TUYỂN TẬP TÍCH PHÂN
(ĐÁP ÁN CHI TIẾT)

BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG HÀ NỘI, 4/2014
HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP :………………………………………………………………….
TRƯỜNG :…………………………………………………………………
24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1

TÍCH PHÂN CƠ BẢN


2 3
4
0
( 1)( 2 5)
I x x x dx
= − − +
∫
e)
1
2 3
5
0
(2 3)( 3 1)
I x x x dx
= − − +
∫

Bài giải
a)
1
4
3 1
1 0
0
1
4 4
x
I x dx
= = =
∫

∫ ∫

c)
1
3
3
0
(1 4 )
I x dx
= −
∫
Chú ý:
1
(1 4 ) 4 (1 4 )
4
d x dx dx d x
− = − ⇒ = − −

1 1
4
3 3 1
3 0
0 0
(1 4 )
1 1 81 1
(1 4 ) (1 4 ) (1 4 ) 5
4 4 4 16 16
x
I x dx x d x
−

2 4
1
0
( 2 5)
1 615 671
. 162
2 4 8 8
x x− +
= = − =

24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2

e)
1
2 3
5
0
(2 3)( 3 1)
I x x x dx
= − − +
∫
Chú ý:
2
( 3 1) (2 3)
d x x x dx
− + = −


2
2
I x dx
= +
∫
c)
4
3
0
2 1
I x dx
= +
∫

d)
1
2
4
0
1
I x x dx
= +
∫
e)
1
2
5
0
1
I x x dx


Bài giải
a)
1
1
0
I xdx
=
∫
1
0
2 2
3 3
x x
= =

b)
7
7
2 2
2
2 16 38
2 ( 2) 2 18
3 3 3
I x dx x x= + = + + = − =
∫

c)
4
3

5
0
1
I x x dx
= −
∫
1
2 2 2 2 1
0
0
1 1 2 1 1
1 (1 ) . (1 ) 1 0
2 2 3 3 3
x d x x x
= − − − = − − − = + =
∫

f)
1 1
2 2 2
6
0 0
1
(1 ) 2 3 2 3 ( 2 3)
2
I x x x dx x x d x x= − − + = − − + − +
∫ ∫

2 2 1
0

3
I x x x x dx x x d x x
= − − + = − + − +
∫ ∫

3 2 3 2 1
0
1 2 4 2 4 2
. ( 3 2) 3 2 0
3 3 9 9
x x x x= − + − + = − = −

HT 3.Tính các tích phân sau:
a)
4
1
1
dx
I
x
=
∫
b)
1
2
0
2 1
dx
I
x

e)
1
5
2
0
( 2)
4 5
x dx
I
x x
−
=
− +
∫

Bài giải
a)
4
4
1 1
1
2 4 2 2
dx
I x
x
= = = − =
∫

b)
1 1

x x
−
− −
−
= = − = − − = − +
− −
∫ ∫

d)
1 1
2
2 1
4 0
2 2
0 0
( 1) ( 2 2)
1
2 2 5 2
2
2 2 2 2
x dx d x x
I x x
x x x x
+ + +
= = = + + = −
+ + + +
∫ ∫

e)
1 1

2
1
1 2
dx
I
x
−
=
−
∫
c)
1
3
2
0
1
xdx
I
x
=
+
∫

d)
1
4
2
0
( 1)
2 2

1
ln ln ln 1 1
e
e
dx
I x e
x
= = = − =
∫

b)
0
2
1
1 2
dx
I
x
−
=
−
∫
0
0
1
1
(1 2 )
1 1 1 ln 3
ln 1 2 (ln1 ln 3)
2 1 2 2 2 2

