BỘ TÀI CHÍNH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETINGBỘ MÔN TOÁN – THỐNG KE
Â
o0o
BÀI GIẢNG
TOÁN CAO CẤP
(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO
CHẤT LƯNG CAO BẬC ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY) Mã học phần: 20029
Số tín chỉ: 04
Lý thuyết: 42
Bài tập, thảo luận: 18 TP. HCM, 2014
BỘ TÀI CHÍNH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETINGBỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ
học môn Toán cao cấp ở chương trình đại học. Cũng chính vì vậy, đối với sinh viên các
khối ngành kinh tế nói chung và sinh viên trường Đại học Tài chính – Marketing nói
riêng, việc học Toán cao cấp ở những học kỳ đầu tiên trong chương trình đại học thường
gặp nhiều khó khăn, hoặc nhàm chán hoặc nặng nề. Nhằm giúp các sinh viên giảm bớt
các khó khăn đó khi học môn Toán Cao cấp, đồng thời muốn nêu bật được tính lãng
mạn, không khô khan của Toán học như nhiều người nhầm tưởng, chúng tôi mạnh dạn
biên soạn và đưa vào sử dụng tài liệu nhỏ này sinh viên của chương trình Chất lượng
cao trường Đại học Tài chính-Marketing từ năm học 2012-2013. Bài giảng Toán cao cấp
này tới tay bạn đọc sau khi đã được các giảng viên của Bộ môn Toán_Thống kê, Khoa
Cơ Bản, Trường Đại học Tài chính - Marketing sử dụng trong giảng dạy các lớp chất
lượng cao năm học vừa qua (2012-2013) và chỉnh sửa trong học kỳ 1 năm học 2013-2014.
Bài giảng Toán Cao cấp này gồm 8 chương, bao gồm các kiến thức cơ bản cần thiết
về Lý thuyết tập hợp, Logic hình thức, Đại số tuyến tính và Giải tích toán. Trong mỗi
chương, các khái niệm toán học được trình bày một cách ngắn gọn cùng với các ví dụ
minh họa cụ thể. Các phương pháp tính toán cũng được giới thiệu rõ ràng, súc tích giúp
sinh viên dễ dàng nắm được các thuật toán. Ngoài ra, các ứng dụng của Toán cao cấp
trong kinh tế học cùng với các bài toán cụ thể được giới thiệu với sự phân tích chi tiết.
Bài tập liên quan tới lý thuyết được tuyển chọn từ nhiều nguồn, có sự điều chỉnh cho
phù hợp với đối tượng là sinh viên khối ngành kinh tế. Nội dung cụ thể từng chương
như sau:
Chương 1 có tên gọi Cơ sở toán học do ThS. Nguyễn Văn Phong và ThS. Vũ
Anh Linh Duy biên soạn. Chương này trình bày các kiến thức cơ sở của
Toán học hiện đại, bao gồm: khái niệm mệnh đề, tập hợp, các phép suy luận
logic và ánh xạ.
3
Chương 2, 3, 4 Đại số tuyến tính do ThS. Nguyễn Tuấn Duy, ThS. Phạm
Thò Thu Hiền và ThS. Nguyễn Trung Đông biên soạn. Nội dung chính của
chương này là các kiến thức về ma trận, đònh thức của ma trận vuông, hạng
của ma trận, hệ phương trình tuyến tính và cách giải, không gian vectơ.
niệm về không gian vec tơ. Với kiến thức về giải tích như giới hạn, liên tục, đạo
hàm, tích phân của hàm số, và các ứng dụng trong kinh tế. Kiến thức cơ bản về
hàm nhiều biến, cực trò hàm nhiều biến. Kiến thức về phương trình vi phân. Từ
đó sinh viên có thể hiểu và ứng dụng trong các mô hình kinh tế. Về kỹ năng,
vận dụng kiến thức môn học để nghiên cứu các mô hình toán trong kinh tế. Về
thái độ, dự các buổi học đầy đủ, nghiên cứu các nội dung trước khi đến lớp, kiên
trì, sáng tạo, có thái độ học tập chăm chỉ.
