SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và
bất phương trình vô tỉ
A. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Nhờ có sự quan tâm của Đảng và Nhà nước về công tác giáo dục
- đào tạo (GD-ĐT), cùng với sự nỗ lực của học sinh, thời gian qua
chúng ta đã đạt được một số thành tích đáng kể trong ngành GD-ĐT.
Tuy nhiên nếu đánh giá một cách thổng thể, khách quan, thì hiện nay
chất lượng, hiệu quả GD-ĐT còn thấp, chưa đáp ứng được yêu cầu
ngày càng cao của xã hội. Nhìn chug trình độ kiến thức của học sinh,
khả năng tư duy khoa học, khả năng thực hành còn yếu kém, chưa
thích ứng được với thực tiễn xã hội, khả năng vận dụng kiến thức vào
sản xuất, đời sống còn hạn chế.
Đặc biệt trong chương trình Toán ở các bậc học, các cấp học ở
phổ thông cơ sở, phổ thông Trung học (PTTH), kể cả ngay ở trong các
trường chuyên nghiệp thương gặp nhiều bài toán về phương trình và
bất phương trình vô tỷ. Như vậy vấn đề cần đặt ra là làm thế nào để có
thể giải được loại toán này? Để trả lời vấn đề này bản thân học sinh cần
có kiến thức và nắm vững kỹ năng giải toán.
Song hiểu theo cách nói là một lẽ, nhưng để giải quyết tốt loại
toán này lại là vấn đề khó khăn. Do đó khai gặp loại toán này đa số học
sinh còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt chẽ dẫn đến
không có kết quả (điểm), hoặc nếu có kết quả thì kết quả đạt được cũng
không cao ( không có điểm tối đa).
Vậy vấn đề đặt ra là để học sinh có được những kiến thức và
kỹ năng giải được thành thạo loại toán này, đáp ứng được mục tiêu
tư duy tìm hiểu tốt nhất của học sinh đề tài này sẽ cung cấp cho các
bạn đọc đặc biệt là các bạn học sinh một cách nhìn bao quát về dạng
toán này, cung cấp cho các em bạn một số phương pháp giải cơ bản
về loại toán này.
Tôi mong rằng qua đề tài này đã góp phần làm tăng thêm khả
năng tư duy khoa học, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán về

1. Định lý 1:
Phương trình
)(xf
= g (x) tương đương với hệ
g (x) >

0
f (x) >

g
2
(x)
2. Định lý 2:
SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và
bất phương trình vô tỉ
Bất phương trình
)(xf
>)(xg
tương đương với hệ
g (x) >

0
f (x) >

g
2
(x)

- 13x + 2) (5)
Rút gọn: (11x-2) (x-2) = 0
x
1
=
11
2
; x
2
= 2
II. Phân tích sai lầm.
a. Sai lầm thứ nhất: là không chú ý đến điều kiện có nghĩa của
căn thức. Thật vậy ở căn thức
1−x
, phải có x >

1, do đó giá trị x =
11
2
không phải là nghiệm của (1). Để khắc phục sai lầm này cần tập xác
định của nghiệm phương trình (1) hoặc thử lại các giá trị tìm được của
x vào phương trình ban đâu.f
b. Sai lầm thứ hai. Là không đặt điều kiện để biến đổi triết học
tương đương (4), (5) không tương đương, phương trình (4) tương
đương với hệ.
2 - 7x >

0
(2 - 7x)
2


g
2
(x)
4. Định lý 4:
Bất phương trình:
)(xf
< g(x) tương đương với hệ
f(x) >

0
g(x) >

0
f(x) < 0
Chương III: Giới thiệu một số phương pháp giải phương trình và
bất phương trình vô tỉ.
I. Phương án 1: Nâng lên luỹ thừa để phá dấu căn.
Một trong các nguyên tắc để giải phương trình hoặc bất phương
trình chứa căn thức là chúng ta phải làm mất dấu căn, thông thường
chúng ta sử dụng một trong các định lý trên để dấu căn của phương
trình hoặc bất phương trình, thường chỉ nên áp dụng một hoặc hai lần
và khi đó sẽ đưa phương trình hoặc bất phương trình vô tỷ về dạng mà
ta có thể giải dễ dàng hơn.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình.
SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và
bất phương trình vô tỉ
12315 −=−−− xxx
Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là.
5x - 1 >