1
1 1 1 ln 2
ln 1 (ln 2 ln1)
2 2 2 2
1
d x
x
x
+
= = + = − =
+
∫

d)
1
4
2
0
( 1)
2 2
x dx
I
x x
+
=
+ +
∫
1
2
2

d x x
x
I dx x x
x x x x
− +
−
= = = − + = − =
− + − +
∫ ∫

HT 5.Tính các tích phân sau:
a)
2
1
2
1
dx
I
x
=
∫
b)
0
2
2
1
(2 1)
dx
I
x

x
= = − = − + =
∫

b)
0 0
0
2 1
2 2
1 1
(2 1)
1 1 1 1 1 1
.
2 2 2 1 2 6 3
(2 1) (2 1)
d x
dx
I
x
x x
−
− −
−
= = = − = − =
−
− −
∫ ∫

c)
1 1

b)
1
3
2
0
(2 1)
x x
I e e dx
= +
∫
c)
1
3
3
0
(1 4 )
x x
I e e dx
= −
∫

d)
1
4
0
1
x
x
e dx
I

e
=
−
∫

g)
1
7
0
2 1
x x
I e e dx
= +
∫
h)
1
2 2
8
0
1 3
x x
I e e dx
= +
∫
i)
1
9
0
1
x

3 3 1
2 0
0 0
(2 1)
1 1
(2 1) (2 1) (2 1) .
2 2 4
x
x x x x
e
I e e dx e d e
+
= + = + + =
∫ ∫

4
(2 1)
1 81
2 4 4
e
 

+



= − 




4 4 4 4 4 16
x
e e e
 

− − − −



= − = − −  =






 

d)
1 1
1
4 0
0 0
( 1)
1
ln 1 ln( 1) ln 2 ln
2
1 1
x
x

I
e e e e e e
−
= = = − = − + =
− − − − − −
∫ ∫

f)
2 2
2
2
2
6 1
2 3 2 3 2 2 4 2
1 1
(1 3 )
1 1 1 1 1
.
6 6
(1 3 ) (1 3 ) 2(1 3 ) 12(1 3 ) 12(1 3 )
x
x
x x x
d e
e dx
I
e e e e e
−
−
= = − = − = −

1 3 (1 3 ) . (1 3 ) 1 3 (1 3 ) 1 3
6 6 3 9 9
x x x x
e d e e e e e
= + + = + + = + + −
∫

i)
1
9
0
1
x
x
e dx
I
e
=
+
∫
1
1
0
0
( 1)
2 1 2 1 2
1
x
x
x

c)
3
3
1
(3 ln 1)
e
x
I dx
x
+
=
∫

d)
3 2
4
1
4 ln 3 ln 2ln 1
e
x x x
I dx
x
+ − +
=
∫
e)
2
5
ln
e

x
+
=
∫
h)
8
1
3 ln 1
e
dx
I
x x
=
+
∫

Bài giải
a)
2 2 2
1 1
1 1
ln ln ln ln 1 1
ln (ln )
2 2 2 2
e e
e
x x e
I dx xd x
x
= = = = − =


c)
3 4
3
3 1
1 1
(3 ln 1) (3 ln 1)
1 1 64 1 85
(3 ln 1) (3 ln 1) .
3 3 4 3 12 4
e e
e
x x
I dx x d x
x
+ +
= = + + = = − =
∫ ∫

d)
3 2
4
1
4 ln 3 ln 2ln 1
e
x x x
I dx
x
+ − +
=

d x
dx
I x e e
x x x
= = = = − =
∫ ∫

f)
6
1
(3 ln 1)
e
dx
I
x x
=
+
∫
1
(3 ln 1)
1
3 3 ln 1
e
d x
x
+
=
+
∫
1

h)
8
1
3 ln 1
e
dx
I
x x
= =
+
∫
1
1
(3 ln 1)
1 1 4 2 2
.2 3 ln 1
3 3 3 3 3
3 ln 1
e
e
d x
x
x
+
= = + = − =
+
∫

HT 8.Tính các tích phân sau:
a)

d)
4
4
0
sin
cos
x
I dx
x
π
=
∫
e)
2
5
0
sin 3 cos 1
I x x dx
π
= +
∫
f)
2
6
0
cos
3 sin 1
x
I dx
x