BỘ MÔN TOÁN - THỐNG KÊ.
P.504 Lầu 5, 306 Nguyễn Trọng Tuyển, Q. Tân Bình, Tp. Hồ Chí Minh.
4
MỤC LỤC
Lời nói đầu 2
Chương 1. Cơ sở toán 9
1. Logic 9
1.1. Các phép toán mệnh đề. 9
1.2. Tương đương logic 13
1.3. Hệ quả logic 17
1.4. Hàm mệnh đề và lượng từ 21
2. Lý thuyết tập hợp 29
2.1. Quan hệ giữa các tập hợp 30
2.2. Các phép toán giữa các tập hợp 31
3. Ánh xạ 34
3.1. Đònh nghóa 35
3.2. Phân loại ánh xạ 35
3.3. Ánh xạ ngược 36
3.4. Ánh xạ hợp 37
Bài tập 38
3.1. Nhận xét 55
3.2. Đònh lý Kronecker – Capelli 55
4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 55
4.1. Đònh nghóa 55
4.2. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 55
Bài tập 56
Chương 4. Không gian Vectơ 62
1. Các khái niệm cơ bản 62
1.1. Đònh nghóa 62
1.2. Tổ hợp tuyến tính 62
1.3. Không gian vectơ con 62
1.4. Đònh lý 62
1.5. Sự độc lập tuyến tính – phụ thuộc thuyến tính 62
2. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 63
2.1. Đònh nghóa 63
2.2. Tính chất 63
2.3. Đònh lý 63
2.4. Tính chất 63
2.5. Mệnh đề 63
6
3. Hạng của hệ vectơ 64
3.1. Đònh nghóa 64
3.2. Phương pháp tìm hạng của một hệ vectơ 64
3.3. Cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất 64
Bài tập 64
Chương 5. Phép tính vi phân hàm một biến 75
1. Giới hạn của dãy số thực 75
1.1. Đònh nghóa dãy số thực 75
7.3. Các quy tắc tính vi phân 89
7.4. Các đònh lý về giá trò trung bình 89
8. Một số ứng dụng của đạo hàm và vi phân 90
8.1. Tính giá trò gần đúng 90
8.2. Khử các dạng vô đònh 90
8.3.Khai triển Taylor – Maclaurent 91
Bài tập 92
Chương 6: Phép tính tích phân hàm một biến 96
1. Tích phân bất đònh 96
1.1. Nguyên hàm- Tích phân bất đònh 96
1.2. Các phương pháp tính tích phân bất đònh 97
2. Tích phân xác đònh 98
2.1. Đònh nghóa 98
2.2. Tính chất 99
2.3. Đònh lý căn bản của phép tính vi tích phân 99
2.4. Phương pháp tính tích phân xác đònh 99
3. Tích phân suy rộng 100
3.1. Đònh nghóa 100
3.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 103
Bài tập 103
Chương 7: Phép tính vi phân hàm nhiều biến 108
1. Các khái niệm 108
1.1. Khoảng cách 108
1.2. Hàm hai biến, hàm nhiều biến 108
1.3. Đồ thò hàm nhiều biến 109
2. Giới hạn và sự liên tục của hàm hai biến 110
2.1. Giới hạn hàm nhiều biến 110
2.2. Giới hạn lặp 111
8
Đức Gottfried Leibnitz đề xuất ý tưởng sử dụng ký hiệu để biểu diễn các suy luận, tương
tự như việc dùng các ký hiệu đại số trong việc khảo sát số học, đại số. Ý tưởng của
Leibnitz được phát triển tương đối hoàn chỉnh vào thế kỷ XIX bởi các nhà toán học
George Boole và Augustus De Morgan và khai sinh ra phép lôgic hình thức mà ta gọi tắt
là lôgic. Lôgic được tiếp tục phát triển trong thế kỷ XX, đặc biệt trong việc tạo cơ sở lý
thuyết cho ngành khoa học máy tính.