= 2 và x
2
=
11
2
Ta thấy chỉ có x = 2 thoả mãn điều kiện (*).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2
Ví dụ 2:

Giải bất phương trình.
xxx <−−+ 11
(1)
Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là:
1 + x >

0
<=> - 1 <

x <

1
1 - x >

0
Ta xét các khả năng có thể sảy ra sau đây:
1. Nếu - 1 <

x <

0: Khi đó (1)

>

0 luôn đúng
Với mọi x thoả mãn - 1 <

x <

0.
Vậy - 1 <

x <

0 là nghiệm của bất phương trình đã cho.
2. Nếu 0 < 1 x <

: Khi đó 1 + x >

1 - x =>
xx −−+ 11
<

0
(1) <=> 1 + x + 1 - x - 2
2
1 x−
<

x
2
<=> 2 - x

(x-3)
4
2
−x
<

x
2
- 9 (1)
Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là x
2
- 4 > 0 => |x| > 2
Hay là: x <

- 2 hoặc x >

2
Khi đó ta có: (1) <=> (x-3) (
34
2
−−− xx
) <

0 (2)
Xét phương trình:
34
2
−−− xx
= 0, khio đó ta có:
34


6
13−
và x >

3.
Ví dụ 2:

Giải bất phương trình:
x
2
10 x−
<

x
2
- 6 (1)
Giải:
Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là: 10 - x
2
>

0 => x
2
< 10
=> |x| =
10
Với điều kiện đó ta có: (1) <=> x
2
10 x−

2
+ 36
-
6
<

x <

0, x >6
<=>
x
4
= 11x
2
+ 18 = 0
-
6
<

x <

0, x >6
<=>
x

bất phương trình vô tỉ
<=>
x = -
2
Xét dấu vế trái của (2) ta có:
Vậy nghiệm của bất phương trình là:
10−
<

x <

-
2
, 3 <

x <10
III. Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ.
Một số bài toán về giải phương trình và bất phương trình có chứa
căn thức có thể giải được nhờ việc đưa thêm vào các ẩn phụ để phá căn
thức hoặc có thể đưa về các phương trình hoặc bất phương trình đại số.
Thông thườngcó thể đặt ẩn mới bằng một căn thức (hoặc tổng hay hiệu
hai căn thức) nào đó. Chúng ta thường gặp 3 dạng ẩn phụ sau:
Dạng 1: Đặt ẩn phụ để đưa về một phương trình hay bất phương
trình với một ẩn mới.
Dạng 2: Đặt ẩn phụ để đưa về một hệ hai phương trình hai ẩn mới.
Dạng 3: Đặt ẩn phụ để đưa về một phương trình với hai ẩn
(phương pháp sử dụng phương trình bậc hai).

= x = x - 1 + 2
)1( −xx
=> x =
2
1
2
2
−
=−
t
xx
-
3
+
-
SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và
bất phương trình vô tỉ
Phương trình (1) trở thành: t +
2
1
2
+t
= 2 => t
2
+ 2t - 3 = 0
=> t = 1, t = -3 (loại)
Vậy ta có: t = 1 =>
x
+
1−x

3x
2
- 7x + 3 >

0
x
2
- 2 >

0 (*)
3x
2
- 5x - 1 >

0
x
2
- 3x = 4 >

0
Đặt
373
2
+− xx
= b
2
2
−x
= b
1753

bất phương trình vô tỉ
x
2
- 3x = 4 = d
2
Khi đó với điều kiện (*) ta có: (1) <=>
a - b = c - d a - b = c - d
3 (a
2
- c
2
) = 2 ( d
2
- b
2
) <=> (b - d) (3a+3c+2b+2d) = 0
a,b,c >

0; d > 0 a, b, c >

0; d > 0
<=> b = d > 0 <=> x
2
= 2 = x
2
- 3x + 4
<=> x = 2 thoả mãn điều kiện (*)
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (1).
Ví dụ 7:


