AX = B (3)
YA = C (4)
Nếu detA
≠
0 thì các phương trình trên có nghiệm duy
nhất









−−
=






−








−
−
=⇒
−
2














−
−
−
=
1110
1112
1011-
2101
A
Ta lập ma trận:








00012101
10001110
01001112
00101011
00012101
C
16
















−
−
−
−
−
→


1
1100
00111110
00012101
10112200
01114000
00111110
00012101




















−
−

4
1
1000
2
1
4
1
4
3
4
1
0100
2
1
0
2
1
2
1
0010
2
1
4
1
4
1
4
1
0001
0

1
0101





















−
−
−
=⇒
−
0
4

17
§4: HẠNG CỦA MA TRẬN
I. Khái niệm hạng của ma trận:
Ta ký hiệu A
d
i
và A
c
j
để chỉ dòng thứ i và cột thứ j của
ma trận A.
A
d
i
= (a
i1
, a
i2
, …, a
in
); i=1,2,…,m
A
c
j
=
),1(,
.
.
.
2

1
,A
d
2
, …, A
d
m
và một hệ vectơ cột gồm n
vectơ m chiều: A
c
1
, A
c
2
, …, A
c
n
.
Định nghĩa: Hạng của một ma trận là hạng của hệ vectơ
cột của nó.
Hạng của ma trận A ký hiệu là r(A).
II. Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con:
1. Khái niệm định thức con của ma trận:
18
Trong ma trận A, cấp mxn ta chọn s dòng đầu bất kỳ (
nsms
≤≤
,
), xoá đi tất cả các dòng và các cột còn lại (nếu có)
ta được ma trận vuông cấp s. Định thức của ma trận vuông





−
−
−
=
7903
6514
3521
A
903
514
521
;
79
65
;
54
51
;
14
21
123
123
34
23
13
12

, …, A
c
jr
là một cơ sở của hệ vectơ cột
của A.
Hệ quả 1: Phép chuyển vị không làm thay đổi hạng của ma
trận.
19
Hệ quả 2: Hạng của một ma trận bằng hạng của hệ vectơ
dòng của nó.
Hệ quả 3: Định thức bằng 0 khi và chỉ khi hệ vectơ dòng
( cột ) của nó phụ thuộc tuyến.
3. Định thức con cơ sở của ma trận:
Định nghĩa: Định thức con khác 0 cấp cao nhất của ma
trận A được gọi là định thức con cơ sở của ma trận đó.
III. Hạng của tổng và tích các ma trận:
Định lý 1: A, B là 2 ma trận cùng cấp mxn ta có:
r(A+B)
≤
r(A) + r(B)
Định lý 2: A, B là 2 ma trận bất kỳ sao cho AB có nghĩa ta
có:
r(AB)
≤
r(A)và r(AB)
≤
r(B)
IV. Các phương pháp tìm hạng của ma trận:
1. Phương pháp tính định thức bao quanh:
Cho D là một định thức con cấp r của ma trận A. Ta gọi

định được hạng của A.
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận













−
−
−
−
=
16023
14310
12210
10123
A
03
10
23
12
12

−
−
=D

0
1023
1310
1210
1123
1235
1234
=
−
−
=D
Vậy r(A) = 3.
2. Phương pháp biến đổi:
Xét ma trận dạng:













),1,0,( sibns
ii
=≠≤
Do
0
22
12
12
11
≠=
ss
s
s
bbbD
mà các định thức con cấp s+1 bao
quanh nó đều bằng 0 . Vì vậy ta có thể sử dụng các phép
biến đổi sơ cấp để biến đổi một ma trận bất kỳ về dạng
(4.1). Khi đó ta có thể xác định được ngay hạng của nó.
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận















−−
−
→
















−
−−
−
→
170000
2121030
3821030
16341100












−−
−
→
000000
107000
3218300
13461010
091121
170000
170000
3821030
16341100
019241
Suy ra r(A) = 4.
V.Khảo sát một hệ vectơ:
Để tìm hạng một hệ vectơ n chiều ta thực hiên như
sau:
+ Lập ma trận nhận hệ vectơ đó làm hệ vectơ dòng (hệ
vectơ cột)



−
−
−
−−
→












−−
−
−−
−
=
312010
13110
49100
24121
54474
13110


−−
−
−
−−
→
00000
49100
13110
24121
49100
49100
13110
24121

Suy ra r(A) = 3.
Để tìm một cơ sở của A ta chỉ cần chỉ cần lấy một định
thức con cơ cở của A. Chẳng hạn:

{ }
541
145
123
,,021
130
241
012
XXXD ⇒≠−=−=
là một cơ sở của hệ.


, x
2
, …, x
n
) hoặc X =


















n
x
x
x
.
.
.