2
2
0
sin cos
I x xdx
π
=
∫
2
3
2
2
0
0
sin 1
sin (sin )
3 3
x
xd x
π
π
= = =
∫

c)
4 4
4
3 3
4
3 0

2 2
2
5 0
0 0
1 1 2 1 4
sin 3 cos 1 3 cos 1 (3 cos 1) . (3 cos 1) 3 cos 1 1
3 2 3 3 3
I x x dx x d x x x
π π
π
= + = + + = + + = − = −
∫ ∫

f)
2 2
2
6 0
0 0
(3 sin 1)
cos 1 2 4 2 2
3 sin 1
3 3 3 3 3
3 sin 1 3 sin 1
d x
x
I dx x
x x
π π
π
+

∫
b)
0
1
1 3
dx
x
−
−
∫
c)
1
0
1 3
2 1 4 2
dx
x x
 



−





+ −
 
∫

ln 1 3 (ln1 ln 4)
3 3 3
x
−
= − − = − − = −

c)
1
1
0
0
1 3 1 3 1 3 1 3
ln 2 1 ln 4 2 ln 3 ln 2 ln1 ln 4
2 1 4 2 2 2 2 2 2 2
dx x x
x x
       
   
   
   
− = + + − = + − +
   
   
   
   
   
+ −
       
∫


=
−
∫
c)
0
3 2
3
1
2 3 4 1
1 2
x x x
I
x
−
− + −
=
−
∫

Giải
a)
2
4 3 2
1
2
1
3 2 5 1
x x x x
I dx
x



 
= + − + + = + − + + − + − + +

 

 

 

 
 

   


 
13
5 ln 2
3
= +

b)
1
3 2
2
0
3 2 1
2

1
0
1 1 1
ln 2 ln1 ln 2 ln 2
3 2 3 2 6
x x
x
 
 







= − − − = − − − − = −










 








− +
 
∫

24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 9

3 2
0
1
3 1
ln 2 1
3 2 2 4
x x
x x
−
 




= − + − − − +


1
0
( 1)(3 )
dx
x x
+ −
∫
c)
1
0
( 1)(2 3)
dx
x x+ +
∫

Giải
a)
1 1 1
0 0 0
( 2) ( 1)
1 1
( 1)( 2) ( 1)( 2) 1 2
x x
dx
dx dx
x x x x x x
 
+ − +



+ −
∫
1 1
0 0
( 1) (3 )
1 1 1 1
4 ( 1)(3 ) 4 3 1
x x
dx dx
x x x x
 
+ + −



= = +





+ − − +
 
∫ ∫

( )
1 1
0 0
1 1 1
ln 3 ln 1 ln

x x x x
+ − +
=
+ + + +
∫ ∫
1
0
1 2
1 2 3
dx
x x
 



= −





+ +
 
∫

( )
1 1
0 0
1 2 1 6
ln 1 ln 2 3 ln ln ln ln

1
1 2 3
dx
x x
− −
∫

Giải
a)
1
2
0
12
dx
x x− −
∫
=
1 1
0 0
( 3) ( 4)
1
( 3)( 4) 7 ( 3)( 4)
x x
dx
dx
x x x x
+ − −
=
+ − + −
∫ ∫

= − =

b)
0
2
1
2 5 2
dx
x x
−
− +
∫
=
0 0 0
1 1 1
(2 1) 2( 2)
1
1 ( 2)(2 1) 3 ( 2)(2 1)
2( 2)( )
2
x x
dx dx
dx
x x x x
x x
− − −
− − −
= =
− − − −
− −

 
∫

0
1
1 2 1 ln 2
ln (ln 2 ln1)
3 2 1 3 3
x
x
−
−
= = − =
−

c)
2 2 2
2
1 1 1
1 ( 1)(1 3 )
1 2 3
3( 1)( )
3
dx dx dx
x x
x x
x x
= =
+ −
− −






− +
 
∫
2
1
1 1 1 3 1 3
ln (ln ln1) ln
4 1 3 4 5 4 5
x
x
+
= = − =
−

HT 5.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép)
a)
2
2
1
dx
x
∫
b)
1
2

dx
x x
−
− + −
∫

Giải
a)
2
2
1
dx
x
∫
2
1
1 1 1
1
2 2
x
= − = − + =

b)
1
1
0
2
0
1 1 1 1 1
.