Đối tượng khảo sát của lôgic là mệnh đề, các phát biểu hoặc đúng, hoặc sai nhưng
không thể vừa đúng vừa sai. Các mệnh đề đúng được gọi là có chân trò đúng và các
mệnh đề sai có chân trò sai.
Các mệnh đề thường được ký hiệu bằng các ký tự thường p, q, r, Chân trò đúng
được ký hiệu là 1 và chân trò sai ký hiệu là 0.
Ví dụ. Các phát biểu
p : “4 là một số nguyên tố”,
q : “
1 1 3
”,
r : “Trường Đại Học Tài Chính - Marketing nằm ở miền nam Việt Nam”,
s : “Tin học đại cương là môn học bắt buộc trong Trường Đại Học Tài Chính -
Marketing”,
là các mệnh đề, trong đó p và q có chân trò 0 (sai), r và s có chân trò 1 (đúng).
1.1 Các phép toán mệnh đề
Từ những mệnh đề có sẵn, người ta có thể thành lập các mệnh đề khác bằng cách
liên kết với trạng từ “không” hay các liên từ “và”, “hay”, “nếu thì ”. Chẳng hạn từ các
mệnh đề trong ví dụ 1, ta có thể thành lập một số mệnh đề sau :
t : “4 không là một số nguyên tố”,
u : “Đại Học Tài Chính - Marketing nằm ở miền nam Việt Nam và Tin học đại
cương là môn học bắt buộc trong trường”,
v : “Nếu 4 là một số nguyên tố thì
1 1 3
”.
Ta có bảng chân trò cho phép nối liền như sau
p q
p q
0 0 0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1.1.3 Phép nối rời (phép tuyển). Mệnh đề phức hợp tạo bởi hai mệnh đề p, q nối với
nhau bằng liên từ “hay” được ký hiệu là
p q
và đọc là “p hay q”. Mệnh đề
p q
chỉ sai
khi cả p lẫn q cùng sai, nghóa là
p q
chỉ có chân trò 0 khi p và q cùng có chân trò 0. Ta
có bảng chân trò cho phép nối rời như sau
p q
p q
0 0 0
0
1
Nhận xét : i) Chân trò của mệnh đề cho bởi phép phủ đònh, phép nối liền và phép nối
rời tương đối tự nhiên và dễ hiểu. Chẳng hạn mệnh đề
“Tp. Hồ Chí Minh không là thủ đô của Việt Nam”
là đúng vì nó là phủ đònh của
“Tp. Hồ Chí Minh là thủ đô của Việt Nam”
vốn là một mệnh đề sai.
11
Tương tự, mệnh đề “An giàu và đẹp trai” chỉ đúng khi “An giàu” và “An đẹp trai” là
các mệnh đề đúng. Trong khi đó, mệnh đề “An giàu hay đẹp trai” chỉ sai khi “An giàu”
và “An đẹp trai” là các mệnh đề sai, nghóa là khi An vừa không giàu vừa không đẹp trai.
ii) Với phép kéo theo, ta xét mệnh đề
v : “Nếu trời mưa thì đất ướt”.
Phát biểu này chỉ sai khi “trời mưa” là đúng nhưng “đất ướt” là sai, nghóa là khi
trời thì mưa nhưng đất lại không ướt. Khi trời không mưa thì dù đất có ướt hay không
ta vẫn không thể nói w là sai và do đó nó đúng.
Một ví dụ khác. Xét lời hứa của người cha với con mình :
w : “Nếu con được điểm 10 thì ba thưởng”.