+ t +
4
1
=> 7t
2
= 7t = x +
2
1
khi đó.
7t
2
= 7t = t +
2
1
(2)
(1) <=> Lấy (2) trừ đi (3) ta có
7t
2
= 7t = t +
2
1
(3 )
7(x2 - t2) + 7(x - t) = t -x => (x - t) (7x + 7t + 8) = 0
=>



=++
=−
0877

=> x =
7
2
23
4 ±−
Kết hợp với điều kiện t≥
2
1−
ta có: x =
7
2
23
4 −−
Vậy nghiệm của phương trình là: x =
7
2
23
4 −−
, x=
14
256 +−
* Nhận xét: Muốn sử dụng phương pháp hệ phương trình ta thường
đưa về hệ phương trình đối xứng hoặc quy về phương trình tích. Khi đặt
ẩn phụ ta phải chú ý kiểm tra điều kiện của các ẩn mới và ẩn cũ.
Ví dụ 8: Giải phương trình: 2 (1 - x)
12
2
−+ xx
= x2 - 2x - 1 (1)
Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là: x2 + 2x - 1≥ 0 (2)

12
2
−+ xx
= - 2x <=>



=−+
≥−
22
412
02
xxx
x
<=>



=−−
≤
0123
0
2
xx
x
Phương trình này vô nghiệm
SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và
bất phương trình vô tỉ
Vậy phương trình đã cho (1) có nghiệm x = -1
6±

2
+− xx
Khi đó ta có: U
2
= x + 1 => U
2
+ V
2
= x
2
+ 2.
V
2
= x
2
- x + 1 Thay vào phương trình trên
Ta có: 5UV = 2(U
2
+V
2
) => 2U
2
- 5UV + 2V
2
= 0
=> U
1
= 2V, U
2
=

2
+− xx
<=> 4(x + 1) = (x
2
- x +1)
<=> x
2
- 5x - 3 = 0 => x =
2
375 ±
IV. Phương pháp 4: Nhân với biểu thức liên hợp để quy về phương
trình hoặc bất phương trình tích.
Mục tiêu của phương pháp này là nhân với biểu thức liên hợp của căn
thức nào đó để xuất hiện thừa số chung ở hai vế (nếu là bất phương trình thì
có thể bằng phương pháp khoảng)
Ví dụ 10: Giải bất phương trình: 2
1−x
-
2+x
> x - 2 (1)
Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là:



≥+
≥−
02
01
x
x

1−x
+
2+x
= 0 <=> 2
1−x
+
2+x
= 3
<=> 4( x - 1) + x + 2 + 4
)2)(1( +− xx
= 9
<=> 4
2
2
−+ xx
= 11 - 5x
<=>





=+−
≤
01714
5
11
2
xx
x

++ xx
+
2
2
+− xx
(1)
Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là:







≥+−
≥++
≥−−
≥−
02
0322
023
012
2
2
2
2
xx
xx
xx
x

+− xx
<=>
12322
42
22
−−++
+
xxx
x
=
225
42
22
+−+−−
−−
xxxx
x
<=> 2(x+2)








+−+−−
+
−+++ 223
1

o
là nghiệm.
- Với x > x
o
=> f(x) > f(x) = k, do đó phương trình vô nghiệm.
- Với x < x
o
=> f(x) < f(x) = k, do đó phương trình vô nghiệm.
Vậy x = x
o
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Hướng dẫn: Thực hiệnh theo các bước.
Bước 1

: Chuyển phương trình về dạng: f(x) = g(x)
Bước 2

: Xét hàm số; y = f(x) và y = g(x)
Dùng lập luận khẳng định hàm số y = f(x) là đồng biến càn hàm
số y = g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến.
Xác định x
o
sao cho f(x
o
) = g(x
o
)
Bước 3