0
0
1
2
1
1 1 1 1 1
.
2 2 1 2 6 3
(2 1)
dx
x
x
−
−
 



= = − = − − + =





−
 
−
∫

d)




−
 
−
∫

e)
0
2
1
16 8 1
dx
x x
−
− + −
∫
0 0
0
1
2 2
1 1
1 1 1 1 1
.
4 4 1 4 20 5
16 8 1 (4 1)
dx dx
x
x x x

2
2
2
0
2 3
dx
x
+
∫

Giải
a)
1
1
2
0
1
dx
I
x
=
+
∫

Đặt:
tan ;
2 2
x t t
π π
 

x t
= ⇒ =

24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 11

Với
1
4
x t
π
= ⇒ =

4 4 4
4
1 0
2 2
2
0 0 0
2
1
cos (tan 1)
cos .
cos
dt dt
I dt t
t t
t

t
π π
 



∈ −





 

2
3
cos
dt
dx
t
⇒ =

Đổi cận: Với
0 0
x t
= ⇒ =
; Với
3
4
x t

∫
4
0
3 3
3 12
t
π
π
= =

c)
2 2
2 2
3
2
2
0 0
3
2 3
2
2
dx dx
I
x
x
= =
 
+



2 2
t
π π
 



∈ −





 

2
6
2
cos
dt
dx
t
⇒ =

Đổi cận: Với
0 0;
x t
= ⇒ =
Với
2

1
2
1
( 1) 1
dx
I
x
−
=
+ +
∫
b)
4
2
2
2
4 8
dx
I
x x
=
− +
∫
c)
1
3
2
0
1
dx

π π
 



∈ −





 

24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 12

2
cos
dt
dx
t
⇒ =

Đổi cận: Với
1 0;
x t
= − ⇒ =
Với

4
2
2
2
4 8
dx
I
x x
=
− +
∫
4
2
2
( 2) 4
dx
x
=
− +
∫

Đặt:
2 2 tan
x t
− =
Với
;
2 2
t
π π


4 4 4
4
2 0
2 2
2
0 0 0
2
2 1 1 1
2 1 2 2 8
cos (4 tan 4)
cos .
cos
dt dt
I dt t
t t
t
t
π π π
π
π
⇒ = = = = =
+
∫ ∫ ∫

c)
1
3
2
0

tan
2 2
x t
+ =
Với
;
2 2
t
π π
 



∈ −





 

2
3
.
2
cos
dt
dx
t
⇒ =

⇒ = = =
+
∫ ∫

3
3
6
6
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
3 3 9 18 18
dt t
π
π
π
π
π π π
= = − =
∫
24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 13

III.Dạng 3:
2
mx n
dx

−
+
=
− + +
∫
c)
0
3
2
1
7 4
2 3 2
x
I dx
x x
−
−
=
− − +
∫

Giải
a)
1
1
2
0
1
4 3
x

1 2
3 1 1
A B A
A B B
 
 
+ = =
 
 
⇔
 
 
+ = − = −
 
 
 

Vậy,
( )
1
1
1 0
0
2 1
2 ln 3 ln 1
3 1
I dx x x
x x
 


0
1
2 10
( 2)(1 )
x
dx
x x
−
+
=
+ −
∫

Xét đồng nhất thức:
( ) 2
2 10 2
( 2)(1 ) 2 1 ( 2)(1 ) ( 2)(1 )
B A x A B
x A B A Ax Bx B
x x x x x x x x
− + +
+ − + +
= + = =
+ − + − + − + −