Người con chỉ có thể trách ba mình khi nó được điểm 10 nhưng ba nó lại không
thưởng. Khi người con chưa được điểm 10, dù ba nó có thưởng hay không thưởng, người
con không thể nói là ba mình không giữ lời (lời hứa sai).
Chú ý rằng, mệnh đề
p q
đúng không có ý khẳng đònh p và/hay q đúng hay sai.
Chẳng hạn v đúng không có ý khẳng đònh trời mưa hay không cũng như đất ướt hay
không; w đúng không có nghóa là người con được điểm 10 hay không cũng như người cha
có thưởng hay không thưởng.
Mệnh đề dạng
p q
rất thường gặp ở phát biểu các kết quả trong khoa học. Khi
1
0
1
1
1
1
1
và ta thấy
p q
chỉ đúng khi p, q cùng đúng hay cùng sai.
Trong các đònh nghóa trên, ta lần lượt xét các biểu thức lôgic dạng
p
,
p q
,
p q
,
p q
,
p q
và khi ta thay p, q bằng các mệnh đề đã biết, ta sẽ nhận được thêm một
số mệnh đề mới. Các phát biểu như vậy được gọi là các dạng mệnh đề (hay biểu thức
mệnh đề), trong đó p, q gọi là các biến mệnh đề.
Tổng quát, từ các biến mệnh đề (kể cả các mệnh đề mà ta gọi là hằng mệnh đề để
phân biệt với biến mệnh đề) và thông qua một số hữu hạn các phép toán mệnh đề, ta
nhận được các dạng mệnh đề và thường được ký hiệu bởi các ký tự hoa A, B, C, Chân
trò của một dạng mệnh đề được hoàn toàn xác đònh và chỉ phụ thuộc vào chân trò của
các biến mệnh đề (chứ không phụ thuộc vào mệnh đề cụ thể gán cho từng biến mệnh
đề). Chẳng hạn, dạng mệnh đề
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
Khi đó, nếu ta thay các biến mệnh đề p, q, r lần lượt bằng các mệnh đề đúng, sai,
đúng (tương ứng với hàng in nghiêng trong bảng chân trò), thì ta nhận được một mệnh
đề đúng.
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
B p q p p q
,
p q
p q
,B p q
0 0 0 1
13
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
ta thấy
,
B p q p p q
là một hằng đúng.
ii) Với bảng chân trò của dạng mệnh đề
ta thấy
,
C p q p q p
là một hằng sai.
1.2 Tương đương lôgic
1.2.1 Đònh nghóa. Hai dạng mệnh đề A và B được gọi là tương đương lôgic, ký hiệu
A B
, nếu dạng mệnh đề
A B
là hằng đúng.
Ví dụ. Với các dạng mệnh đề
A p q
,
B p q
và
A B
, ta có
p q
p q
A
p
q
B
A B
A B
là hằng đúng, ta suy ra A và B tương đương lôgic với nhau, ký hiệu
A B
, hay cụ thể hơn,
p q p q
.
Nhận xét: Do đònh nghóa, dạng mệnh đề
A B
chỉ đúng khi A, B cùng đúng hoặc cùng
sai. Do đó, A, B tương đương lôgic với nhau nếu và chỉ nếu A, B luôn luôn cùng đúng
hoặc cùng sai (bất chấp chân trò của các biến mệnh đề tạo thành nó) hay nói khác đi,
khi A, B có cùng bảng chân trò.
Ta được một số tương đương lôgic căn bản sau
1.2.2 Đònh lý. Với các biến mệnh đề p, q, r bất kỳ, ta có
i)
p p
(luật phủ đònh đôi),
ii)
p q p q
(luật De Morgan),
p q p q
,
iii)
p q q p
(luật giao hoán),
p p 1
,
viii)
p p
1
(luật về phần tử bù),
p p
0
,
ix)
p
1 1
(luật thống trò),
p
0 0
,
x)
p p q p
(luật hấp thụ),
p p q p
.