: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = x

4x2 - 1 >

0
<=> x >
2
1
SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và
bất phương trình vô tỉ
Nhận xét rằng: Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm
của đồ thị của hàm số y =
1414
2
−+− xx
và đường thẳng y = 1
Xét hàm số: y =
1414
2
−+− xx
Miền xác định: D = [
];
2
1
+∞
Đạo hàm:
y’ =
2
1
14
4
14

tt −+=+ 213
'
(2)
Điều kiện: - 3x <

t <

2
Xét hàm số: f =
t+3
Miền xác định: D = [-3; 2]
Đạo hàm: f’ =
<=>∈∀>
+
Dx
t
0
32
1
hàm số tăng tiến D
Xét hàm số g = 1 +
t−2
Miền xác định D = [-3;2]
Đạo hàm:
g’ =
<=>∈∀>
−
Dx
t
0

+ 2x + 5 >

0
x - 1 > 0
Nhận xét rằng:
CHƯƠNG IV

: MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ TỰ LÀM
1. Giải các phương trình
Bài 1:

x
2
- 4x = 8
1−x
Bình phương 2 vế đưa về: (x
2
+ 8)(x
2
- 8x + 8) = 0
Đáp: x = 4 + 2
2
Bài 2:11212123492
22
−+=−++− xxxx
HD: Đặt 2x
2

01
2
≥=+− bxx
Đưa về dạng: 5ab = 2(a
2
+ b
2
)
<=> x > 1 (*)
SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và
bất phương trình vô tỉ
Đáp số:
2
375 ±
Bài 5:1267242 =−−++−−+ xxxx
Tìm được 2 <

y <

3
Đáp: 6 <

x <

11
Bài 6:


<=>
11 −−x
+
21 −−x
=1
<=>
11 −−x
+
21 −−x
=
1211 −−+−− xx
<=>
( )
11 −−x
( )
12 −− x
> 0
<=> 1<
21 ≤−x
<=> 1 ≤ x - 1 ≤ 4 => 2 ≤ x ≤ 5
SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và
bất phương trình vô tỉ
Vậy nghiệm của phương trình là 2≤ x ≤ 5
* Chú ý: - Rất nhiều học sinh giải bài toán này chỉ thu được nghiệm
là x = 2 và x = 5
- Bài toán trên có thể giải như sau:
1211 −−+−− xx
=
( ) ( )
1211 −−+−− xx

phương trình vô tỉ thì công việc chuẩn bị của giáo viên là hết sức quan
trọng.
* Việc thứ nhất:
Nghiên cứu trước những tài liệu tham khảo nhằm nắm chắc nội
dung mục đích yêu cầu của từng dạng toán để xác định rõ việc lựa chọn
phương pháp giải thích hợp nhất.
* Việc thứ hai:
Giáo viên phải sắp xếp những phương pháp đã được chuẩn bị bằng
những kiến thức cơ bản như: Định nghĩa, định lý, tính chất
Nhằm lựa chọn những phương pháp giải thích hợp khai thác triệt
để nội dung của từng dạng toán.
II. CÔNG VIỆC CHUẨN BỊ CỦA HỌC SINH.
Để học sinh có những kỹ năng thực hành giải phương trình và bất
phương trình vô tỉ thành thạo. Không lệ thuộc bị động học sinh cần phải
có sự chuẩn bị kỹ về kiến thức cơ bản về mở đầu từ số vô tỉ căn bậc hai
và các loại phương trình vô tỉ đơn giản nhằm thấy rõ được mục đích của
việc lựa chọn và sử dụng phương pháp giải toán phù hợp
SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và
bất phương trình vô tỉ
III. HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP.
Như những điều ta đã nói và được biết ai cũng có thể khẳng định
bộ môn toán có nhiệm vụ hàng đầu là hình thức kỹ năng và phát triển tư
duy thế nhưng để cho học sinh có được những kỹ năng giải loại toán
phương trình và bất phương trình vô tỉ thì là vấn đề khó ngoài ra cần phát
triển được khả năng phát triển tư duy khoa học. Do đó việc lựa chọn và
sử dụng phương pháp giải hợp lý là một việc rất cần thiết. Muốn có được
điều này thì trước hết học sinh cần phải nắm và hiểu sâu sắc nội dung và
mục tiêu của từng dạng toán mới có được sự lựa chọn phương pháp giải
tốt nhất đạt kết quả cao nhất.
Như vậy để có được sự lựa chọn phù hợp phương pháp giải cũng