Đồng nhất thức hai vế ta được:
2 2
2 10 4
B A A
A B B

= + = + − −





+ −
 
∫

(2ln 2 4 ln1) (2 ln1 4 ln 2) 2ln 2 4 ln 2 ln 4 ln16 ln 64
= − − − = + = + =

c)
0
3
2
1
7 4
2 3 2
x
I dx
x x
−
−
=
− − +
∫
0
1

 
− = − =
 
 
⇔
 
 
+ = =
 
 
 

Vậy,
( )
0
0
3 1
1
2 3
ln 1 2 3ln 2
1 2 2
I dx x x
x x
−
−
 



= + = − − + +

=
+ +
∫
b)
0
2
2
1
3 1
4 4 1
x
I dx
x x
−
−
=
− +
∫
c)
1
3
2
0
3 2
4 12 9
x
I dx
x x
+
=



+


+ + + + +
 
∫ ∫ ∫ ∫

1
0
2
3 ln 1 (3 ln 2 1) (3 ln 1 2) 3 ln 2 1
1
x
x
 



= + + = + − + = −





+
 

b)

= =
− −
∫ ∫

0
0
1
2
1
3 1 1 1 3 1 1
. . ln 2 1 .
2 2 1 2 4 4 2 1
(2 1)
dx x
x x
x
−
−
 
 



 


= +  = − −




1
3
2
0
3 2
4 12 9
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
1 1
2 2
0 0
3 5
(2 3)
3 2
2 2
(2 3) (2 3)
x
x
dx dx
x x
+ −
+
= =
+ +
∫ ∫

ln 2 3 .
4 4 2 3
x
x
 



= + +





+
 

3 1 3 5 3 5 1
ln 5 ln 3 ln
4 4 4 12 4 3 6
   
 
 
 
= + − + = −
 
 
 
 
 

− +
∫
c)
1
3
2
0
3 1
4 4 2
x
I dx
x x
−
=
− +
∫

Giải
a)
1
1
2
0
3 1
1
x
I dx
x
+
=

1 1
x
dx
x x
 




= +





 
+ +
∫
1 1
2 2
0 0
3 2
2
1 1
x dx
dx
x x
= +
+ +
∫ ∫

=
+
∫

24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 15

Đặt:
tan ;
2 2
x t t
π π
 
 

 




= ∈ −








0 0 0
2
1
cos (tan 1)
cos .
cos
dt dt
M dt t
t t
t
t
π π π
π
⇒ = = = =
+
∫ ∫ ∫
4
π
=

Vậy,
1
3 ln 2
2 4
I M N
π
= + = +

b)
3

4 5 4 5 4 5
x
x
I dx dx
x x x x x x
− +
 
−




= = +





 
− + − + − +
∫ ∫

3 3
2 2
1 1
3 2 4 1
8
2
4 5 4 5
x

2 2
x x
− + = − =

+ Xét:
3
2
1
1
8
4 5
N dx
x x
=
− +
∫
3
2
1
8
( 2) 1
dx
x
=
− +
∫

Đặt:
2 tan
x t

dt
dx
t
⇒ =

Đổi cận: Với
1 ;
4
x t
π
= ⇒ = −
Với
3
4
x t
π
= ⇒ =

4 4
4
2 2
4
4 4
8 8 8 4
cos (tan 1)
dt
N dt t
t t
π π
π

I dx
x x
−
=
− +
∫

Chú ý:
2
(4 4 2)' 8 4
x x x
− + = −

Ta có:
1 1
3
2 2
0 0
3 1
(8 4)
3 1
8 2
4 4 2 4 4 2
x
x
I dx dx
x x x x
− +
−
= =

x
M dx x x
x x x x
− +
−
= = = − + = − =
− + − +
∫ ∫

+) Xét:
1 1
2 2
0 0
1 1
2 2
4 4 2 (2 1) 1
dx dx
N
x x x
= =
− + − +
∫ ∫

Đặt:
2 1 tan
x t
− =
Với
;
2 2

⇒ =
2
2 cos
dt
dx
t
⇔ =

Đổi cận:Với
0 ;
4
x t
π
= ⇒ = −
Với
1
4
x t
π
= ⇒ =

4 4
4
2 2
4
4 4
1 1 1
2 2 2 4
2 cos (tan 1)
dt

I dx
x x
−
− + −
=
− +
∫
b)
1
4 3 2
2
2
0
5 3 2 1
2 1
x x x x
I dx
x x
+ − + −
=
+ +
∫

c)