Từ đònh nghóa của tương đương lôgic và với nhận xét nêu trên, phần chứng minh
đònh lý 2.2 được thực hiện bằng cách lập bảng chân trò hai vế của từng tương đương
là đúng (hay sai), ta chỉ cần chứng tỏ
q p
là đúng (hay sai). Dạng
mệnh đề
q p
còn được gọi là đảo đề của dạng mệnh đề
p q
.
Ví dụ. i) Để chứng tỏ phát biểu : “nếu bình phương một số nguyên tự nhiên n là một số
chẵn thì n cũng là một số chẵn” là đúng, ta viết phát biểu này dưới dạng ký hiệu
p q
,
với
p
“
2
n
là một số chẵn”,
15
q
“n là một số chẵn”.
Đảo đề của nó,
q p
, là “nếu n không là một số chẵn thì
2
n
không là một số
chẵn” và ta có thể chứng minh phát biểu này đúng như sau :
Nếu n không là một số chẵn, nghóa là n không chia hết cho 2, thì tồn tại số
nên khi ta coi mệnh đề “nếu ăn trộm là người ngoài thì tiền bò lấy mất hết”, nghóa là
mệnh đề
p q
, là đúng thì ta phải chấp nhận đảo đề
q p
của nó, “nếu tiền không bò
lấy mất hết thì ăn trộm không là người ngoài” là đúng.
1.2.5 Phép chứng minh phản ví dụ. Từ tương đương lôgic
p q p q
,
để chứng tỏ
p q
là sai, ta chỉ cần chỉ ra trường hợp
p q
là đúng, nghóa là p đúng, q
sai.
Ví dụ. i) Để phản bác lại lập luận “nếu có tiền thì có hạnh phúc”, nghóa là để chứng tỏ
rằng nó sai, ta chỉ cần đưa ra một ví dụ “có tiền và không có hạnh phúc”.
ii) Để chứng tỏ phát biểu “nếu
2
n
chia hết cho 4 thì n chia hết cho 4” là sai, ta chỉ
cần đưa ra ví dụ về một số nguyên n sao cho “
2
n
chia hết cho 4” nhưng “n không chia
hết cho 4”. Chẳng hạn lấy
6
n
mà bình phương của nó bằng 2) là một số vô tỷ, ta dùng phép chứng minh phản chứng
sau :
Nếu
2
không là số vô tỷ, nghóa là tồn tại các số nguyên m, n sao cho
2
2
m
n
,
thì trước hết, ta có thể giả sử
,m n
và
1
gcd ,m n
(ước số chung lớn nhất của m và
n là 1, hay nói khác đi, phân số
m
n
là tối giản) và khi đó do
2 2
2m n
,
ta suy ra
0
x
hay
0
y
”,
người ta chứng minh rằng
“nếu
0
xy
và
0
x
thì
0
y
”,
bằng cách dùng tương đương lôgic
p q r p q r
.
Ngược lại, với tương đương lôgic
hội tụ về một giới hạn
0
thì chuỗi
n
a
phân kỳ”
nên
“nếu dãy
n
a
phân kỳ hay hội tụ về một giới hạn
0
thì chuỗi
n
a
phân kỳ”
1.3 Hệ qủa logic
1.3.1 Đònh nghóa. Dạng mệnh đề B được gọi là một hệ quả lôgic của dạng mệnh đề A,
ký hiệu
A B
, khi dạng mệnh đề
A B
là hằng đúng.
Ví dụ. Xét các dạng mệnh đề
A p q
và
B p q
p q p q
.
Nhận xét. Khi B là hệ quả lôgic của A, nghóa là
A B
không bao giờ sai, thì nếu A
đúng, B cũng bắt buộc phải đúng. Đó chính là ý nghóa cho rằng B là “hệ quả” của A.