0
3 2
3
2
1

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 17

a)
0 0
3 2
1
2 2
1 1
5 6 1 2 3
2
3 2 3 2
x x x x
I dx x dx
x x x x
− −
 
− + − − +




= = − +





 
− + − +
∫ ∫








= − = − = − + = −










 


 
∫

+) Xét:
0 0
2
1 1
2 3 2 3
( 1)( 2)






− −
 
∫

Vậy,
1
5
ln 3
2
I M N
= + = −

b)
1
4 3 2
2
2
0
5 3 2 1
2 1
x x x x
I dx
x x
+ − + −
=




= + − = + − = + − − = −







 
∫

+) Xét:
1 1 1
2 2 2
0 0 0
19( 1) 10
19 9 19 10
1
2 1 ( 1) ( 1)
x
x
N dx dx dx
x
x x x x
 

+ −




+
 

Vậy,
2
79
19 ln 2
6
I M N= + = −

c)
0
3 2
3
2
1
3 6 1
2 2
x x x
I dx
x x
−
+ − +
=
+ +
∫
0

1
1 1
( 1) 1
2 2 2
x
M x dx x
−
−
 
 







= + = + = − − =










 


∫
=
0
2 2
1
5(2 2)
9
2 2 2 2
x
dx
x x x x
−
 
+




−





 
+ + + +
∫

0
2


24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 18

0
2
1
9
2 2
dx
Q
x x
−
=
+ +
∫
0
2
1
9
( 1) 1
dx
x
−
=
+ +
∫


x t
= − ⇒ =
Với
0
4
x t
π
= ⇒ =

4
2 2
0
9
cos (tan 1)
dt
Q
t t
π
⇒ =
+
∫
4
4
0
0
9
9 9
4
dt t
π


= + −




 
− −
∫
=
( )
2
1
16 ln 4 9 ln 3
x x x+ − − −
=
1 25ln2 16ln 3
+ −
.
HT 12.Tính các tích phân sau:
a)

2
5 3
1
dx
I
x x
=
+

1 1 1
( 1) 1
x
x
x x x x
= − + +
+ +

⇒

2
2
2
1 1 3 1 3
ln ln( 1) ln 2 ln 5
1
2 2 2 8
2
I x x
x
 
 
= − − + + = − + +
 
 

b)

1
3

− −
 
⇒ = + − + =
 
 
∫

24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 19 24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 20

HT 13.Tính các tích phân sau: (Đổi biến số)
1.
1
7
2 5
0
(1 )
x
I dx
x
=
+

I
x x
=
+
∫

5.
2
7
7
1
1
(1 )
x
I dx
x x
−
=
+
∫

6.
3
6 2
1
(1 )
dx
I
x x
=

−
=
+
∫

9.
2
2
4
1
1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫

10.
2
2
4
1
1
1
x
I dx
x

+
∫

13.
3
3
2
4
0
1
x
I dx
x
=
−
∫

14.
1
4 2
0
1
xdx
I
x x
=
+ +
∫

15.

I dx
x x
= =
+ +
∫ ∫

Đặt
2
1 2
t x dt xdx
= + ⇒ =

Đổi cận: Với
0 1;
x t
= ⇒ =
Với
1 2
x t
= ⇒ =2
3
5 5
1
( 1)
1 1 1
.
2 4

x t
= ⇒ =

1
7 8
6
0
1 1 1
(1 )
3 3 7 8 168
t t
I t t dt
 




⇒ = − = − =




 
∫

3.
4 4
3 3
3
4 4 4

= ⇒ =3 3
3
1
1 1
1 1 1 1 1 1 3
ln ln
4 ( 1) 4 1 4 1 4 2
dt t
I dt
t t t t t
   
 
 
 
⇒ = = − = =
 
 
 
 
 
+ + +
   
∫ ∫

4.
2 2
9

= ⇒ = +

10 10
2 1 2 1
2 2
2 2
1 1 1 1 1
5 5 1
( 1)
dt
I dt
t t
t t t
+ +
 



⇒ = = − −





−
 
−
∫ ∫

10

7
7
1
1
(1 )
x
I dx
x x
−
=
+
∫
2
7 6
7 7
1
(1 ).
.(1 )
x x
dx
x x
−
=
+
∫
.
Đặt
7 6 6
7
7





+ +
 
∫ ∫

1 1 10 2
(7 ln 2 2 ln129) ( 2 ln 2) ln 2 ln129
7 7 7 7
= − − − = −6.
3 3
6 2
2 6
1 1
2
1
(1 )
. ( 1)
dx dx
I
x x
x x
x
= =
+

3
1
1
1 1
t
I dt t t dt
t t
 




⇒ = − = − + −





 
+ +
∫ ∫
=
117 41 3
135 12
π
−
+

7.
1 1


24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 22

Chú ý:
'
2
1 3
2 1
(2 1)
x
x
x
 
−



=





+
 
+


t
t t dt
−
−
⇒ = = = −
∫

8.
( )
1 1
99 99
2
0 0
7 1 1 7 1 7 1
2 1 9 2 1 2 1
2 1
x dx x x
I d
x x x
x
     
− − −
  
  
  
= =
  
  
  
  

9.
x
2
2
4
1
1
1
x
I d
x
+
=
+
∫

Ta có:
2
2
4
2
2
1
1
1
1
1
x
x
x

= ⇒ =
Với
3
2
2
x t
= ⇒ =

⇒

3 3
2 2
2
0 0
1 1 1
2 2 2 2
2
dt
I dt
t t
t
 




= = −




=
+
∫

Ta có:
2
2
4
2
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
−
−
=
+
+
.
Đặt
2
1 1
1
5
2
2
2
2
dt
I
t
⇒ = −
+
∫
.
Đặt
2
2 tan 2
cos
du
t u dt
u
= ⇒ =
;
1 2
5 5
tan 2 arctan 2; tan arctan
2 2
u u u u= ⇒ = = ⇒ =
I dx
x x
−
=
+
∫

Ta có:
2
2
1
1
1
1
x
I dx
x
x
−
=
+
∫
. Đặt
1
t x
x
= +

2
1

2
2
5 4
ln ln ln2 ln
2 5
dt
I t
t
= − = − = − + =
∫12.
1
4
6
0
1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫

Ta có:
4 2 2
4 4 2 2 2

∫ ∫

13.
3
3
2
4
0
1
x
I dx
x
=
−
∫

3 3
3 3
2
2 2 2 2
0 0
1 1 1 1
ln(2 3)
2 4 12
( 1)( 1) 1 1
x
I dx dx
x x x x
π
 

2
dt
dt xdx xdx⇒ = ⇒ =

24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH

GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 24

Đổi cận:
0 0;
x t
= ⇒ =
Với
1 1
x t
= ⇒ =

1 1
2 2
2
0 0
1 1
2 2
6 3
1
1 3
2 2
dt dt
I

1
x
I dx
x x
+
+
=
− +
∫

Ta có:
2
2
4 2
2
2
1
1
1
1
1
1
x
x
x x
x
x
+
+
=

+
∫
.
Đặt
2
tan
cos
du
t u dt
u
= ⇒ =

⇒

4
0
4
I du
π
π
= =
∫24hchiase.com - Chia sẻ Tài Liệu LTDH