Ta có một số hệ quả lôgic quan trọng sau :
1.3.2 Đònh lý. Với các biến mệnh đề
, ,p q r
bất kỳ, ta có
i)
p q p q
,
ii)
p q q p
,
iii)
p q q r p r
,
ta suy ra rằng nếu
p q
và p cùng đúng thì q buộc phải đúng, ký hiệu
p qp
q
Ví dụ. Ta có một số suy luận khẳng đònh sau
i)
(nếu) là người thì phải chết
(mà) Socrate là người
(vậy)
Socrate phải chết
ii)
(nếu) trời mưa thì đất ướt
(mà) trời mưa
(vậy)
đất ướt
iii)
p
Ví dụ. Ta có một số suy luận phủ đònh cho ví dụ 8 sau
i)
(nếu) là người thì phải chết
(mà) Zeus không chết
(vậy)
Zeus không là người
ii)
(nếu) trời mưa thì đất ướt
(mà) đất không ướt
(vậy)
trời không mưa
iii)
(nếu) cá không ăn muối thì cá ươn
(mà) cá (này) không ươn
(vậy)
cá (này phải) có ăn muối
19
Chú ý. Phép suy luận phủ đònh có thể coi như phép đảo đề kết hợp với phép
q r
p r
Ví dụ. Các dạng thường dùng của tam đoạn luận như sau
i)
(nếu) hai tam giác có các cạnh đôi một bằng nhau thì bằng nhau
(nếu) hai tam giác bằng nhau thì có các góc đôi một bằng nhau
(vậy)
(nếu) hai tam giác có các cạnh đôi một bằng nhau thì có các góc đôi một
bằng nhau
ii)
(nếu) hàm f khả vi trên
thì f liên tục trên
(nếu) hàm f liên tục trên
thì f liên tục trên mọi đoạn
p q
r
s
t
1.3.6 Tam đoạn luận rời
Từ hệ quả lôgic
p q p q
,
ta suy ra rằng nếu
p q
đúng và
p
sai (
p
đúng) thì q đúng,
p qq
,
(nếu)
2
1 1 1 0
n n n
thì
1 0
n
hay
1 0
n
(mà)
1 0
n
hay
1 0
n
(và)
quy ước rằng người con nào nói đúng mầu nón trên đầu mình và giải thích một cách hợp
lý thì sẽ được chọn (dó nhiên là từng người không thể nhìn thấy nón trên đầu mình mà
chỉ thấy nón trên đầu hai người còn lại).
Tình huống xảy ra theo thứ tự như sau :
A nói : tôi không biết mầu nón của tôi,
B nói : tôi cũng không biết mầu nón của tôi,
C nói : vậy thì tôi đã biết được mầu nón của tôi.
Câu đố đặt ra là : C đội nón mầu gì và tại sao C biết ?
Đáp án là C đội nón mầu trắng với các suy luận sau :
Suy luận phủ đònh :
(nếu) B và C cùng đội nón đen thì A biết mình đội nón trắng
(mà) A không biết mầu nón của mình
(vậy)
B và C không cùng đội nón đen
Do luật De Morgan “B và C không cùng đội nói đen” có nghóa là “B và C đội ít
nhất một nón trắng” hay nói khác đi ta được phát biểu đúng sau
“B đội nón trắng hay C đội nón trắng”.
Khi đó, ta dùng tam đoạn luận rời :
B đội nón trắng hay C đội nón trắng
(nên nếu) C không đội nón trắng
(thì)
B biết mình đội nón trắng
Lại dùng suy luận phủ đònh :
(vậy)
thần ngồi giữa
không
là thần thật thà.
Suy luận phủ đònh :
nếu
thần ngồi phải là thần thật thà
thì
ông ta phải trả lời rằng
thần ngồi giữa là thần thật thà.
(mà) thần ngồi phải
không
nói rằng thần ngồi giữa là thần thật
thà.
(vậy)
thần ngồi phải
không
là thần thật thà.
Suy luận tam đoạn luận rời :
Một trong ba vò thần là thần thật thà.
(mà) thần ngồi giữa và ngồi phải
không
là thần thật thà.
.
Ví dụ. Với
n
,
p n
“
2
5
n
”,
q n
“
2
5
n
”,
22
r n
“
2
2
n n
q x
theo biến
x A
, ta có
thể kết hợp với các phép toán mệnh đề để nhận được các hàm mệnh đề (phức hợp) :
p x p x
,
p x q x
,
p x q x
,
p x q x
và
p x q x
theo biến
x A
.
Ví dụ. Với các hàm mệnh đề theo biến
n
2 2
x A
, ,
n n
x A
, được liên kết với một mệnh đề
1 2
, , ,
n
p x x x
, ta nói
1 2
, , ,
n
p x x x
, hay vắn
tắt p, là một hàm mệnh đề theo n biến
1 2
, , ,
n
x x x
.
Chẳng hạn, phát biểu
, ,
p i j k
,
1j
,
1
k
và sai với mọi giá trò còn lại.
Do chân trò của một hàm mệnh đề thay đổi tùy thuộc vào giá trò cụ thể của các
biến nên để biến hàm mệnh đề thành mệnh đề, người ta kết hợp chúng với các lượng từ
: Lượng từ phổ dụng “
” và lượng từ tồn tại “
” như sau
1.4.2 Đònh nghóa. Xét hàm mệnh đề
p x
theo biến
x A
. Ta thành lập các mệnh đề
,
x A p x
,
đọc là “với mọi
x A
sao cho
p x
x A p x
chỉ sai khi thay x bằng bất kỳ
a A
, ta đều nhận được mệnh đề sai
p a
.
Khi tập A các biến x được ngầm hiểu và không gây nhầm lẫn, người ta có thể viết
các mệnh đề
,
x A p x
và
,
x A p x
thành
,
x p x
và
,
x p x
.
,
6)
2
2
,n n n
,
trong đó
Mệnh đề 1) sai, mệnh đề 2) đúng do phát biểu
2
5
n
sai khi
2
n
và đúng khi
10
n
.
Các mệnh đề 3) và 4) sai do phát biểu
2
5
n
sai với tất cả các giá trò của n.
Các mệnh đề 5) và 6) đúng do phát biểu
2
, ta đều nhận được mệnh đề sai
p a
. Khi
đó các mệnh đề
,
x A p x
và
,
x A p x
đều sai.
Khả năng 3 : Tồn tại các phần tử
1 2
,
a a A
sao cho
1
p a
là mệnh đề đúng nhưng
2
p a
là mệnh đề sai. Khi đó mệnh đề
,
, ,
x A p x x A p x
.
Chứng minh. i) Vế trái chỉ sai khi
,
x A p x
là mệnh đề đúng, nghóa là khi
p x
đúng với mọi phần tử
x A
. Tương tự, vế phải chỉ sai khi
p x
sai, nghóa là
p x
đúng, với mọi phần tử
x A
. Vì hai vế chỉ sai trong cùng một trường hợp nên chúng
luôn luôn cùng đúng hay cùng sai và do đó chúng tương đương lôgic với nhau.
ii) Chứng minh tương tự.
x A p x q x x A p x x A q x
.
ii)
, , ,
x A p x q x x A p x x A q x
.
iii)
, , ,
x A p x q x x A p x x A q x
.
và
,
x A q x
cùng đúng,
nghóa là khi
p x
và
q x
cùng đúng với mọi phần tử
x A
. Từ đó suy ra tương đương
lôgic i).
ii) Tương tự, ta có hai vế chỉ sai trong cùng một trường hợp khi
p x
và
q x
cùng
sai với mọi phần tử
x A
.
iii) Nếu
,
x A p x
, ,
x A q x x A p x q x
Copyright: Tài liệu đại học ©